文档文本内容
专题10 圆周运动的临界极值问题（重难点训练）
目录
研判·考情前瞻...........................................................................................................................1
巩固·知识解构...........................................................................................................................2
知识点1 水平面内的圆盘临界极值问题...............................................................................2
知识点2 竖直面内圆周运动临界极值问题...........................................................................4
模拟·基础演练...........................................................................................................................5
题型01 水平面内的圆盘临界极值问题.................................................................................5
题型02 竖直面内圆周运动临界极值问题.............................................................................9
题型03 斜面内圆周运动临界极值问题...............................................................................14
重难·创新演练.........................................................................................................................16
真题·实战演练.........................................................................................................................22
研判·考情前瞻
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
水平面内的圆盘临界极
值问题
江西·T7
海南·T14、海南·T8
竖直面内圆周运动的临
界与极值问题
湖北·T9
安徽·T14(1)、
福建·T15(3)、
浙江1 月·T18(2)。
天津·T11(2)、
贵州·T15(1)、
安徽·T14(1)。
考情分析
题型与考向：
高考对圆周运动的临界问题的单独考查不是太常见，大多在综合性的计算题
中出现的比较频繁，并且会结合有关的功能关系。
情境与立意：
水平转盘上单个物体靠摩擦提供向心力临界问题；或者两个物体通过细绳
（弹簧）连接后放在水平粗糙转盘上的临界；竖直面内的轻绳、轻杆模型；
倾斜转盘上的临界问题。
复习目标
1．掌握水平面内圆盘模型的动力学分析及临界条件。
2．掌握竖直面内圆周运动的基本规律，并能够联系实际问题做出相应问题的
分析。
巩固·知识解构
知识点1 水平面内的圆盘临界极值问题
1．物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变
化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。
2．圆锥摆的临界和极值问题，常常与弹力有关
(1)绳子松弛的临界条件是：绳恰好拉直且没有弹力；绳子断开的临界条件是：绳上的拉力恰好达最大值。
(2)两物体接触或脱离的临界条件是：两物体间的弹力恰好为零。
(3)对于半圆形碗内的水平圆周运动，有两类临界情况：
摩擦力的方向发生改变；
恰好发生相对滑动。
①
②
3．水平转盘上的圆周运动及其临界问题
水平转盘上圆周运动的临界问题，主要涉及与摩擦力和弹力有关的临界极值问题。
(1)如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，
则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。
(2)如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体在水平面上转动，其临界情况要根据题设
条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉
力等)。
口诀：谁远谁先飞；
①
“
”
a
②或b 发生相对圆盘滑动的各自临界角速度：
f m=μ mg =mω2r ；
ω=√
μg
r
口诀：谁远谁先飞；
①
“
”
轻绳出现拉力，
②
先达到B 的临界角速度：
ω1=√
μg
rB ；
AB
③
一起相对圆盘滑动时，临界条件：
隔离A：T=μmAg；隔离B：T+μmBg=mBω2
2rB
整体：μmAg+μmBg=mBω2
2rB
AB 相对圆盘滑动的临界条件：
ω2=√
μ(mA+mB)g
mBrB
=
√
μg
mBrB
(mA+mB)
口诀：谁远谁先飞；
①
“
”
轻绳出现拉力，
②
先达到B 的临界角速度：
ω1=√
μg
rB
；
同侧背离圆心，
③
fAmax和fBmax指向圆心，一起相对圆盘滑动时，
临界条件：隔离A：μmAg-T=mAω2
2rA；隔离B：T+μmBg=mBω2
2rB
整体：μmAg+μmBg=mAω2
2rA+mBω2
2rB
AB 相对圆盘滑动的临界条
ω2=√
μ(mA+mB)g
mA r A+mBrB
=
√
μg
mA r A+mBrB
(mA+mB)
口诀：谁远谁先飞（
①
“
”
rB>rA）；
轻绳出现拉力临界
②
条件：
ω1=√
μg
rB
；
此时B 与面达到最大静摩擦力，A 与面未达到最大静摩擦力。
此时隔离A：fA+T=mAω2rA；隔离B：T+μmBg=mBω2rB
消掉T：
fA=μmBg-(mBrB-mArA)ω2
当
③
mBrB=mArA时，fA=μmBg，AB 永不滑动，除非绳断；
④AB 一起相对圆盘滑动时，临界条件：
1）当mBrB>mArA时，fA↓=μmBg-(mBrB-mArA)ω2↑→fA=0→反向→fA达到最大→
从B 侧飞出；
2）当mBrB<mArA时，fA↑=μmBg+(mArA-mBrB)ω2↑→fA达到最大
→ω↑→T↑→fB↓→fB=0→反向→fB达到最大→从A 侧飞出；
AB 相对圆盘滑动的临界条
ω2=√
μ(mA+mB)g
mA r A+mBrB
=
√
μg
mA r A+mBrB
(mA+mB)
临界条件：
①μA>μB ，
ω=√
μB g
rB
；
②μA<μB ，
ω=√
μA g
rB
临界条件：
①
ωmin=√
mB g−μmA g
r
②
ωmax=√
mB g+μmA g
r
知识点2 竖直面内圆周运动临界极值问题
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与
绳连接、物体沿内轨道运动等)，称为绳
“
(环)约束模型；二是有支撑
”
(如球与杆连接、物体在弯管内运动
等)，称为杆
“
(管)约束模型。
”
2．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型
杆模型
常见
类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
受力
特征
除重力外，物体受到的弹力向下或
等于零
除重力外，物体受到的弹力向下、等于
零或向上
受力
示意图
过最高
点的临
界条件
由mg＝m 得v 临＝
由小球恰能做完整的圆周运动得v 临＝0
讨论
分析
(1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，
绳、圆轨道对球产生弹力FN；
(2)不能过最高点时，v<，在到达最
高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0 时，FN＝mg，FN为支持力，沿
半径背离圆心；
(2)当0<v<时，mg－FN＝m，FN背离圆
心，随v 的增大而减小；
(3)当v＝时，FN＝0；
(4)当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心，
并随v 的增大而增大
模拟·基础演练
考查重点：水平面内的圆盘极值问题、竖直面内的轻绳轻杆问题、斜面内的圆周运动
⏳题型01 水平面内的圆盘临界极值问题
1．（25-26 高三上·安徽宿州·期末）如图所示，半径为的圆筒绕竖直中心轴
匀速转动，质量为
的
小物块A 靠在圆筒的内壁上，质量为
的小物块B 位于圆筒底面距中心轴
处，两个小物块均能与圆筒保
持相对静止。两个小物块与圆筒筒面的动摩擦因数均为
（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当动摩擦因数最小时，则对圆筒壁上的物块，根据牛顿第二定律可得，水平方向有
竖直方向有f-mg=0
又有f=μFN
对底面物块，根据牛顿第二定律可得
联立解得
故选A。
2．（2026·四川宜宾·一模）如图所示，半径为
的圆形餐桌桌面水平，中部有一半径为的圆盘，其圆心
与餐桌圆心重合可绕其中心轴转动。一个质量为
的小物块（可看作质点）放置在圆盘的边缘，圆盘转速
由零开始缓慢增加，小物块最终从餐桌上滑落。已知小物块与圆盘间的动摩擦因数为
，小物块与餐桌间
的动摩擦因数为
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为
，圆盘厚度及圆盘与餐桌间
的间隙不计。则（ ）
A．小物块在餐桌上做匀速直线运动
B．小物块在圆盘上的加速度一定大于
C．小物块在圆盘上随圆盘运动，角速度可能为
D．小物块在餐桌上滑动过程中摩擦生热为
【答案】D
【详解】A．小物块从圆盘上滑落后，小物块受到的摩擦力的方向与运动的方向始终相反，所以在餐桌上
做减速直线运动，故A 错误；
B．小物块在圆盘上做圆周运动时，随转盘转速的增加，加速度逐渐变大，小物块从圆盘上滑落的瞬间，
摩擦力达到最大静摩擦力，此时加速度最大，为
小物块在餐桌上的加速度
由于
，可知
，但小物块在圆盘上的加速度不一定大于
，故B 错误。
C．小物块在圆盘上随圆盘运动，角速度满足
即
，不可能为
，C 错误；
D．小物块从圆盘上滑落后沿圆盘的切线方向在桌面上做匀减速直线运动，在餐桌上滑动过程中相对桌面
滑动的位移
可知摩擦生热为
，D 正确。
故选D。
3．（2025·河北·模拟预测）如图所示，一质量
的小球C 用轻绳AC 和BC 系在竖直杆AB 上，现
在小球绕AB 杆匀速转动，轻绳伸直，OC 垂直于AB，此时
，
。已知轻绳AC 长为
1.0m，足够结实，轻绳BC 能承受的最大拉力为1.44N，小球C 可视为质点，g 取
，
，
。那么小球做圆周运动的角速度（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当轻绳AC 和BC 的拉力达到最大时，小球C 的角速度最大，在竖直方向，有
在水平方向，根据牛顿第二定律，有
解得
当轻绳BC 的拉力为零时，小球C 的角速度最小，在竖直方向，有
在水平方向，根据牛顿第二定律，有
解得
所以小球做圆周运动的角速度满足
故选A。
4．（多选）如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2kg 的木块，它与转台间的最大静摩擦力Fmax＝
6.0N，绳的一端系挂木块，通过转台的中心孔O（孔光滑），另一端悬挂一个质量m＝1.0kg 的物体，当转
台以角速度
＝5rad/s 匀速转动时，木块相对转台静止，木块到O 点的距离可能值（ ）
A．0.40m
B．0.25m
C．0.20m
D．0.06m
【答案】BC
【详解】由于木块所受静摩擦力的方向不确定，故我们需要求出两种临界情况。情况一，当方向指向圆心
的摩擦力达到最大静摩擦力时，此时木块到O 点的距离最大，对木块根据牛顿第二定律有
Fmax＋mg = Mω2rmax代入数据解得rmax = 0.32m
情况二，当方向背离圆心的摩擦力达到最大静摩擦力时，此时木块到O 点的距离最小，根据牛顿第二定律
有mg－Fmax = Mω2rmin代入数据解得rmin = 0.08m 所以木块到O 点的距离应该在0.08m ~ 0.32m 之间。
故选BC。
5．（多选）如图所示，两个质量均为m 的小木块a 和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a 与转轴
的
距离为l，b 与转轴
的距离为
。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块重力的k 倍，重力加速度大小为
g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用
表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
A．a 可能比b 先开始滑动
B．a、b 所受的静摩擦力始终相等
C．
是b 开始滑动的临界角速度
D．当
时，a 所受摩擦力的大小为
【答案】CD
【详解】AB．两个木块的最大静摩擦力相等，木块随圆盘一起转动，木块所受静摩擦力提供向心力，由
牛顿第二定律得，木块所受的静摩擦力满足
由于两个木块的m、ω 相等，a 的运动半径小于b，
所以b 所受的静摩擦力大于a 的静摩擦力，当圆盘的角速度增大时，b 的静摩擦力先达到最大值，所以b
一定比a 先开始滑动，故A、B 错误；
C．当b 刚要滑动时，物块所受静摩擦力达到最大，则有
解得b 开始滑动的临界角速度为
故C 正确；
D．当a 刚要滑动时，物块所受静摩擦力达到最大，则有
解得a 开始滑动的临界角速度为
因为
所以a 相对圆盘静止，此时a 物块所受摩擦力是静摩擦，则有
解得a 所受摩擦力的大小为
故D 正确。故选CD。
6．如图所示，小木块a 和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，开始时轻绳处于伸直状态但无拉
力，a 的质量为3m，b 的质量为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为r 和2r，a、b 与盘间的动摩
擦因数相同（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘始
终保持相对静止，a、b 所受摩擦力大小分别为
随
变化的图像正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当圆盘减速度较小时，两木块均由静摩擦力提供向心力，对a 物块有
对b 物块有
则b 物块受到的摩擦力较小，当角速度
时，b 物块所受摩擦力达最大值，则
此时a 物块所受摩擦力为
，即仍未达最大值；
此后随着圆盘角速度逐渐增大，b 物块所受摩擦力保持不变，a 物块所受摩擦力继续增大；当角速度
时，
a 物块所受摩擦力达最大值，设绳子拉力为
，对a、b 分别有
继续增大圆盘角速度，绳子拉力继续变大，b 物块所需向心力较小，所以b 物块所受摩擦力将逐渐减小至
零后反向再增大，此过程a 物块所受摩擦力为最大值保持不变。
故选C。
⏳题型02 竖直面内圆周运动临界极值问题
7．▶新情境◀（多选）如图甲所示，一质量m＝4kg 的小球（可视为质点）以v0＝4m/s 的速度从A 点冲上
竖直光滑半圆轨道。当半圆轨道的半径R 发生改变时，小球对B 点的压力与半径R 的关系图像如图乙所示，
g 取10m/s2，下列说法不正确的是（ ）
A．x＝2.5
B．y＝40
C．若小球能通过轨道上的C 点，则其落地点距A 点的最大水平距离为0.80m
D．当小球恰能通过轨道上的C 点时，半圆轨道的半径R＝64cm
【答案】ABD
【详解】AB．从A 到B，根据动能定理可得
在B 点，根据牛顿第二定律得
联立解得
结合题图乙可知
，
故AB 错误，AB 满足题意要求；
D．恰能通过最高点时，在最高点，根据牛顿第二定律可得
从最低点到最高点，根据动能定理可
得
解得
故D 错误，满足题意要求；
C．从最高点做平抛运动，则有
，
；
且
联立解得
当
解得
，
取最大值，可得
故C 正确，不满足题意要求。故选ABD。
8．（多选）如图所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。
小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，已知小球质量为m，杆长为L，重力加速度为g，不计空气阻
力。下列说法正确的是（ ）
A．小球在最高点时，小球的速度大小为
B．小球在最低点时，小球的速度大小为
C．小球在最低点时，杆对小球的作用力大小为
D．当杆处于水平位置时，杆对小球的作用力大小为
【答案】CD
【详解】A．小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，则小球在最高点的速度恰好为零，A 错误；
B．从最高点到最低点对小球应用动能定理可得
解得
，B 错误；
C．最低点对小球受力分析，由牛顿第二定律
解得
，C 正确；
D．从最高点到水平位置对小球应用动能定理可得
由牛顿第二定律
解得
，D
正确。故选CD。
9．如图所示，有一质量为m 的小球在竖直固定的光滑圆形管道内运动，管径略大于小球的直径，小球的
直径远小于内侧管壁半径R。A、C 为管道的最高点和最低点，B 为管道上与圆心等高的点，D 为管道上的
一点，且D 与圆心连线和水平方向夹角为45°，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．若小球在A 点的速度大小为
，则外侧管壁对小球有作用力
B．若小球在B 点的速度大小为
，则内侧管壁对小球有作用力
C．若小球在C 点的速度大小为
，则小球对管道的内外壁均无作用力
D．若小球在D 点的速度大小为
，则外侧管壁对小球有作用力
【答案】D
【详解】A．若小球在A 点的速度大小为
，则小球在A 点只受重力，管壁对小球无作用力，故A 错误；
B．在B 点，外侧管壁对小球的作用力提供小球做圆周运动的向心力，且有
故B 错误；
C．在C 点，小球受向下的重力和竖直向上的弹力，该弹力为外壁对小球的作用力，且有
解得
故C 错误；
D．在D 点时，若只受重力，则
解得
由于
，故外侧管壁对小球有指向圆心的作用力，故D 正确。
故选D。
10．在竖直平面内光滑圆轨道的外侧，有一小球（可视为质点）以某一水平速度从最高点A 出发沿圆轨道
运动，至B 点时脱离轨道，最终落在水平面上的C 点，圆轨道半径为
，重力加速度为
，不计空气阻力。
下列说法中正确的是（ ）
A．小球从A 点出发的速度大小
B．小球经过B 点时的速度大小
C．小球经过B 点时速度变化率大小为
D．小球落在C 点时的速度方向竖直向下
【答案】C
【详解】A．根据题意可知，小球在A 点没有脱离轨道，则小球对圆轨道的压力不为零，由牛顿第二定律
有
解得
故A 错误；
B．根据题意可知，小球在B 点脱离轨道，则小球对圆轨道的压力为零，只受重力作用，设此时小球与圆
心的连线与竖直方向的夹角为
，由牛顿第二定律有
解得
故B 错误；
C．根据题意可知，小球在B 点脱离轨道，则小球对圆轨道的压力为零，只受重力作用，小球的加速度为
，即小球经过B 点时速度变化率大小为
，故C 正确；
D．根据题意可知，小球在B 点脱离轨道，速度方向为斜向下，只受重力作用，水平方向做匀速直线运动，
小球落地时，水平方向速度不为零，则小球落在C 点时的速度方向不可能竖直向下，故D 错误。故选C。
11．（2025·安徽·模拟预测）如图所示，质量均为m 的小球1、2 分别固定在长为2L 的轻质硬杆的中点以
及一端点，硬杆可绕过另外顶端O 点的轴在竖直面内转动。若小球1 在最低点的速度大小为v，重力加速
度大小为g，不计阻力，则轴受到的作用力F1的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】若小球1 在最低点的速度大小为v，则小球2 在最低点的速度大小为2v，对球2 根据牛顿第二定
律得
对球1 根据牛顿第二定律得
解得
故选C。
12．《水流星》是中国传统民间杂技艺术，杂技演员用一根绳子兜着里面倒上水的两个碗，迅速地旋转着
绳子做各种精彩表演，即使碗底朝上，碗里的水也不会洒出来。假设水的质量为m，绳子长度为L，重力
加速度为g，不计空气阻力。绳子的长度远远大于碗口直径。杂技演员手拿绳子的中点，让碗在空中旋转。
(1)两碗在竖直平面内做圆周运动，若碗通过最高点时，水对碗的压力等于mg，求碗通过最高点时的线速
度；
(2)若两只碗在竖直平面内做圆周运动，两碗的线速度大小始终相等，如图甲所示，当正上方碗内的水恰好
不流出来时，求正下方碗内的水对碗的压力；
(3)若两只碗绕着同一点在水平面内做匀速圆周运动，碗的质量为M。如图乙所示，已知绳与竖直方向的夹
角为
，求碗和水转动的角速度大小。
【答案】(1)
；(2)2mg，方向竖直向下；(3)
【详解】（1）碗通过最高点时，水对碗的压力等于mg，根据牛顿第二定律可得
其中
，
解得
（2）当正上方碗内的水恰好不流出来时，设速度为
，此时重力提供向心力，则
设最低点碗对水的支持力为
，则有
解得
由牛顿第三定律可知，正下方碗内的水对碗的压力为2mg，方向竖直向下。
（3）绳子的拉力为F，以碗和水为整体，竖直方向有
水平方向上根据牛顿第二定律可得
又
联立解得
⏳题型03 斜面内圆周运动临界极值问题
13．（2025·安徽合肥·三模）如图所示，与水平方向成θ=30°角的圆盘绕垂直于盘面且过圆心的轴做匀速圆
周运动，角速度
。盘面上距轴r=0.5m 处有一可视为质点的小物块恰能与圆盘保持相对静止。
小物块的质量m=1kg，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g 取10m/s2，下列说法错误的是
（ ）
A．物块与盘面间的动摩擦因数为
B．物块从最低点转到最高点的过程中，圆盘对物块的摩擦力一直减小
C．物块转至与圆盘圆心高度相同处时，圆盘对物块的摩擦力大小为2.5N
D．在保持物块相对圆盘静止的情形下，改变圆盘角速度，物块在最高点的摩擦力不可能为零
【答案】C
【详解】B．对小物块受力分析，可知向心力由重力沿转盘斜面的下滑分力和转盘对物块的静摩擦力提供，
如图所示
以重力下滑分力的箭尾为圆心，向心力的大小为半径作圆，根据力的三角形定则可知，物块从最低点转到
最高点的过程中，圆盘对物块的摩擦力一直减小，故B 正确，不符合题意；
A．由B 的分析可知，物块在最低点时摩擦力最大，最容易脱落。物块与转盘恰能保持相对静止，可知物
块转至最低点时，摩擦力恰好为最大静摩擦力，根据牛顿第二定律有
解得
，故A 正确，不符合题意；
C．当物块转至与转盘圆心高度相同处时，根据平行四边形定则有
，故
C 错误，符合题意；
D．若最高点摩擦力为零，根据牛顿第二定律有
解得
，大于
，故在保持物块相对圆盘静止的情形下，改变圆盘角速度，物块在
最高点的摩擦力不可能为零，故D 正确，不符合题意。
故选C。
14．如图所示，在倾角为
且足够大的光滑斜面上，有一长为L 的细线，细线的一端固定在O 点，另
一端拴一质量为m 的小球。现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动。已知重力加速度为g，下列判定
正确的是（ ）
A．小球在斜面上做匀速圆周运动
B．在最高点A 点时速度为
C．小球在最高点时的加速度为g
D．小球从B 运动到A 过程中，线拉力一直在减小
【答案】D
【详解】A．根据机械能守恒定律，小球在斜面上做圆周运动速率变化，不是做匀速圆周运动，故A 错误；
B．据牛顿第二定律得
所以
故B 错误；
C．小球在最高点时的加速度为
解得
故C 错误；
D．小球从最低位置转过角度
，根据圆周运动和牛顿第二定律有
小球从B 运动到A 过程中，v 减小，
减小，线拉力一直在减小，故D 正确。
故选D。
重难·创新演练
设题创新:水平面内圆周运动与图像结合、竖直面内的拱形桥问题、斜面内的圆周运动
1．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M 和m（M>m），
它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的
倍，两物体用一根长为L（L<R）的轻绳连在一起，如图所
示。若将甲物体放在转轴的位置，甲、乙之间的轻绳刚好沿半径方向被拉直，让圆盘从角速度为0 开始转
到，角速度逐渐增大，两物体与圆盘不发生相对滑动，（两物体均可看作质点，重力加速度为g）则下列
说法正确的是（ ）
A．随着角速度的增大的过程中，物块m 受到的摩擦力先增加再逐渐减少
B．随着角速度的增大的过程中，物块M 始终受到摩擦力
C．则圆盘旋转的角速度最大不得超过
D．则圆盘旋转的角速度最大不得超过
【答案】D
【详解】AB．当圆盘角速度较小时，m 的向心力由静摩擦力提供，绳子没拉力，由牛顿第二定律
m 受的静摩擦力随角速度增大而增大，当角速度增大到
时，静摩擦力达到最大静摩擦力
，角速度再
增大，绳子拉力出现，由牛顿第二定律
随着角速度增大，m 受的摩擦力保持不变，一直为
最大静摩擦力
。则随着角速度的增大的过程中，物块m 受到的摩擦力先增加后保持不变，当绳子有力
时，M 开始受到摩擦力作用，故AB 错误；
CD．当绳子的拉力增大到等于甲的最大静摩擦力时，角速度达到最大，对m 和M，分别有
；
联立可得
故C 错误，D 正确。故选D。
2．（多选）汽车行驶中经常会经过一些凹凸不平的路面，其凹凸部分路面可以看作圆弧的一部分，如图
所示的A、B、C 处，其中B 处的曲率半径最大，A 处的曲率半径为
，C 处的曲率半径为
，重力加速
度为g。若有一辆可视为质点、质量为m 的小汽车与路面之间各处的动摩擦因数均为
，当该车以恒定的
速率v 沿这段凹凸路面行驶时，下列说法正确的是（ ）
A．汽车经过A 处时处于失重状态，经过C 处时处于超重状态
B．汽车经过B 处时最容易爆胎
C．为了保证行车不脱离路面，该车的行驶速度不得超过
D．汽车经过C 处时所受的摩擦力大小为
【答案】AC
【详解】A．小车经过A 处时具有向下指向圆心的向心加速度，处于失重状态，经过C 处时具有向上指向
圆心的向心加速度，处于超重状态，A 正确；
B．在B、C 处受向下的重力mg、向上的弹力
，由圆周运动有
得车对轨道的压力
故在B、C 处处于超重，以同样的速度行驶时，R 越小，压力越大，越容易爆胎，故在
半径较小的C 处更容易爆胎，B 错误；
D．在C 处所受的滑动摩擦力
，D 错误；
C．要使车安全行驶，则不得离开地面，故经过A 处时恰不离开地面有
即安全行驶的速度不得超
过
，C 正确。故选AC。
3．如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m 的球A 和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A 为L
处的O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作
用力。忽略空气阻力，重力加速度为g。则球B 在最高点时（ ）
A．球B 的速度为零
B．球A 的速度大小为
C．水平转轴对杆的作用力为mg
D．水平转轴对杆的作用力为2mg
【答案】B
【详解】A．球B 运动到最高点时，球B 对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有
解得
故A 错误；
B．由于A、B 两球的角速度相等，由v=ωr
得球A 的速度大小为
故B 正确；
CD．杆对A 球的作用力
则
B 球到最高点时，对杆无弹力，所以水平转轴对杆的作用力为1.5mg，CD 错误。
故选B。
4．（多选）如图甲所示，两个完全一样的小木块a 和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，a 与
转轴OO′的距离为l。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘保持相对静止。ω 表示圆盘转
动的角速度，a、b 与圆盘保持相对静止的过程中所受摩擦力与ω2满足如图乙所示关系，图中f2= 3f1，下
列判断正确的是（ ）
A．图线（1）对应物体b
B．绳长为2l
C．
D．ω = ω2时绳上张力大小为
【答案】ABD
【详解】A．根据图像刚开始为过原点的直线，可得开始时有 f = mω2r
则刚开始时绳子无拉力，摩擦力提供各自的向心力为
，
因为
，所以有
则图线（1）对应物体b，A 正确；
B．当
时，对物体ab 有
，
，
可得
解得
所以绳子长度为
B 正确；
CD．当
时，对b 有
得
当
时，设此时绳子拉力为
，对物体ab 有
，
联立解得
，
C 错误，D 正确。
故选ABD。
5．（多选）一个“L”形支架固定在水平转台上，如图所示，支架两边与水平面的夹角分别为
和
，且
。转台绕过支架顶点
的竖直轴线以角速度
匀速转动，两个小物块
、
随支架转动且与支架相
对静止。已知
、
距离水平转台的高度相同，下列说法正确的是（ ）
A．物块
、
的向心加速度大小相等
B．物块
、
受到的摩擦力不可能同时为零
C．当物块
受到的摩擦力为零时，
受到的摩擦力一定沿支架右边平面向下
D．若物块
受到的摩擦力为零时，
受到的摩擦力一定沿支架左边平面向下
【答案】BC
【详解】A．由
依题意
相同，
解得
，A 错误；
B．如图所示，若物块A 恰好不受摩擦力作用，由牛顿第二定律
有
设物块
、
距离水平转台的高度为
有
解得
若物块B 恰好不受摩擦力作用
同理可得
依题意
解得
故物块
、
受到的摩擦力不可能同时为零，B 正确；
C．由前面分析可知，当物块A 恰好不受摩擦力作用时，转台的角速度为
当物块B 恰好不受摩擦力作用时，转台的角速度为
因为
有
由
得当物块
受到的摩擦力为零时，物块
需要的向心力大于重力、支持力能提供的合力，物块B 有沿斜面
向上滑的趋势，故
受到的摩擦力一定沿支架右边平面向下，C 正确；
D．由前面分析可知，当物块
受到的摩擦力为零，由
，物块A 需要的向心力小于重力、支持力能
提供的合力，物块A 有沿斜面向下滑的趋势，故
受到的摩擦力一定沿支架左边平面向上，D 错误。
故选BC。
6．（2026·安徽·模拟预测）如图，半径为
的餐桌中心有一个半径为
的圆盘，沿半径方向
放置物体A 和B，
，
，它们分居在圆心两侧，A 恰在圆盘边缘，与圆心距离为
，
B 与圆心距离
，中间用细线相连，A、B 与盘间的动摩擦因数均为
，A 与桌面间动摩擦因
数为
，桌面上表面距地面高度
。现从静止开始缓慢增大圆盘的角速度，若最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，重力加速度
，圆盘厚度及圆盘与桌面的间隙都不计，物体A 和B 均可视为
质点。求：
(1)当圆盘转动的角速度为
时，物体A 和B 所受的摩擦力大小；
(2)当圆盘转动的角速度为
，绳子恰好断裂，求物体A 落到地面时距O 点的水平距离。
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）由
得
可知
可判断随着圆盘角速度的增大，物体A 先达到最大静摩擦力，设当角速度为
时，物体A 刚好达到最大
静摩擦力，则：
则：
因为
，则物体A 受到的摩擦力达到最大值，且绳子有拉力，则：
，
解得：
A 受到的摩擦力达到最大值：
（2）两物体都将相对转盘滑动时，对A 有
对B 有
解得：
故当圆盘转动的角速度为
时，两物体都相对于圆盘静止，物体A 的线速度：
绳断后，物体A 滑至桌面，在桌面上做匀减速运动，则：
，
，
解得：
物体A 离开桌面后做平抛运动，则：
，
解得：
物体A 落到地面时距O 点的水平距离为：
代入数据解得：
真题·实战演练
高频考点：水平面内圆周运动、竖直面内圆周运动特殊位置的动力方程的应用
1．（2024·江苏·高考真题）制作陶瓷时，在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑。假设陶屑与台面间的
动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。将陶屑视为质点，则（ ）
A．离转轴越近的陶屑质量越大
B．离转轴越远的陶屑质量越大
C．陶屑只能分布在台面的边缘处
D．陶屑只能分布在一定半径的圆内
【答案】D
【详解】与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，
根据牛顿第二定律可得
解得
因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同，由此可知能与台面相对静止的陶屑离转轴的距离与陶屑质量
无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑。μ 与ω 均一定，故
为定值，即陶屑离转轴最远
的陶屑距离不超过
，即陶屑只能分布在半径为
的圆内。故ABC 错误，故D 正确。
故选D。
2．（2026·湖北·高考真题）（多选）如图所示，半径为
、内壁光滑的圆环轨道固定在竖直平面内。初始
时刻，质量为
的小球甲从圆环内表面最高处以大小为
（
为重力加速度大小）的水平初速度
向右运动，同时质量为
的小球乙从圆环内表面最低处以某一水平初速度向左运动。当甲第一次运动到
圆环最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．乙的初速度大小为
B．甲、乙两小球运动的周期相等
C．任意时刻两小球的连线均过圆环圆心
D．任意时刻两小球对圆环作用力的合力均不为零
【答案】BD
【详解】A．根据题意当甲第一次运动到最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点，根据对称性可知，
乙的初速度大小等于甲到达最低点时的速度大小，故乙在最高点时的速度大小等于
，设乙球在
最低处时速度为
，由机械能守恒得
解得
，故A 错误；
B．根据题意当甲第一次运动到最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点，根据对称性可知，球从最高
点到最低点和从最低点到最高点的时间相等，故甲乙两球运动的周期相等，故B 正确；
CD．分析可知，甲从最高点运动到最低点，速度大小从
增大到
，乙从最低点到最高点，速度
大小从
减小到
，从初始时刻取一很短时间
，甲经过的弧长短，乙经过的弧长长，转过的角
度不同，故不可能任意时刻两小球的连线均过圆心；故C 错误；
D．根据前面分析可知除两球分别在最高点和最低点时两球连线经过圆心，其它位置均不满足两小球的连
线过圆心，乙球在最高点和最低点时，分别有
，
解得
，
甲球在最低点和最高点时，分别有
，
解得
，
根据牛顿第三定律可知乙球在最高点时对圆环的作用力大小为
，此时甲球在最低点对圆环的作用力大
小为
；当乙球在最低点时对圆环的作用力大小为
，此时甲球在最高点对圆环的作用力大小为
，
故这两个位置两球对圆环的作用力的合力不为零，结合前面分析其它位置均不满足两小球的连线过圆心，
即其它位置两球对圆环的作用力不共线，故合力不可能为零，故对任意时刻两小球对圆环作用力的合力均
不为零，故D 正确。
故选BD。
3．（2024·海南·高考真题）水平圆盘上紧贴边缘放置一密度均匀的小圆柱体，如图（a）所示，图（b）为
俯视图，测得圆盘直径D = 42.02cm，圆柱体质量m = 30.0g，圆盘绕过盘心O 的竖直轴匀速转动，转动
时小圆柱体相对圆盘静止。
为了研究小圆柱体做匀速圆周运动时所需要的向心力情况，某同学设计了如下实验步骤：
(1)用秒表测圆盘转动10 周所用的时间t = 62.8s，则圆盘转动的角速度ω = _____rad/s（π 取3.14）;
(2)用游标卡尺测量小圆柱体不同位置的直径，某次测量的示数如图（c）所示，该读数d = _____mm，多
次测量后，得到平均值恰好与d 相等。
(3)写出小圆柱体所需向心力表达式F = __________（用D、m、ω、d 表示），其大小为_____N（保留2
位有效数字）
【答案】(1)1 (2)16.2 (3)
6.1 × 10－3
【详解】（1）圆盘转动10 周所用的时间t = 62.8s，则圆盘转动的周期为
根据角速度与周期的关系有
（2）根据游标卡尺的读数规则有 1.6cm＋2 × 0.1mm = 16.2mm
（3）[1]小圆柱体做圆周运动的半径为
则小圆柱体所需向心力表达式
[2]带入数据有F = 6.1 × 10－3N
4．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N 为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距
。一根
长为
的轻绳一端系在M 上，另一端竖直悬挂质量
的小球，小球与水平地面接触但无压力。
时，小球以水平向右的初速度
开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、
M，运动到M 正下方与M 相距L 的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳
子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g 取
。
(1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小；
(2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离；
(3)若在
时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N 的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。
【答案】(1)
，
(2)4m (3)
【详解】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M 正下方距离为L 的位置时，根据机械能守恒定律
在该位置时根据牛顿第二定律
解得
，
（2）小球做平抛运动时
，
解得x=4m
（3）若小球经过N 点正上方绳子恰不松弛，则满足
从最低点到该位置由动能定理
解得
5．（2025·福建·高考真题）如图甲，竖直平面内，一长度大于4 m 的水平轨道OP 与光滑半圆形轨道PNM
在P 点平滑连接，固定在水平地面上。可视为质点的A、B 两小物块靠在一起，静置于轨道左端。现用一
水平向右推力F 作用在A 上，使A、B 向右运动。以x 表示A 离开初始位置的位移，F 随x 变化的图像如
图乙所示。已知A、B 质量均为0.2 kg，A 与水平轨道间的动摩擦因数为0.25，B 与水平轨道间的摩擦不计，
重力加速度大小取
。
（1）求A 离开初始位置向右运动1 m 的过程中，推力F 做的功；
（2）求A 的位移为1 m 时，A、B 间的作用力大小；
（3）若B 能到达M 点，求半圆形轨道半径应满足的条件。
【答案】(1)1.5J (2)0.5N (3)
【详解】（1）求
，F 做的功
（2）对AB 整体，根据牛顿第二定律
其中
对B 根据牛顿第二定律
联立解得
（3）当A、B 之间的弹力为零时，A、B 分离，根据（2）分析可知此时
此时
过程中，对A、B 根据动能定理
根据题图可得
从
点到
点，根据动能定理
在
点的最小速度满足
联立可得
即圆弧半径满足的条件
。
