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2.5.3 动态平衡问题（第三课时）
【学习目标】
理解什么是临界问题和极值问题，并掌握平衡问题中的临界和极值问题处理方法
【学习重难点】
平衡中临界和极值问题求解方法的理解与应用（重难点）
考点一、平衡中的临界和极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”
或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等.临界问题常见的种
类:
(1)由静止到运动,摩擦力达到 .
(2)绳子恰好绷紧,拉力F= .
(3)刚好离开接触面,支持力FN= .
2.极值问题
平衡中的极值问题,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.
【典型例题】
例1、一不可伸长的细线套在两光滑且大小不计的定滑轮上，质量为m 的圆环穿过细线，
如图所示。现施加一作用力F 使圆环保持静止状态，且细线始终有张力作用，若AC 段竖
直，BC 段水平，AC 长度等于BC 长度，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．F 的大小不可能为mg
B．F 的最小值为
C．大小为2mg 的力F 对应有两个方向
D．F 的方向可能竖直向下
变式1、、将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示．
用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直
方向的夹角保持θ =30°，则F达到最小值时Oa绳上的拉力大小
为( )
A. √3mg
B. 1
2 mg
C.
√3
2 mg
D. mg
例2、如图所示,甲,乙两柱体的截面分别为半径均为R 的圆和半圆,甲的右侧顶着一块竖直的
挡板.若甲和乙的质量相等,柱体的曲面和挡板可视为光滑,开始两圆柱体柱心连线沿竖直方
向,将挡板缓慢地向右移动,直到圆柱体甲刚要落至地面为止,整个过程半圆柱乙始终保持静
止,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,那么半圆柱乙与水
平面间动摩擦因数的最小值为( )
A.
❑√3
2
B.1
2
C.
❑√3
4
D.
❑√2
2
变式2、小朋友在玩积木时，将两个相同的方形积木放在粗糙的水平地面上。将球形积木
放在两方形积木之间，截面图如图所示，接触点分别为A、B。他发现当两方形积木之间的
距离大到一定程度时，球形积木放上后两方形积木将发生滑动。已知球形积木的质量为方
形积木质量的2 倍，它们之间的摩擦忽略不计，球形积木的半径为R，两方形积木与地面
之间的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则球形积木放上后，要使两
方形积木不发生滑动，两方形积木之间的最远距离为（ ）
A.
❑√2 R
2
B.R
C.❑√2R
D.❑√3R
例3、如图所示，质量为M的木楔倾角为θ，放在粗糙的在水平地面上．当将一质量为m的
木块放在斜面上时正好沿斜面匀速下滑，如果用与斜面成α角的力F拉着木块沿斜面匀速上
滑．木楔始终保持静止，重力加速度为g，下列说法中正确的是
A. 当α =θ时，F有最小值
B. F的最小值为mgsin2θ
C. 在木块匀速上滑过程中，地面对M的支持力等于( M +m)g
D. 在木块匀速上滑过程中，M对地面的静摩擦力方向水平向左
变式3、如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m 的石墩，石墩与水平地面间的动摩
擦因数为
，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角
均为
，则下列说法正确的是（ ）
A．轻绳的合拉力大小为
B．轻绳的合拉力大小为
C．减小夹角
，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
【做题感悟】平衡中的临界和极值问题处理方法：
【巩固练习】
1、如图所示，将质量为m 的球放在
和
两个与纸面垂直的光滑板之间，两板与水平
面夹角
并保持静止。
板固定，
板与
板活动连接，
板可绕通过
点且垂直纸面的轴转动。在
角缓慢地由
增大到
的过
程中（ ）
A．球对
板压力的最大值为
B．球对
板压力的最大值为
C．球对
板压力的最大值为
D．球对
板压力的最大值为
2、碗内部为半球形，半径为R，碗口水平。生米与碗内侧的动摩擦因数为
，最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，静止于碗内的生米粒与碗口间的最小距离d 为（ ）
A．
B．
C．
D．
3、用细绳AC和BC悬挂100 N的重物，两绳与水平方向夹角分别为53°和37°，重物处于
静止状态。求：(已知sin37° =0.6，cos37° =0.8)
(1)绳AC和绳BC承受的拉力分别是多大？
(2)若AC能够承受的最大拉力为300 N，BC能够承受的最
大拉力为150 N，要使绳子不会被拉断求物体的最大重力。
