文档文本内容
专题10 圆周运动的临界极值问题（重难点训练）
目录
研判·考情前瞻...........................................................................................................................1
巩固·知识解构...........................................................................................................................2
知识点1 水平面内的圆盘临界极值问题...............................................................................2
知识点2 竖直面内圆周运动临界极值问题...........................................................................4
模拟·基础演练...........................................................................................................................5
题型01 水平面内的圆盘临界极值问题.................................................................................5
题型02 竖直面内圆周运动临界极值问题.............................................................................7
题型03 斜面内圆周运动临界极值问题...............................................................................10
重难·创新演练.........................................................................................................................10
真题·实战演练.........................................................................................................................13
研判·考情前瞻
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
水平面内的圆盘临界极
值问题
江西·T7
海南·T14、海南·T8
竖直面内圆周运动的临
界与极值问题
湖北·T9
安徽·T14(1)、
福建·T15(3)、
浙江1 月·T18(2)。
天津·T11(2)、
贵州·T15(1)、
安徽·T14(1)。
考情分析
题型与考向：
高考对圆周运动的临界问题的单独考查不是太常见，大多在综合性的计算题
中出现的比较频繁，并且会结合有关的功能关系。
情境与立意：
水平转盘上单个物体靠摩擦提供向心力临界问题；或者两个物体通过细绳
（弹簧）连接后放在水平粗糙转盘上的临界；竖直面内的轻绳、轻杆模型；
倾斜转盘上的临界问题。
复习目标
1．掌握水平面内圆盘模型的动力学分析及临界条件。
2．掌握竖直面内圆周运动的基本规律，并能够联系实际问题做出相应问题的
分析。
巩固·知识解构
知识点1 水平面内的圆盘临界极值问题
1．物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变
化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。
2．圆锥摆的临界和极值问题，常常与弹力有关
(1)绳子松弛的临界条件是：绳恰好拉直且没有弹力；绳子断开的临界条件是：绳上的拉力恰好达最大值。
(2)两物体接触或脱离的临界条件是：两物体间的弹力恰好为零。
(3)对于半圆形碗内的水平圆周运动，有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；②恰好发生相对滑动。
3．水平转盘上的圆周运动及其临界问题
水平转盘上圆周运动的临界问题，主要涉及与摩擦力和弹力有关的临界极值问题。
(1)如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，
则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。
(2)如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体在水平面上转动，其临界情况要根据题设
条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉
力等)。
①口诀：“谁远谁先飞”；
a
②或b 发生相对圆盘滑动的各自临界角速度：
f m=μ mg =mω2r ；
ω=√
μg
r
①口诀：“谁远谁先飞”；
②轻绳出现拉力，先达到B 的临界角速度：
ω1=√
μg
rB ；
AB
③
一起相对圆盘滑动时，临界条件：
隔离A：T=μmAg；隔离B：T+μmBg=mBω2
2rB
整体：μmAg+μmBg=mBω2
2rB
AB 相对圆盘滑动的临界条件：
ω2=√
μ(mA+mB)g
mBrB
=
√
μg
mBrB
(mA+mB)
①口诀：“谁远谁先飞”；
②轻绳出现拉力，先达到B 的临界角速度：
ω1=√
μg
rB
；
③同侧背离圆心，fAmax和fBmax指向圆心，一起相对圆盘滑动时，
临界条件：隔离A：μmAg-T=mAω2
2rA；隔离B：T+μmBg=mBω2
2rB
整体：μmAg+μmBg=mAω2
2rA+mBω2
2rB
AB 相对圆盘滑动的临界条
ω2=√
μ(mA+mB)g
mA r A+mBrB
=
√
μg
mA r A+mBrB
(mA+mB)
①口诀：“谁远谁先飞”（rB>rA）；
②轻绳出现拉力临界
条件：
ω1=√
μg
rB
；
此时B 与面达到最大静摩擦力，A 与面未达到最大静摩擦力。
此时隔离A：fA+T=mAω2rA；隔离B：T+μmBg=mBω2rB
消掉T：
fA=μmBg-(mBrB-mArA)ω2
③当mBrB=mArA时，fA=μmBg，AB 永不滑动，除非绳断；
④AB 一起相对圆盘滑动时，临界条件：
1）当mBrB>mArA时，fA↓=μmBg-(mBrB-mArA)ω2↑→fA=0→反向→fA达到最大
→从B 侧飞出；
2）当mBrB<mArA时，fA↑=μmBg+(mArA-mBrB)ω2↑→fA达到最大
→ω↑→T↑→fB↓→fB=0→反向→fB达到最大→从A 侧飞出；
AB 相对圆盘滑动的临界条
ω2=√
μ(mA+mB)g
mA r A+mBrB
=
√
μg
mA r A+mBrB
(mA+mB)
临界条件：
①μA>μB ，
ω=√
μB g
rB
；
②μA<μB ，
ω=√
μA g
rB
临界条件：
①
ωmin=√
mB g−μmA g
r
②
ωmax=√
mB g+μmA g
r
知识点2 竖直面内圆周运动临界极值问题
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与
绳连接、物体沿内轨道运动等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、物体在弯管内运动
等)，称为“杆(管)约束模型”。
2．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型
杆模型
常见
类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
受力
特征
除重力外，物体受到的弹力向下或
等于零
除重力外，物体受到的弹力向下、等于
零或向上
受力
示意图
过最高
点的临
界条件
由mg＝m 得v 临＝
由小球恰能做完整的圆周运动得v 临＝0
讨论
分析
(1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，
绳、圆轨道对球产生弹力FN；
(2)不能过最高点时，v<，在到达最
高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0 时，FN＝mg，FN为支持力，沿
半径背离圆心；
(2)当0<v<时，mg－FN＝m，FN背离圆
心，随v 的增大而减小；
(3)当v＝时，FN＝0；
(4)当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心，
并随v 的增大而增大
模拟·基础演练
考查重点：水平面内的圆盘极值问题、竖直面内的轻绳轻杆问题、斜面内的圆周运动
⏳题型01 水平面内的圆盘临界极值问题
1．（25-26 高三上·安徽宿州·期末）如图所示，半径为的圆筒绕竖直中心轴
匀速转动，质量为
的
小物块A 靠在圆筒的内壁上，质量为
的小物块B 位于圆筒底面距中心轴
处，两个小物块均能与圆筒保
持相对静止。两个小物块与圆筒筒面的动摩擦因数均为
（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·四川宜宾·一模）如图所示，半径为
的圆形餐桌桌面水平，中部有一半径为的圆盘，其圆心
与餐桌圆心重合可绕其中心轴转动。一个质量为
的小物块（可看作质点）放置在圆盘的边缘，圆盘转速
由零开始缓慢增加，小物块最终从餐桌上滑落。已知小物块与圆盘间的动摩擦因数为
，小物块与餐桌间
的动摩擦因数为
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为
，圆盘厚度及圆盘与餐桌间
的间隙不计。则（ ）
A．小物块在餐桌上做匀速直线运动
B．小物块在圆盘上的加速度一定大于
C．小物块在圆盘上随圆盘运动，角速度可能为
D．小物块在餐桌上滑动过程中摩擦生热为
3．（2025·河北·模拟预测）如图所示，一质量
的小球C 用轻绳AC 和BC 系在竖直杆AB 上，现
在小球绕AB 杆匀速转动，轻绳伸直，OC 垂直于AB，此时
，
。已知轻绳AC 长为
1.0m，足够结实，轻绳BC 能承受的最大拉力为1.44N，小球C 可视为质点，g 取
，
，
。那么小球做圆周运动的角速度（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选）如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2kg 的木块，它与转台间的最大静摩擦力Fmax＝
6.0N，绳的一端系挂木块，通过转台的中心孔O（孔光滑），另一端悬挂一个质量m＝1.0kg 的物体，当转
台以角速度
＝5rad/s 匀速转动时，木块相对转台静止，木块到O 点的距离可能值（ ）
A．0.40m
B．0.25m
C．0.20m
D．0.06m
5．（多选）如图所示，两个质量均为m 的小木块a 和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a 与转轴
的
距离为l，b 与转轴
的距离为
。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块重力的k 倍，重力加速度大小为
g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用
表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
A．a 可能比b 先开始滑动
B．a、b 所受的静摩擦力始终相等
C．
是b 开始滑动的临界角速度
D．当
时，a 所受摩擦力的大小为
6．如图所示，小木块a 和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，开始时轻绳处于伸直状态但无拉
力，a 的质量为3m，b 的质量为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为r 和2r，a、b 与盘间的动摩
擦因数相同（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘始
终保持相对静止，a、b 所受摩擦力大小分别为
随
变化的图像正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
⏳题型02 竖直面内圆周运动临界极值问题
7．▶新情境◀（多选）如图甲所示，一质量m＝4kg 的小球（可视为质点）以v0＝4m/s 的速度从A 点冲上
竖直光滑半圆轨道。当半圆轨道的半径R 发生改变时，小球对B 点的压力与半径R 的关系图像如图乙所示，
g 取10m/s2，下列说法不正确的是（ ）
A．x＝2.5
B．y＝40
C．若小球能通过轨道上的C 点，则其落地点距A 点的最大水平距离为0.80m
D．当小球恰能通过轨道上的C 点时，半圆轨道的半径R＝64cm
8．（多选）如图所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。
小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，已知小球质量为m，杆长为L，重力加速度为g，不计空气阻
力。下列说法正确的是（ ）
A．小球在最高点时，小球的速度大小为
B．小球在最低点时，小球的速度大小为
C．小球在最低点时，杆对小球的作用力大小为
D．当杆处于水平位置时，杆对小球的作用力大小为
9．如图所示，有一质量为m 的小球在竖直固定的光滑圆形管道内运动，管径略大于小球的直径，小球的
直径远小于内侧管壁半径R。A、C 为管道的最高点和最低点，B 为管道上与圆心等高的点，D 为管道上的
一点，且D 与圆心连线和水平方向夹角为45°，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．若小球在A 点的速度大小为
，则外侧管壁对小球有作用力
B．若小球在B 点的速度大小为
，则内侧管壁对小球有作用力
C．若小球在C 点的速度大小为
，则小球对管道的内外壁均无作用力
D．若小球在D 点的速度大小为
，则外侧管壁对小球有作用力
10．在竖直平面内光滑圆轨道的外侧，有一小球（可视为质点）以某一水平速度从最高点A 出发沿圆轨道
运动，至B 点时脱离轨道，最终落在水平面上的C 点，圆轨道半径为
，重力加速度为
，不计空气阻力。
下列说法中正确的是（ ）
A．小球从A 点出发的速度大小
B．小球经过B 点时的速度大小
C．小球经过B 点时速度变化率大小为
D．小球落在C 点时的速度方向竖直向下
11．（2025·安徽·模拟预测）如图所示，质量均为m 的小球1、2 分别固定在长为2L 的轻质硬杆的中点以
及一端点，硬杆可绕过另外顶端O 点的轴在竖直面内转动。若小球1 在最低点的速度大小为v，重力加速
度大小为g，不计阻力，则轴受到的作用力F1的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．《水流星》是中国传统民间杂技艺术，杂技演员用一根绳子兜着里面倒上水的两个碗，迅速地旋转着
绳子做各种精彩表演，即使碗底朝上，碗里的水也不会洒出来。假设水的质量为m，绳子长度为L，重力
加速度为g，不计空气阻力。绳子的长度远远大于碗口直径。杂技演员手拿绳子的中点，让碗在空中旋转。
(1)两碗在竖直平面内做圆周运动，若碗通过最高点时，水对碗的压力等于mg，求碗通过最高点时的线速
度；
(2)若两只碗在竖直平面内做圆周运动，两碗的线速度大小始终相等，如图甲所示，当正上方碗内的水恰好
不流出来时，求正下方碗内的水对碗的压力；
(3)若两只碗绕着同一点在水平面内做匀速圆周运动，碗的质量为M。如图乙所示，已知绳与竖直方向的夹
角为
，求碗和水转动的角速度大小。
⏳题型03 斜面内圆周运动临界极值问题
13．（2025·安徽合肥·三模）如图所示，与水平方向成θ=30°角的圆盘绕垂直于盘面且过圆心的轴做匀速圆
周运动，角速度
。盘面上距轴r=0.5m 处有一可视为质点的小物块恰能与圆盘保持相对静止。
小物块的质量m=1kg，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g 取10m/s2，下列说法错误的是
（ ）
A．物块与盘面间的动摩擦因数为
B．物块从最低点转到最高点的过程中，圆盘对物块的摩擦力一直减小
C．物块转至与圆盘圆心高度相同处时，圆盘对物块的摩擦力大小为2.5N
D．在保持物块相对圆盘静止的情形下，改变圆盘角速度，物块在最高点的摩擦力不可能为零
14．如图所示，在倾角为
且足够大的光滑斜面上，有一长为L 的细线，细线的一端固定在O 点，另
一端拴一质量为m 的小球。现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动。已知重力加速度为g，下列判定
正确的是（ ）
A．小球在斜面上做匀速圆周运动
B．在最高点A 点时速度为
C．小球在最高点时的加速度为g
D．小球从B 运动到A 过程中，线拉力一直在减小
重难·创新演练
设题创新:水平面内圆周运动与图像结合、竖直面内的拱形桥问题、斜面内的圆周运动
1．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M 和m（M>m），
它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的
倍，两物体用一根长为L（L<R）的轻绳连在一起，如图所
示。若将甲物体放在转轴的位置，甲、乙之间的轻绳刚好沿半径方向被拉直，让圆盘从角速度为0 开始转
到，角速度逐渐增大，两物体与圆盘不发生相对滑动，（两物体均可看作质点，重力加速度为g）则下列
说法正确的是（ ）
A．随着角速度的增大的过程中，物块m 受到的摩擦力先增加再逐渐减少
B．随着角速度的增大的过程中，物块M 始终受到摩擦力
C．则圆盘旋转的角速度最大不得超过
D．则圆盘旋转的角速度最大不得超过
2．（多选）汽车行驶中经常会经过一些凹凸不平的路面，其凹凸部分路面可以看作圆弧的一部分，如图
所示的A、B、C 处，其中B 处的曲率半径最大，A 处的曲率半径为
，C 处的曲率半径为
，重力加速
度为g。若有一辆可视为质点、质量为m 的小汽车与路面之间各处的动摩擦因数均为
，当该车以恒定的
速率v 沿这段凹凸路面行驶时，下列说法正确的是（ ）
A．汽车经过A 处时处于失重状态，经过C 处时处于超重状态
B．汽车经过B 处时最容易爆胎
C．为了保证行车不脱离路面，该车的行驶速度不得超过
D．汽车经过C 处时所受的摩擦力大小为
3．如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m 的球A 和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A 为L
处的O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作
用力。忽略空气阻力，重力加速度为g。则球B 在最高点时（ ）
A．球B 的速度为零
B．球A 的速度大小为
C．水平转轴对杆的作用力为mg
D．水平转轴对杆的作用力为2mg
4．（多选）如图甲所示，两个完全一样的小木块a 和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，a 与
转轴OO′的距离为l。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘保持相对静止。ω 表示圆盘转
动的角速度，a、b 与圆盘保持相对静止的过程中所受摩擦力与ω2满足如图乙所示关系，图中f2= 3f1，下
列判断正确的是（ ）
A．图线（1）对应物体b
B．绳长为2l
C．
D．ω = ω2时绳上张力大小为
5．（多选）一个“L”形支架固定在水平转台上，如图所示，支架两边与水平面的夹角分别为
和
，且
。转台绕过支架顶点
的竖直轴线以角速度
匀速转动，两个小物块
、
随支架转动且与支架相
对静止。已知
、
距离水平转台的高度相同，下列说法正确的是（ ）
A．物块
、
的向心加速度大小相等
B．物块
、
受到的摩擦力不可能同时为零
C．当物块
受到的摩擦力为零时，
受到的摩擦力一定沿支架右边平面向下
D．若物块
受到的摩擦力为零时，
受到的摩擦力一定沿支架左边平面向下
6．（2026·安徽·模拟预测）如图，半径为
的餐桌中心有一个半径为
的圆盘，沿半径方向
放置物体A 和B，
，
，它们分居在圆心两侧，A 恰在圆盘边缘，与圆心距离为
，
B 与圆心距离
，中间用细线相连，A、B 与盘间的动摩擦因数均为
，A 与桌面间动摩擦因
数为
，桌面上表面距地面高度
。现从静止开始缓慢增大圆盘的角速度，若最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，重力加速度
，圆盘厚度及圆盘与桌面的间隙都不计，物体A 和B 均可视为
质点。求：
(1)当圆盘转动的角速度为
时，物体A 和B 所受的摩擦力大小；
(2)当圆盘转动的角速度为
，绳子恰好断裂，求物体A 落到地面时距O 点的水平距离。
真题·实战演练
高频考点：水平面内圆周运动、竖直面内圆周运动特殊位置的动力方程的应用
1．（2024·江苏·高考真题）制作陶瓷时，在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑。假设陶屑与台面间的
动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。将陶屑视为质点，则（ ）
A．离转轴越近的陶屑质量越大
B．离转轴越远的陶屑质量越大
C．陶屑只能分布在台面的边缘处
D．陶屑只能分布在一定半径的圆内
2．（2026·湖北·高考真题）（多选）如图所示，半径为
、内壁光滑的圆环轨道固定在竖直平面内。初始
时刻，质量为
的小球甲从圆环内表面最高处以大小为
（
为重力加速度大小）的水平初速度
向右运动，同时质量为
的小球乙从圆环内表面最低处以某一水平初速度向左运动。当甲第一次运动到
圆环最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．乙的初速度大小为
B．甲、乙两小球运动的周期相等
C．任意时刻两小球的连线均过圆环圆心
D．任意时刻两小球对圆环作用力的合力均不为零
3．（2024·海南·高考真题）水平圆盘上紧贴边缘放置一密度均匀的小圆柱体，如图（a）所示，图（b）为
俯视图，测得圆盘直径D = 42.02cm，圆柱体质量m = 30.0g，圆盘绕过盘心O 的竖直轴匀速转动，转动
时小圆柱体相对圆盘静止。
为了研究小圆柱体做匀速圆周运动时所需要的向心力情况，某同学设计了如下实验步骤：
(1)用秒表测圆盘转动10 周所用的时间t = 62.8s，则圆盘转动的角速度ω = _____rad/s（π 取3.14）;
(2)用游标卡尺测量小圆柱体不同位置的直径，某次测量的示数如图（c）所示，该读数d = _____mm，多
次测量后，得到平均值恰好与d 相等。
(3)写出小圆柱体所需向心力表达式F = __________（用D、m、ω、d 表示），其大小为_____N（保留2
位有效数字）
4．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N 为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距
。一根
长为
的轻绳一端系在M 上，另一端竖直悬挂质量
的小球，小球与水平地面接触但无压力。
时，小球以水平向右的初速度
开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、
M，运动到M 正下方与M 相距L 的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳
子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g 取
。
(1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小；
(2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离；
(3)若在
时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N 的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。
5．（2025·福建·高考真题）如图甲，竖直平面内，一长度大于4 m 的水平轨道OP 与光滑半圆形轨道PNM
在P 点平滑连接，固定在水平地面上。可视为质点的A、B 两小物块靠在一起，静置于轨道左端。现用一
水平向右推力F 作用在A 上，使A、B 向右运动。以x 表示A 离开初始位置的位移，F 随x 变化的图像如
图乙所示。已知A、B 质量均为0.2 kg，A 与水平轨道间的动摩擦因数为0.25，B 与水平轨道间的摩擦不计，
重力加速度大小取
。
（1）求A 离开初始位置向右运动1 m 的过程中，推力F 做的功；
（2）求A 的位移为1 m 时，A、B 间的作用力大小；
（3）若B 能到达M 点，求半圆形轨道半径应满足的条件。
