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第20 讲 抛体运动
核心考点
考点一 平抛运动基本规律的应用................................................................................................1
考点二 斜抛运动............................................................................................................................7
考点三 与斜面或圆弧面有关的抛体运动..................................................................................14
考点一 平抛运动基本规律的应用
1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。
2.性质：平抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3.研究方法：化曲为直
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：自由落体运动。
4.规律
(1)基本规律
如图，以抛出点O 为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正
方向，建立平面直角坐标系xOy。
(2)平抛运动物体的速度变化量
基础过关
1
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因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔
Δt 内的速度变化量Δv＝gΔt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。
(3)两个推论
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ 和位移方向与水
平方向的夹角α 的关系为：tan θ＝2tan α。
【例1】（2025·广东汕头·三模）飞镖扎气球是一种民间娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，
靶面竖直固定，
点为镖靶中心，
水平、
竖直，靶面图如图乙所示。若每次都在空
中同一位置
点水平射出飞镖，且
三点在同一竖直平面，忽略空气阻力。关于分
别射中靶面
三点的飞镖，下列说法错误的是（ ）
A．射中
点的飞镖射出时的速度最小
B．射中
点的飞镖射出时的速度最小
C．射中
点的飞镖空中飞行时间最长
D．射中
、
两点的飞镖空中飞行时间相等
【答案】AB
【详解】飞镖做平抛运动，由平抛运动的特点有
联立解得
因为
可知飞镖射中O、P 两点的飞镖空中飞行时间相等，射中Q 点的飞镖空中飞行时间最长，即
2
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又因为
则有
可知平抛初速度最小的是射中Q 点的，所以AB 错误，符合题意，CD 正确，不符合题意。
故选AB。
【例2】（2025·江西九江·三模）如图所示，MN、PQ 为两水平边界，A 点与水平边界MN 的
高度为h，将一质量为m 的小球自A 点以初速度
沿水平向右抛出，小球进入两水平边界之
间受到大小恒定的水平力F 的作用。当恒力F 水平向右时，小球在两边界之间沿直线运动，
直到离开PQ；当恒力F 水平向左时，小球离开PQ 时的速度方向竖直向下。不计空气阻力，
重力加速度大小为g。求
(1)小球运动到MN 时水平位移x 的大小；
(2)水平恒力F 的大小；
(3)MN、PQ 之间距离H 的大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】解：（1）小球进入MN 前做平抛运动，设初速度为
，
根据公式
，
解得
（2）当水平恒力F 向右时，
3
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其中
解得
（3）当水平恒力向左时，小球在水平方向上
设小球在两边界之间运动的时间为
在水平方向上
在竖直方向上
解得
【例3】（2025·新疆·模拟预测）如图所示，物块B 静止于水平桌面的末端，物块A 从斜面顶
端下滑，以水平速度
与B 碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。已知A、B 的质量均为
m，物块落地点距离轨道末端的水平距离为x，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．物块在空中运动的时间为
B．桌面离地面的高度为
C．物块落地时的动能为
D．物块碰撞过程中损失的机械能为
【答案】AD
【详解】D．碰撞过程，根据动量守恒可得
解得
4
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则物块碰撞过程中损失的机械能为
，故D 正确；
AB．碰撞后两物块粘在一起做平抛运动，则有
，
解得物块在空中运动的时间为
桌面离地面的高度为
，故A 正确，B 错误；
C．根据动能定理可得
解得物块落地时的动能为
，故C 错误。
故选AD。
【例4】（2025·河北秦皇岛·三模）甲、乙两位同学玩投球游戏，如图所示，甲以大小为v1的
速度从A 点抛出球a，乙以大小为v2的速度从B 点抛出球b，A、B 两点高度差为h、水平距离
为x1；两球在同一竖直平面内运动，且均运动到最高点C 时相碰，A、C 两点高度差为H、水
平距离为x2，忽略空气阻力，球可视为质点，重力加速度大小为g，求：
(1)两球抛出时的时间差；
(2)球b 初速度方向与水平方向的夹角的正切值。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）将两球的运动的逆过程看做是反向的平抛运动，根据
5
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可得球a 运动的时间为
球b 运动的时间为
两球抛出时的时间差为
（2）球b 位移方向与水平方向的夹角满足
则球b 初速度方向与水平方向的夹角满足
【例5】（2025·河北·模拟预测）如图所示，水平面上有两个光滑竖直墙壁M、N，两墙壁间
的水平距离为
，可视为质点的小球P 从竖直墙壁M 上的a 点水平向右抛出，小球P
与竖直墙壁碰撞后，竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向相反。已知a 点距水
平面高度为
，重力加速度为
，不计空气阻力，若要使小球P 第一次落至水
平面时恰好可以击中竖直墙壁N 与水平面的交点Q，则小球P 抛出时速度大小可能是
（ ）
A．1.2m/s
B．1.5m/s
C．2.4m/s
D．2.5m/s
【答案】BD
【详解】小球抛出后，竖直方向做自由落体，由
解得小球P 从抛出至落在水平面的时间
设小球抛出时的初速度为
，要使小球第一次落至水平面上恰好可以击中竖直墙面
与水平
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面的交点，则必须满足
（
取奇数）
代入四个选项验证，BD 符合题意。
故选BD。
1．平抛运动的临界问题有两种常见情形
(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；
(2)物体的速度方向恰好达到某一方向。
2．解题技巧
在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰
好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律
进行解题。
考点二 斜抛运动
1.定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2.性质：斜抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动。
4.基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x 轴的正方向，竖直向上为y 轴的正方向，建
立如图所示的平面直角坐标系xOy。
(1)初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v0xt＝(v0cos θ)t，vx＝v0x＝v0cos θ
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y＝v0yt－1
2gt2＝(v0sin θ)t－1
2gt2
精讲考点
基础过关
7
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vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt
(2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时
①射高：h＝v0 y
2
2g ＝v0
2sin
2θ
2 g
。
②斜抛运动的飞行时间：t＝2v0 y
g
＝2v0sinθ
g
。
③射程：s＝v0cos θ·t＝2v0
2sinθcosθ
g
＝v0
2sin 2θ
g
，
对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝v0
2
g 。
【例6】（2025·山东·模拟预测）科考人员从山岭前坡向山势险峻的背坡投掷追踪器来跟踪动
物活动路径。山岭可简化为如图所示的ABC，
，科考人员在前
坡的同一点M 投掷追踪器。第一次以大小为
的速度投出，追踪器恰好沿背坡表面向
下滑动；改变速度第二次投掷，追踪器刚好水平掠过C 点。重力加速度
，忽略
空气阻力，两坡足够长求
(1)第一次掷出时的速度方向与AC 夹角的正切值
；
(2)第二次掷出后，追踪器在背坡落点到C 点的距离L。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设第一次速度与前坡夹角为
，运动时间为
，沿前坡方向分解，根据题意有
垂直于前坡方向分解，则有
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联立可得
，
（2）M 点至顶点C 的距离为
第二次掷出后，设追踪器水平掠过顶点
时速度大小为
，从
到
过程中，运动时间为
，水平方向
竖直方向
联立解得
设追踪器在背坡落点为N，从
到落点
过程中，运动时间为
，有
，
联立解得
【例7】（2025·山西·二模）小明坐在倾角为
的斜坡上将质量为
的小球抛出，
抛出点可近似认为贴近斜坡，并最终落在斜坡上，小球抛出瞬间的速度大小为
，
不计空气阻力，
，
，求：
(1)若小球抛出时速度沿水平方向，求落在斜坡上的时间和小球的位移大小s；
(2)若小球抛出时速度可沿任意方向，求小球运动的最长时间
。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）小球运动的位移与水平方向夹角为
，由平抛运动知识，则有
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解得
小球的水平位移大小
解得
小球的位移大小
解得
（2）由于小球的初速度大小一定，且最终落在斜坡上，可知垂直于斜坡方向抛出运动时间最
长
垂直于斜坡方向加速度
解得
小球运动的时间
解得
【例8】（2025·辽宁沈阳·二模）如图所示，同学A 在距离地面高
处将排球以
的初速度斜向上击出，速度的方向与水平方向的夹角为
，站在对面的同学B
静止不动，伸直的手臂与水平地面呈一定夹角，排球恰好在离地h 处垂直打到B 的手臂上。
假设碰撞过程中手臂保持静止，B 垫起球的前后，排球的速度大小相等、方向相反，排球与
手臂的作用时间为
，排球的质量
，重力加速度
，
，
排球可视为质点，不计空气阻力。求：
(1)排球运动过程中离地面的最大高度；
(2)A 击球点和B 接球点之间的水平距离；
(3)B 在垫球的过程中，手臂受到的弹力的平均值。
【答案】(1)
(2)
(3)
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【详解】（1）排球能上升的高度
离地面的最大高度
解得
（2）排球上升到最高的过程中在竖直方向上有
在水平方向上有
解得
（3）以B 垫起后排球的速度为正方向，根据动量定理得
解得
根据牛顿第三定律可知，手臂受到的弹力的平均值为41.6 N
【例9】（2025·山东德州·三模）如图甲所示，“天鲲号”不仅是我国疏浚装备制造技术的巅
峰之作，更是综合国力提升的重要象征。不计空气阻力，“天鲲号”在吹沙填海工程中喷出
泥沙的运动可视为斜上抛运动，以排泥管口为坐标原点，建立图乙所示坐标系。排泥管口的
仰角为
，距海面的高度h，泥沙喷出的初速度大小为
，在排泥过程中“天鲲号”始终保
持静止，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．喷出的泥沙相对于海平面的最大高度为
B．泥沙从排泥管口喷出到落至海平面所用的时间为
C．喷出的泥沙在空中运动的轨迹方程为
D．调整仰角
，泥沙在海面落点
坐标的最大值为
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【答案】AC
【详解】A．喷出的泥沙做斜抛运动，抛出时在竖直方向的分速度为
竖直方向做竖直上抛，由运动学知识可知喷出的泥沙相对于海平面的最大高度为
A 正确；
B．泥沙上升过程由运动学知识有
下落过程在竖直方向做自由落体运动，由运动学知识有
则泥沙从排泥管口喷出到落至海平面所用的时间为
联立解得泥沙从排泥管口喷出到落至海平面所用的时间为
B 错误；
C．喷出的泥沙在水平方向做匀速直线运动，由运动学公式有
竖直方向做竖直上抛运动，由运动学知识有
联立解得喷出的泥沙在空中运动的轨迹方程为
C 正确；
D．泥沙在水平方向做匀速直线运动，由运动学知识有
其中
联立解得落在海面上时的水平位移为
可知当
时水平位移有最大值，最大位移为
D 错误。
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故选AC。
【例10】（2025·辽宁·三模）如图所示，辽篮某球员在比赛中进行投篮。已知A、B、C 是篮
球运动轨迹中的三个点，其中A 为球抛出点，B 为球运动轨迹的最高点，C 为球落入篮框的
点，且A、B 连线垂直于B、C 连线，A、B 连线与水平方向的夹角为
，
不计
空气阻力。则篮球从A 到B 与从B 到C 的运动时间之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将篮球从A 到B 运动的逆过程与从B 到C 运动的过程看作两个平抛运动，将AB 过
程沿水平和竖直方向分解，如图所示
水平方向则有
竖直方向则有
由几何知识可得
解得
同理可得
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故
根据数学知识
，
解得
则
故
故选B。
1．逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛
运动，还可根据对称性求解某些问题。
2．分析空间中的抛体运动的思路
(1)明确题意，形成运动轨迹在空间分布情况的一个轮廓；
(2)以抛出点为坐标原点，根据运动情景建立三维直角坐标系；
(3)确定每个坐标轴上的受力特点，明确各自的运动性质；
(4)依据已知条件、运动学公式找出在各个坐标轴方向的位移、速度、加速度大小；
(5)利用运动的合成与分解知识确定研究问题或联立求解相关问题。
考点三 与斜面或圆弧面有关的抛体运动
1.与斜面结合的抛体运动分解方法
(1)水平方向：匀速直线运动
竖直方向：匀变速直线运动。
(2)沿斜面方向：加速度为gsin θ 的匀变速直线运动。(θ 为斜面与水平方向的夹角)
精讲考点
基础过关
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垂直斜面方向：加速度为gcos θ 的类竖直上抛运动。
(3)斜抛运动：沿初速度方向的匀速直线运动，沿竖直方向的自由落体运动。
2.几种常见情形
已知条件
情景示例
解题策略
已知速度方向
已知速
度
方向垂
直
从斜面外平抛，垂直落在斜面上，
如图所示。
分解速度tan θ＝
v0
v y
＝v0
gt
从斜面外斜抛，垂直落在斜面上，
如图所示。
分解速度
tan θ＝
v x
v y
＝
v0cosα
−v0 sinα ＋gt
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨
道，如图所示。
已知速度方向沿该点圆弧的切线方向
分解速度
tan θ＝
v y
v0
＝gt
v0
已知位移方向
已知位
移
方向沿
斜
面向下
从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示。
分解位移
tan θ＝
y
x ＝
1
2 gt
2
v0t ＝gt
2v0
从斜面上斜抛又落到斜面上，如图所示。
分解位移
tan θ＝
y
x ＝
−v0sin α·t ＋1
2 gt
2
v0cosα·t
在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示。
分解位移
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已知位移方向垂直斜面
tan θ＝
x
y ＝v0t
1
2 gt
2 ＝2v0
gt
利用位移关系
从圆心处水平抛出，落到半径为R 的圆弧上，如图
所示。
已知位移大小等于半径R
{
x＝v0t
y ＝1
2 gt
2
x
2＋y
2＝R
2
从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R 的
圆弧上，如图所示。
已知水平位移x 与半径R 的差的平方与竖直位移的
平方之和等于半径R 的平方
{
x＝R＋R cosθ
x＝v0t
y ＝R sinθ＝1
2 gt
2
( x−R)
2＋y
2＝R
2
【例11】（2025·江苏·二模）冬奥会跳台滑雪比赛中，运动员在滑雪道上获得一定速度后从
跳台a 点水平飞出，在空中飞行一段距离后在斜坡b 处着陆，如图所示。测得运动员在ab 间
飞行时间为2s，斜坡与水平方向的夹角为30°，运动员质量为50kg，不计空气阻力，g=10m/
s²。求运动员
(1)在飞行过程中所受重力的冲量I 的大小；
(2)在a 处的速度v 的大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）运动员重力的冲量为
（2）由平抛运动规律，竖直方向的位移为
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水平方向的位移为
由几何关系可得
解得
【例12】（2025·河北张家口·三模）一科技小组设计了一个多挡位的弹簧枪，在一个倾角为
、足够长的斜面上进行测试。如图所示，将枪与水平面成一定角度固定在斜面底端，用第
一挡发射时弹簧对弹丸做功为
，落点与发射点间距为
，落到斜面上时弹丸速度恰好水平；
用第二挡发射时弹簧对弹丸做功为
，落点与发射点间距为
，落到斜面上时弹丸速度与
斜面夹角为
，弹簧枪的长度及空气阻力不计。下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】用第一挡发射时弹簧对弹丸做功为
，设弹丸的质量为
，弹丸的初速度大小为
，则
弹丸初速度方向与地面的夹角大小为
， 弹丸在空中运动时间为，第一挡发射时落到斜面
上时弹丸速度恰好水平，弹丸做平抛运动的逆运动，则水平方向
竖直方向
，
则
可知弹丸竖直方向为零时，都落在斜面上，即
弹丸上升的最大高度
则
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又
，则
所以
故选B。
【例13】（2025·江苏·二模）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在
滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，调节飞行姿势，身子与滑雪板平行呈水平状态，如图
所示，使空气对运动员（含滑雪板）产生一个竖直向上的恒力，在空中飞行一段距离后着陆。
现有总质量
的运动员（含滑雪板）A 滑到跳台a 处不小心撞出一块冰块B，两者一
起沿水平方向以
从a 点飞出，分别落在与水平方向成
的直斜坡b、c 上，
已知a、b 两点之间的距离为
，
，不计冰块下落时空气的作用力，求：
(1)冰块B 下落时间；
(2)空气对运动员（含滑雪板）竖直方向的恒力大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）不计冰块下落时空气的作用力，冰块B 水平飞出做平抛运动，设冰块B 从开
始运动到直斜坡c 所用的时间为，由水平方向做匀速直线运动有
竖直方向做自由落体运动有
由几何关系得
联立上式代入数据解得
（2）因为空气对运动员（含滑雪板）产生一个竖直向上的恒力，故运动员（含滑雪板）做类
平抛运动，由运动的分解与合成可得，水平方向运动有
竖直方向运动有
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联立上式代入数据解得
对运动员（含滑雪板）受力分析，竖直方向受到重力
和空气的恒定阻力
，由牛顿第二
定律得
代入数据解得
【例14】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，一倾角为
的斜面顶端与半径为R 的
圆弧
的圆心重合，斜面高度与圆弧半径相等。现使两个相同的小球P、Q（可视为质点）同时由斜
面顶端以相等的初速度大小
向左、右水平抛出，下列说法正确的是（ ）
A．若初速度
，两球将同时撞到斜面和圆弧上
B．若初速度
，P 球将落到斜面的底端
C．若P 球恰好落到斜面的底部，则Q 球在圆弧上的落点距地面高度高于
D．在小球能落到斜面的条件下，P 球落到斜面的动能总是大于Q 球落到圆弧上的动能
【答案】AC
【详解】A．如图所示
与斜面对称的斜边交圆弧于
点，两球只有落到
、
点的高度和时间相同，可同时撞
在斜面与圆弧上；此时有
，
解得
19
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故A 正确；
B．若P 球落到斜面底端有
，
解得
故B 错误；
C．当P 球落到斜面底端时，Q 在圆弧上的落点距地面高度高于
，轨迹如图中的抛物线，
故C 正确；
D．当
时，P 球在斜面上的落点高于Q 在圆弧的落点，即重力对Q 球做的功更多，
由机械能守恒可知此情况下P 球落到斜面的动能小于Q 球落到圆弧上的动能，故D 错误。
故选AC。
【例15】（2024·四川遂宁·模拟预测）如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道
竖直固
定放置，轨道半径为
，圆心为A 点，
分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水
平面上的小球获得一个水平向右的速度
（未知量），小球从A 点离开后运动到圆弧上的
点，重力加速度为
，小球可视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．若
，小球运动到
点时速度与水平方向的夹角为
，则有
B．若小球从A 到
运动时间为
，则
C．改变
的大小，小球落到圆弧
上的速度最大值为
D．改变
的大小，小球落到圆弧
上速度的最小值为
【答案】BD
20
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【详解】A．设
，则平抛运动位移的偏转角为
当速度的偏转角为
时，根据平抛运动的推论，可得
综合可得
故A 错误；
B．小球从A 到
，由平抛运动的规律可得
，
由几何关系可得
综合解得
故B 正确；
CD．若让小球从A 点以不同初速度
水平向右抛出，由平抛运动的规律可得小球刚到达某点
点时的速度为
结合
，
，
综合可得
由数学知识可得
则
的最小值为
21
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故C 错误，D 正确。
故选BD。
类平抛运动
1．受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。
2．运动特点
在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，
加速度a＝。
3．求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向
(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等
时性。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a 分解
为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y 方向列方程求解。
精讲考点
22
