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第57 讲 “动态圆”“磁聚焦”和“磁发散”模型
核心考点
考点一 用“动态圆”思想处理临界、极值问题........................................................................1
考点二 “磁聚焦”和“磁发散”模型......................................................................................14
考点一 用“动态圆”思想处理临界、极值问题
1．解题思路
(1)先不考虑磁场边界，假设磁场充满整个空间，根据题给条件尝试画出粒子可能的运动
轨迹圆。
(2)结合磁场边界找出临界条件。
(3)根据几何关系、运动规律求解。
根据粒子射入磁场时的特点，分析临界条件的常用技巧有三种：动态圆放缩法、定圆旋
转法、平移圆法。
2．分析临界、极值问题常用的四个结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v 一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v 变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况
画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。
(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场
区域圆直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
►考向1 动态圆放缩法
适用
条件
速度方向一定、大
小不同
粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀
强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨
道半径与粒子速度大小有关
特点
轨迹圆圆心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情境)，速度v 越
大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场
基础过关
1
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后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线
PP′上
界定
方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探
索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
►考向2 定圆旋转法
适用
条件
速度大小一定、
方向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀
强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，
若射入初速度大小为v0，则圆周运动半径为r＝，如图
所示
特点
轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O
为圆心、半径r＝的圆上
界定
方法
将半径为r＝的轨迹圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条
件，这种方法称为“旋转圆”法
►考向3 平移圆法
适用
条件
速度大小一定，
方向一定，但入
射点在同一直线
上
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线
上的带电粒子，它们进入匀强磁场时，做匀速圆周运动的半
径相同，若入射速度大小为v0，则运动半径r＝，如图所示
特点
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线
界定
将半径为r＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”
2
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方法
法
【例1】（2025·江西·二模）如图所示，在xOy 坐标的第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁
场，磁感应强度为B，在x 轴和y 轴上装有两相互垂直的平面荧光屏，在第一象限坐标
的M 点处有一粒子源，在某时刻同时发射大量质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，它们的
速度大小相同，均为
，速度方向均在xOy 平面内，分布在
范围内。观察发现：
x 轴上的荧光屏OP 之间发光，在P、Q 之间的任一位置会先后两次发光；O、Q 之间的任一
位置只有一次发光，不考虑粒子间的相互作用和粒子所受重力，求：
(1)粒子的运动半径和P 点的坐标；
(2)粒子打到荧光屏上的最短时间（用反角函数表达）；
(3)Q 点先后两次发光的时间间隔。
【答案】(1)2l，
(2)
/
、
）
(3)
【详解】（1）由牛顿第二定律有
可知带电粒子运动的半径为
P 点是发光的最远点，因此MP 为圆轨迹的直径，根据几何知识可得
解得
3
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所以P 点的坐标为
（2）带电粒子运动到y 轴上的荧光屏最短的弦长为l，对应的圆心角为
，则
由牛顿第二定律有
相应的最短时间为
（或
、
）
（3）Q 点第二次发光时，粒子的运动轨迹与x 轴相切，由几何知识可得，其对应的圆心角为
第一次发光时，粒子的运动轨迹对应的圆心角为
因此两次发光的时间间隔为
【例2】（2025·湖南娄底·二模）如图，在
坐标系内，有几个电磁场区域，在
的上
方有一个垂直平面向里的匀强磁场区域，圆心为
，磁感应强度
，在
到
轴之间，有一个沿
轴正向的匀强电场区域
（图中未画出）。区域下边界与
区域上边
界相切在第三、四象限有一个垂直平面向外的匀强磁场区域
，磁感应强度未知。
为一个
与
等高的处于磁场区域边沿的粒子源，可以源源不断地向右侧区域各个方向发射质量为
，
带电量为
的粒子，粒子速度大小相同都为
。所有粒子均沿
轴负向垂直进入区域
，最
右侧的粒子恰好经过原点
进入区域
。忽略各种场的边缘效应求：
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(1)
点的坐标：
(2)电场强度
与
的比值，及粒子进入区域
时的速度大小；
(3)若粒子从
区域再次穿过
轴时，
区域的电场方向变为等大反向，最终所有粒子从
区
域与
等高的
点离开磁场，求
区域的磁感应强度
大小。
【答案】(1)
点坐标为（
，
）
(2)
，
(3)
【详解】（1）所有粒子均沿
轴负向垂直进入区域
，所以可知，带电粒子做圆周运动的
半径与磁场区域半径相同；由
可得
所以
点坐标为（
，
）。
（2）最右侧的粒子恰好经过原点
进入区域
，则有
化简可得
所以
设粒子进入区域
的速度大小为
，则有
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可得
（3）所有粒子在区域
和区域
运动过程中间距始终相等，若最右侧的粒子恰好经过原点
进入区域
，则最左侧粒子从
点正下方的
处进入电场，又因为最终所有粒子从
区域与
等高的
点离开磁场，根据运动的对称性可知，最左侧粒子恰好从原点
返回区
域
。其全程运动轨迹如图所示
即所有粒子在区域
中运动后向右偏移
。
方法一：对粒子沿
方向用动量定理有
即
解得
方法二：由类平抛运动规律可知，进入区域
时速度与水平夹角为
，则有
，
所以进去区域
时速度大小
由洛伦兹力提供向心力可得
又
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解得
【例3】（2025·河北·三模）如图所示，在直角坐标系
的第一象限内存在着一个半径为
、
磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域，
为圆心，该磁场区域分别
与
轴、
轴相切于
点、
点。在
点处有一粒子源，可以向第一象限内的各个方向射入
速度大小相等、质量均为
、电荷量均为
的粒子，不计粒子所受重力及粒子间的
相互作用，粒子在磁场中只受洛伦兹力作用。已知沿
轴正方向射入的粒子，在
轴的
点射出。下列说法正确的是（ ）
A．粒子的速度大小为
B．与
轴正方向成
角射入圆形匀强磁场区域的粒子，最后经过
轴上的横坐标为
C．若将粒子的速度大小设为
，其他条件不变，则粒子在圆形匀强磁场区域中运
动的最长时间为
D．若将粒子的速度大小设为
，其他条件不变，则圆形匀强磁场区域边界上能够被粒
子打到的弧长为
【答案】AC
【详解】A．设粒子的轨迹半径为
，已知粒子从
点沿
轴正方向射入，在
轴的
点射出。
根据几何关系可知
粒子在圆形匀强磁场区域中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力有
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可得粒子的速度大小为
故A 正确；
B．如图所示。
为粒子轨迹的圆心
由几何关系可以得出射出点的横坐标为
故B 错误；
C．若
，设粒子的轨迹半径为
，由洛伦兹力提供向心力
可得
粒子在圆形匀强磁场区域中运动时间最长时，圆形匀强磁场区域的直径是粒子轨迹的一条弦，
粒子轨迹如图所示，
为粒子轨迹的圆心。
由几何关系可知
解得
则粒子的射入速度方向与
轴正方向的夹角为
粒子运动的周期为
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粒子在磁场中运动的最长时间为
故C 正确；
D．设粒子轨道的轨迹半径为
，若
，则
粒子打到圆形匀强磁场区域边界的最远位置距离
点为
粒子的轨迹如图所示。
由几何关系可知，最大距离
所对应的圆形匀强磁场区域的圆心角为
，圆形匀强磁场边
界上能够被粒子打到的弧长为
，故D 错误。
故选AC。
【例4】（2025·山西吕梁·三模）如图所示，
和
是竖直圆
的两条相互垂直的直径，
水平，
为过点
且平行
的直线，圆
内部充满磁感应强度大小为
、方向垂直
纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。现有一束宽度和
相等、电荷量为
、质量为
的
带正电粒子以相同速率平行直径
射入圆
，粒子均通过
点进入直线
下方。已知圆
的半径为
，不计重力及粒子间的相互作用。
(1)求粒子的速率
；
(2)若直线
下方充满磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向外的匀强磁场，分别射向
和
中点的两粒子进入直线
下方后又均从
点射出
下方磁场，求
点到
点的距
离
；
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(3)若直线
下方、
延长线的右侧存在一个垂直纸面向里的矩形匀强磁场，直线
和
延长线分别为其两个边界，该磁场竖直方向边长为
，水平方向边长为
。已知粒子在
该磁场中做圆周运动的半径介于
到
之间，在该磁场中运动时间最长的粒子的运动时间恰
好为粒子在该磁场中做圆周运动周期的
，求矩形磁场的磁感应强度大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意可知，以相同速率平行直径
射入圆
，粒子均通过
点进入直
线
下方，由磁聚焦可知，粒子在磁场中做圆周运动半径为
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
（2）结合上述分析可知，粒子进入
下方后做圆周运动的半径为
由几何关系可得，两粒子从
点射出圆形磁场时速度方向与
延长线的夹角相等，设为
，
则
由几何关系可得
联立解得
（3）设矩形磁场磁感应强度大小为
，粒子做圆周运动的轨道半径为
，根据洛伦兹力提
供向心力，得
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解得
当
时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为
的圆弧，圆弧与矩形
磁场的边界相切，如图所示
设该粒子在矩形磁场中运动的时间为，依题意
回旋角度为
，设该粒子进入矩形磁场时的速度方向与竖直方向间的夹角为
，由几何关系
得
，
，
解得
，
（舍）
联立解得
【例5】（2025·四川攀枝花·三模）如图所示，正方形abcd 区域被MN 分为上、下两个矩形，
、
，MN 下方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，MN 上方有平
行bc 边向下的匀强电场。在cd 边的中点P 处有一粒子源，沿纸面向磁场中各方向均匀的辐
射出速率大小均为
的某种带正电粒子，粒子的质量为m、电荷量为q。粒子源沿P→c
方向射出的粒子恰好未从ab 边离开电场，不计粒子重力和粒子之间的库仑力，则下列说法中
正确的是（ ）
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A．粒子在磁场运动的半径为d
B．从MN 上射出的粒子中，在磁场中运动的最短路程为d
C．匀强电场的场强大小为
D．粒子源沿P→c 方向射出的粒子在abcd 区域运动的时间为
【答案】AC
【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力可得
解得
故A 正确；
B．由数学知识可知，最短弦对应最短的弧长，由图可知
由几何关系可知
最短的弧长即最短路程为
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故B 错误；
C．粒子源沿P→c 方向射出的粒子恰好未从ab 边离开电场，根据动能定理可得
解得
故C 正确；
D．粒子源沿P→c 方向射出的粒子在abcd 区域，根据
，
解得
在磁场中，运动时间为
在电场中，根据牛顿第二定律
根据运动学公式
解得
返回磁场之后，粒子在洛伦兹力作用下向右偏转，由几何关系可知，粒子在磁场中运动轨迹
的圆心角为
，然后从
边飞出abcd 区域，则运动时间为
则粒子源沿P→c 方向射出的粒子在abcd 区域运动的时间为
故D 错误。
故选AC。
1.临界问题的分析重点是临界状态
临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的
转折点，此转折点即为临界状态点。与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件
是解决临界问题的突破点。
精讲考点
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2.极值问题
所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般
有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助几何图形进行直
观分析。
考点二 “磁聚焦”和“磁发散”模型
1．“磁聚焦”模型
(1)现象：如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场
区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出。
(会聚)
(2)条件：轨迹圆半径R 等于磁场圆半径r。
(3)证明：四边形OAO′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO′(即竖
直方向)，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点。
2．“磁发散”模型
(1)现象：如图乙所示，从P 点有大量质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，以大小相等
的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发
散)
(2)条件：轨迹圆半径等于磁场圆半径
(3)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也
是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)。
【例6】（2025·北京昌平·二模）比荷
是基本粒子的关键参数之一。通过测定不同粒子
的比荷，科学家可以区分粒子种类并研究其性质。
基础过关
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(1)1897 年汤姆孙通过研究阴极射线发现了电子，并设计了测定电子比荷的实验装置，如图1
所示。真空管内阴极K 发出的电子经加速电压加速后，沿中心轴线
进入长度为L、间距
为d 的水平平行极板P 和
间的区域。在极板间加合适的电压U 和磁感应强度大小为B、方
向垂直纸面向里的匀强磁场时，电子刚好打在荧光屏中心O 点；当极板间不加电压、只保留
磁场时，电子束打在荧光屏上
点。结合仪器中的一些几何参量可确定电子刚离开磁场时沿
竖直方向的偏移距离为h。不计电子重力及电子间相互作用。
①求电子在极板间运动时的速度大小v；
②推导电子比荷的表达式。
(2)如图2 所示为磁聚焦法测量电子比荷的实验装置示意图。螺线管内部存在磁感应强度大小
为B、方向与螺线管轴线平行的匀强磁场。电子枪从O 点射出速度大小均为v，方向不同的电
子，且电子速度v 与磁场方向的夹角
非常小。由于电子具有近似相等的水平方向速度和大
小不同的竖直方向速度，所以电子从O 点分离一段时间后汇聚于螺线管轴线上一点。调节B
的大小可使电子经过多次汇聚后刚好打在荧光屏上的P 点。已知P 点为电子第n 次汇聚点，
OP 间的距离为H。不计电子重力及电子间相互作用，装置内部为真空。当
很小时，
，
。试推导电子比荷的表达式。
【答案】(1)①
;②
(2)
【详解】（1）①电子在电场和磁场的作用下做匀速直线运动，电场力与洛仑兹力平衡
电场强度
联立可得
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②只保留磁场时，电子在磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力
电子刚离开磁场时沿竖直方向的偏移距离为h，根据几何关系得
联立得
将
代入上式得
（2）电子在垂直磁场方向上做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力
周期
得
电子在沿磁场方向上做匀速直线运动
当
很小时
联立可得
【例7】（2023·广东汕头·一模）1897 年，汤姆逊利用电磁偏转的方法，测量了电子的荷质比。
20 世纪初，考夫曼用磁聚焦法也测量出粒子的荷质比，并且该实验还是狭义相对论基础实验
之一。如图为磁聚焦法简化原理图。电子从电子枪K 出发，初速度为零。虽然由于各种原因
在Q 处会出现散开一个角度，但可以认为经过加速电场MN 的做功，所有电子均获得相同的
轴向速度。如图方向的磁场作用下，电子将做螺旋运动，重新会聚在另一点。这种发散粒子
束会聚到一点的现象与透镜将光束聚焦现象十分相似，因此叫磁聚焦。已知加速电压为U，
磁感应强度为B，Q 处角度为2θ，电子的轴向速度为
，不计重力以及电子之间的相互作用，
求：
（1）求电子的比荷k；
（2）求在磁场中相邻两个会聚点的距离。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）电子经过加速电场加速，由动能定理可得
解得
（2）电子进入磁场后，受洛伦兹力影响，在径向上做匀速圆周运动，则
电子在磁场中运动周期为
轴上两个会聚点的距离为
，则
联立可得
【例8】（2023·广东·模拟预测）磁聚焦和磁发散技术在许多真空系统中得到了广泛应用，如
电子显微镜技术，它的出现为科学研究做出了重大贡献。现有一个磁发散装置，如图所示，
在半径为R 的圆形区域内存在垂直纸面向外，磁感应强度为B 的匀强磁场，在圆形磁场区域
右侧有一方向竖直向下，电场强度为E 的匀强电场，电场左边界与圆形磁场右边界相切。在
水平地面上放置一个足够长的荧光屏PQ，它与磁场相切于P 点。粒子源可以持续的从P 点向
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磁场内发射速率为v 方向不同的带正电同种粒子。经观测：有一粒子a 以竖直向上的初速度
射入磁场，该粒子经磁场偏转后恰好以水平方向离开磁场，然后进入电场区域。粒子b 进入
磁场的速度方向与粒子a 的速度方向夹角为
（未知），进入磁场后，粒子b 的运动轨迹恰
好能通过圆形磁场的圆心O，最终也进入到电场区域。已知电场强度和磁感应强度的关系满
足
，不计粒子重力及粒子间相互作用。求：
（1）粒子的比荷
；
（2）粒子b 与粒子a 的夹角
和b 粒子打在荧光屏上的亮点到P 点的距离x；
（3）入射方向与荧光屏所在平面成
区间范围内的粒子，最终打到荧光屏上形成的
亮线长度。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）由a 粒子的运动可知粒子在磁场中运动的半径为
由牛顿第二定律有
可得粒子的比荷
（2）画出粒子b 的运动轨迹，如图所示
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根据几何关系可知
构成一个边长为R 的菱形，则
由于
，b 粒子经过Q 点的速度方向与
垂直，所以粒子b 进入电场的方向也沿水
平方向。b 粒子进入电场中做类平抛运动，有
，
解得
所以b 粒子打在荧光屏上的亮点到P 点的距离为
（3）入射方向与P 点右侧荧光屏成
的粒子，在磁场与电场中的运动轨迹如图所示
由几何关系可知，粒子进入电场时距离荧光屏的距离为
进入电场后，粒子做类平抛运动，有
，
解得
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所以该粒子打到荧光屏的位置距离P 点的距离为
；根据（2）可知，入射方向与P 点左侧
荧光屏成
的粒子，打到荧光屏的位置距离P 点的距离为
，所以入射方向与荧光
屏所在平面成
区间范围内的粒子，最终打到荧光屏上形成的亮线长度为
【例9】（2024·浙江·一模）某同学用磁聚焦法测地球的磁感应强度大小B0，其装置如图甲所
示，大量电子经前级电场加速到v0（图中未画），通过筛网后互相平行地沿x 轴正向进入偏
转区，偏转区上下两极板接u=U0cosωt 的交流电压（ω 足够大），两平行极板间距为d，长度
为l，电子在偏转区中运动时间极短，在此过程中可认为电场不变。紧接偏转区右端，有一厚
度不计且垂直于x 轴的挡板P，其中央有一小孔位于原点O。紧挨挡板右侧有一中轴线位于x
轴上的螺线管。在螺线管内有一垂直于x 轴的荧光屏，屏的中心在x 轴上且与原点相距h。已
知电子电荷量的绝对值为e，质量为m，穿过小孔的电子都能打到荧光屏上，不计电子的重力
和相互间作用力，不考虑相对论效应和电场磁场的边缘效应，偏转区已屏蔽磁场。
(1)求t=0 时（上极板电势高）恰能经过挡板小孔的电子在筛网处的位置坐标；
(2)当螺线管内总磁感应强度为0，求荧光屏上显示的光斑长度L；
(3)当螺线管内部总磁感应强度大小
，方向沿x 轴正向时，在图乙中大致画出电子
在荧光屏打出的光斑形状并求出光斑上离荧光屏中心最远点的距离s；
(4)螺线管电流的大小与电流在管内产生的磁感应强度大小的关系式为
（k 为已知量）。
现将装置的轴线与地磁方向平行放置，逐渐从零增大螺线管中的电流，当电流大小为I1时，
第一次发现荧光屏上呈现一位于中心的亮点。改变电流方向并逐步从零增大，当电流大小为
I2时，再次发现亮点。已知I2＞I1，
，求此处地球磁感应强度大小B0（用k、I1及
I2来表示）。
【答案】(1)（-l，
，0）
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(2)
(3)
(4)
【详解】（1）当转电压为U0时，进入偏转区的电子都向上偏转，偏移量为
所以能穿过小孔的电子在筛网处的坐标位置应为（-l，
，0）；
（2）电子最大偏转角的正切值
则达到荧光屏上偏离中轴线的距离
故在荧光屏上呈现的光斑为一条平行于y 轴的亮线，其长度为
（3）由所有电子在磁场中做螺旋运动的周期
到达荧光屏的时间都为
沿x 负方向看，所有粒子都沿逆时针转过60°圆弧后达到荧光屏上，光斑形状如图
21
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电子在y 方向上最大速度
电子最大的螺旋半径
光斑上离荧光屏中心最远点的距离等于在yOz 平面投影的圆弧弦长，即
（4）由于
可得
【例10】（2024 高三·全国·专题练习）如图所示为磁聚焦法测量比荷的原理图。在阴极K 和
阳极A 之间加电压，电子由阳极A 中心处的小孔P 射出。小孔P 与荧光屏中心O 点连线为整
个装置的中轴线。在极板很短的电容器C 上加很小的交变电场，使不同时刻通过这里的电子
发生不同程度的偏转，可认为所有电子从同一点发散。在电容器C 和荧光屏S 之间加一平行
PO 的匀强磁场，经过一段时间电子再次会聚在一点。调节磁感应强度B 的大小，可使电子流
刚好会聚在荧光屏的O 点。已知K、A 之间的加速电压为U，C 与S 之间磁场的磁感应强度
为B，发散点到O 点的距离为l。下列说法正确的是（ ）
A．电子通过电容器后速度方向相同
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B．从右侧往左侧看，电子做圆周运动的半径相同
C．所有电子从发散到再次会聚所用的时间相同
D．电子的比荷一定是
【答案】C
【详解】A．根据题意可知，使不同时刻通过电容器的电子发生不同程度的偏转，则电子通
过电容器后速度方向不同，故A 错误；
B．经交变电场后电子发生不同程度的偏转，故经交变电场后电子在垂直PO 方向上的速度大
小不同，此时由洛伦兹力提供向心力，有
得
故从右侧往左侧看，电子做圆周运动的半径不同，故B 错误；
C．电子在垂直于磁场方向做圆周运动的周期
从中轴线到再次回到中轴线所用时间
故所有电子从发散到再次会聚所用的时间相同，故C 正确；
D．从发散点到会聚点，电子在沿PO 方向和垂直PO 线的面上的两个分运动时间相等，则
电子经过加速电场有
电子射出电容器后在PO 方向做匀速直线运动，有
电子在垂直于PO 的方向做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
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联立解得
故D 错误。
故选C。
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