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2024 年高考物理一轮大单元综合复习导学练
专题22 平抛运动规律、 平抛运动与约束面相结合问题
导练目标
导练内容
目标1
平抛运动的基本规律与推论
目标2
平抛运动与斜面相结合
目标3
平抛运动与圆面相结合
目标4
平抛运动与竖直面相结合
【知识导学与典例导练】
一、平抛运动的基本规律与推论
1．四个基本规律
飞行时间
由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平射程
x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关
落地速度
v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h 有关
速度改变量
任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv＝gΔt 相同，方向恒为竖直向下，如图所示
2．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向
与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中
A 点为OB 的中点。
1
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【例1】如图所示，x 轴沿水平方向，y 轴沿竖直方向。图中画出了从y 轴上沿x 轴正方向抛出的两个小球a
和b 的运动轨迹，不计空气阻力，则（ ）
A．a 的运动时间比b 的长
B．a 和b 的运动时间相同
C．a 的水平速度比b 的小
D．a 和b 的水平速度相同
【例2】如图所示，运动员将网球从O 点以速度
水平击出，网球经过M 点时速度方向与竖直方向的夹角
为
，落到水平地面上的N 点时速度方向与竖直方向的夹角为
，不计空气阻力，重力加速度大小为
g，下列说法正确的是（ ）
A．O 点距水平地面的高度为
B．M 点距水平地面的高度为
C．网球从O 点运动到N 点的时间为
D．O、N 两点间的水平距离为
二、平抛运动与斜面相结合
1.与斜面相关的几种的平抛运动
2
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图示
方法
基本规律
运动时间
分解速度，构建
速度的矢量三角
形
水平vx＝v0
竖直vy＝gt
合速度v＝
由tan θ＝＝得
t＝
分解位移，构建
位移的矢量三角
形
水平x＝v0t
竖直y＝gt2
合位移x 合＝
由tan θ＝＝得
t＝
在运动起点同时
分解v0、g
由0＝v1－a1t,0－v1
2＝－2a1d 得
t＝，d＝
分解平行于斜面
的速度v
由vy＝gt 得t＝
2.与斜面相关平抛运动的处理方法
(1)分解速度
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,设平抛运动的初速度为v0,在
空中运动时间为t,则平抛运动在水平方向的速度为vx=v0,在竖直方向的速度为vy=gt,合速度为v=√v x
2+ v y
2,
合速度与水平方向的夹角满足tan θ=v y
v x
。
(2)分解位移
平抛运动在水平方向的位移为x=v0t,在竖直方向的位移为y=1
2
gt2,对抛出点的位移(合位移)为s=
√x
2+ y
2,合位移与水平方向夹角满足tan φ= y
x
。
(3)分解加速度
平抛运动也不是一定要分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,在有些问题中,过
抛出点建立适当的直角坐标系,把重力加速度g 正交分解为gx、gy,把初速度v0正交分解为vx、vy,然后分别在
3
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x、y 方向列方程求解,可以简化解题过程,化难为易。
【例3】如图所示，从倾角为θ 且足够长的斜面顶端P 以速度v0抛出一个小球（可视为质点），落在斜面
上某处，记为Q 点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，小球仍落在斜面上，
则以下说法正确的是（ ）
A．夹角α 将变大
B．夹角α 与初速度大小无关
C．小球在空中的运动时间不变
D．PQ 间距是原来间距的3 倍
【例4】如图所示，有一倾角为
的固定光滑直角斜面体ABC，斜面体的高为h。小球P 从斜面底端B 点
的正上方某处水平抛出，抛出处与斜面顶端A 点等高，小球P 恰好击中斜面的中点。抛出小球P 的同时，
另一小球q 从斜面顶端A 点由静止开始沿斜面运动。则下列说法正确的是（ ）
A．小球P 抛出的初速度为
B．两小球不可能同时到达斜面的中点
C．小球P 击中斜面时速度方向与斜面垂直
D．小球q 运动到斜面中点的时间为
三、平抛运动与圆面相结合
三种常见情景：
1.如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间t：h＝
gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。
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【例5】如图所示，AB 为半圆环ACB 的水平直径，C 为环上的最低点，环半径为R。一个小球从A 点沿
AB 以速度v0抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是（ ）
A．v0越大，小球从抛出到落在半圆环上经历的时间越长
B．即使v0取值不同，小球落到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角也相同
C．若v0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环
D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环
2.如图乙所示，小球恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB 垂直于速度方向，圆心角α 与速度的
偏向角相等。
【例6】如图所示，B、M、N 分别为竖直光滑圆轨道的右端点、最低点和左端点，B 点和圆心等高，N 点
和圆心O 的连线与竖直方向的夹角为α=60°。现从B 点的正上方某处A 点由静止释放一个小球，经圆轨道
飞出后以水平速度v 通过C 点，已知圆轨道半径为R，
，重力加速度为g，则以下结论正确的是
（不计空气阻力）（ ）
5
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A．C、N 的水平距离为
B．C、N 的水平距离为2R
C．小球在M 点对轨道的压力为6mg
D．小球在M 点对轨道的压力为4mg
3.如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q 点沿切线飞过，此时半径OQ 垂直于速度方向，圆心角θ 与速度的偏
向角相等。
【例7】如图所示，一个半径
的半圆柱体放下水平地面上，一小球从圆柱体左端A 点正上方的B
点水平抛出（小球可视为质点），恰好从C 点切线方向进入，已知O 为半圆柱体圆心，
与水平方向夹
角为53°，重力加速度为
，则（ ）
A．小球从B 点运动到C 点所用时间为
B．小球从B 点运动到C 点所用时间为
C．小球做平抛运动的初速度为
D．小球做平抛运动的初速度为
四、平抛运动与竖直面相结合
方法规律：
(1)从同一点斜抛物体，能垂直打在同一竖直面的不同高度处，可用逆向思维法思考，认为物体在不同高
度平抛均落在同一点。
(2)无论是从同一点平抛，落在同一竖直面上的不同高度处，还是从同一点斜抛，垂直落在同一竖直面的
不同高度处，因高度不同，则运动时间不同，又物体水平位移相同，故平抛的初速度不同。
【例8】如图所示，质量相等的甲、乙两小球以大小相等的初速度分别自两竖直墙中的某点P 水平向左、
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向右抛出。甲球抛出后击中左墙的A 点，速度方向与竖直墙面夹角为α；乙球抛出后击中右墙的B 点，速
度方向与竖直墙面夹角为β。已知A 点高于B 点，则下列说法中正确的是（ ）
A．P 点在两墙水平连线的中点
B．两球在空中的运动时间相等
C．甲球击中A 值的速度大于乙球击中B 点的速度
D．击中墙时，两角度一定满足关系α>β
【例9】在飞镖比赛中，某选手先后两次将飞镖在同一出手点以不同的水平速度掷出，飞镖插入竖直镖靶，
相关参数如图所示。已知飞镖飞行时的速度方向即为镖尖指向，不计任何阻力，那么该选手出手位置距镖
靶的水平距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
【综合提升专练】
1．如图所示，半径为R 的四分之一圆弧体ABC 固定在水平地面上，O 为圆心。在圆心O 点下方某点处，
水平向左抛出一个小球，恰好垂直击中圆弧上的D 点，小球可视为质点，D 点到水平地面的高度为
，
7
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重力加速度为g，则小球抛出的初速度大小是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图所示为某同学拍摄的空中的水柱照片，在照片上取高度差为
的A、B 两点，已知A、B 两点的
切线方向与竖直方向的夹角为
、
，照片缩小的比例尺为1 40
∶
，不计空气阻力，重力加速度取
。下列说法正确的是（ ）
A．水流的水平分速度为
B．B 点水流的速度大小为
C．水流从A 点到B 点的时间为
D．A 点到B 点的距离为
3．跳台滑雪起源于挪威，是冬奥会的比赛项目。2022 年北京冬奥会期间，我国北方掀起了雪（冰）上运
动热潮。某滑雪者在跳台P 处沿水平方向飞出，经过时间
落在斜面上Q 处，
时滑雪者离斜面距
离最大，P、Q 间水平距离为60m。不计空气阻力，
，取
。下列说法正确的是
（ ）
A．斜坡倾角
8
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B．滑雪者在P 处的速度大小为15m/s
C．滑雪者离坡面的最大距离为9m
D．滑雪者落到Q 处时速度与水平方向夹角为53°
4．从高为的斜面顶端以一定的水平速度
抛出一个小球，改变斜面的倾角，小球在斜面上的落点将不同，
已知斜面倾角的正切
与小球落在斜面上的时间的关系如图所示，（
取
），则小球抛出的速
度
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图所示，半径为5m 的四分之一圆弧ABC 固定在水平地面上，O 为圆心。在圆心O 右侧同一水平线
上某点处，水平向左抛出一个小球，小球可视为质点，恰好垂直击中圆弧上的D 点，D 点到水平地面的高
度为2m，g 取10 m/s2，则小球的抛出速度是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，半径为a 的四分之一圆弧面紧靠竖直墙壁固定在水平面上，其圆心正上方3a 处有一小球以
某速度水平抛出，其轨迹恰与圆弧面相切（图中未画出）。则在相切处，小球速度与水平方向夹角的余弦
值为（ ）
9
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A．
B．
C．
D．
7．如图所示，一小球以一定初速度水平抛出，忽略空气阻力。当小球以速度
抛出时，经历时间
后以
恰好击中斜面A 处（抛出点与A 点的连线垂直于斜面）。当小球以速度3
抛出时，经历时间
后以
恰好从B 点沿圆弧切线进入圆轨道。则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图所示，有一方程为
的曲面（y 轴正方向为竖直向上），在点
（0，40m）将一质量为1kg
的小球以2m/s 的速度水平抛出，小球第一次打在曲面上的
点，不计空气阻力，取
，则（
）
10
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A．
点坐标为（10m，20m）
B．小球打在
点时重力的瞬时功率为
C．小球打在
点时的动能为
D．
点与
点间距离为
9．如图所示是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M 点由静止自由滑下，经过水平NP 段后
水平飞出，落至斜坡上的Q 点。测得P、Q 两点间距离为L，倾斜雪道PQ 与水平面夹角为
，重力加速度
为g，不计摩擦力和空气阻力，则（ ）
A．运动员从P 点运动到Q 点所用的时间为
B．运动员从P 点飞出时的速度大小为
C．运动员从P 点运动到离坡面的最大距离处时所用的时间为
D．运动员运动过程中离坡面的最大距离为
10．如图所示，水族馆训练员在训练海豚时，将一发光小球高举在水面上方的A 位置，海豚的眼睛在B 位
置，A 位置和B 位置的水平距离为3m，A 位置离水面的高度为2m。训练员将小球向左水平抛出，不计空
气阻力，入水点在B 位置的正上方，入水前瞬间速度方向与水面夹角为θ。小球在A 位置发出的一束光线
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经水面折射后到达B 位置，折射光线与水平方向的夹角也为θ。已知水的折射率
，
；则（ ）
A．tanθ 的值为
B．tanθ 的值为
C．B 位置到水面的距离为
D．B 位置到水面的距离为
11．如图所示，A、B 是天花板上两点，B 点到竖直墙的距离是A 点到竖直墙距离的2 倍，B 点处固定一个
点光源，A 点处固定一个小球，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．仅释放小球，小球在竖直墙上的影子也做自由落体运动
B．仪释放小球，小球在整直墙上的影子运动的加速度为2g
C．先释放小球，再释放点光源，之后小球在竖直墙上的影子仍做匀变速运动
D．先释放小球，再释放点光源，之后小球在竖直墙上的影子有可能做匀速运动
12．如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A 从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，小球击中了斜面上的
12
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P 点；将小球B 从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中Q 点．不计空气阻力，重
力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．若小球A 击中P 点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则
B．若小球A 击中P 点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则
C．小球A、B 在空中运动的时间之比为
D．小球A、B 在空中运动的时间之比为
13．如图所示，以速度
从O 点水平抛出的小球，抵达光滑固定的斜面上端P 处时，速度方向恰好
沿着斜面方向，然后紧贴斜面PQ 做匀加速直线运动，已知斜面倾角为
（
，
），
不计空气阻力，取重力加速度为
。下列说法正确的是（ ）
A．O 点到P 点的竖直距离为0.45m
B．小球在斜面上运动的加速度大小比平抛运动时的大
C．撤去斜面，小球仍从O 点以相同速度水平抛出，落地时间将变小
D．撤去斜面，小球仍从O 点以相同速度水平抛出，落地速度不变
14．一种定点投抛游戏可简化为如图所示的模型，以水平速度
从O 点抛出小球，小球正好落入倾角为
13
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的斜面上的洞中，洞口处于斜面上的P 点，O、P 的连线正好与斜面垂直；当以水平速度
从O 点抛出小
球时，小球正好与斜面在Q 点垂直相碰。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球落在P 点的时间是
B．Q 点在P 点的下方
C．
D．小球落在P 点所用的时间与落在Q 点所用的时间之比是
15．如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环
和倾角为
的斜面
，
、
两点与圆环BC 的圆
心
等高。现将甲、乙小球分别从
、
两点以初速度
、
沿水平方向同时抛出，两球恰好在
点相碰（不计空气阻力），已知
，
，下列说法正确的是（ ）
A．初速度
、
大小之比为
B．若仅增大
，则两球不再相碰
14
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C．若
大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点
D．若只抛出甲球并适当改变
大小，则甲球可能垂直击中圆环
15
