文档文本内容
第09 讲 动态平衡和临界、极值问题（专项训练）
目 录
巩固·知识解构...................................................................................................................................... 1
知识点1 动态平衡及求解方法..........................................................................................2
知识点2 平衡中的临界和极值问题.................................................................................2
模拟·基础演练...................................................................................................................................... 3
题型01 动态平衡...................................................................................................................3
题型02 平衡中的临界和极值...............................................................................................6
重难·创新演练....................................................................................................................................10
真题·实战演练.................................................................................................................................... 13
巩固·知识解构
知识点1 动态平衡及求解方法
1．动态平衡指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于
一系列的平衡状态，在问题描述中常用“缓慢”等字眼。
2．基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。
3．解析法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变
量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。其它方法：图解法、
解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。
知识点2 临界与极值问题
1 临界与极值问题的特征
(1)临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出
现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。
由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
①
绳子恰好绷紧，拉力
②
F＝0。
刚好离开接触面，支持力
③
FN＝0。
(2)极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。
2 解决临界与极值问题的三种的方法
极限
法
正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界
条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物
理量推向极大或极小
数学
通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函
分析
法
数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数
极值)
物理分析
法
根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四
边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值
模拟·基础演练
考查重点：动态平衡的分析和求解方法，难点是平衡和临界和极值问题。
⏳题型01 动态平衡
1．（2026·湖南湘潭·二模）如图所示，水平天花板下方固定一个光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C 处
固定一个正点电荷，不带电的小球a、带正电的小球b 分别与跨过定滑轮的绝缘轻绳两端相连。开始时系
统在图示位置静止，已知
。若b 球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），则在b 球到达定滑轮O
正下方前，下列说法正确的是（ ）
A．a 球的质量可能等于b 球的质量
B．b 球的轨迹是一段以
点为圆心的圆弧
C．此过程中点电荷对b 球的库仑力增大
D．此过程中滑轮受到轻绳的作用力减小
2.（2026·湖南永州·二模）某建筑工地用一可以移动的升降机来吊装重物，如图所示，轻绳穿过下方吊着
重物的光滑圆环，A、B 两点分别固定在建筑和升降机上，下列说法正确的是（ ）
A．升降机（相对地面静止）缓慢下降时，绳中的张力大小不变
B．升降机（高度不变）缓慢向左移动时，绳中的张力大小不变
C．升降机（高度不变）缓慢向左移动时，升降机对地面的压力大小不变
D．升降机（相对地面静止）缓慢上升时，地面对升降机的摩擦力变小
3.（2026·湖南长沙·二模）如图，竖直固定圆环内有a、b 两根等长轻杆，一端与固定在圆环上的光滑铰链
连接，另一端通过光滑铰链连接在圆心O 处，a 杆水平。轻杆c 的一端与O 处的光滑铰链连接，另一端与
质量为m 的小球连接；劲度系数为k1的弹性轻绳一端固定在O 点正上方的圆环上，另一端固定在可视为质
点的小球上，小球处于静止状态，且轻杆c 与轻杆b 垂直。现把弹性轻绳换成原长相等但劲度系数为
的另一弹性轻绳，小球静止后位于圆心O 右侧，轻杆a、b、c 和弹性轻绳始终与圆环处在同一竖
直平面内，轻杆c 长度小于轻杆a、b 长度，弹性轻绳始终在弹性限度内。下列说法正确的是（ ）
A．轻杆a 的弹力变小
B．轻杆b 的弹力变小
C．轻杆c 的弹力大小和方向都不变
D．弹性轻绳的弹力变小
4．（2025·福建省厦门第六中学·一模）如图，右侧面光滑的斜面体放在水平面上，质量相等的物块M、N
分别放在斜面体的左右两个面上，M、N 拴接在跨过光滑定滑轮的轻质细绳两端，整个系统处于静止状态。
现对N 施加一始终与右侧轻绳垂直的拉力F，使N 缓慢移动至右侧细绳水平，该过程斜面体和M 保持静止。
下列说法正确的是（ ）
A．拉力F 逐渐增大
B．轻绳的拉力逐渐增大
C．M 所受摩擦力先减小后增大
D．斜面对水平面的压力先减小后增大
5．（2026·吉林·一模）在家中为了方便使用卷纸，如图所示，用一个可转动“
”框将卷纸挂在墙上，使
△
用过程中卷纸始终与墙面接触，若不计墙面与卷纸间的摩擦，当卷纸逐渐减少时（ ）
A．框对卷纸的作用力变小
B．框对卷纸的作用力方向竖直向上
C．墙面对卷纸的弹力保持不变
D．墙面和框对卷纸的合力保持不变
6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图所示，水平放置的木板上放有匀质光滑球，球用细绳拴在木板右端。
现将木板以左端为轴，抬起右端缓慢转至竖直状态，在转动过程中绳与木板之间的夹角保持不变，则（
）
A．木板对球的支持力先增大后减小
B．木板对球的支持力先减小后增大
C．细绳对球的拉力先减小后增大
D．细绳对球的拉力先增大后减小
7.（2026·辽宁沈阳东北育才·一模）如图所示，一半圆柱形光滑管水平固定在地面上，其横截面为圆心为O
的半圆。可视为质点的小球A、B中间用轻杆连接后放置在管内，初始时两球保持静止，AO、BO与水平
方向的夹角分别为30°和60°。对小球A施加始终沿水平方向的作用力F，使B缓慢移动到与圆心等高处。
已知A球的质量为m，两球始终在同一竖直面内，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．初始时轻杆中的弹力大小为
❑√3
2 mg
B．移动过程，管壁对B支持力的最大值为❑√6mg
C．移动过程，轻杆对B的弹力先增大后减小
D．最终静止时力F的大小为❑√3mg
8.（2026·山西·二模）如图所示，一个光滑的半圆形导轨竖直固定，其左右端点
、
处各安装一个定滑轮。
一个轻质、不可伸长的闭合细绳圈跨过两个滑轮，绳圈的下方通过挂钩悬挂一质量为
的重物。现用笔尖
轻轻绕着绳圈上的某一点，使其沿导轨从
点缓慢运动到
点。忽略滑轮摩擦、绳圈与导轨间的摩擦，则
在此过程中绳圈上的拉力大小（ ）
A．一直增大
B．一直减小
C．先增大后减小
D．先减小后增大
9．（2026·云南昆明·模拟预测）如图所示，甲、乙两人站在水平地面上，光滑圆环套在不可伸长的轻绳上，
圆环下端吊一重物。两人缓慢放绳，在重物竖直向下移动一小段距离的过程中（ ）
A．地面对甲的支持力保持不变
B．地面对甲的支持力逐渐变大
C．地面对乙的摩擦力保持不变
D．地面对乙的摩擦力逐渐变大
10．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，两个完全相同的光滑圆球，用绕过固定光滑圆环的轻绳连接，
两球处于静止状态，两球的球心在同一水平线上，若轻绳长度变长，下列说法正确的是（ ）
A．轻绳对环的作用力不变
B．轻绳对环的作用力变小
C．两个球之间的弹力变大
D．轻绳对球的拉力变大
⏳题型02 平衡的临界和极值问题
11.（2026·湖北十堰·二模）如图所示，用水平推力F 作用在物块B 上，使物块A、B 一起沿光滑水平面向
右做匀加速运动，A、B 间的动摩擦因数为0.5，A 的质量为2m，B 的质量为m，重力加速度为g，最大静
摩擦力等于滑动摩擦力，A、B 保持相对静止，则推力F 的最小值等于（ ）
A．1.5mg
B．2mg
C．2.5mg
D．3mg
12.（2026·湖南·二模）如图所示，三根长都是l 的轻杆，上端用铰链连接，每根杆都可以绕O 自由转动，
下端支在水平地面上的A、B、C 三点，ABC 为等边三角形，且每根轻杆与水平面的夹角均为
。在O 点
连接一根轻绳，下端吊着一个重力为G 的物体，三角架处于稳定状态，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下
列说法正确的是（ ）
A．地面对每根杆的支持力大小均为
B．每根杆对铰链O 的作用力大小均为
C．杆和地面间的动摩擦因数至少为
D．若仅将等边三角形ABC 的边长变短，则地面对每根杆的支持力变小
13．（2026·四川广元·二模）如图所示，两根紧靠但无相互作用力的半圆柱体A、B 静止于粗糙程度处处
相同的水平地面上。现将另一根圆柱体C 轻放在这两根半圆柱体上，三者均静止。已知圆柱体A、B、C
的材料、长度、半径、密度均相同，不考虑它们之间的摩擦。若用水平向右的力拉半圆柱体A，使A 缓慢
移动，直至C 恰好降到地面，整个过程中B 均保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为
g，则半圆柱体与地面间动摩擦因数的最小值为（ ）
A．
❑√3
6
B．
❑√3
3
C．
❑√3
2
D．7 ❑√3
12
14．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）某“抬杆游戏”挑战的简化模型如图所示。两个质量分别为5m、
4m 的小球a、b 用一根轻直杆连接，小球b 静置于水平桌面上，挑战者用涂抹油的手指将小球a 由水平位
置缓慢抬至竖直位置，整个过程中小球b 未与桌面发生滑动。不考虑手指与球间的摩擦，手指对小球a 的
作用力F 始终垂直于杆，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则小球b 与桌面间的动摩擦因数至少为
（ ）
A．5
13
B．5
12
C．3
5
D．3
4
15.（2026 高三下·浙江温州·期末）单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的动摩擦因数有关。
用以下简化模型进行受力分析：假设用两手指对称抓球，手指与球心在同一竖直面，手指接触点连线水平
且相距为L，球半径为R，接触点与圆心的连线与水平夹角为θ，手指和球间的动摩擦因数为μ，球质量为
m。已知重力加速度为g，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，忽略抓球引起的球变形。下列说法正确的
是（ ）
A．每个手指对球的摩擦力大小为
B．两手指间距L 的取值范围为L>
2 R
❑√1+ μ
2
C．每个手指手对球的压力最小值为
mg
2(μcosθ+sinθ)
D．手对球的压力增大2 倍时，摩擦力也增大2 倍
重难·创新演练
结合生活实际(T1T2);结合实际新考法考查(T3T6);新角度考查研究方法(T4T5);
1.▶新情境◀（2026·山东潍坊·一模）如图甲所示，用两根手指对称地抓起一个截面为圆的杯
盖，将其简化成图乙所示，手指与杯盖截面始终处于竖直平面内，手指接触点1、2 与圆
心的连线与水平方向的夹角均为
，手指和杯盖间的动摩擦因数
，设最大静摩
擦力等于滑动摩擦力。已知杯盖质量为m，重力加速度为g，
，杯盖始终在
竖直平面内处于平衡状态，手指与杯盖恰好不相对滑动，则手指对触点1 的压力为（
）
A．
B．
C．
D．
。
2.▶新情境◀.铲车是常见的生产工具。某次生产过程中，铲车的铲斗中装载一个球形石块，此时的铲
斗简化为图(a)，铲斗的A板和B板内壁视为光滑，顶角∠AOB为锐角，∠AOB的角平分线竖直。铲车卸
载石块的过程，铲斗缓慢顺时针旋转，直至铲斗的B板水平，如图(b)所示。下列说法正确的是()
A.A板受到的压力一直减小，B板受到的压力先增大后减小
B.A板受到的压力一直减小，B板受到的压力一直增加
C.A板受到的压力先增大后减小，B板受到的压力一直减小
D.A板受到的压力先减小后增大，B板受到的压力一直增大
3.▶新考法◀5.如图甲所示，明代倪端画的《捕鱼图》是一种原始的捕鱼方式，其拉网的原理图如
图乙所示，罾(渔网)和连接罾的四根竹杆可看成是一个重物用不可伸长的轻绳悬挂在轻杆OA上的A点，轻
杆OA可绕O点在竖直平面内自由转动，人在B点拉动轻绳AB使轻杆OA绕O点转至竖直方向，从而使重物
上升。在轻杆OA由图乙所示位置缓慢转至竖直的过程中，下列说法正确的是()
A.人对轻绳AB的拉力变大
B.人对轻绳AB的拉力不变
C.轻杆OA上的弹力大小不变
D.轻杆OA上的弹力变小
4．▶新考法◀（2025·江西抚州·二模）如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为
和
的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B 间的接触面和轻绳均与木板平行。A 与B 间、
B 与木板间的动摩擦因数均为
，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面间的夹角为
时，物
块A、B 刚好要滑动，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．▶新角度◀（2025·福建厦门·三模）垂钓中蕴含着许多力学技巧，提竿飞鱼时稍有不慎可能
会断竿。如图甲所示，鱼竿中任意处的力可分解为沿竿身的切向张力
及垂直于竿身的
径向应力
，径向应力
越大鱼竿越容易断裂。提竿过程中某时刻鱼竿的形状如图乙
所示，鱼线呈竖直状态，若鱼竿每个部位所能承受的最大径向应力相同，忽略鱼竿自身
重力的影响，则鱼竿
四个位置中最易断裂的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．▶新角度◀2026·河北廊坊·一模）如图所示，运动员拖轮胎做负重训练时，用两根不计质量
的等长细绳拴在质量为
的轮胎直径两端，两根细绳之间的夹角为
，轮胎与水平地
面间的动摩擦因数为0.75。轮胎在地面上匀速运动时，已知
，重力加速度
取
，则每根细绳的最小拉力是（ ）
A．
B．
C．
D．
、
真题·实战演练
高频考点：三力的动态平衡问题。
1．（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面
内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对
其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F 的最大
值为（ ）
A.
B.
C. G
D.
2．（2025·浙江·高考真题）如图所示，两根相同的橡皮绳，一端连接质量为m 的物块，另一端固定在水平
桌面上的
、B 两点。物块处于AB 连线的中点C 时，橡皮绳为原长。现将物块沿AB 中垂线水平拉至桌面
上的O 点静止释放。已知CO 距离为L，物块与桌面间的动摩擦因数为
，橡皮绳始终处于弹性限度内，
不计空气阻力，则释放后（ ）
A．物块做简谐运动
B．物块只受到重力、橡皮绳弹力和摩擦力的作用
C．若
时每根橡皮绳的弹力为F，则物块所受合力大小为
D．若物块第一次到达C 点的速度为
，此过程中橡皮绳对物块做的功
3．（2025·重庆·高考真题）现代生产生活中常用无人机运送物品，如图所示，无人机携带质量为m 的匀质
钢管在无风的空中悬停，轻绳M 端和N 端系住钢管，轻绳中点O 通过缆绳与无人机连接。MO、NO 与竖
直方向的夹角均为60°，钢管水平。则MO 的弹力大小为（ ）（重力加速度为g）
A．2mg
B．mg
C．
D．
4．（2025·北京·高考真题）如图所示，长方体物块
叠放在斜面上，B 受到一个沿斜面方向的拉力
F，两物块保持静止。B 受力的个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
5．（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m 的石墩，石墩与水平地面间
的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则
下列说法正确的是（ ）
A．轻绳的合拉力大小为
B．轻绳的合拉力大小为
μmg
cosθ+ μsinθ
C．减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
