2.5.2 动态平衡问题（第二课时）
【学习目标】
1、多力动态平衡问题；
2、“晾衣绳类”活结问题；
【学习重难点】
多力动态平衡、“晾衣绳类”活结问题处理方法（重难点）
考点一、动态平衡（多力平衡）
例1、一个质量为1kg 的物体放在粗糙的水平地面上，现用最小的拉力拉它，使其做匀速运
动，已知这个最小拉力为6N，g 取10m/s2，滑动摩擦力等于最大静摩擦力。则物体与地面
间的动摩擦因数μ 及最小拉力与水平方向的夹角θ 的正切值tanθ 分别为（ ）
A．μ=
，tanθ=0
B．μ=
，tanθ=
C．μ=
，tanθ=
D．μ=
，tanθ=
【参考答案】B
【详解】物体在水平地面上做匀速运动，因拉力与水平方向的夹角θ 不同，物体与水平地
面间的弹力不同，因而滑动摩擦力也不同，但拉力在水平方向的分力与滑动摩擦力大小相
等。以物体为研究对象，受力分析如图所示
因为物体处于平衡状态，在水平方向上有Fcosθ=μFN在竖直方向上有Fsinθ+FN=mg
解得F=
其中tanφ=
当θ+φ=90°即θ=arctanμ 时sin(θ+φ)=1
F 有最小值Fmin=
代入数值得μ=
此时tanθ=
故选项B 正确。
变式1、如图所示，天花板下方通过支架固定一光滑轻滑轮，一足够长的细绳跨过滑轮，
一端悬挂小球b，另一端与套在水平细杆上的小球a 连接，小球a 与b 的质量分别为m 和
2m。在水平拉力F 作用下小球a 从图示虚线（最初是竖直的）位置开始缓慢向右移动至
（细绳中张力大小视为不变，b 球始终未触及细杆）。小球a 与细杆间的动摩擦因
数为
。则此过程中拉力F 的可能值为（ ）
A．mg
B．
C．
D．
【参考答案】ABC
【详解】对小球b 有
对小球a 有进行受力分析如图所示
由于小球a 从图示虚线（最初是竖直的）位置开始缓慢向右移动至
过程中
可知
则在竖直方向上有
则在水平方向有
解得
假设
，
解
得
则
可
求
得
小球a 从图示虚线位置开始缓慢向右移动过程中，
减
小，可知F 逐渐增大，解得
故选ABC。
【做题感悟】多力动态平衡问题处理方法—— 法
正交分解——数学分析法（解析法）
四力平衡化三力平衡（摩擦角）
考点二：“晾衣绳类”活结问题
例2、 (多选)如图所示,轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N 上的a、b 两
点, 悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的,挂于绳上处于静止状态.如果只人为改变一个条件, 当衣
架静止时,下列说法正确的是
( )
A.绳的右端上移到b',绳子拉力不变
B.将杆N 向右移一些,绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小,绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的衣服,则衣架悬挂点右移
【参考答案】AB [解析] 设两部分绳间的夹角为θ,绳子拉力为FT,由平衡条件得2Fcos
θ
2
=mg,绳的右端上下移动及改变绳子两端高度差都不会改变两部分绳间的夹角θ,故绳
子拉力FT不变,A 正确,C 错误;两绳间的夹角与衣服的质量大小无关,D 错误;将杆N 向右
移一些,则两部分绳间的夹角θ 变大,绳子拉力FT变大,B 正确.
变式1 B [解析] 使QP 保持水平,根据对称性可知,PB、PA 与水平方向的夹角相等,
设为θ,以滑轮P 为研究对象,根据受力平衡可得FTb=2FTacos θ,设小球质量为m,则有
FTb=mg,设a 绳长度为L,A、B 两端的竖直距离为h,根据几何关系可得sin θ= h
L,将轻绳
a 的B 端沿水平天花板缓慢向右移,同时调节滑轮Q 的高度,使QP 保持水平,可知θ 保持
不变,b 绳对滑轮P 的作用力保持不变,大小为FP=FTb=mg,根据FTa= FTb
2cosθ = mg
2cosθ ,可知
a 绳上拉力不变,故A、C 错误,B 正确;b 绳对滑轮Q 的作用力不变,大小为FQ=❑√2FTb=
❑√2mg,故D 错误.
变式2、如图所示,P 为质量不计的动滑轮,Q 为高度可调节的滑轮,绕过滑轮Q 的轻绳b 一端
连接在P 上,另一端吊着小球,绕过动滑轮的长度一定的轻绳a,一端固定在A 点,另一端在水
平天花板上,现将轻绳a 的B 端沿水平天花板缓慢向右移,同时调节滑轮Q 的高度,使QP 保持
水平,则在移动过程中( )
A.a 绳上拉力变大
B.a 绳上拉力不变
C.b 绳对滑轮P 的作用力变大
D.b 绳对滑轮Q 的作用力变小
【参考答案】B [解析] 使QP 保持水平,根据对称性可知,PB、PA 与水平方向的夹角相
等,设为θ,以滑轮P 为研究对象,根据受力平衡可得FTb=2FTacos θ,设小球质量为m,则有
FTb=mg,设a 绳长度为L,A、B 两端的竖直距离为h,根据几何关系可得sin θ= h
L,将轻绳
a 的B 端沿水平天花板缓慢向右移,同时调节滑轮Q 的高度,使QP 保持水平,可知θ 保持
不变,b 绳对滑轮P 的作用力保持不变,大小为FP=FTb=mg,根据FTa= FTb
2cosθ = mg
2cosθ ,可知
a 绳上拉力不变,故A、C 错误,B 正确;b 绳对滑轮Q 的作用力不变,大小为FQ=❑√2FTb=
❑√2mg,故D 错误.
【做题感悟】“晾衣绳类”活结问题：规律总结：
如图所示,“活结”两端绳子拉力大小相等,因结点所受水平分力相等,即Fsin θ1=Fsin θ2,故
θ1=θ2=θ,根据几何关系可知,sin θ=
d
L1+ L2
=d
L,若两杆间距离d 不变,则上下移动悬线结点,θ
不变,若两杆距离d 减小,则θ 减小,由2FTcos θ=mg,可知FT= mg
2cosθ
也减小.
口诀：“近小远大，纵不变”
近小远大：当悬挂点（衣架钩）向杆移动（即“近”），绳子的有效长度变短，
因此每段绳子的夹角变大，导致绳子的拉力变大。相反，当悬挂点远离杆（即
“远”），绳子的有效长度变长，每段绳子的夹角变小，绳子的拉力变小。
纵不变：无论是悬挂点上移或下移，绳子的总长度不变，因此绳子的拉力保持不
变。
常见模型：
【巩固练习】
1、质量为m=10 kg 的木箱置于水平地面上,它与地面间的动摩擦因数μ=
❑√3
3
,g 取10 m/s2,
其受到一个与水平方向成θ 角斜向上的拉力F,如图所示.为使木箱做匀速直线运动,拉力F 的
最小值以及此时θ 分别是( )
A.50 N 和30°
B.50 N 和60°
C.200
3
N 和30°
D.200
3
N 和60°
【参考答案】 A [解析] 解法一:对木箱受力分析,木箱受到重力mg、拉力F、地面的
支持力FN和滑动摩擦力Ff,木箱做匀速直线运动,根据平衡条件得Fcos θ=Ff,Fsin
θ+FN=mg,又Ff=μFN,联立解得F=
μmg
cosθ+ μsinθ
=
μmg
❑√1+ μ
2sin(θ+α )
,其中tan α=1
μ
=❑√3,即
α=60°,由数学知识可知,当θ+α=90°,即θ=30°时,F 有最小值,最小值为Fmin= μmg
❑√1+ μ
2
=
❑√3
3 ×10×10
❑√
1+(
❑√3
3 )
2 N=50 N,故A 正确.
解法二:四力平衡转化为三力平衡,再结合图解法分析.Ff与FN的合力F 合方向不变,当F
的方向与F 合的方向垂直时,F 最小,如图所示.设F 合与竖直方向的夹角为β,则tan β= F f
F N
=μ,解得β=30°,F 的最小值Fmin=mgsin β=1
2mg=50 N,此时θ=β=30°,故A 正确.
2、劳动人民的智慧是无穷的，他们在劳动中摸索、总结着自然的规律，积累着劳动的智
慧。人们在向一定高度处运送物料时，为了省力，搭建了一长斜面，其简化图如图所示。
将质量为m 的物料放在倾角为
的粗糙斜面上，用轻绳拉着物料匀速上滑，绳子与斜面之
间的夹角为
保持不变。则下列说法正确的是（ ）
A．物料对斜面的压力可能为零
B．物料所受绳子的拉力越大，所受斜面的摩擦力越小
C．斜面对物料的作用力方向与
角无关
D．若适当增大
，则物料所受绳子的拉力减小
【答案】C
【详解】A．由于物料匀速上滑，则物料受平衡力的作用，对物料受力分析，如图所示
若物料对斜面的压力为零，则摩擦力为零，在拉力F 和重力
作用下不可能平衡，不能
沿斜面匀速上滑。故物料对斜面的压力不可能为零。故A 错误；
B D．由共点力的平衡条件可知，沿斜面方向
垂直斜面方向
又
整理得
显然当
时，绳子的拉力最小，当拉力变大时，摩擦力可能变大也可能变小，故B、D 错误；
C．斜面对物料的作用力为支持力与摩擦力的合力，设其合力的方向与斜面的夹角为
，
则
显然
与
角无关，故C 正确。
故选C。
3、（多选）如图所示，一根不可伸长的轻绳两端连接两轻环A、B，两环分别套在相互垂
直的水平杆和竖直杆上，轻绳绕过光滑的轻小滑轮，重物悬挂于滑轮下，始终处于静止状
态，下列说法正确的是（ ）
A．只将环A 向下移动少许，绳上拉力变大，环B 所受摩擦力变小
B．只将环A 向下移动少许，绳上拉力不变，环B 所受摩擦力不变
C．只将环B 向右移动少许，绳上拉力不变，环A 所受杆的弹力不变
D．只将环B 向右移动少许，绳上拉力变大，环A 所受杆的弹力变大
【参考答案】BD
3.如图，轻绳一端系于竖直圆弧上的A 点，另一端系于竖直圆弧上的B 点，O 为圆弧
的圆心，质量为m 的重物通过一光滑钩子挂在轻绳上。现在将绳的一端缓慢的由B 点
移动到C 点，下列说法正确的是（ ）
A．绳子夹角一直变小
B．绳子的张力一直变大
C．绳子的张力先变大后变小
D．绳子的张力先变小后变大
【参考答案】C
