文档文本内容
专题09 平抛运动的综合问题（重难点训练）
目录
研判·考情前瞻...........................................................................................................................1
巩固·知识解构...........................................................................................................................2
知识点1 落点有约束的平抛运动...........................................................................................2
知识点2 平抛运动的临界、极值问题...................................................................................4
模拟·基础演练...........................................................................................................................5
题型01 与斜面结合的平抛运动....................................................................................5
题型02 与圆弧面结合的平抛运动.................................................................................7
题型03 平抛运动的临界、极值问题.............................................................................8
题型04 三维空间的平抛运动......................................................................................10
重难·创新演练.........................................................................................................................11
真题·实战演练.........................................................................................................................13
研判·考情前瞻
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
约束的平抛运动
受
平抛运动的临界、极值问
题
广东·T5、
山东·T10、
浙江(1 月)·T8、
三维空间的平抛运动
考情分析
题型与考向：
受约束的平抛运动、平抛运动的临界极值问题、三维空间的平抛运动等都是
高考中的难点，特别需要注意的是，平抛运动的考题正在变得越来越复杂，
要重视三维空间中的抛体运动，要重视将抛体运动进行分解，而不是只机械
地沿水平方向和竖直方向分解。在备考中应设置此类专题，破除学生思维定
式，提升学生思维能力。
情境与立意：
平抛运动与斜面、圆弧面结合的实际问题，网球运动的临界极值的问题
复习目标
1．学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。
2．理解平抛运动的临界条件，学会处理相关的实际问题。
3．理解平抛运动的空间性，掌握解决三维空间内的平抛运动的方法，
巩固·知识解构
知识点1 落点有约束的平抛运动
一、平抛运动与斜面相结合的规律
1．与斜面相关的几种的平抛运动
图示
方法
基本规律
运动时间
分解速度，构建
速度的矢量三角
形
水平vx＝v0
竖直vy＝gt
合速度v＝
由tan θ＝＝得
t＝
分解位移，构建
位移的矢量三角
形
水平x＝v0t
竖直y＝gt2
合位移x 合＝
由tan θ＝＝得
t＝
在运动起点同时
分解v0、g
由0＝v1－a1t，0－v1
2＝－2a1d 得
t＝，d＝
分解平行于斜面
的速度v
由vy＝gt 得t＝
2．与斜面相关平抛运动的处理方法
(1)分解速度
平抛运动可以分解为水平方向的_____________和竖直方向的_____________，设平抛运动的初速度为v0，
在空中运动时间为t，则平抛运动在水平方向的速度为vx=v0，在竖直方向的速度为vy=gt，合速度为v=
❑√vx
2+vy
2,合速度与水平方向的夹角满足___________。
(2)分解位移
平抛运动在水平方向的位移为x=v0t，在竖直方向的位移为y=1
2 gt2，对抛出点的位移(合位移)为s=❑√x
2+y
2
，合位移与水平方向夹角满足tan φ=y
x 。
(3)分解加速度
平抛运动也不是一定要分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，在有些问题中，过抛
出点建立适当的直角坐标系，把重力加速度g 正交分解为gx、gy,把初速度v0正交分解为vx、vy，然后分别
在x、y 方向列方程求解，可以简化解题过程，化难为易。
二、平抛运动与圆面相结合的规律
三种常见情景：
1．如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间t：h＝
gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。
2．如图乙所示，小球恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB 垂直于速度方向，圆心角α 与速度
的偏向角相等。
3．如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q 点沿切线飞过，此时半径OQ 垂直于速度方向，圆心角θ 与速度的偏
向角相等。
三、平抛运动与竖直面相结合的规律
1．从同一点斜抛物体，能垂直打在同一竖直面的不同高度处，可用逆向思维法思考，认为物体在不同高
度平抛均落在同一点。
2．无论是从同一点平抛，落在同一竖直面上的不同高度处，还是从同一点斜抛，垂直落在同一竖直面的
不同高度处，因高度不同，则运动时间不同，又物体水平位移相同，故平抛的初速度不同。
知识点2 平抛运动的临界、极值问题
1．平抛运动中临界问题的两种常见情形
(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；
(2)物体的速度方向恰好达到某一方向。
2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好
与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。
3．典型规律
擦网
压线
既擦网又压线
由
H−h=1
2 gt 2=1
2 g(
x1
v1)
2
得：
v1=x1√
g
2(H−h)
由
H=1
2 gt 2=1
2 g(
x1+x2
v2 )
2
得：
v2=(x1+x2)√
g
2 H
由
H−h=1
2 gt 2=1
2 g(
x1
v0)
2
和
H=1
2 gt 2=1
2 g(
x1+x2
v0 )
2
得：
H−h
H
=
x1
2
(x1+x2)
2
✨
分
得
速记
：
1．分解思想在平抛运动中的应用
(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是
不用分解初速度也不用分解加速度。
(2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向间的
关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量。
2．有约束条件的平抛运动问题求解的关键
(1)运动的分解
以分解速度为突破口
①
对于一个做平抛运动的物体来说，若已知某时刻的速度方向，可以从分解速度的角度来研究：tanα
＝＝(α 为t 时刻速度与水平方向间的夹角)，从而得出初速度v0、时间t、夹角α 之间的关系，进而求解
具体问题。
以分解位移为突破口
②
对于一个做平抛运动的物体来讲，若已知某时刻的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方
向，然后利用tanθ＝(θ 为t 时刻位移与水平方向间的夹角)，确定初速度v0、运动时间t 和夹角θ 之间的
关系，进而求解具体问题。
(2)灵活运用平抛运动的两个推论，特别是tanα＝2tanθ，可简化求解过程。
✨
分
得
速记
平抛运动临界、极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质；
(2)根据题意确定临界状态；
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图；
(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。
模拟·基础演练
考查重点：受到约束的平抛运动；平抛运动的临界、极值问题；三维空间的平抛运动
⏳题型01 与斜面结合的平抛运动
1．（2026·安徽亳州·模拟预测）2026 年2 月6 日，意大利冬奥会在米兰圣西罗球场盛大开幕。跳台滑雪是
冬奥会的重要竞技项目。如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O 点水平飞出。该运动员
两次试滑分别在斜坡上的M、N 两点着陆。已知
，斜坡与水平面的夹角为
，不计空气阻力，运
动员（含装备）可视为质点，则该运动员两次试滑（ ）
A．着陆在M、N 点时动量的方向不同
B．着陆在M、N 点时动能之比为
C．着陆在M、N 点两过程时间之比为
D．着陆在M、N 点对应在O 点的初速度之比为
2．（2026·安徽安庆·二模）滑板运动是很多年轻人热爱的一项运动。如图所示为某一滑板的滑道，左侧是
一个水平平台，在平台右侧有一倾角为53°的滑道AB。一滑板运动员（可视为质点）从平台边缘O 点以某
一水平速度冲出，恰好无碰撞地从A 点进入倾斜滑道。已知OA 的水平距离为
，g 取
，
，
，不计空气阻力，则运动员冲出O 点时的速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·安徽·模拟预测）（多选）如图，一架水平匀速飞行的飞机在斜坡上进行救援演练，某时刻释放
第一批物资，第一批物资落在
点；经过时间
释放第二批物资，物资刚好落在
点；再经过时间
释放
第三批物资，第三批物资刚好落在
点。
、
、
三点共线且
，物资刚离开飞机时速度与飞机
相同，不计空气阻力，则（ ）
A．物资在空中的速度变化方向相同
B．物资落到山坡上的时间间隔相等
C．物资从飞机释放的时间间隔
D．物资从飞机释放的时间间隔
4．▶新角度◀（2026·安徽华师联盟·模拟预测）如图所示，斜坡ABC 的坡面AB 倾角为53°，坡面BC 倾角
为37°，在坡底
将小球以一定的初速度斜向上抛出，小球恰好沿水平方向贴着坡顶
飞过，并落在坡面
BC 上，小球从
运动到
的时间为
，从
点运动到坡面BC 上所用时间为
。不计小球的大小及空气阻
力，已知
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
⏳题型02 与圆弧面结合的平抛运动
5．（2026·安徽淮南·模拟预测）（多选）如图，
为竖直平面内圆轨道的直径，
为圆心。弹射器（图
中未画）可沿水平线
移动，第一次将小球在
点以某速度水平弹出，前移一段距离后，将相同的小球
在
点以另一速度水平弹出，两次小球均落在圆轨道同一点
，其中有一次落在
点的速度方向沿
方
向，
与竖直方向的夹角为30°。不计空气阻力，小球可视为质点，则下列说法正确的是（ ）
A．前后两次下落过程中小球的速度变化量相等
B．从
点弹出的小球在
点的速度沿
方向
C．A、C 两点之间的距离为圆轨道半径的一半
D．小球两次落在
点的速度大小之比为
6．如图所示，半圆轨道固定在水平面上，一小球（小球可视为质点）从半圆轨道上B 点沿切线斜向左上
方抛出，到达半圆轨道左端A 点正上方某处小球的速度刚好水平，O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为
R，OB 与水平方向的夹角为
，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球在A 点正上方的水平速度为（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，竖直平面内有一段圆弧MN，小球从圆心O 处水平抛出。若初速度为va，将落在圆弧上的a 点；
若初速度为vb，将落在圆弧上的b 点。已知Oa、Ob 与竖直方向的夹角分别为α、β，不计空气阻力，则（
）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
8．▶新考法◀（25-26 高三上·安徽合肥·阶段检测）如图所示，a、b 两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶
端以大小相等的初速度
同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等且在同一竖直面内，斜
面底边长是其竖直高度的2 倍，若小球b 能落到斜面上，下列说法正确的是（ ）
A．a 球可能先落在半圆轨道上
B．a 球一定先落在半圆轨道上
C．a、b 不可能同时分别落在半圆轨道和斜面上
D．b 球一定先落在斜面上
⏳题型03 平抛运动的临界、极值问题
9．（2026 高三下·安徽芜湖·专题练习）如图所示，某同学向一圆柱形杯中水平抛出一小物块（可视为质
点），小物块恰好经过杯口中心无阻挡地落到杯底边沿P 点。已知杯内高h，杯底直径为D，重力加速度
为g，抛出点O 与竖直杯壁（厚度不计）在同一竖直线上。忽略空气阻力，则小物块水平抛出时的速度大
小为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图所示，一网球运动员用球拍先后将两只球从O 点水平击出，第一只球落在本方场地A 处弹起来刚
好擦网而过，落在对方场地B 处。第二只球直接擦网而过，也落在B 处。球与地面的碰撞是弹性碰撞，且
空气阻力不计。若O 点离地面的高度为h，则网的高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（25-26 高三·云南玉溪·模拟预测）（多选）乒乓球发球机是一个很好的辅助练习者练球的工具。甲图
是乒乓球发球机的实物图，乙图是简化示意图。设乒乓球桌面ABCD 的AB 边长为L1，BC 边长为L2，球网
JK 位于桌面的正中间，网高为h；发球机简化为EF，其中E 点固定在AB 边的中点，F 点为乒乓球发射点，
EF 始终保持竖直，高度为H（可调）。乒乓球看成质点，每次均从F 点水平发射，发射方向可以在水平面
内任意调整，不计空气阻力和周围环境对乒乓球运动的影响，若球擦网而过时不计球和网之间的相互作用，
不考虑乒乓球的旋转，重力加速度为g，则下列说法不正确的是（ ）
A．要让乒乓球能越过球网，最小发射速率一定为
B．若乒乓球的发射速率超过
，则乒乓球一定会落在边界CD 之外
C．只要H 大于h，就一定能设置合适的发球速率，使球落在JKCD 区域
D．调整H 和h 的高度，若球以垂直于AB 边的方向发射能够擦网而过后直接落到CD 边上，则适当调
整发射方向后，只要是落在CD 边界上的球一定是擦网而过的
12．▶新考法◀（2025 高三上·安徽六安·专题练习）如图所示，半径
的半球紧贴着竖直墙固定在
水平地面上。体积可忽略的小球在竖直墙最高点最右侧以
水平向右抛出。已知墙高
，g 取
忽略空气阻力，小球落地后不反弹。试求：
（1）若小球刚好击中半球的最高点，则小球水平抛出的初速度
大小。
（2）若小球不与半球相碰，则小球水平抛出的初速度
大小的取值范围。
⏳题型04 三维空间的平抛运动
13．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图所示，水平地面上方有一竖直固定铺有复写纸的足够大硬纸板M，P
为其左侧正前方的一点，小球从P 点以大小相等的水平速度向右侧各个方向抛出不计阻力，打到M 上
的小球留下的印迹连线可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．▶新考法◀（2026·四川成都·三模）正四面体
的棱长为
，其底面
处于水平地面上，
为
中点，从顶点A 沿不同方向水平抛出相同质量的小球，不计空气阻力。对于小球的运动，下列说法
正确的是（ ）
A．落在
点的小球比落在
点的小球的运动时间长
B．落在棱
上的小球末速度方向都相同
C．落在
、
、
三点的小球抛出时的初速度相同
D．落在
点的小球与落在
点的小球抛出时初速度大小之比为4 1∶
15．（多选）如图所示，某同学将离地1.25 m 的网球以13 m/s 的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距
离4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m 的P 点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙
面速度分量大小变为碰前的0.75 倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g 取10 m/s2，网球碰墙后的速
度大小v 和着地点到墙壁的距离d 分别为（ ）
A．v＝5 m/s
B．v＝3 m/s
C．d＝3.6 m
D．d＝3.9 m
重难·创新演练
设题创新:平抛运动的临界条件;受斜面、圆弧面约束的平抛运动;
1．（2026·四川泸州·一模）如图所示，运动员正前方有一固定的竖直障碍板，板上开有一下端距地面高为
，高为
的矩形孔。运动员将飞镖从高为
处垂直向障碍板方向以速度
水平射出，重力加速度为
，
且
。运动员可前后调整位置，使命中地面位置与障碍板的水平距离最大，则最大距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·安徽池州·二模）如图所示，倾角为37°的斜面体
固定放置在水平面上，斜面的高度为，
点是A 点正上方与
点等高的点，让一小球（视为质点）从
点水平向左抛出，落在斜面的
点，已知
、
两点的连线与斜面垂直，重力加速度为g，
、
，下列说法正确的是（ ）
A．小球在
点的速度为
B．小球从
点到
点的运动时间为
C．小球在
点的速度大小为
D．小球在
点的速度与水平方向夹角的正切值为2
3．（25-26 高三上·安徽·阶段检测）（多选）如图所示，在竖直平面内有一半圆形轨道，半径为
，
为轨道圆心，
为其水平直径，
为竖直半径，半径
与水平方向成
角。现以
为坐标原点建立
直角坐标系，在
平面内有一弹射器（图中未画出）可以沿
轴正方向发射速度大小可调的弹丸（可看
作质点），若要使弹丸垂直撞击轨道
点，弹丸发射点位置坐标可能值是（ ）
A．（0.8m，0）
B．（0.7m，－0.2m）C．（0.25m，0.1m）D．（0.1m，0.2m）
4．（2026 高三下·安徽合肥·专题练习）某次军事演习中，一炮弹竖直上升到最高点时炸裂成甲、乙两块弹
片，它们的初速度方向与水平方向的夹角为θ，如图所示，测得这两块弹片在水平地面上的落地点相距
，它们从炸裂到落地所经历的时间分别为
，
，若甲、乙两块弹片的质量之比为
，
重力加速度
，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．两弹片分离瞬间的动量相同
B．弹片甲落地点到O 点的距离为48m
C．
D．爆炸点距水平地面的高度为84m
5．（2026·安徽淮北·二模）如图所示，有一长L=1.25m，距离地面高度h=0.8m 的平台BC，其右端连接内
壁光滑、半径r=0.2m 的四分之一细圆管CD，O 为细圆管的圆心，OD 水平。管口D 端正下方有一根劲度
系数为k=100N/m 的轻弹簧直立于水平地面上，弹簧下端固定，自由伸长时弹簧上端恰好与管口D 端平齐。
将一可视为质点的小球由水平地面上的A 点斜向上抛出，小球运动至B 点时速度方向恰好水平，然后小球
沿平台BC 运动，在C 点无能量损失进入细圆管CD。小球通过D 点后压缩弹簧，当小球速度最大时弹簧
的弹性势能Ep=0.5J。已知A、B 间的水平距离d=1.2m，小球的质量m=1kg，小球与平台BC 间的摩擦力
f=0.2mg。不计空气阻力，重力加速度g 取10m/s2。求：
(1)小球到达B 点时的速度大小；
(2)小球进入管口C 端时对管壁的作用力；
(3)在压缩弹簧过程中小球的最大动能。
真题·实战演练
高频考点：平抛运动的临界、极值问题；受约束的平抛运动
1．（2026·云南·高考真题）（多选）如图所示，运动员在空场上将排球从a 点击出，a 点与球网顶部b 点
的水平距离为x、竖直距离为h，排球被击出时速度大小为v、方向与重力方向之间的夹角为θ（
）。将排球视为质点，其运动轨迹所在平面与球网平面垂直，不计空气阻力，不考虑擦网球。
运动员某次以
击球时，排球贴近b 点越过球网后正好落到对方场地的底线上，相对于此次击球，下
列说法正确的是
（ ）
A．保持v、x、h 不变，减小θ，排球一定下网
B．保持v、x、h 不变，增大θ，排球一定不会出界
C．保持θ 不变，增大x 同时减小h，排球不下网就一定出界
D．保持x、h 不变，同时增大v 和θ，排球从被击出到落地所需时间可能不变
2．（2026·湖北·高考真题）（多选）某山沟竖直截面图如图所示，山沟的一侧竖直，另一侧是以
点为
圆心、
为半径的
圆弧，圆弧最高点与
点等高。救援队从
点以大小为
的初速度向该山
沟投掷救援物资，其中
是重力加速度大小。物资可视为质点，不计空气阻力。为避免损坏救援物资，
要求物资落到圆弧上的速率最小，则物资（ ）
A．在空中运动的时间为
B．与水平方向成
角斜上抛
C．抛出点与落点的高度差为
D．落到圆弧上的最小速率为
3．（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，
在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出
水口的速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·湖南·高考真题）（多选）如图所示，某爆炸能量测量装置由装载台和滑轨等构成，C 是可以在
滑轨上运动的标准测量件，其规格可以根据测量需求进行调整。滑轨安装在高度为h 的水平面上。测量时，
将弹药放入装载台圆筒内，两端用物块A 和B 封装，装载台与滑轨等高。引爆后，假设弹药释放的能量完
全转化为A 和B 的动能。极短时间内B 嵌入C 中形成组合体D，D 与滑轨间的动摩擦因数为
。D 在滑轨
上运动
距离后抛出，落地点距抛出点水平距离为
，根据
可计算出弹药释放的能量。某次测量中，
A、B、C 质量分别为
、
、
，
，整个过程发生在同一竖直平面内，不计空气阻力，重力加速
度大小为g。则（ ）
A．D 的初动能与爆炸后瞬间A 的动能相等
B．D 的初动能与其落地时的动能相等
C．弹药释放的能量为
D．弹药释放的能量为
