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第19 讲 曲线运动 运动的合成与分解
核心考点
考点一 曲线运动............................................................................................................................1
考点二 运动的合成与分解............................................................................................................5
考点三 小船渡河模型..................................................................................................................10
考点四 绳(杆)连接物的关联速度...............................................................................................16
考点一 曲线运动
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2.曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速
运动。
(1)a 恒定：匀变速曲线运动；
(2)a 变化：非匀变速曲线运动。
3.做曲线运动的条件：
4.速率变化的判断
【例1】（2025·四川·模拟预测）为使汽车快速平稳转弯，驾驶员经常采用“入弯减速，出弯
加速”的技巧。汽车采用该技巧在单向路面水平弯道入、出弯道时，其所受水平合力为
、
速率为
。则下列方向关系图中，可能正确的是（ ）
基础过关
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】速度沿轨迹的切线方向，“减速入弯”时力和速度的夹角是钝角，“加速出弯”时
力和速度的夹角是锐角，故C 正确，ABD 错误。
故选C。
【例2】（2025·山东菏泽·二模）一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M 向N 加速行驶。
下列各图中汽车转弯时所受合力F 的四种方向，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】汽车做曲线运动，则合力方向指向轨迹的凹向，速度方向沿轨迹的切线方向，因汽
车加速行驶，则合力F 与速度夹角为锐角。
故选B。
【例3】（2025·河北·模拟预测）某质点在多个共点力的作用下做匀速直线运动，若仅撤去其
中一个恒力，关于质点之后的运动，下列说法正确的是（ ）
A．一定做曲线运动
B．不可能做匀速圆周运动
C．质点的动量可能不变
D．若做曲线运动，合力的瞬时功率不可能为零
2
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【答案】B
【详解】A．撤去其中一个力后，若剩余力的合力与初速度共线，则做直线运动，A 错误；
B．因剩余力的合力恒定，故质点不可能做匀速圆周运动，B 正确；
C．因合力恒定，冲量不为零，故动量一定会变，C 错误；
D．若做曲线运动，当合力与速度方向垂直时，合力的瞬时功率为零，D 错误。
故选B。
【例4】（2025·陕西商洛·二模）如图所示，一个小物体在两个大小相等的力作用下沿着轨迹
为
的抛物线轨道运动，其中一力沿着正x 轴方向，另一个力指向抛物线焦点F0，其
大小与质点到焦点的距离成反比，比例系数为k，下列说法正确的是（ ）
A．物体做速度不变的运动
B．物体到达坐标原点时速率最大
C．物体加速度为零
D．物体到达坐标原点时加速度最大
【答案】D
【详解】ABC．如图所示，根据抛物面反光镜有一个性质：平行于x 轴的光线经抛物面反光
镜后将严格地会聚于抛物面的焦点。这说明虚线（抛物线的法线）平分BAC。因此对于两个
等大的、分别沿着AB 和AC 方向的力，其合力必然沿法线方向，因此合力不做功，质点的运
动为速率恒定的曲线运动，速度方向不断改变，故ABC 错误；
D．根据微分思想可知
，其中r 代表曲率半径，可知物体到达坐标原点时加速度最大，
故D 正确；
故选D。
3
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【例5】（2025·山东枣庄·三模）2024 年珠海航空展上，飞行员驾驶飞机沿如图所示轨迹在竖
直面内匀速率飞行，依次经过a、b、c 三点，b 为轨迹上的最高点，a、c 两点距地面高度相
同。下列说法正确的是（ ）
A．飞机经过b 点时的加速度为零
B．飞机在a 点所受合力小于在c 点所受合力
C．飞机经过a、c 两点时重力的瞬时功率相等
D．飞机从a 点运动到c 点的过程中机械能守恒
【答案】B
【详解】A．飞机做曲线运动，根据做曲线运动的条件可知，飞机经过b 点时的加速度不为
零，故A 错误；
B．飞机在每小段的运动都可以看做圆周运动的一部分，在竖直面内匀速率飞行，合力方向
指向各自圆心，加速度方向也指向各自圆心，明显a 点对应的圆周半径更大，c 点对应半径更
小，合力提供向心力，根据向心力公式
可知飞机在a 点所受合力小于在c 点所受合力，故B 正确；
C．a、c 两点的速度大小相等，但速度方向不同，设速度与竖直方向的夹角为α，速度与重力
夹角不同，根据
可知飞机经过a、c 两点时重力的瞬时功率不相等，故C 错误；
D．飞机从a 点运动到c 点的过程中动能不变，但飞机的重力势能变化，所以飞机从a 点运动
到c 点的过程中机械能不守恒，故D 错误。
故选B。
曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
1.速度方向与运动轨迹相切；
2.合力方向指向曲线的“凹”侧；
3.运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
精讲考点
4
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考点二 运动的合成与分解
1.基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动。
2.遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
3.运动分解的原则
根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法。
4.合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。
【例6】（2025·山东·模拟预测）平面xOy 中某运动物体的
的关系如图所示，则该物
体的运动轨迹可能是（ ）
A．
B．
基础过关
5
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C．
D．
【答案】D
【详解】设在任意一段极小的时间
内，物体在x、y 方向的分位移分别为
、
，则
由数学知识可知，上式中
表示y-x 图像上某点切线的斜率，
表示
图像上某点与
原点O 连线的斜率。由题图可知，在一个运动周期内，
图像上点按顺时针运动时，
先从正无穷大逐渐变化至零，然后再从零逐渐变化至负无穷大，而
的变化规律应和
的
变化规律相同。
AB．在一个运动周期内，图像上点的切线斜率先从正无穷大变化至零，然后再变化至负无穷
大，之后再变化至零，最后再变化至正无穷大，变化过程与前面分析不符，故AB 不符合题
意；
C．在一个运动周期内，图像上点的切线斜率先从零变化至正无穷大，然后再变化至零，变
化过程与前面分析不符，故C 不符合题意；
D．在一个运动周期内，图像上点的切线斜率先从正无穷大变化至零，然后再变化至负无穷
大，变化过程与前面分析相符，故D 符合题意。
故选D。
【例7】（2025·辽宁丹东·二模）如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放
一个由蜡做成的小圆柱体R。R 从坐标原点以速度
匀速上浮的同时，玻璃管沿x 轴正方向做
初速度为0 的匀加速直线运动。关于小圆柱体R 的运动轨迹可能正确的是（ ）
6
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A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】A
【详解】小圆柱体R 竖直方向做匀速运动，沿x 轴正方向做初速度为0 的匀加速直线运动，
合外力沿x 轴正方向，根据曲线运动的轨迹向合力的方向弯曲但永远不会重合，故小圆柱体
R 的运动轨迹只可能是①。
故选A。
【例8】（2025·上海·一模）用运载火箭把“鹊桥”发射升空时，如图（b）所示水平风速为
，当
增大时，要保持火箭相对于地面的速度
不变，则火箭相对于空气的速度
需要（
）
A．减小
B．增大
C．不变
【答案】B
【详解】速度的分解关系如图
当
增大时，要保持火箭相对于地面的速度
不变，
需要增大。
7
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故选B。
【例9】（2025·陕西宝鸡·三模）一杂技演员通过传感器将其斜向上的运动速度转化为水平向
前的速度
及竖直向上的速度
，若它们与运动时间t 的关系图像如图甲、乙所示。则下列
说法正确的是（ ）
A．演员在
时刻处于超重状态
B．演员在
这段时间内沿直线飞行
C．演员在
时刻上升至最高点
D．演员在
时间内做匀变速曲线运动
【答案】D
【详解】A．演员在
时刻竖直向上的速度减小，则加速度向下，处于失重状态，选项A 错
误；
B．演员在
这段时间内水平方向做匀加速运动；竖直方向做匀减速运动，则合初速度和
合加速度一定不共线，则合运动为曲线运动，选项B 错误；
C．演员在
时间内的竖直速度一直不为零，可知
时刻还没有上升至最高点，选项C 错
误；
D．演员在
时间水平方向做匀减速运动，竖直方向做匀速运动，可知合运动为匀变速曲
线运动，即演员做匀变速曲线运动，选项D 正确。
故选D。
【例10】（2025·广东揭阳·二模）如图，为了将地面上长L 的钢管竖直放置，横梁上的电机
水平向左移动，同时启动电机内的牵引绳回收装置，使钢管在绳的作用下，绕定点O 逆时针
转动，且绳始终沿竖直方向，若绳端M 点相对于电机的速度恒为v，则钢管与水平方向的夹
角从30°增大到60°的过程中（ ）
8
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A．电机移动的速度一直大于v
B．电机移动的速度一直小于v
C．钢管的角速度一直大于
D．钢管的角速度一直小于
【答案】C
【详解】AB．由三角知识可得
故电机水平移动速度为
由题意知
在30°到60°之间，
联立可得
故A、B 均错误；
CD．当钢管与地面夹角为
时，钢管顶端M 点做圆周运动，速度方向与杆垂直
由矢量的合成知识可得
由圆周运动知识得
由题意知
在30°到60°之间，
联立解得
故C 正确，D 错误；
故选C。
9
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1．合运动性质的判断
加速度(或合外力)
加速度(或合外力)方向与合速度方向
2．两个直线运动的合运动性质的判断
(不共线)分运动
合运动
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
若v0 合与a 合共线，则合运动为匀变
速直线运动
若v0 合与a 合不共线，则合运动为匀
变速曲线运动
考点三 小船渡河模型
1．船的实际运动：是随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2．三种速度：船在静水中的速度v 船、水流的速度v 水、船的实际速度v。
3．三类问题、四种情境
精讲考点
基础过关
10
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情境
说明
渡河时
间最短
当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短
时间tmin＝
渡河位
移最短
当v 水<v 船时，如果满足v 水－v 船cos θ＝
0，合速度垂直河岸，则渡河位移最短(等
于河宽d)
当v 水>v 船时，如果船头方向(即v 船方向)与
合速度方向垂直，则渡河位移最短，最短
渡河位移smin＝
渡河船
速最小
在水流速度v 水和船的航行方向(即v 合方向)
一定的前提下，当船头方向(即v 船方向)与
合速度方向垂直时，有满足条件的最小船
速，即v 船min＝v 水sin θ
【例11】（2025·福建莆田·三模）一小船以两种方式渡河：如图甲所示，小船航行方向垂直
于河岸；如图乙所示，小船航行方向与水流方向成锐角
。已知小船在静水中航行的速度大
小为
，河水流速大小为
，则下列说法正确的是（ ）
A．图甲中比图乙中小船渡河的时间短
B．图甲中比图乙中小船渡河的合速度大
C．图甲中比图乙中小船渡河的合位移大
D．图甲和图乙中小船均做曲线运动
【答案】A
【详解】A．由于图甲中比图乙中小船在垂直于河岸方向的分速度较大，所以图甲中比图乙
中小船渡河的时间短，选项A 正确；
BC．根据运动的合成法则，图甲中比图乙中小船渡河的合速度小，因甲图中合速度与河岸的
夹角较大，则合位移也小，选项B、C 错误；
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D．图甲和图乙中小船两个方向的分运动都是匀速运动，可知合运动是匀速运动，即两船均
做匀速直线运动，选项D 错误。
故选A。
【例12】（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图所示，两平行河岸的宽度为d，水流速度为v1恒定
沿着河岸，一条小船从河岸的某点渡河到对岸，船在静水中的速度为v2大小恒定，船头与垂
直河岸方向的夹角为θ 时，小船相对河岸的速度大小为v，方向与垂直河岸方向的夹角为
2θ，下列说法正确的是（ ）
A．v2与v 的大小关系为
B．v1与v 的大小关系为
C．小船渡河时间为
D．小船渡河位移为
【答案】A
【详解】AB．把
、
分别沿着河岸和垂直河岸分解，由垂直河岸方向有
沿河岸方向有
综合可得
A 正确，B 错误；
C．小船渡河的时间
C 错误；
D．由几何关系可得小船渡河的位移
12
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D 错误。
故选A。
【例13】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图甲，某同学需要通过小木筏渡过一条河，已知
小木筏在静水中的速度大小为
。受地形等因素影响，不同位置河水流速会有变化。出发
点A 下游某位置的水流速度与该位置到A 点的沿河距离关系如图乙所示，已知小木筏前端始
终垂直河岸，最终到达对岸偏离正对面
的B 处，则以下说法正确的是（ ）
A．小木筏在河水中的轨迹是直线
B．河的宽度为
C．若水流速度恒为
，小木筏过河时间将变短
D．若水流速度恒为
，小木筏可调节前端指向使轨迹垂直河岸渡河
【答案】B
【详解】A．由题图乙可知，小木筏在沿水流方向上做变减速运动，垂直河岸方向上做匀速
直线运动，合外力与合速度不共线，轨迹一定为曲线，故A 错误；
B．设在沿河方向运动极短距离
耗时
，根据瞬时速度定义，则有
渡河总时间
河宽
故B 正确；
C．过河时间取决于河宽和小木筏垂直河岸的分速度，由题可知小木筏前端始终垂直，则小
木筏垂直河岸的分速度始终为
，小木筏过河时间不受水流速度影响，故C 错误；
D．当水流速度恒为
时，无论如何调节小木筏前端指向，水速和木筏速度都无法合成垂
直河岸的速度，故此时无法使轨迹垂直河岸渡河，故D 错误。
故选B。
13
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【例14】（24-25 高三下·江苏南通·开学考试）如图所示，河的宽度为
，水速恒定为
，两
船在静水中的速度同为
。现让两船同时渡河，甲船头与河岸的夹角为
、乙船头与河岸
的夹角为
，两船恰好在甲船的正对岸相遇。则（ ）
A．
B．
C．两船出发点相距
D．两船的合速度大小相等
【答案】C
【详解】A．两船恰好在甲船的正对岸相遇。则
所以
故A 错误；
B．渡河时间
对乙船垂直河岸方向
解得
故B 错误；
C．乙船沿河岸方向位移
故C 正确；
D．两船垂直河岸方向分速度相同，沿河岸方向乙船分速度大于甲船，所以两船的合速度大
小不相等，故D 错误。
故选C。
【例15】（2025·全国·一模）法国科学家皮埃尔·德·费马在1662 年提出光线传播的路径是所
需时间最少的路径，即费马原理，光的折射即遵从这一原理实际生活中的下述现象也可类比
折射定律来理解。如图所示，地面上陶陶在距笔直的河岸10m 处的A 点，发现落水的琪琪位
于水面上距河岸50m 处的B 点。陶陶在地面上奔跑的速度大小为
，在水中游泳的
速度大小为
，奔跑、游泳均视为匀速直线运动。可知此次营救中，陶陶在陆地的速度与河
岸夹角30°，在水中的速度与河岸夹角60°将最省时。由题中信息和所学物理知识可知
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（ ）
A．陶陶在水中游泳的速度大小为
B．陶陶在水中游泳的速度大小为
C．陶陶到达琪琪处的最短时间为12s
D．陶陶到达琪琪处的最短时间约为16s
【答案】A
【详解】AB．设陶陶在陆地的速度为v1，与河岸夹角为
；在水中的速度为
，与河
岸夹角为
，将陶陶的运动分解为沿河岸方向和垂直河岸方向，在陆地时，垂直河岸
方向分速度v1y
v1sinα
在水中时，垂直河岸方向分速度v2y
v2sinβ
因为要保证最省时，也就是整个运动过程中垂直河岸方向要以最大的有效速度去通过相应的
距离，所以各段垂直河岸方向的分速度应该相等，即v1sinα
v2sinβ
解得
故A 正确，B 错误。
CD．首先计算垂直河岸方向需要通过的总距离，在陆地上距离河岸10m，在水中距离河岸
50m，所以垂直河岸方向总的距离d
10+50
60m
而垂直河岸方向的分速度vy
v1sinα
2.5m/s（前面已分析各段垂直河岸方向分速度相等）。
则最短时间
故CD 错误。
故选A。
精讲考点
15
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1．小船渡河的两类情况
最短时间
最短航程
v 船>v 水
v 船<v 水
tmin＝d
v 船
lmin＝d，
cos θ＝
v水
v 船
lmin＝d·
v水
v 船
，
cos θ＝
v 船
v水
考点四 绳(杆)连接物的关联速度
1．此类问题绳或杆的特点
绳或杆的特点：(1)不可伸长；(2)沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
2．关联速度常见模型
情境图示
分解图示
定量结论
vB＝
vAcos θ
vAcos θ
＝v0
vAcos β＝vBcos α
基础过关
16
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vBsin α＝vAcos α
【例16】（2025·福建厦门·三模）如图所示，一渔民（图中未画出）站在岸上，利用绳和定
滑轮以恒定的速率v=0.6m/s 拉质量m=50kg 的小船靠岸，某时刻绳与水面夹角为θ=37°，该时
刻渔民的拉力大小为F=250N，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g 取10m/s2，在不计滑轮
摩擦和绳子质量的条件下，下列说法正确的是（ ）
A．该时刻小船的速度大小为0.75m/s
B．该时刻小船受到三个力的作用
C．该时刻小船的浮力大小为300N D．小船是加速靠近河岸
【答案】AD
【详解】A．设小船的速度为v0，把小船的速度分解成沿着绳的速度v 和垂直于绳子的速度
v1，如图
则
解得
故A 正确；
D．小船靠近河岸，绳与水面夹角θ 逐渐变大，小船的速度v0增大，小船是加速靠近河岸，
故D 正确；
BC．该时刻小船受到重力、浮力、拉力、阻力四个力的作用，小船在竖直方向上受力
解得
故BC 错误。
故选AD。
17
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【例17】（2025·河北·模拟预测）一台四冲程内燃机的结构示意图如图所示。曲轴可绕固定
的O 点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的P 点和活塞上的Q 点，若曲轴绕O 点做匀速圆
周运动，转速n=1800r/min，OP=10cm，PQ=30cm。下列说法正确的是（ ）
A．Q 点运动周期为
B．Q 点运动速率为
时， OP 与PQ 间的夹角为60°
C．P 点的向心加速度大小为
D．P 点和Q 点的速度大小始终相等
【答案】C
【详解】A．根据题意，曲轴的转速n=1800 r/min=30r/s
周期
可知Q 点运动周期为
，A 错误；
C．P 点运动的角速度ω=2πn=60πrad/s
则P 点的向心加速度大小
C 正确；
B． P 点的线速度大小
假设OP 与PQ 垂直，则设PQ 与OQ 的夹角为α，由几何关系
此时
解得
18
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则假设成立，即当Q 点运动速率为
时， OP 与PQ 垂直，B 错误；
C．P 点速度大小恒定（匀速圆周运动）。而Q 点速度大小周期性变化，两者不可能始终相等，
D 错误。
故选C。
【例18】（2025·山西·模拟预测）如图所示为拍电影时吊威亚的情景．工作人员B 向左运动
用绕过定滑轮的轻绳将小演员A 竖直向上吊起，定滑轮两边轻绳的夹角为
，A 运动的速度
大小为
，B 运动的速度大小为
，当
时，下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将B 的速度分解为沿细绳和垂直细绳方向的速度，则A 的速度等于沿细绳方向的速
度，即绳两端沿绳方向速度相等，因此有
故选B。
【例19】（2024·河北衡水·一模）如图所示，L 形直角光滑金属导轨OAN 固定在竖直平面内，
一个轻环套在水平导轨AN 上，一定质量的金属杆OP，一端由光滑铰链连接在O 处，另一端
穿过轻环，与导轨构成的回路连接良好，整个空间有垂直导轨平面的匀强磁场（图中未画
出）。轻环在外力作用下沿AN 向右运动，同时使金属杆绕O 点逆时针转动，则环从A 点向
右运动的过程（ ）
19
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A．若轻环匀速运动，则回路中的感应电动势恒定
B．若轻环匀速运动，则回路中的磁通量随时间均匀增大
C．若金属杆匀速转动，则轻环减速运动
D．若金属杆匀速转动，则外力对环所做的功等于系统产生的热量
【答案】AB
【详解】AB．轻环运动过程中的速度v 环的分解图如下图所示，分速度v1是环绕O 点转动的
分速度。设环与O 点距离为R，OA 的长度为L。
则有：v1=v 环cosθ，v1=ωR
由几何关系得：L=Rcosθ
此时杆切割磁感线产生的感应电动势
则若轻环匀速运动，则回路中的感应电动势恒定，根据
可知磁通量变化率恒定，即回路中的磁通量随时间均匀增大，选项AB 正确；
C．由上述表达式可知
若金属杆匀速转动，则随θ 增加，轻环速度增大，即轻环加速运动，选项C 错误；
D．由能量关系可知，若金属杆匀速转动，则外力对环所做的功等于系统产生的热量与系统
机械能的增加量之和，选项D 错误。
故选AB。
20
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【例20】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图所示，物块A 放在光滑的水平地面上，竖直悬
挂的B 小球通过光滑的定滑轮与物块A 相连，初始时，细绳与水平方向的夹角为θ，在外力
的作用下，滑块A 向左以速度
做匀速直线运动，则（ ）
A．初始时，B 小球的速度为
B．B 小球做减速运动
C．小球B 处于超重状态
D．A 物块受到的合力变化
【答案】C
【详解】ABC．将A 的速度分解为沿绳子和垂直绳子两个分速度，B 的速度等于A 沿绳子方
向的分速度，则初始时，B 小球的速度为
由于A 向左以速度
做匀速直线运动，
逐渐减小，则
逐渐增大，B 小球做加速运动，B
的加速度方向向上，处于超重状态，故AB 错误，C 正确；
D．A 向左以速度
做匀速直线运动，可知A 物块受到的合力为零，保持不变，故D 错误。
故选C。
1.题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
2.明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3.解题原则
精讲考点
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把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速
度大小相等求解，常见的模型如图所示。
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