2.5.3 动态平衡问题（第三课时）
【学习目标】
理解什么是临界问题和极值问题，并掌握平衡问题中的临界和极值问题处理方法
【学习重难点】
平衡中临界和极值问题求解方法的理解与应用（重难点）
考点一、平衡中的临界和极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”
或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等.临界问题常见的种
类:
(1)由静止到运动,摩擦力达到最大静摩擦力.
(2)绳子恰好绷紧,拉力F=0.
(3)刚好离开接触面,支持力FN=0.
2.极值问题
平衡中的极值问题,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.
【典型例题】
例1、一不可伸长的细线套在两光滑且大小不计的定滑轮上，质量为m 的圆环穿过细线，
如图所示。现施加一作用力F 使圆环保持静止状态，且细线始终有张力作用，若AC 段竖
直，BC 段水平，AC 长度等于BC 长度，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．F 的大小不可能为mg
B．F 的最小值为
C．大小为2mg 的力F 对应有两个方向
D．F 的方向可能竖直向下
【参考答案】B
【详解】同一根细线上拉力大小相等，AC 细线、BC 细线的合力为T，方向与竖直方向成
45°角，如图所示
A．力F 在水平方向时，大小为mg，A 错误；
B．当F 与T 垂直时取最小值，可知F 的最小值为
，B 正确；
C．大小为2mg 的力F 只对应一个方向，C 错误；
D．F 的方向与竖直向下时，不能构成闭合矢量三角形，无解，D 错误；故选B。
变式1、、将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示．
用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直方向的夹角保持θ =30°，
则F达到最小值时Oa绳上的拉力大小为( )
A. √3mg
B. 1
2 mgC.
√3
2 mg
D. mg
【参考答案】A
以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力，作出F在三个方向时整体的受力图，根据
平衡条件得知：F与T的合力与重力mg总是大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当
F与绳子oa垂直时，F有最小值，即图中2位置，
根据平衡条件得，此时oa绳上的拉力：T =2mgcos30° =
√3mg，故A 正确，BCD 错误。
故选A。
例2、如图所示,甲,乙两柱体的截面分别为半径均为R 的圆和半圆,甲的右侧顶着一块竖直的
挡板.若甲和乙的质量相等,柱体的曲面和挡板可视为光滑,开始两圆柱体柱心连线沿竖直方
向,将挡板缓慢地向右移动,直到圆柱体甲刚要落至地面为止,整个过程半圆柱乙始终保持静
止,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,那么半圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值为( )
A.
❑√3
2
B.1
2
C.
❑√3
4
D.
❑√2
2
【参考答案】A [解析] 分析可知,摩擦力最大时刚好不滑动,此时对应的动摩擦因数最
小.整体分析有FN=2mg、Ff=F 板,设O1O2与水平面的夹角为θ,对甲,由平衡条件得F 板=
mg
tanθ
,联立解得Ff= mg
tanθ
,可知θ 越小,Ff越大,由几何关系得,θ 最小为30°.则Ff=
mg
tan30°
=μFN=μ·2mg,解得μ=
❑√3
2 ,故选A.
变式2、小朋友在玩积木时，将两个相同的方形积木放在粗糙的水平地面上。将球形积木
放在两方形积木之间，截面图如图所示，接触点分别为A、B。他发现当两方形积木之间的
距离大到一定程度时，球形积木放上后两方形积木将发生滑动。已知球形积木的质量为方
形积木质量的2 倍，它们之间的摩擦忽略不计，球形积木的半径为R，两方形积木与地面
之间的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则球形积木放上后，要使两
方形积木不发生滑动，两方形积木之间的最远距离为（ ）
A.
❑√2 R
2
B.R
C.❑√2R
D.❑√3R
【参考答案】C
以整体为研究对象进行分析，设一个方形积木的质量为m，地面对其的支持力为N，根据
平衡条件可得2N＝4mg，则N＝2mg，当两方形积木的距离最远时，设OA 和OB 之间
的夹角为2θ，此时方形积木与地面间的摩擦力达到最大，对球形积木受力分析，根据平衡
条件可得2Fcos θ＝2mg，对其中一个方形积木受力分析，根据平衡条件可得Fsin θ＝
μN，联立解得tan θ＝1，则θ＝45°，根据几何关系可得AB 之间的距离为x＝❑√2R，故
C 正确，A、B、D 错误。
例3、如图所示，质量为M的木楔倾角为θ，放在粗糙的在水平地面上．当将一质量为m的
木块放在斜面上时正好沿斜面匀速下滑，如果用与斜面成α角的力F拉着木块沿斜面匀速上
滑．木楔始终保持静止，重力加速度为g，下列说法中正确的是
A. 当α =θ时，F有最小值
B. F的最小值为mgsin2θ
C. 在木块匀速上滑过程中，地面对M的支持力等于( M +m)g
D. 在木块匀速上滑过程中，M对地面的静摩擦力方向水平向左
【参考答案】AB
【解析】AB、选木块为研究对象，当没加外力F时正好匀速下滑，设木块与斜面间的动摩
擦因数为μ，此时平行于斜面方向必有
mgsin θ = μmgcos θ。
当加上外力F时，对木块受力分析如图，
则有Ff = μ F N，平行于斜面方向有Ff +mgsin θ = Fcos α，垂直于斜面方向有F N + Fsin
α =mgcos θ，
联立解得F =
2mgsinθ
cosα + μsin α =
mgsin2θ
sin( π
2 −θ+α )，
故当α =θ时，F有最小值，最小值为Fmin=mgsin2θ，故AB 正确；
C、选M和m组成的整体为研究对象，地面对M的支持力N =(M +m)g−F sin (θ+α )，故
C 错误；
D、选M和m组成的整体为研究对象，设水平面对木楔M的摩擦力是F f '，水平方向受力平
衡，则有Ff ' = Fcos(θ+α )，可知摩擦力的方向水平向左，由牛顿第三定律，M对地面的
静摩擦力方向水平向右，D 错误。
故选AB。
变式3、如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m 的石墩，石墩与水平地面间的动摩
擦因数为
，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角
均为
，则下列说法正确的是（ ）
A．轻绳的合拉力大小为
B．轻绳的合拉力大小为
C．减小夹角
，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
【参考答案】B
【详解】AB．对石墩受力分析，由平衡条件可知
；
；
联立解得
故A 错误，B 正确；
C．拉力的大小为
其中
，可知当
时，
拉力有最小值，即减小夹角
，轻绳的合拉力不一定减小，故C 错误；
D．摩擦力大小为
可知增大夹角
，摩擦力一直减小，
当
趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，
故D 错误；
故选B。
【做题感悟】平衡中的临界和极值问题处理方法：
(1)极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析,找出平衡的临界点和极值点;临界条
件必须在变化中去寻找,不能停留在一个状态来研究临界问题,而要把某个物理量推向极端,
即极大和极小.
(2)数学分析法:通过对问题的分析,根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出
函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值).
(3)物理分析方法（图解法）:根据物体的平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,
利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值与最小值.
【巩固练习】
1、如图所示，将质量为m 的球放在
和
两个与纸面垂直的光滑板之间，两板与水平
面夹角
并保持静止。
板固定，
板与
板活动连接，
板可绕通过
点且垂直纸面的轴转动。在
角缓慢地由
增大到
的过程中（ ）
A．球对
板压力的最大值为
B．球对
板压力的最大值为
C．球对
板压力的最大值为
D．球对
板压力的最大值为
【参考答案】B
【详解】小球受到重力
，
板的支持力
，
板的支持力
三个力作用下保持
平衡状态，在
角缓慢地由
增大到
的过程中，小球的重力保持不变，
板对球的
支持力方向不变，只有
板对球的支持力方向在变化，如图所示分别是小球在
与水平
面夹角在
和
的受力情景图
根据三角形定则，可知随着
角缓慢地增大，
板的对球支持力也逐渐增大，当
时，
板对球的支持力最大，从受力图可知
板对球的支持力等于小球的重力，根据牛
顿第三定律可得球对
板压力的最大值为
，B 正确，ACD 错误；故选B。
2、碗内部为半球形，半径为R，碗口水平。生米与碗内侧的动摩擦因数为
，最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，静止于碗内的生米粒与碗口间的最小距离d 为（ ）
A．
B．
C．
D．
【参考答案】D
【详解】设米粒的质量为
，当米粒受到碗的摩擦力达到最大时，米粒距碗口的距离最小，
设支持力与与水平方向的夹角为
，做出米粒的受力分析如图所示
根据平衡条件有
，
，
联立解得
而根据几何关系有
，
联立解得
故选D。
用细绳AC和BC悬挂100 N的重物，两绳与水平方向夹角分别为53°和37°，重物处于静
止状态。求：(已知sin37° =0.6，cos37° =0.8)
(1)绳AC和绳BC承受的拉力分别是多大？
(2)若AC能够承受的最大拉力为300 N，BC能够承受的最大拉力为150 N，要使绳子不会
被拉断求物体的最大重力。
【参考答案】解：
(1)结点C受到三根绳子的拉力处于平衡状态，AC ⊥BC，竖直绳的拉力等于物体的重力
G
，如图所示，沿
AC
，
BC
分解，得：
FBC =Gsin37° =100×0.6 N =60 N F AC =Gcos37° =100×0.8 N =80 N(2)由前面的分
析可知，当AC上的张力为最大值300 N，
即F AC =300 N时，G1=
F AC
cos37
∘=375 N，
当BC上的张力为最大值150 N，
即F AC =300 N时，G2=
FBC
sin37
∘=250 N，
可见G1>G2，AC绳先达到能够承受的最大拉力，要使AC和BC两根绳子都被拉断，物体
的最大重力为250 N．
答：(1)绳AC和BC上的拉力分别为80 N和60 N；
(2)为了不使绳子被拉断，物体的最大重力为250 N．
