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第48 讲 动态圆、磁聚焦和磁发散问题
目录
01 考情解码•命题预警..........................................................................................................2
02 体系构建•思维可视..........................................................................................................3
03 核心突破•靶向攻坚..........................................................................................................5
考点一 动态圆 ..........................................................................................................................5
知识点1 典型模型——“平移圆”模型.............................................................................5
知识点2 典型模型——“旋转圆”模型.............................................................................5
知识点3 典型模型——“放缩圆”模型.............................................................................6
知识点4 动态圆的临界问题.....................................................................................................7
考向1 “平移圆”模型..............................................................................................................7
考向2 “旋转圆”模型
..........................................................................................................8
考向3 “缩放圆”模型
.......................................................................................................10
考点二 磁聚焦与磁发散 .......................................................................................................11
知识点1 “磁聚焦”模型.......................................................................................................11
知识点2“磁发散”模型.........................................................................................................11
考向1 “磁聚焦”模型
......................................................................................................12
考向2 “磁发散”模型
......................................................................................................13
04 真题溯源•考向感知.......................................................................................................14
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考点
要求
考频
2025 年
2024 年
2023 年
动态圆
综合应用
中频
2025•安徽、2025•河
北、2025•浙江
2024•重庆
2023•浙江
磁聚焦与磁发散
综合应用
低频
/
/
/
考情分析：
1.命题形式：选择题实验题计算题
2.命题分析：动态圆问题主要考查带电粒子在圆形磁场中的运动轨迹分析，核心是旋转缩放法的应用。命
题常围绕“粒子源发射速度方向固定、大小不同的粒子”或“速度大小固定、方向不同的粒子”在匀强磁
场中的运动轨迹展开。关键在于确定动态圆旋转的“轴心”（固定轨迹圆的圆心）和半径随速度或方向的
变化规律，寻找临界条件（如轨迹与边界相切、粒子射出区域的边界等）。常与边界条件（直线边界、圆
形边界、矩形边界）结合，要求考生有很强的空间想象能力和几何作图、解三角形能力。磁聚焦和磁发散
问题常与几何知识结合，要求考生熟练运用“轨迹半径等于磁场半径”的核心条件。
3.备考建议：本讲内容备考时候，吃透基本原理，构建清晰物理图像，勤画图，强化几何作图与解三角形
能力，熟练掌握临界分析方法。
4.命题情境：
①生活实践类：磁共振成像（MRI）、电子显微镜、离子注入；
②学习探究类：粒子束实验。
5.常用方法：“平移圆”模型、“旋转”模型、“缩放圆”模型、“磁聚焦”模型、“磁发散”模型
复习目标：
1.进一步理解带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题。
2.会用“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”找出对应的临界状态或极值的轨迹。
3..学会分析磁聚焦和磁发散问题。
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考点一 动态圆
知识点1 典型模型——“平移圆”模型
1. 适用条件：速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上
2. 模型特征：粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场时，
它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R= mv 0
qB ，如图所示
3. 特点：轨迹圆圆心共线，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点
的连线平行
4. 界定方法：将半径为R= mv 0
qB 的轨迹圆沿入射点所在的直线进行平移，从而探索粒子运动的有关临界
问题，这种方法叫“平移圆”法
知识点2 典型模型——“旋转圆”模型
1. 适用条件：速度大小一定，方向不同
2. 模型特征：粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周
运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R= mv 0
qB ，如图所示
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3. 特点：所有沿不同方向入射的粒子的轨迹圆半径相同，其轨迹圆的圆心共圆，圆心在以入射点P 为圆心、
半径R= mv 0
qB 的圆上
4. 界定方法：将一半径为R= mv 0
qB 的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为
“旋转圆”法
知识点3 典型模型——“放缩圆”模型
1. 适用条件：速度方向一定，大小不同
2. 模型特征：粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做
匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
3. 特点：轨迹圆圆心共线，如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大．可
以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
4. 界定方法：以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，用圆规作出一系列半径大小不同的轨迹圆，从圆
的动态变化中可探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
知识点4 动态圆的临界问题
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1．临界条件：带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故
边界
( 边界的切线
) 与轨迹过切点的半径
( 直径
) 垂直
．
2．解题步骤：分析情景→作基础图→作动态图→确定临界轨迹→分析临界状态→构建三角形→解三角形
考向1 “平移圆”模型
例1（2025·河北邯郸·模拟预测）如图所示，直角三角形
区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，
边
长为
边长为
，大量质量为
、电荷量为
、速度大小为的带负电粒子垂直
边射入磁场。带
电粒子在磁场中运动后只从
和
边射出磁场。不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，则匀强磁场的
最大磁感应强度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当粒子运动轨迹与A、B 边相切于D 点，右边刚好从C 点射出，此时对应的磁感应强度有最大
值，粒子运动轨迹如图所示
根据几何关系，有
解得
根据洛伦兹力提供向心力
联立解得
故选C。
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考向2 “旋转圆”模型
例2 （2025·湖南·模拟预测）如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小
为B，场区足够宽，磁场内有一块足够长平面感光薄板ab，板面与磁场方向平行，在距ab 的距离L 处有一
个点状的放射源S，它在纸面内均匀的向各个方向发射比荷相等的带正电的粒子，粒子的速度大小都满足
，不计重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．击中ab 板的粒子运动的最长时间为
B．击中ab 板的粒子运动的最短时间为
C．ab 上被粒子打中的区域的长度为
L
D．放射源S 发射的粒子中有20%的粒子可以击中ab 板
【答案】C
【详解】A．击中
板的粒子中运动最长时间，则使粒子竖直向下运动，轨迹圆与
相切，轨迹圆的
弧长为
周长，所用时长
，故A 错误；
B．击中ab 板的粒子运动的最短时间，应使粒子与竖直方向成
向上运动，轨迹圆的弦长最短，此时
粒子在磁场中运动的时间最短，轨迹圆的弧长为
周长，所用时长
，故B 错误；
C．由牛顿第二定律得
解得
轨迹如图所示
上被粒子打中的区域的长度
，故
C 正确；
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D．沿竖直向上方向和沿竖直向下方向射出的粒子均与屏相切，即射出在S 点右侧的粒子可以打在
平
面感光板上，射出方向所占夹角为
，故各个方向均匀发射的粒子中有
的粒子可以击中
板，
故D 错误。
故选C。
【变式训练1·变角度】
（2025·山西晋中·三模）极光是由太阳抛射出的高能带电粒子受到地磁场
作用，在地球南北极附近与大气碰撞产生的发光现象。赤道平面的地磁场，可简化为如图所示：
为地球
球心，
为地球半径，将地磁场在半径为
到
之间的圆环区域看成是匀强磁场，磁感应强度大小为
。
磁场边缘A 处有一粒子源，可在赤道平面内以相同速率
向各个方向射入某种带正电粒子。不计粒子重力、
粒子间的相互作用及大气对粒子运动的影响，不考虑相对论效应。其中沿半径方向（图中1 方向）射入磁
场的粒子恰不能到达地球表面。若和AO 方向成角向上方（图中2 方向）射入磁场的粒子也恰好不能到
达地球表面，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】若高能粒子仍以速率v 射入地球磁场，可知沿径向方向射入的粒子会和地球相切而出，和AO
方向成角向上方射入磁场的粒子也恰从地球上沿相切射出，在此日角范围内的粒子能到达地球，其余
进入磁场粒子不能到达地球，作A 点该速度垂直和过切点与O 点连线延长线交于F 点，则F 点为圆心，
如图所示
由图中几何关系可得
，
则有
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故选A。
考向3 “缩放圆”模型
例3 如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd 区域内，O 点是cd 边的中点。一个带正电
的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c 点
射出磁场。现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，
粒子重力不计。下列说法中正确的是（ ）
A．若该带电粒子从ab 边射出，它经历的时间可能为t0
B．若该带电粒子从bc 边射出，它经历的时间可能为
C．若该带电粒子从cd 边射出，它经历的时间为
D．若该带电粒子从ad 边射出，它经历的时间可能为
【答案】C
【详解】由带正电的粒子从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c 点射
出磁场可知，该带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0。当粒子沿纸面以与Od 成30°角的方向射入
正方形内时，如图所示，作出从ab 边射出的临界轨迹①、从bc 边射出的临界轨迹②、从cd 边射出的
临界轨迹③和从ad 边射出的临界轨迹④。由图可知，该带电粒子从ab 边射出经历的时间一定不大于
；从bc 边射出经历的时间一定不大于
；从cd 边射出经历的时间一定是
；从ad 边射出经历的
时间一定不大于
。故C 正确，ABD 错误。
故选C。
考点二 磁聚焦与磁发散
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当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时,存在两条特殊规律
知识点1 “磁聚焦”模型
平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子,如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等,则所有粒子都从磁场
边界上的同一点射出,并且出射点的切线与入射速度方向平行
证明：四边形OAO′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A
点发出的带电粒子必然经过B 点．
知识点2“磁发散”模型
带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场,如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等,则粒子的出射
速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，
O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(沿水平方向)．
考向1 “磁聚焦”模型
例4（2025·河南·模拟预测）（多选）如图所示，圆心为O、半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的
匀强磁场，一束由相同带电粒子组成的粒子流，以相同的速度从左侧射入圆形区域内，所有粒子恰能全部
汇聚于圆周上的C 点，C 点在圆心O 的正下方。已知磁场的磁感应强度大小为B，带电粒子的比荷为k，
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粒子流宽度为
，该粒子流可整体上下移动，且入射方向及其宽度都不改变，并全部汇聚于C 点，不计粒
子重力。下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子带负电
B．带电粒子的入射速度大小为kBR
C．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为
D．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为
【答案】ABD
【详解】A．带电粒子往下偏转，由左手定则可知，带电粒子带负电，故A 正确；
B．所有粒子恰能全部汇聚于圆周上的C 点，作出运动轨迹如图所示
根据几何关系可知，图中四边形为菱形，则粒子在磁场中运动轨迹的半径等于区域圆的半径，则有
解得
，故B 正确；
CD．当粒子流按如上图所示的方式入射时，所经过区域面积最小
，故C 错误，D 正确。
故选ABD。
考向2 “磁发散”模型
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例5 如图所示，竖直的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，圆形磁场区域半径
，匀强磁场的
磁感应强度大小
。磁场右侧有一平行板电容器，极板长度
，极板间距
，极板间的匀强
电场方向竖直向上，平行板电容器的中轴线与左侧圆心在同一水平线上。另有一位置和角度可调节的荧光
屏（图中未画出）放在电容器右侧用于接收带电粒子。在磁场最低处有一粒子源，均匀地向磁场中各个方
向发射初速度大小为
的带负电粒子，已知带电粒子的质量
、电荷量
。粒子经
磁场偏转后，都能垂直电场方向进入平行板电容器，且恰有一半的粒子能从平行板右端射出，不考虑粒子
间的相互作用，不计粒子的重力，忽略电场的边缘效应。
(1)求带电粒子的初速度大小
；
【答案】(1)
【详解】（1）由于经磁场偏转后，都能垂直电场方向进入平行板电容器，根据磁发散的原理可知，粒
子圆周运动的轨道半径
洛伦兹力提供圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律可得
解得电粒子的初速度
1．（2025·安徽·高考真题）如图，在竖直平面内的
直角坐标系中，x 轴上方存在垂直纸面向里的匀强
磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x 轴放置足够长的探测薄板MN，MN 到x
轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O 的粒子源，沿
平面向x 轴上方各个方向均匀发
射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为
。不计粒子的重力、空气
阻力及粒子间的相互作用，则（ ）
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A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为
B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为
C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
【答案】C
【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力有
，可得
，故A 错误；
B．当粒子沿x 轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y 轴最近，如图轨迹1，根据几何关系可知
；当粒子恰能通过N 点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y 轴最远，如图轨迹2，根据
几何关系可知，
，故上表面接收到粒子的区域长度为
，故B 错误；
C．根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面N 点；当粒子沿y 轴正方向射出时，粒子下表面接收到的
粒子离y 轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离y 轴距离为d，故下表面接收到粒子的区域长度为
d，故C 正确；
D．根据图像可知，粒子恰好打到下表面N 点时转过的圆心角最小，用时最短，有
，故D 错误。
故选C。
2．（2024·重庆·高考真题）有人设计了一粒种子收集装置。如图所示，比荷为
的带正电的粒子，由固定
于M 点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN 方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN 上
方的K 点，O 在MN 上，且KO 垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直
于纸面向里的匀强磁场，速率为v0的粒子运动到O 点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重力，
忽略磁场突变的影响。
(1)求OK 间的距离；
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(2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO 间的距离；
(3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计
时O 点。求打开磁场的那一时刻。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）（1）当粒子到达О 点时打开磁场开关，粒子做匀速圆周运动，设轨迹半径为r1，如图所
示
由洛伦兹力提供向心力得
其中
（2）速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，则粒子在磁场中运动的轨迹半径r2 = 4r1
如图所示，由几何关系有（4r1-2r1）
2＋MO2 = (4r1)2
解得
（3）速率为4v0的粒子射出一段时间t 到达N 点，要使粒子仍然经过K 点，则N 点在O 点右侧，如图
所示
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由几何关系有（4r1-2r1）
2＋ON2 = (4r1)2
解得
粒子在打开磁场开关前运动时间为
解得
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