第04 讲 共点力的平衡—静态平衡
目 录
思维导图...............................................................................................................................1
学习目标...............................................................................................................................2
知识点...................................................................................................................................2
题型分类...............................................................................................................................4
题型01： 力的合成法求解共点力静态平衡.......................................................................4
题型02： 正交分解法
解决
共点力静态平衡
问题
题型03： 整体隔离法解决共点力静态平衡
题型04： 相似三角形法求解共点力静态平衡
题型05： 拉密定理（
正弦定理
）
求解共点力静态平衡
高中物理共点力静态平衡的核心学习目标是：能准确判断共点力作用下物体的静态平衡状态，熟练运用“合外
力为零”的平衡条件分析受力，并规范解决斜面、连接体等典型静态平衡问题。
具体目标可拆解为3 个层级：
1.
概念与条件掌握：明确共点力静态平衡的定义（物体静止或匀速直线运动），理解其本质是合外力为零并
掌握其正交分解后的分量条件
2.
受力分析与方程建立：能对处于静态平衡的物体（或物体系）进行完整受力分析，画出规范的受力示意图；
会根据力的分布建立合适的直角坐标系，将各力分解后列写平衡方程。
3.
实际问题解决：能按“确定研究对象→受力分析→建系分解→列方程求解→验证合理性”的流程，独立解
决斜面、绳挂物体、支架、多物体连接等常见静态平衡模型问题，包括定性分析力的变化和定量计算力的大小。
知识点一：受力分析的一般步骤
受力分析的三个技巧
(1)不要把研究对象所受的力与研究对象对其他物体的作用力混淆．
(2)除了根据力的性质和特点进行判断，假设法是判断弹力、摩擦力有无及方向的常用方法．
(3)善于转换研究对象，尤其是弹力、摩擦力的方向不易判定的情形，可以分析与其接触物体的受力，再应用牛顿第
三定律判定．
知识点二：共点力的平衡
1．共点力的平衡
(1)平衡状态：物体静止或做匀速直线运动．
(2)平衡条件：F 合＝0 或Fx＝0，Fy＝0.
(3)常用推论
①若物体受n 个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余(n－1)个力的合力大小相等、方向相反．
②若三个共点力的合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个封闭三角形．
2．处理共点力平衡问题的基本思路
确定平衡状态(加速度为零)→巧选研究对象(整体法或隔离法)→受力分析→建立平衡方程→求解或作讨论．
知识点三：求解共点力平衡问题的常用方法：
1．合成法：一个力与其余所有力的合力等大反向，常用于非共线三力平衡．
2．正交分解法：Fx 合＝0，Fy 合＝0，常用于多力平衡．
3．矢量三角形法，把表示三个力的有向线段构成一个闭合的三角形，常用于非特殊角的一般三角形．
解决平衡问题常用的方法有以下五种
4.正弦定理（拉米定理）法
5.相似三角形法
6.辅助圆作图法
7．整体法与隔离法
整体法
隔离法
概念
将加速度相同的几个物体作为一个整体来
分析的方法
将研究对象与周围物体分隔开来分析的
方法
选
用
原则
研究系统外的物体对系统整体的作用力或
求系统整体的加速度
研究系统内物体之间的相互作用力
知识点四：共点力的静态平衡
1．合成法：一个力与其余所有力的合力等大反向，常用于非共线三力平衡．
2．正交分解法：Fx 合＝0，Fy 合＝0，常用于多力平衡．
3. 拉密定理（正弦定理）法
4.相似三角形法
5．整体法与隔离法
解题思路
1．遇到多物体系统时注意应用整体法与隔离法，一般可先整体后隔离.
2.
三力平衡，一般用合成法，根据平行四边形定则合成后，“力的问题”转换成“三角形问题”，再由三角函数、
勾股定理、正弦定理或相似三角形等解三角形.
3.
多力平衡，一般用正交分解法．
题型01： 力的合成法求解共点力静态平衡
【典型例题1】在科学研究中，人们利用风速仪测量风速的大小，其原理如图所示。仪器中有一根轻质金属丝，悬挂
着一个金属球。若某次受到沿水平方向来的风时，稳定后，金属丝偏离竖直方向夹角为
。已知风力F 与风速v 的大
小关系为
，k 为常量，金属球的质量为m，重力加速度为g，则风速大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对小球受力分析，有
根据共点力平衡，有
又因为
联立解得
故选A。
【变式训练1】如图所示，P、Q 是两个光滑的定滑轮，吊着A、B、C 三个小球的三条轻绳各有一端在O 点打结，悬
吊A、C 两个球的轻绳分别绕过定滑轮P、Q，三个球静止时，OQ 段轻绳与竖直方向的夹角
。已知B、C 两球
的质量均为m，
，则A 球的质量为（ ）
A．m
B．1.2m
C．1.5m
D．1.6m
【答案】B
【解析】对O 点受力分析如下
由题可知OQ、OB 段的拉力满足
将
、
合成如上图所示，由于三个球静止，O 点受力平衡，根据几何关系有
、
是平行四边形的两边，
有
则有A 球的质量为
【变式训练2】高空滑索因其惊险刺激而深受年轻人追捧。人通过轻绳与轻质滑环相连，开始下滑前，轻质滑环固定
在钢索
上
点处，滑环和人均处于静止状态，钢索和轻绳的夹角关系如图所示。设
段钢索的拉力大小为
，
段钢索的拉力大小为
，
段轻绳的拉力大小为
，下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】以结点
为研究对象，受力情况如图所示
这样的三个力可以组成一个首尾相接的封闭的矢量三角形如下
由图可知
故选A。
故选B。
【变式训练3】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O 为球心，重力为G 的小滑块在水平力F 的作用下静止
于P 点。设滑块所受支持力为FN，下列关系正确的是（ ）
A．F 一定大于G
B．三个力中FN最大
C．FN与F 大小之和等于G
D．F 与G 的合力方向沿OP 连线指向O 点
【答案】B
【解析】滑块受力如图
由平衡条件知FN 与F 矢量之和等于G，F 与G 的合力方向沿OP 连线背离O 点，有
所以
可知，夹角
大小不确定，所以F 和G 的大小无法确定，但三个力中FN 最大。
故选B。
题型02： 正交分解法解决共点力静态平衡问题
【典型例题1】如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O 点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端
系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F 向右上方拉b，整个系统处于静止状态。若F 方向不变，大小在一定范围
内变化，物块b 仍始终保持静止，则下列说法正确的是（ ）
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化 B．物块b 所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a 和b 的绳的张力也在一定范围内变化 D．物块b 与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
【答案】 BD
【解析】 由于物块a、b 均保持静止，各绳角度保持不变，对a 受力分析得，绳的拉力FT＝mag，所以物块a 受到
绳的拉力保持不变。由滑轮性质，滑轮两侧绳的拉力相等，所以b 受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C 选项错误；
a、b 受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，A 选项错误；对b 进行受力分析，如图所示。由平衡
条件得：FTcos β＋Ff＝Fcos α，Fsin α＋FN＋FTsin β＝mbg。其中FT 和mbg 始终不变，当F 大小在一定范围内变化
时，支持力在一定范围内变化，B 选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D 选项正确。
【典型例题2】如图所示，斜面上放有两个完全相同的物体a、b，两物体间用一根细线连接，在细线的
中点加一与斜面垂直的拉力F，使两物体均处于静止状态．则下列说法正确的是 ( )
A．a、b 两物体的受力个数一定相同 B．a、b 两物体对斜面的压力相同
C．a、b 两物体受到的摩擦力大小一定相等 D．当逐渐增大拉力F 时，物体b 先开始滑动
【答案】B
【解析】对a、b 进行受力分析，如图所示．b 物体处于静止状态，当细线沿斜面向上的分量与重力沿斜面向下的分
量相等时，摩擦力为零，所以b 可能只受3 个力作用，而a 物体必定受到摩擦力作用，肯定受4 个力作用，故A 错误；
a、b 两个物体，垂直于斜面方向受力都平衡，则有：FN＋FTsin θ＝mgcos α，解得：FN＝mgcos α－FTsin θ，则
a、b 两物体对斜面的压力相同，故B 正确；根据A 项的分析可知，b 的摩擦力可以为零，而a 的摩擦力一定不为零，
故C 错误；对a 沿斜面方向有：FTcos θ＋mgsin α＝Ffa，对b 沿斜面方向有：FTcos θ－mgsin α＝Ffb，正压力相等，
所以最大静摩擦力相等，则a 先达到最大静摩擦力，故a 先滑动，故D 错误．
【典型例题3】如图所示,质量为m 的小球用水平轻质弹簧系住,并用倾角θ=37°的木板托住,小球处于静止状态,弹簧处
于压缩状态,则( )
A.小球受木板的摩擦力一定沿斜面向上
B.弹簧弹力不可能为3
4
mg
C.小球可能受三个力作用
D.木板对小球的作用力有可能小于小球的重力mg
【答案】C
【解析】
小球的受力分析如图,
当mgsin 37°>Fcos 37°,小球受到沿斜面向上的摩擦力,当mgsin 37°<Fcos 37°,小球受到沿斜面向下的摩擦力,当mgsin
37°=Fcos 37°,斜面对小球不受摩擦力,且F=mgtan 37°=3
4
mg,所以A、B 错误,C 正确;木板对小球的作用力的竖直分量
等于mg,所以不可能小于mg,D 错误。
【典型例题4】如图所示,三个相同的轻质弹簧连接在O 点,弹簧1 的另一端固定在天花板上,且与竖直方向的夹角为
30°,弹簧2 水平且右端固定在竖直墙壁上,弹簧3 的另一端悬挂质量为m 的物体且处于静止状态,此时弹簧1、2、3 的
形变量分别为x1、x2、x3,则( )
A.x1∶x2∶x3=❑√3∶1∶2
B.x1∶x2∶x3=2∶1∶❑√3
C.x1∶x2∶x3=1∶2∶❑√3
D.x1∶x2∶x3=❑√3∶2∶1
【答案】B
【解析】对物体受力分析可知,kx3=mg,对弹簧的结点受力分析可知,kx1 cos 30°=kx3,kx1sin 30°=kx2,联立解得
x1∶x2∶x3=2∶1∶❑√3,故选项B 正确。
【变式训练1】图所示,小球C 置于内侧面光滑的半球形凹槽B 内,B 放在长木板A 上,整个装置处于静止状态。在缓慢
减小木板的倾角θ 过程中,下列说法正确的是( )
A.A 受到的压力逐渐减小
B.A 受到的摩擦力逐渐减小
C.C 对B 的压力逐渐变大
D.C 受到三个力的作用
【答案】B
【解析】缓慢减小倾角θ,A、B、C 始终处于平衡状态。把B、C 看成一整体,设质量为m,则mgsin θ=FfAB,mgcos
θ=FNAB,由牛顿第三定律得FfBA=FfAB=mgsin θ,FNBA=FNAB=mgcos θ,当θ 减小时,sin θ 变小,cos θ 变大,所以FfBA
变小,FNBA 变大,A 错误,B 正确;对C 受力分析可知,其受重力、支持力两个力的作用,大小相等,所以支持力不变,C 对B
的压力不变,C、D 错误。
【变式训练2】如图所示,质量为m 的小物体(可视为质点)静止地放在半径为R 质量为m0 的半球体上,小物体与半球体
间的动摩擦因数为μ,物体与球心的连线与水平地面的夹角为θ,整个装置静止。则下列说法正确的是( )
A.地面对半球体的摩擦力方向水平向左
B.小物体对半球体的压力大小为mgcos θ
C.半球体受到小物体的作用力大小为mg
D.θ 角(为锐角)变大时,地面对半球体的支持力不变
【答案】CD
【解析】
以小物体和半球体整体作为研究对象,受到重力和地面对半球体的支持力,地面对半球体没有摩擦力,由平衡条件得,地
面对半球体的支持力FN=(m0+m)g,不会随θ 变化,故A 错误,D 正确;以小物体为研究对象,作出受力图如图,则半球体
对小物体的支持力FN'=mgsin θ,由牛顿第三定律得,小物体对半球体的压力大小为mgsin θ,故B 错误;半球体受到小
物体的压力和静摩擦力的合力等于重力,故C 正确。
【变式训练3】用卡车运输质量为
、半径为
的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两形状一样的光
滑矩形方块之间，如图所示。矩形方块Ⅰ平放、Ⅱ竖直固定在车上，矩形方块的长
，宽
，圆筒状工件
水平中轴线距离车厢平面
。重力加速度为
。当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒状工件对矩形方块Ⅰ、Ⅱ
压力的大小分别为
、
，则
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【解析】本题考查了共点力平衡问题，当物体受到3 个力而平衡时，可采用合成法，即其中两个力的合力与第三个
力等大反向，利用三角形的边角关系求解。解：设矩形方块Ⅰ、Ⅱ对工件的弹力大小分别为
、
，对工件受力
分析如图所示，图中角
满足：
解得：
则
由平衡条件可知
与
的合力与工件的重力等大反向，则有：
根据牛顿第三定律可知：圆筒状工件对矩形方块Ⅰ、Ⅱ压力的大小
、
分别为
、
，故
正确，
错误。
故选：
。
【变式训练4】如图所示，在竖直墙壁上的
点固定一光滑细杆，杆在垂直于墙壁的竖直平面内，与墙面的夹角为
，杆上穿着一个质量为
的带圆孔小球（圆孔的直径略大于杆的直径），小球上连接一轻质弹簧，弹簧另一
端固定在墙上的
点，稳定时小球恰好静止在杆上的
点，弹簧刚好水平，压缩量为
。已知重力加速度
取
，
，
，则
A．小球对杆的弹力大小为
B．小球对杆的弹力方向垂直于杆向上
C．弹簧对小球的弹力大小为
D．弹簧的劲度系数为
【答案】
．
【解析】对小球受力分析如图所示，根据平衡条件可得
解得
根据牛顿第三定律可知小球对杆的弹力大小为
，且方向垂直于杆向下，故
错误；
．根据平衡条件可得弹簧对小球的弹力大小为
，故
错误；
．根据胡克定律可得
，故
正确。
故选：
。
【变式训练5】图示杆秤用3 根长度相同细绳对称地系于圆形秤盘上，细绳的另一端会聚后系在杆秤小吊环上的
点。
用该秤来称质量为
（含秤盘）的物品，重力加速度为
，则平衡时
A．每根细绳的拉力等于
B．每根细绳的拉力小于
C．每根细绳的拉力大于
D．细绳越长，细绳的拉力越大
【答案】C
【解析】解：对物体和秤盘受力分析，设细绳与竖直方向夹角为
，细绳拉力为
，根据平衡条件可得
，
解得：
，
可见细绳越长，
越小，则
越小，故
正确，
错误。
故选：
。
【变式训练6】如图所示，
、
两个物块的重量分别为
，
，弹簧的重量不计，系统沿竖直方向
处于静止状态，这时弹簧的弹力
。则天花板受到的拉力和地板受到的压力，有可能是
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】C
【解析】解：当弹簧处于被拉伸状态时，根据平衡条件得：
对
：细线的拉力
对
：地板对
的支持力
，则
对地板的压力为
，方向竖直向下。
当弹簧处于被压缩状态时，根据平衡条件得：
对
：细线的拉力
对
：地板对
的支持力
，则
对地板的压力为
，方向竖直向下。
综上所述，故
正确、
错误。
故选：
。
【变式训练7】攀岩是一项挑战性运动，如图所示为某一攀岩爱好者双臂伸展、身体静止悬挂时的照片。已知攀岩爱
好者的右手抓牢点比左手的高，左、右两臂等长且伸直。则在此时（ ）
A．左臂的拉力大于右臂的拉力
B．左臂的拉力小于右臂的拉力
C．两臂的拉力一样大
D．无法判断两臂拉力大小的关系
【答案】B
【解析】把人看成质点，并对它进行受力分析，画出受力示意图如图所示
设
与水平方向的夹角为
，
与水平方向的夹角为
，由图可知
由平衡可知
则左臂的拉力小于右臂的拉力。
故选B。
【变式训练8】如图所示一位登山者小王站在倾角为30°的斜坡上，正在通过平行于斜坡的绳索拉动朋友。已知小王
总质量为65kg，最大静摩擦力为压力的0.8 倍，sin30°=0.5、cos30°=0.87，若小王没有滑动，则（ ）
A．小王受到的摩擦力可能沿斜坡向下
B．小王对绳索的拉力最大值约为125N
C．朋友丢掉背包后，小王受到的最大静摩擦力会减小
D．小王受到绳索拉力与摩擦力的合力会随绳索拉力的变化而变化
【答案】B
【解析】A．对小王受力分析，重力竖直向下；支持力垂直于斜坡向上；绳索拉力沿斜坡向下。故小王有沿斜坡向
下的运动趋势。所以他受到的摩擦力不可能沿斜坡向下,故A 错误；
B．依题意，小王所受摩擦力最大为
重力下滑分力为
小王未滑动，受力平衡，有小王对绳索的拉力最大值约为
故B 正确；
C．朋友丢掉背包后，小王受到的最大静摩擦力不会改变，故C 错误；
D．小王受到合力始终为零，故D 错误。
故选B。
【变式训练9】筷子是中华饮食文化的标志之一，我国著名物理学家李政道曾夸赞说：“筷子如此简单的两根木头，
却精妙绝伦地应用了物理学杠杆原理。”如图所示，用筷子夹住质量为m 的小球，两根筷子均在竖直平面内，且筷
子和竖直方向的夹角均为θ。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度
为g，小球静止。下列说法正确的是（ ）
A．筷子对小球的最小压力是
B．当θ 增大时，筷子对小球的最小压力一定增大
C．当θ 减小时，筷子对小球的最小压力一定增大
D．要想用筷子夹住小球，必须满足
【答案】BD
【解析】A．左右两边的筷子对球有沿筷子向上的摩擦力f 和垂直筷子指向球心的压力，则对球
当压力N 最小时，则
f=μN
解得最小压力为
选项A 错误；
BC．根据
可知，当θ 增大时，筷子对小球的最小压力一定增大，选项B 正确，C 错误；
D．要想用筷子夹住小球，表达式
的分母大于零，即必须满足
选项D 正确。
故选BD。
【变式训练10】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O
为球心，一质量为m
的小滑块，在水平力F
的作
用下静止P 点。设滑块所受支持力为
FN 。OF 与水平方向的夹角为θ 。下列关系正确的是（ ）
A．
F= mg
tanθ
B．F=mg tanθ
C．
FN= mg
tanθ
D．
FN=mg tanθ
【答案】 A
【解析】 解法一 力的合成法
滑块受力如图甲，由平衡条件知：＝tan θ⇒F＝，
FN＝。
解法二 力的分解法
将滑块受的力水平、竖直分解，如图丙所示，mg＝FNsin θ，F＝FNcos θ，
联立解得：F＝，FN＝。
解法三 力的三角形法（正弦定理）
如图丁所示，滑块受的三个力组成封闭三角形，解直角三角形得：F＝，FN＝。
【点睛】通过例题不难发现针对此类题型应采用“力的合成法”解决较为容易。
【变式训练11】如图所示，倾角为 θ＝30°的光滑斜面上固定有竖直光滑挡板P，横截面为直角
三角形的物块A 放在斜面与P 之间．则物块A 对竖直挡板P 的压力与物块A 对斜面的压力大小之比为（ ）
A．2∶1 B．1∶2 C.∶1 D.∶4
【答案】B
【解析】将物体A 受的重力按照力的效果进行分解，如图所示，则F1＝Gtan θ，F2＝，故＝sin θ＝.即物块A 对竖
直挡板P 的压力与物块A 对斜面的压力大小之比为1∶2，B 正确．
【变式训练12】一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A 和B(中央有孔)，A、B 间由细绳连接，它们处
于如图2－2－24 所示位置时恰好都能保持静止状态。此情况下，B 球与环中心O 处于同一水平面上，AB 间的细绳呈
伸直状态，与水平线成30°夹角。已知B 球的质量为m，求细绳对B 球的拉力大小和A 球的质量。
【答案】 2mg 2m
【解析】 对B 球，受力分析如图所示。则有FTsin 30°＝mg
得FT＝2mg
对A 球，受力分析如图所示。
在水平方向：FTcos 30°＝FNAsin 30°
在竖直方向：FNAcos 30°＝mAg＋FTsin 30°
由以上方程解得：mA＝2m。
【点睛】由于此类问题应用力的合成法无法构造直角三角形故往往采用“力的分解法或正弦定理进行求解”。
【变式训练13】如图，弹簧测力计下端挂有一质量为
的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，
斜面倾角为
，挡板与斜面夹角为
．若弹簧测力计位于竖直方向，读数为
取
,挡板对球体支持力
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对小球受力分析如图所示
由几何关系易得力
与力
与竖直方向的夹角均为
，因此由正交分解方程可得
，
解得
故选A。
【变式训练14】如图所示，四分之一光滑圆弧面AB 与倾角为60°的光滑斜面AC 顶部相接，A 处有一光滑的定滑轮
跨过定滑轮用轻质细绳连接质量分别为m1、m2的两小球，系统静止时连接的绳子与水平方向的夹角为60°.两小球及
滑轮大小可忽略，则两小球质量的比值m1∶m2为( )
A．1∶2 B．3∶2 C．2∶3
D.∶2
【答案】 B
【解析】 对m1、m2 受力分析如图所示，
对m1 有：
m1g＝2FTcos 30°＝√3 FT，
解得FT＝m1g，
对m2 有：
FT＝m2gsin 60°＝
√3
2 m2g，
解得m1∶m2＝3∶2.
【变式训练15】如图所示，两拖船P、Q 拉着无动力货船S 一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与
虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船
发动机提供的动力大小为（ ）
A．
B．
C．2f
D．3f
【答案】B
【解析】根据题意对S 受力分析如图
正交分解可知
所以有
对P 受力分析如图
则有
解得
故选B。
【变式训练16】将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，要求下降过程中重物与楼墙保持一定的距离。
如图，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的
绳子Q，二人配合可使重物缓慢竖直下降。若重物的质量
，重力加速度大小
，当P 绳与竖直方
向的夹角
时，Q 绳与竖直方向的夹角
（1）求此时P、Q 绳中拉力的大小；
（2）若开始竖直下降时重物距地面的高度
，求在重物下降到地面的过程中，两根绳子拉力对重物做的总功。
【答案】（1）
，
；（2）
【解析】（1）重物下降的过程中受力平衡，设此时P、Q 绳中拉力的大小分别为
和
，竖直方向
水平方向
联立代入数值得
，
（2）整个过程根据动能定理得
解得两根绳子拉力对重物做的总功为
【变式训练17】如图所示，三角形斜面A 放置于水平地面上，将光滑滑块B 放置于斜面A 上，在滑块B 上施加水平
向右的恒力F，斜面A 和滑块B 一起向右匀速运动，已知滑块B 的质量为m，斜面A 的质量为2m，斜面倾角为30°，
则斜面与地面之间的动摩擦因数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】隔离滑块B，对B 受力分析，如图所示
根据平衡条件，可得
对A、B 整体受力分析，如图所示
可得
其中摩擦力
代入数据解得
故选D。
【变式训练18】如图甲所示，推力F 垂直斜面作用在斜面体上，斜面体静止在竖直墙面上，若将斜面体改成如图乙
所示放置，用相同大小的推力F 垂直斜面作用到斜面体上，则下列说法正确的是( )
A．墙面受到的压力一定变小
B．斜面体受到的摩擦力一定变小
C．斜面体受到的摩擦力可能变大
D．斜面体可能沿墙面向上滑动
【答案】 B
【解析】 受力分析如图所示
甲图中，FN1＝Fcos θ，Ff1＝mg＋Fsin θ≤Ffm；乙图中，FN2＝Fcos θ，所以墙面受到的压力不变，A 项错误；若
Fsin θ＝mg，则Ff2＝0，若Fsin θ＞mg，则Ff2 方向向下，Ff2＝Fsin θ－mg，若Fsin θ＜mg，则Ff2 方向向上，
Ff2＝mg－Fsin θ，所以斜面体受到的摩擦力一定变小，B 项正确，C 项错误；因为墙面受到的压力没有变，所以
Ffm 不变，甲图中，Ff1＝mg＋Fsin θ≤Ffm，推不动斜面体，乙图中，Ff2＝Fsin θ－mg，肯定比Ffm 小，所以斜面
体肯定不沿墙面向上滑动，D 项错误．
如图所示，某钢制工件上开有一个楔形凹槽，凹槽的截面是一个直角三角
形ABC，∠CAB＝30°，∠ABC＝90°，在凹槽中放有一个光滑的金属球，当金属球静止时，金属球对凹槽的
AB 边的压力为F1，对BC 边的压力为F2，则的值为( )
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】金属球受到的重力产生两个作用效果，压AB 面和压BC 面，如图所示．
对AB 面的压力等于分力F1′，对BC 面的压力等于分力F2′，故＝tan 30°＝，B 正确．
【变式训练19】如图，环a、b 的质量分别为
、
，用不可伸长的细线连接，分别套在水平粗糙细
杆OM 和竖直光滑细杆ON 上，O 点离地面的高度
，细线长
，且已知细线能承受的张力最大值为
。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，细线与水平杆间夹角为θ，重力加速度为g 取
。
（1）初始时整个装置静止，当
时，a、b 环恰好不滑动，求a 环与水平粗糙杆OM 间动摩擦因数μ；
（2）在第一问条件下，若整个装置以竖直杆ON 为轴匀速转动，求当细线刚好断裂时装置转动的角速度ω；
（3）若细线断裂时环a 刚好位于横杆最右端M 点，求圆环a 落地时离ON 轴的水平距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）对两环受力分析，如图所示
对a 环由平衡条件可知
对b 环有
解得
对两小球整体分析
代入数据
（2）当细线断裂时细线与水平面夹角为
，
解得
其中
解得
（3）小球离开M 点后做平抛运动初速度为v，可得
竖直方向
水平位移
有几何关系
联立解得
题型03： 整体隔离法解决共点力静态平衡
【典型例题1】物体
在力
作用下将物体
压向光滑的竖直墙壁，
始终处于静止状态。如图所示，当
逐渐增大
时下列说法中正确的是
A．
受的摩擦力有两个
B．
受到的力有4 个
C．
与
间的摩擦力大小随
的增大而增大
D．
对地面的压力大小不随
的增大而变化
【答案】D
【解析】本题考查共点力平衡及摩擦力的性质，关键是正确的受力分析，而静摩擦力与正压力无关。
解：
、对
进行分析，在竖直方向上，故
只受到
对
的摩擦力；故
错误；
、
受重力、
对
的压力、墙壁的弹力、
对
的静摩擦力共四个力而处于平衡，竖直方向
对
的摩擦力等
于
的重力，方向竖直向上，
增大，摩擦力大小不变，始终等于
的重力，故
错误；
、对
组成的整体，竖直方向合力为零，故
对地面的压力等于
的重力，故
正确；
故选：
。
【典型例题2】“境自远尘均入咏，物含妙理总堪寻”。在网络视频中常看到有人把几个看似不可能堆起来的物体堆
到一起的视频，如图所示，不同几何形状物件
、
、
、
、
互相叠放在地面、平板
和
上，挂件
挂在光滑
的细绳
上，细绳一端系在竖直墙上
点，一端系在平板
右端点，整个装置处于平衡状态，用物理角度来分析，
以下说法正确的是
A．地面可能是光滑的
B．物件
受力个数可能为2 个
C．物件
受力个数为5 个
D．物件
受到木板的作用力竖直向上
【答案】CD
【解析】：
、以所有物体整体为研究对象，
细线的拉力在水平方向的分力向右，则地面对
有向左的摩擦力，
地面不可能光滑，故
错误；
、物件
受到重力、支持力和摩擦力3 个力，故
错误；
、物件
受到重力、平板
的支持力和摩擦力、平板
的压力和摩擦力，受力个数为5 个，故
正确；
、物件
处于平衡状态，受力平衡，所以物件
受到木板的作用力与
的重力是一对平衡力，所以物件
受到木板
的作用力竖直向上，故
正确。
故选：
。
【典型例题3】用一块磁铁将一张白纸压在竖直的磁性白板上并处于静止状态，如图所示。下列说法正确的是
A．磁铁受到3 个力的作用
B．白纸受到5 个力的作用
C．白板对白纸的摩擦力和白纸的重力是一对平衡力
D．磁铁对白纸的压力与白板对白纸的弹力大小相等，是作用力与反作用力
【答案】B
【解析】．解：
、对磁铁分析可知，磁铁受到重力、支持力、磁场力、拉力和摩擦力5 个力的作用，故
错误；
、对白纸受力分析可知，白纸受到重力、黑板的支持力、磁铁的压力，黑板的摩擦力和磁铁的摩擦力5 个力的作
用，故
正确；
、由
的分析可知，竖直方向上白纸受重力、黑板的摩擦力和磁铁的摩擦力在竖直方向上的分析作用，故白板对
白纸的摩擦力和白纸的重力不是一对平衡力，故
错误；
、磁铁对白纸的压力与白板对白纸的弹力大小相等，是一对平衡力，故
错误。
故选：
。
【典型例题4】我国的石桥世界闻名，如图，某桥由六块形状完全相同的石块组成，其中石块1、6 固定，2、5 质量
相同为
，3、4 质量相同为
，不计石块间的摩擦，则
为
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【解析】本题考查受力分析的应用，解题关键掌握整体与隔离的分析方法。
解：34 两个石块整体对应的圆心角为60 度，则2 对34 整体的作用力与5 对34 整体的作用力大小相等，两力夹角为
120 度，可知
。
同理2345 四块石块整体对应的圆心角为120 度，则1 对2345 整体的作用力与6 对2345 整体的作用力大小相等，两
力夹角为60 度，可知
。
对2 受力分析如图
水平方向
联立解得：
故
正确，
错误。
故选：
。
【典型例题5】如图所示，倾角为
的斜面体C 置于水平面上，B 置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与A 相连，
连接B 的一段细绳与斜面平行，A、B、C 都处于静止状态。则（ ）
A．B 受到C 的摩擦力一定不为零
B．C 受到水平面的摩擦力一定不为零
C．水平面对C 的支持力与B、C 的总重力大小相等
D．若将细绳剪断后，B 物体依然静止在斜面上，则水平面对C 的摩擦力一定不为零
【答案】B
【解析】A．当B 受到绳子的拉力与B 的重力在沿斜面向下的分力大小相等，即
时，B 在斜面上没有运动趋势，此时B、C 间没有摩擦力，A 错误；
B．把B、C 当成一个整体进行受力分析，可知绳子的拉力在水平方向上的分量不是零，整体有向右的运动趋势，所
以C 受到地面的摩擦力一定不会是零，B 正确；
C．把B、C 当成一个整体进行受力分析，在竖直方向上有
绳子的拉力在竖直方向上的分量
不是零，所以水平面对C 的支持力与B、C 的总重力大小不相等，C 错误；
D．若将细绳剪断，B 物体依然静止在斜面上，以B、C 为整体进行受力分析，受重力和地面的支持力作用，在水平
方向没有力作用，所以水平面对C 的摩擦力是零，D 错误。
故选B。
【变式训练1】斜面放置在水平地面上始终处于静止状态，物体在沿斜面向上的拉力作用下沿斜面向上以某一速度做
匀速直线运动，某时刻撤去拉力
，那么物体在撤去拉力后的瞬间与撤去拉力前相比较，以下说法正确的是
A．斜面对地面的静摩擦力一定不变
B．斜面对地面的静摩擦力一定减小了
C．斜面对地面的压力一定增大了
D．斜面对地面的压力一定减小了
【答案】aA
【解析】：物体在沿斜面向上的拉力作用下沿斜面向上运动时，斜面体受重力
、支持力
、压力
、滑块对
其的滑动摩擦力
以及地面对其的静摩擦力
，如图，斜面体平衡；
撤去拉力后，物体由于惯性继续沿斜面上升，斜面体受重力、支持力、压力、滑块对其的滑动摩擦力均不变，故斜
面体仍会保持静止，地面对其的静摩擦力也不会变，由牛顿第三定律，斜面对地面的静摩擦力也一定不变；地面对
斜面体的支持力不变，由牛顿第三定律，斜面对地面的压力也一定不变，故
正确，
错误：
故选：
。
【变式训练2】如图所示，将铅笔一端放在水平桌面上，另一端用细线悬吊，则铅笔受到力的个数为
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】B
【解析】：对铅笔受力分析，受重力、细线的斜向左上的拉力、地面竖直向上的支持力，由于细线的拉力有水平向
左的分力，故铅笔受向右的摩擦力，故铅笔一共受四个力作用，故
正确，
错误。
故选：
。
【变式训练3】2020 年11 月18 日，东北大部分地区发生罕见强雨雪风冻天气，一日之内温度骤降16℃，给生产生
活带来诸多不便。如图所示，共享单车上结冻的冰柱都呈现水平方向。若仅从受力角度分析，下列推理可能正确的是
（ ）
A．风力水平向左
B．风力水平向右
C．风力斜向左上
D．风力斜向右下
【答案】C
【解析】雨滴在重力和风力作用下，沿水平方向，由图可知，冰柱的左边更细，由平行四边形定则可知，风力斜向
左上。
故选C。
受重力，1 对3 的压力，1 对3 的摩擦力，2 对3 的压力，2 对3 的摩擦力，地面的支持力，故3 共受6 个力，故B
错误；
故选C。
【变式训练4】如图所示，两个相同的木模质量均为m，靠三根竖直细线连接，在水平面上按一个“互”字型静置，
上方木模呈现悬浮效果，这是利用了建筑学中的“张拉整体”（Tensegrity）结构原理。图中短线a 上的张力
和水
平面所受压力
满足（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对两个木模的整体受力分析，整体受2mg 的重力和水平面的支持力
，有
由牛顿第三定律可知，水平面所受压力
，
对上方木模分析可知，短线a 上的张力
向上，两长线的拉力
向下，有
故有
故选B。
【变式训练5】如图所示，木块
、
在竖直向上的外力
的作用下处于静止状态，其中木块
的上表面和水平天
花板接触，下面关于木块
、
受力分析正确的是
A．木块
一定受3 个力
B．木块
可能受4 个力
C．木块
一定受4 个力
D．木块
可能受3 个力
【答案】BC
【解析】：设
的重力为
，
的重力为
（1）对
系统整体受力分析，设天花板对
的弹力为
，如图所示：
则天花板对
无摩擦力，隔离
受力分析如图：受来自
的弹力为
，垂直于二者接触面，受来自
、
接触面
的静摩擦力为
，天花板对
的弹力为
，
由上面受力分析，若
，则
，则
受如下图所示三个力的作用，即
如
足够大，则
不为零，则
受四个力的作用；
（2）设
的重力为
，受来自
的弹力为
，垂直于二者接触面，受来自
、
接触面的静摩擦力为
，因
接触且外力
通过接触面作用到
使得
处于平衡状态，故来自
的弹力
一定存在，假设来自
、
接触
面的静摩擦力
不存在，则受力分析如图所示：
很明显此时
受3 力，其合力不可能为0，故不可能平衡，故来自
、
接触面的静摩擦力
一定存在，即受力分
析如图所示：
此时四力存在，
和
在水平方向上分力平衡。故木块
一定受4 个力。
故
可能受三个力，也可能受四个力的作用，
一定受四个力的作用，故
错误，
正确。
故选：
。
【变式训练6】如图所示，两个质量均为m 的小球通过两根轻弹簧A、B 连接，在水平外力F 作用下，系统处于静止
状态，弹簧实际长度相等．弹簧A、B 的劲度系数分别为kA、kB，且原长相等．弹簧A、B 与竖直方向的夹角分别为θ
与45°.设A、B 中的拉力分别为FA、FB.小球直径相比弹簧长度可以忽略．则( ）
A．tan θ＝ B．kA＝kB C．FA＝mg D．FB＝2mg
【答案】 A
【解析】 对下面的小球进行受力分析，如图甲所示：
根据平衡条件得：F＝mgtan 45°＝mg，FB＝＝mg；
对两个小球整体受力分析，如图乙所示：
根据平衡条件得：tan θ＝，又F＝mg，解得tan θ＝，FA＝＝mg，由题可知两弹簧的形变量相等，则有：x＝＝，
解得：＝＝，故A 正确，B、C、D 错误．
【变式训练7】质量为M 的半圆柱体P 放在粗糙的水平地面上，其右端固定一个竖直挡板AB，在P 上放两个大小相
同的光滑小球C 和D，质量均为m，整个装置的纵截面如图所示．开始时P、C 球心连线与水平面的夹角为θ，点
P、D 球心连线处于竖直方向，已知重力加速度为g.则下列说法正确的是 ( )
A．P 和挡板对C 的弹力分别为和
B．地面对P 的摩擦力大小为零
C．使挡板缓慢地向右平行移动，但C 仍在P 和挡板AB 作用下悬于半空中，则地面对P 的摩擦力将不断增大
D．使挡板绕B 点顺时针缓慢转动，P 始终保持静止，则D 一定缓慢下滑
【答案】C
【解析】对D 受力分析，受到重力mg 和P 的支持力FN；对C 受力分析，受到重力mg、挡板AB 的支持力FN1 和
P 对C 的支持力FN2，如图所示，根据平衡条件，得FN1＝，FN2＝，选项A 错误；以P、C、D 整体为研究对象，
进行受力分析，受到三者的重力、挡板AB 的支持力FN1，地面的支持力FN3，地面的静摩擦力f，根据共点力平衡
条件，有FN3＝(M＋2m)g，f＝FN1，选项B 错误；使挡板缓慢地向右平行移动，由于θ 不断减小，故f 不断增大，
选项C 正确；由于P、D 球心连线处于竖直方向，当使挡板绕B 点顺时针缓慢地转动时，小球D 可继续保持静止，
选项D 错误．
【变式训练7】如图,滑块A 置于水平地面上,滑块B 在一水平力作用下紧靠滑块A(A、B 接触面竖直),此时A 恰好不滑
动,B 刚好不下滑。已知A 与B 间的动摩擦因数为μ1,A 与地面间的动摩擦因数为μ2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则
A 与B 的质量之比为( )[来源:学科网ZXXK]
A. 1
μ1 μ2
B.1- μ1 μ2
μ1 μ2
C.1+ μ1 μ2
μ1 μ2
D.2+ μ1 μ2
μ1 μ2
【答案】B
【解析】解析设水平作用力为F,对物体A、B 整体进行分析,在水平方向上有F=μ2(mA+mB)g;隔离物体B 对B 分析,
在竖直方向上有μ1F=mBg,联立解得mA
mB
= 1- μ1 μ2
μ1 μ2
,选项B 正确。
【跟踪练3】（2022 秋•惠州月考）如图所示是户外露营中使用的一种便携式三脚架，它由三根完全相同的轻杆通过
铰链组合在一起，每根杆均可绕铰链自由转动。将三脚架静止放在水平地面上，吊锅通过细铁链挂在三脚架正中央。
三根杆与竖直方向的夹角均为
，吊锅和细铁链的总质量为
，支架与铰链之间的摩擦忽略不计，则
A．每根杆中的弹力大小为
B．每根杆对地面的摩擦力大小为
C．减小
时杆对地面压力增大
D．减小
时杆对地面摩擦力增大
【答案】B
【解析】以吊锅和细铁链整体为研究对象，分析受力，根据平衡条件求出杆对细铁链的支持力，从而得到杆受到的
压力。对杆，根据平衡条件求地面对杆的摩擦力，从而得到杆对地面的摩擦力。对整个装置分析，由平衡条件分析
地面对杆的支持力，来分析杆对地面的压力。
解：
．以吊锅和细铁链为研究对象，设每根杆中的弹力为
，在竖直方向上，根据平衡条件可得
解得
故
错误；
．每根杆对地面的摩擦力大小为
，解得：
故
正确；
．以整个装置为研究对象，设地面对每根杆的支持力为
，由平衡条件可知
可得
因此无论增加
还是减小
，
大小不变，因此根据牛顿第三定律可知，每根杆对地面压力不变，大小为
，
三根杆对地面的总压力也不变，大小为
，故
错误；
．由前面分析可知每根杆对地面摩擦力大小为
因此当
减小时，每根杆对地面摩擦力减小。另外由于三根杆对地面摩擦力大小相等，方向在水平面上互成
，
根据力的合成可知，三根杆对地面的合摩擦力为零，且不随
变化而变化，故
错误。
故选：
。
【变式训练8】如图所示，
、
、
、
四个人做杂技表演，
站在
的肩上，双手拉若
和
，
撑开双手
水平支持着
和
。若四个人的质量均为
，他们的臂长相等，重力加速度为
，不计
手掌与
、
身体间的
摩擦，下列结论正确的是
A．
受到地面的支持力为
B．
受到
的支持力为
C．
受到
的拉力约为
D．
受到
的推力约为
【答案】AC
【解析】
、对整体受力分析，由平衡条件可知，
受到地面的支持力为
，所以
正确；
、把
、
、
三人看成一个整体，在竖直方向，由平衡条件可知，
受到
的支持力为
，所以
错误；
、他们的臂长相等，由几何关系可知
、
双手边线与
手掌夹角为
，对
受力分析如图所示：
由平衡条件可得
受到
的拉力约为
，解得
；
受到
的推力为
，解得
；
所以
正确；
错误；
故选：
。
【变式训练9】如图所示，一梯子斜靠在光滑的竖直墙壁上，下端放在粗糙的水平地面上，某工人站立于梯子上，下
列说法正确的是（ ）
A．地面对梯子的摩擦力方向水平向右
B．人和梯子组成的系统受三个力作用
C．梯子对工人的作用力竖直向上
D．地面对梯子的作用力竖直向上
【答案】C
【解析】A．对人和梯子组成的系统受力分析，由平衡条件可得，梯子在水平方向受到竖直墙壁水平向右的支持力
和地面水平向左的摩擦力，故A 错误；
B．人和梯子组成的系统在竖直方向上受重力、地面的支持力，因为墙光滑，所以竖直墙对梯子没有摩擦力；在水
平方向上，受到竖直墙壁水平向右的支持力和地面水平向左的摩擦力，共四个力作用，故B 错误；
C．对人受力分析，人受到竖直向下的重力，根据平衡条件，梯子对工人的作用力竖直向上与重力平衡，故C 正确；
D．地面对直梯的作用力为支持力和摩擦力的合力，方向斜向左上方，故D 错误。
故选C。
【变式训练10】如图所示，光滑水平桌面上木块A、B 叠放在一起，木块B 受到一个大小为F 水平向右的力，A、B
一起向右运动且保持相对静止。已知A 的质量为m、B 的质量为2m，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．木块A 受到两个力的作用
B．木块B 受到四个力的作用
C．木块A 所受合力大小为
D．木块B 受到A 的作用力大小为
【答案】C
【解析】A．由于桌面光滑，则两木块一起向右做加速运动，则木块A 受到重力、支持力和摩擦力三个力的作用，
选项A 错误；
B．木块B 受到重力、地面的支持力、A 对B 的压力和摩擦力以及力F 共五个力的作用，选项B 错误；
C．整体的加速度
则木块A 所受合力大小为
选项C 正确；
D．木块B 受到A 的压力为mg，摩擦力为
则作用力大小为
选项D 错误。
故选C。
【变式训练11】如图所示，质量为M 的斜面体静止在水平地面上，质量为m 的滑块沿着斜面向下做加速运动，斜面
体始终处于静止状态。已知重力加速度为g，在滑块下滑的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．滑块与斜面体之间的动摩擦因数μ 大于tanθ
B．斜面体对滑块的支持力大小为
C．地面对斜面体的支持力大于（M＋m）g
D．地面对斜面体的摩擦力方向水平向左
【答案】B
【解析】A．滑块加速下滑说明
，滑块与斜面体之间的动摩擦因数μ 小于tanθ，选项A 错误；
B．斜面体对滑块的支持力大小为
，选项B 正确；
C．对整体进行受力分析可知，竖直方向有向下的加速度，因此地面对斜面体的支持力小于（M＋m）g，选项C 错
误；
D．对整体受力分析可知，地面对斜面的摩擦力水平向右，选项D 错误。
故选B。
【变式训练12】如图所示，质量为m 的物体A 放在质量为M、倾角为
的斜面B 上，斜面B 置于粗糙的水平地面上，
用平行于斜面的力F 拉物体A，使其沿斜面向下匀速运动，斜面B 始终静止不动，则下列说法中不正确的是（ ）
A．斜面B 相对地面有向左运动的趋势
B．地面对斜面B 的静摩擦力大小为
C．地面对斜面B 的支持力大小为
D．斜面B 与物体A 间的动摩擦因数为
【答案】D
【解析】D．对物体A 进行受力分析如图所示
根据平衡条件有
，
解得
D 错误；
ABC．对A、B 整体进行受力分析如图所示
根据平衡条件有
，
可知，斜面B 受到地面水平向右的静摩擦力，大小为
，B 相对地面有向左运动的趋势，地面对斜面B 的支持
力大小为
，ABC 正确。
故选D。
【变式训练13】堆积木是儿童非常喜欢的一项智力活动，为了迎合孩子们的兴趣，积木的颜色越来越鲜艳，形状越
来越多样，可摆出的造型也千奇百怪，充分锻炼了孩子们的想象力和动手能力。一个小朋友用三块相同的积木在竖直
面内堆砌起来如图所示图形，下面关于积木受力情况分析正确的是（ ）
A．积木1 受4 个力作用
B．积木3 受4 个力作用
C．积木3 与地面之间无摩擦
D．积木1 与积木2 之间有力的作用
【答案】C
【解析】D．假设撤去积木１，积木２能继续平衡，说明积木1 与积木2 之间只有接触，而无力的作用，故D 错误；
A．隔离积木1 受力分析，受重力，3 对1 的弹力，3 对1 的静摩擦力，故积木1 受3 个力作用，故A 错误；
C．对123 的整体分析可知，水平方向无外力，则积木3 与地面之间无摩擦，故C 正确；
B．对3 受力分析可知
【变式训练14】如图所示，带有
弧形槽的滑块A 放在水平面上，其中O 为弧的圆心，P 为弧的最低点，
垂直
于水平面，可视为质点的光滑小球B 用轻质线拴接并固定在天花板上，当整个装置静止时，细线与竖直方向的夹角为
，小球到
的距离为圆弧半径的
。已知小球B 的质量为m，滑块A 的质量为2m，重力加速度为g。
（1）整个装置静止时，轻质线对小球的拉力为多大；
（2）如果滑块与地面之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且滑块与地面之间的动摩擦因数为
，欲使整个装置保
持静止状态，分析
应满足的条件。
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）以小球为研究对象，受力分析如图甲所示。水平方向上有
竖直方向上有
解得轻质线的拉力大小
（2）如图乙，对槽进行受力分析。竖直方向上有
水平方向上有
且有
又因为
联立解得
【变式训练15】新春佳节，大街小巷总会挂起象征喜庆的中国红灯笼。如图所示，由4 根等长轻质细绳AB、BC、
CD、DE 悬挂起3 盏质量相等的灯笼，绳两端的结点A、E 等高，AB 绳与竖直方向的夹角为
，绳中张力大小为
；
BC 绳与竖直方向的夹角为
，绳中张力大小为
，则（ ）
A．
B．若将悬挂点A 往E 靠近少许，
的大小保持不变
C．若在C 处再增加一盏质量较大的灯笼，平衡时
可能等于
D．若在B、D 处各增加一盏质量较大的灯笼，平衡时
可能等于90°
【答案】A
【解析】A．由对称性可知AB 绳和DE 绳张力大小相等，大小为
。对三个灯笼的整体分析可知
同理，对中间的灯笼受力分析，可得
联立，可得
因为
所以
故A 正确；
B．若将悬挂点A 往E 靠近少许，则
减小，由
可知
的大小减小。故B 错误；
C．对结点B 受力分析，有
，
联立，解得
若在C 处再增加一盏质量较大的灯笼，平衡时
不可能等于
。故C 错误；
D．若在B、D 处各增加一盏质量较大的灯笼，假设平衡时
等于90°，则对结点C 受力分析，如图
可知其受力不平衡。所以假设不成立。故D 错误。
故选A。
【变式训练16】如图所示，竖直平面内的支架
由粗糙的水平细杆
和光滑的倾斜细杆
组成，用细线相连
的两个小球A、B 分别穿在两根细杆上。初始时，两小球均处于静止状态。现用外力
将小球
缓慢向
点推动一小
段距离到图中虚线位置处后，撤去外力
，小球A、B 仍能保持静止状态，则该状态与初始状态相比，下列说法正确
的是（ ）
A．细线中的拉力变大
B．小球
受到细杆的支持力不变
C．小球A 受到细杆的摩擦力变小
D．小球B 受到细杆的支持力变大
【答案】C
【解析】AD．对小球A、B 受力分析如图所示
当推动小球
缓慢向
点移动一小段距离到图中虚线位置处后，细线中的拉力
减小，
杆对小球
的支持力
减小，故AD 错误；
BC．对两小球整体受力分析可知，
减小，其水平向左的分力减小，故小球
受到的摩擦力减小；
减小，其竖
直向上的分力减小，两小球整体的重力不变，故小球
受到的细杆的支持力
变大，故B 错误，C 正确。
故选C。
【变式训练17】如图所示，质量为m 的正方体和质量为M 的正方体放在两竖直墙和水平面间，处于静止状态。m 和
M 的接触面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g，若不计一切摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．水平面对正方体M 的弹力大于(M＋m)g
B．水平面对正方体M 的弹力大小为(M＋m)gcosα
C．墙面对正方体m 的弹力大小为mgtanα
D．墙面对正方体M 的弹力大小为
【答案】D
【解析】AB．对M 和m 构成的整体进行受力分析，如图甲所示，整体受重力(M＋m)g、水平面的支持力N、两墙
面的支持力N 和N，由于两正方体受力平衡，根据共点力平衡条件，水平面对正方体M 的弹力大小为
N＝(M＋m)g
故AB 错误；
CD．对m 进行受力分析，受重力mg、两墙面的支持力N、M 的支持力N′，如图乙所示，根据共点力平衡条件有，
竖直方向
mg＝N′sinα
水平方向
N＝N′cosα
解得
N ＝
即墙面对正方体m 的弹力大小等于
；由整体法可知
N＝N
则墙面对正方体M 的弹力大小为
N＝
故C 错误，D 正确。
故选D。
【变式训练18】(多选)如图所示，滑块A 与小球B 用同一根不可伸长的轻绳相连，且滑块A 套在水平杆上。现用大小
为10 N、与水平方向成30°角的力F 拉B，使A、B 一起向右匀速运动，运动过程中保持相对静止。已知A、B 的质量
分别为2 kg、1 kg，取g＝10 m/s2，则( )
A．轻绳与水平方向的夹角θ＝60°
B．轻绳与水平方向的夹角θ＝30°
C．滑块A 与水平直杆之间的动摩擦因数为
D．滑块A 与水平直杆之间的动摩擦因数为
【答案】 BD
【解析】 对B 受力分析，B 受重力、拉力F 及绳子的拉力而处于平衡状态；将两拉力合成，因拉力为10 N，小球
的重力为10 N，则由几何关系可知，轻绳的拉力也为10 N，方向与水平方向成30°角，故B 正确，A 错误；对A、
B 整体受力分析可知，A 受到的支持力FN＝(mA＋mB)g－Fsin 30°＝25 N，摩擦力等于F 沿水平方向的分力Ff＝
Fcos 30°＝5 N，由Ff＝μFN′，FN′＝FN，解得μ＝＝，故D 正确，C 错误。
题型04：相似三角形法求解共点力静态平衡
【典型例题1】如图所示，质量均为m 的小球A、B 用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B 球用长为L 的细绳悬于O 点，
A 球固定在O 点正下方L 处，当小球B 平衡时，绳子所受的拉力为FT1，弹簧的弹力为F1；现把A、B 间的弹簧换成原
长相同但劲度系数为k2(k2>k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为FT2，
弹簧的弹力为F2.下列关于FT1与FT2、F1与F2大小之间的关系，正确的是( )
A. FT1>FT2 B. FT1＝FT2 C. F1<F2 D. F1＝F2
【答案】BC
【解析】以小球B 为研究对象，进行受力分析．由平衡条件可知，弹簧的弹力F 和绳子的拉力FT 的合力F 合与重力
mg 大小相等，方向相反，即F 合＝mg，如图所示：
由三角形相似得：
mg
AO = F
AB = FT
OB ，
又OA＝OB＝L，得FT=mg
F= x
L mg
故绳子的拉力FT 只与小球B 的重力有关，与弹簧的劲度系数无关，所以FT1=FT2，当弹簧的劲度系数变大时，弹簧
的压缩量减小，故长度x 增加，F2>F1，故BC 正确，AD 错误。
【典型例题2】如图所示,质量为m0、半径为R 的半球形物体A 放在水平地面上,通过最高点处的钉子用水平轻质细线
拉住一质量为m、半径为r 的光滑球B,A、B 均静止,则( )
A.B 对A 的压力大小为
❑√2 Rr +r
2
R
mg
B.细线对小球的拉力大小为R+r
R
mg
C.A 对地面的压力大小为(m0+m)g
D.地面对A 的摩擦力大小为
❑√2 Rr +r
2
R
mg
【答案】C
【解析】由于A、B 处于静止状态,故其所受合外力为零,对整体受力分析,如图甲所示,根据平衡条件可得,FN-
(m0+m)g=0,根据牛顿第三定律可知A 对地面的压力大小为(m0+m)g,选项C 正确,D 错误;隔离B 受力分析,如图乙所示,
根据平衡条件,由图中几何关系可得,mg
R = F N '
R+r =
F
❑√2 Rr +r
2,解得FN'= R+r
R
mg,细线对小球的拉力F=
❑√2 Rr +r
2
R
mg,依据牛顿第三定律知,B 对A 的压力大小为R+r
R
mg,选项A、B 错误。
甲
乙
【典型例题3】轻杆的两端固定有可视为质点的小球A 和B，不可伸长的轻质细绳两端与两小球连接，轻绳挂在光滑
水平固定的细杆O 上，平衡时的状态如图所示。已知A 的质量是B 的质量的2 倍，则OA 与OB 的长度之比为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由于是一个绳子挂在细杆O 上，所以绳子OA 段和OB 段的拉力大小相等，过O 做竖直线与AB 交与D，如
图所示
三角形OAD 与小球A 的矢量三角形相似，同理三角形OBD 与小球B 的矢量三角形相似，所以有
，
结合之前的分析，以及题意有
，
解得
故选B。
【变式训练1】如图所示，表面光滑为R 的半球固定在水平地面上，球心O 的正上方Oˊ 处有一个无摩擦定滑轮，
轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上，两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为l2=2.4 R ，
l1=2.5 R .则这两个小球的质量之比m1∶m2 为(不计小球大小)（ ）
A．24∶1
B．25∶1 C．24∶25
D．25∶24
【答案】C．
【解析】先以左侧小球为研究对象，分析受力情况：重力m1g
、绳子的拉力T 和半球的支持力N，作出受力图．由
平衡条件得知，拉力T 和支持力N 的合力与重力mg 大小相等、方向相反．设OO′=h，根据三角形相似得：
T 1
l1
=
m1g
h
得m1g=
T 1h
l1
…①
同理，以右侧小球为研究对象，得m2 g=
T 2h
l2
…②
由①：②得m1:m2=l2:l1=9:10
【变式训练2】如图所示，半径为R 的光滑圆环竖直固定，原长为
的轻质弹簧一端固定在圆环的最高点A，另一
端与套在环上的质量为m 的小球相连。小球静止在B 点时，弹簧与竖直方向夹角θ=30°，已知重力加速度大小为g，
则（ ）
A．小球对圆环的弹力方向背离圆心
B．圆环对小球的弹力大小为
C．弹簧的劲度系数为
D．若换用原长相同，劲度系数更大的轻质弹簧，小球将在B 点下方达到受力平衡
【答案】C
【解析】A．弹簧处于伸长状态，弹簧弹力F 的方向如图所示
小球处于平衡状态，合力为0，故圆环对小球的弹力
沿半径向外，由牛顿第三定律知小球对圆环的弹力方向指向
圆心，故A 错误；
B．由相似三角形法得
可得
故B 错误；
C．弹簧的长度为
弹簧的形变量为
由胡克定律
F=kx
可得
解得
故C 正确；
D．换用劲度系数更大的某轻质弹簧，若拉伸到同样的长度，小球将上移，则小球将在B 点上方达到受力平衡，故
D 错误。
故选C。
【变式训练3】如图所示，两个质量分别为
和
的带电小球A、B（可视为质点）通过一根绝缘轻绳跨放在光滑
的定滑轮上（滑轮大小不计），两球静止，O 为滑轮正下方AB 连线上的一个点。两球到O 点距离分别为
和
，
到滑轮的距离分别为
和
，且
，细绳与竖直方向的夹角分别为
和
，两球电荷量分别为
和
。则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A．由于两球的电场力是相互作用力，故无法比较两球电荷量的大小，A 错误；
B．绳子上的力处处相等，对绳子跨过定滑轮的节点受力分析可知
所以
B 错误；
CD．对两球受力可知，根据相似三角形
可得
故C 错误，D 正确。
故选D。
【变式训练4】如图所示，用一轻绳通过定滑轮将质量为m 的小球静置在光滑的半圆柱体上，小球的半径远小于半圆
柱体截面的半径R，绳AB 长度为L，长度为H 的杆BC 竖直且与半圆柱体边缘相切，OA 与水平面夹角为θ，不计一
切摩擦，重力加速度为g，下列表达式表示绳对小球的拉力F 是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意，对小球受力分析，受拉力、支持力和重力，把拉力和支持力平移，组成矢量三角形，延长AO
和
交于
点，如图所示
由几何关系和相似三角形有
解得
故选C。
题型05： 拉密定理（正弦定理）求解共点力静态平衡
【典型例题1】如图所示，a、b 两个小球穿在一根光滑的固定杆上，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接，已知b 球质
量为1 kg，杆与水平面的夹角为30°，不计所有摩擦，当两球静止时，Oa 段绳与杆的夹角也为30°，Ob 段绳沿竖直
方向，则a 球的质量为( )
A. kg
B. kg
C. kg
D．2 kg
【答案】 A
【解析】 分别对a、b 两球受力分析，如图所示
根据共点力平衡条件，得FT＝mbg，根据正弦定理列式，可得＝，解得ma＝ kg，故选A.
【变式训练1】半径为 R 内壁光滑的半球形碗固定放置在水平地面上，O 是球心，碗的边缘A、B 两点的连线是碗的
水平直径，一质量为m 的均匀硬杆放置在B、C 两点间处于静止状态，硬杆很细，B、C 两点也是硬杆的两端点，硬
杆的受力分析如图所示，已知C 点对硬杆的弹力与硬杆的夹角为θ，且A、B、C 三点处在竖直的半圆面上，重力加
速度为g，求：
（1）硬杆的长度；
（2）B 点对硬杆的弹力大小以及C 点对硬杆的弹力大小。
【答案】（1）2Rcosθ；（2）
【解析】（1）由弹力的定义，C 点对硬杆的弹力由C 点指向圆心O 点 ，由几何关系可得
，
则硬杆的长度
（2）硬杆处于三力平衡状态，三力平衡构成的矢量三角形如图所示
由弹力的定义可知
与硬杆垂直，重力 mg 与
的夹角为θ，
与
的夹角为
重力 mg 与
的夹角为
，由正弦定理可得
综合解得
，
【变式训练2】光滑定滑轮与物体乙相连．系统平衡时，O 点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α 和β.若α＝75°，β＝
60°，则甲乙两物体质量之比是( )
A．1∶1
B．1∶2
C.∶
D.∶
【答案】 D
【解析】 甲物体是拴牢在O 点，且O 点处于平衡状态，受力分析如图所示
根据几何关系有γ＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理有＝，故＝＝，故选D.
【变式训练3】如图所示，内壁光滑的等边三角形框架中放置一铁球，铁球跟三角形框架的三个面刚好接触，在一次
搬运过程中，工人将框架以A 为轴逆时针缓慢抬起，当AC 边转到向左偏离竖直方向的夹角为15°时
。AB 边与AC 受到的压力之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当AC 边以A 为轴逆时针转动到向左偏离竖直方向15°角时，对铁球进行受力分析可知，此时BC 边跟铁球
之间没有作用力，铁球受到重力G、AB 边作用力F 和AC 边作用力F 三个力作用，力的方向及力的矢量三角形如图
所示，根据正弦定理有
故选A。
