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第56 讲 带电粒子在复合场中的运动
1．（2025·云南·高考真题）磁屏蔽技术可以降低外界磁场对屏蔽区域的干扰。如图所示，
区域存在垂直
平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为
（未知）。第一象限
内存在边长为
的正方形磁屏蔽区ONPQ，经磁屏蔽后，该区域内的匀强磁场方向仍垂直
平面向里，其磁感应强度大小为
（未知），但满足
。某质量为m、电荷量
为
的带电粒子通过速度选择器后，在
平面内垂直y 轴射入
区域，经磁场
偏转后刚好从ON 中点垂直ON 射入磁屏蔽区域。速度选择器两极板间电压U、间距d、内部
磁感应强度大小
已知，不考虑该粒子的重力。
(1)求该粒子通过速度选择器的速率；
(2)求
以及y 轴上可能检测到该粒子的范围；
(3)定义磁屏蔽效率
，若在Q 处检测到该粒子，则
是多少？
【答案】(1)
(2)
，
(3)
【详解】（1）由于该粒子在速度选择器中受力平衡，故
真题演练
1
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其中
则该粒子通过速度选择器的速率为
（2）粒子在
区域内左匀速圆周运动，从ON 的中点垂直ON 射入磁屏蔽区域，由几何
关系可知
由洛伦兹力提供给向心力
联立可得
由于
，根据洛伦兹力提供给向心力
解得
当
时粒子磁屏蔽区向上做匀速直线运动，离开磁屏蔽区后根据左手定则，粒子向左偏
转，如图所示
根据洛伦兹力提供向心力
可得
故粒子打在y 轴3L 处，综上所述y 轴上可能检测到该粒子的范围为
。
（3）若在Q 处检测到该粒子，如图
2
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由几何关系可知
解得
由洛伦兹力提供向心力
联立解得
其中
根据磁屏蔽效率
可得若在Q 处检测到该粒子，则
2．（2025·福建·高考真题）空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场B 与水平向右的匀强电场
E，一带电体在复合场中恰能沿着MN 做匀速直线运动，MN 与水平方向呈45°，NP 水平向右。
带电量为q，速度为v，质量为m，当粒子到N 时，撤去磁场，一段时间后粒子经过P 点，重
力加速度为
,则（ ）
3
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A．电场强度为
B．磁场强度为
C．NP 两点的电势差为
D．粒子从N→P 时距离NP 的距离最大值为
【答案】BC
【详解】AB、带电体在复合场中能沿着
做匀速直线运动，可知粒子受力情况如图所示。
由受力平衡可知
解得电场强度
，磁感应强度
，故A 错误，B 正确。
C、在
点撤去磁场后，粒子受力方向与运动方向垂直，做类平抛运动，如图所示。
且加速度
4
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粒子到达
点时，位移偏转角为
，故在
点，速度角的正切值
所以粒子在
点的速度
到
过程，由动能定理，有
解得
两点间的电势差
，C 正确；
D、将粒子在
点的速度沿水平方向和竖直方向进行分解，可知粒子在竖直方向做竖直上抛
运动，且
故粒子能向上运动的最大距离
D 错误；
故选BC。
3．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，在
平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀
强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子从
点射入磁场，速度方向与y 轴
正方向夹角
，从
点射出磁场。已知粒子的电荷量为
，质量为m，
忽略粒子重力及磁场边缘效应。
(1)求粒子射入磁场的速度大小
和在磁场中运动的时间
。
5
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(2)若在
平面内某点固定一负点电荷，电荷量为
，粒子质量取
（k 为静电
力常量），粒子仍沿（1）中的轨迹从M 点运动到N 点，求射入磁场的速度大小
。
(3)在（2）问条件下，粒子从N 点射出磁场开始，经时间
速度方向首次与N 点速度方向相
反，求
（电荷量为Q 的点电荷产生的电场中，取无限远处的电势为0 时，与该点电荷距离
为r 处的电势
）。
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【详解】（1）作出正电荷在磁场中运动的轨迹，如图所示
由几何关系可知，正电荷在磁场中做匀速圆周运动的半径为
由洛伦兹力提供向心力
解得正电荷的入射速度大小为
正电荷在磁场中运动的周期为
所以正电荷从M 运动到N 的时间为
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（2）由题意可知，在
平面内的负电荷在圆心O 处，由牛顿第二定律可知
，其中
解得
或
（舍去）
（3）在（2）的条件下，由题意可知，粒子从N 点离开，仅在点电荷的作用下运动，粒子所
需要的向心力
大于点电荷提供的库仑力
，因此粒子无法做匀速圆周运动，即正
电荷从N 点离开磁场后绕负电荷做椭圆运动，如图所示
由能量守恒定律得
由开普勒第二定律可知
其中
联立解得
由牛顿第二定律
解得
故正电荷从
点离开磁场后到首次速度变为与
点的射出速度相反的时间为
4．（2025·河南·高考真题）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区
域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q（
）的粒子从磁场中的a 点以速度
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向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为
，然后粒子
又射出电场重新进入磁场并通过右侧b 点，通过b 点时其速度方向水平向右。a、b 距水平虚
线的距离均为h，两点之间的距离为
。不计重力。
(1)求磁感应强度的大小；
(2)求电场强度的大小；
(3)若粒子从a 点以
竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。
（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度）
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图所示
由题意可知
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为
，由几何关系有
解得
由牛顿第二定律有
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解得
（2）根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为
，方向与水平虚线的夹
角为
，由几何关系可得
则粒子在电场中的运动时间为
沿电场方向上，由牛顿第二定律有
由运动学公式有
联立解得
（3）若粒子从a 点以
竖直向下发射，画出粒子的运动轨迹，如图所示
由于粒子在磁场中运动的速度大小仍为
，粒子在磁场中运动的半径仍为
，由几何关系可
得，粒子进入电场时速度与虚线的夹角
结合小问2 分析可知，粒子在电场中的运动时间为
间的距离为
由几何关系可得
则
粒子在磁场中的运动时间为
则有
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综上所述可知，粒子每隔时间向右移动
，则漂移速度大小
5．（2025·广西·高考真题）如图，带等量正电荷q 的M、N 两种粒子，以几乎为0 的初速度
从S 飘入电势差为U 的加速电场，经加速后从O 点沿水平方向进入速度选择器（简称选择
器）。选择器中有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。当选择器的电场强度大
小为E，磁感应强度大小为B1，右端开口宽度为2d 时，M 粒子沿轴线OO′穿过选择器后，沿
水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场（偏转磁场），并最终打
在探测器上；N 粒子以与水平方向夹角为θ 的速度从开口的下边缘进入偏转磁场，并与M 粒
子打在同一位置，忽略粒子重力和粒子间的相互作用及边界效应，则（ ）
A．M 粒子质量为
B．刚进入选择器时，N 粒子的速度小于M 粒子的速度
C．调节选择器，使N 粒子沿轴线OO′穿过选择器，此时选择器的电场强度与磁感应强度
大小之比为
D．调节选择器，使N 粒子沿轴线OO′进入偏转磁场，打在探测器上的位置与调节前M 粒
子打在探测器上的位置间距为
【答案】AD
【详解】A．对M 粒子在加速电场中
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在速度选择器中
解得M 的质量
，故A 正确；
B．进入粒子速度选择器后因N 粒子向下偏转，可知
即
，故B 错误；
C．M 粒子在磁场中运动半径为r1，则
解得
N 粒子在磁场中运动的半径为r2，则
解得
其中
可得
由动能定理N 粒子在选择器中
在加速电场中
解得
，
则要想使得粒子N 沿轴线OO＇通过选择器，则需满足
联立解得
，故C 错误；
D．若N 粒子沿直线通过选择器，则在磁场中运动的半径为r3，则打在探测器的位移与调节
前M 打在探测器上的位置间距为
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其中
，
可得
，故D 正确。
故选AD。
6．（2025·天津·一模）如图甲为某款医用治疗装置，该装置由粒子源、直线加速器和偏移器
等部件构成。直线加速器由一系列带孔的金属漂移管组成，每个漂移管两端圆板横截面面积
相等且依次排列，中心轴线共线，漂移管的长度按照一定的规律依次增加。序号为奇数的漂
移管和交变电源的一极相连，序号为偶数的漂移管和电源的另一极相连。交变电源两极间电
势差的变化规律如图乙。在t=0 时，奇数漂移管相对于偶数漂移管的电势差为正值，此时位
于序号为0 的圆板中央的粒子源静止释放出一个电子，电子在圆板和漂移管1 间的狭缝电场
中由静止开始加速，沿中心轴线冲进漂移管1，在漂移管1 内做匀速直线运动。每次电子在漂
移管内运动时间恰为交变电源周期的一半。已知电子的质量为m、电荷量为e，交变电源电压
的绝对值为
，周期为T，忽略电子在狭缝内运动的时间及相对论效应，不考虑电子的重力
及其他因素的影响。
(1)求电子进入漂移管1 时的速度v1的大小；
(2)为使电子运动到漂移管之间各狭缝中都能恰好使静电力的方向跟运动方向相同而不断加速，
求第n 个漂移管的长度；
(3)该电子加速到最大动能Ekm后，恰好沿O'O 方向射入偏移器，偏移器为一棱长为L 的正方
体，正方体内充满匀强电场和匀强磁场，O'为偏移器左侧面的中心点，当偏移器内电场强度
和磁感应强度均为0 时，电子恰好沿O'O 射到目标平面中心O 点处（O 点和偏移器左、右侧
面中心点共线），目标平面和偏移器右侧面平行且相距为L，当偏移器同时加上如图所示的
匀强电场和匀强磁场（方向均垂直于前、后侧面）时，电子在极短的时间内穿过偏移器，打
在目标平面上（
）处，求偏移器中电场强度E 和磁感应强度B 的大小。（当α 很小时，
模拟冲关
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有
）
【答案】(1)
(2)
(3)
；
【详解】（1）根据动能定理有
解得
（2）电子在第n 节漂移管内的运动时间为
设电子在第n 节漂移管内的运动速度为
，有
解得
故第n 节漂移管长度为
（3）设电子进入偏移器时速度为v，则在偏移器内，由于电场引起的速度增量对y 轴方向的
运动不产生影响，y 轴方向上相当于只考虑磁场存在，设电子进入磁场后做圆周运动半径为
，如图
根据洛伦兹力提供向心力
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解得
又有
经过磁场后，电子在y 轴方向偏移距离
离开磁场后，电子在y 轴方向偏移距离
则有
可得
又
解得
根据运动的分解，只考虑电场存在时
x 轴方向加速度为
飞行时间为
又
，解得
离开偏移器时x 轴方向获得的速度为
经过电场后，电子在x 轴方向偏移的距离和偏移角的正切为
、
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离开电场后，电子在x 轴方向偏移的距离
则有
可得
又
得
7．（2025·重庆·模拟预测）在未来太空粒子研究站“激光号”中，科学家利用环形装置研究
高能粒子特性，其内部结构可简化为如图甲所示的模型，在xOy 平面内存在一个半径为R 的
圆形匀强磁场区域，
时磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度随时间变化如图乙所示，在
范围内存在竖直向下的匀强电场，在
范围内存在竖直向上的匀强电场，两处电
场强度大小相同。已知A 点坐标为(-R，0)，一质量为m、带电量为
的粒子在A 点以初速度
v 进入圆形磁场，经过T 时间达到(R，0)位置，然后进入右侧的匀强电场中，在经过T 时间后
从(R，0)位置进入磁场中，不计粒子重力，则（ ）
A．磁场的大小和电场的大小的比值为
B．磁场的大小和电场的大小的比值为
C．粒子运动一个周期，运动的轨迹长度为
D．粒子运动一个周期，运动的轨迹长度为
【答案】D
【详解】AB．粒子经过T 时间到达(R，0)位置，由此可知，粒子在磁场中的圆周运动的半径
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由
解得
粒子进入匀强电场中先匀减速运动，后匀加速运动，运动过程中加速度不变，故由动量定理
可知：
解得
磁场的大小和电场的大小的比值为
，AB 错误；
CD．粒子运动一个周期需要在磁场中完成4 个半圆，在电场中完成两个匀减速和两个匀加速
运动，在电场中匀加速运动的过程中，由动能定理可得：
解得
半个圆周运动的路程
故一个周期运动的轨迹长度
C 错误，D 正确。
故选D。
8．（2025·江苏南通·三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一、二象限有沿+x 轴方向
的匀强电场，在第三、四象限有宽度为d 的匀强磁场，磁场方向垂直于坐标平面向外，长度
为d 的荧光屏MN 与x 轴垂直，下端在x 轴上.一质量为m、电荷量为+q 的粒子从点P（0，
d）沿-y 轴运动，初速度大小为v0，经电场偏转后从点Q（
，0）进入磁场，并垂直于磁
场的下边界离开磁场.已知P 点到MN 的距离
，不计粒子重力。
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(1)求电场强度大小E；
(2)求磁感应强度大小B；
(3)在匀强磁场下方所有区域再加一垂直于坐标平面的匀强磁场，要使粒子能打到MN 上，求
所加磁场的磁感应强度B′所满足的条件。
【答案】(1)
(2)
(3)
，方向垂直于平面向内或向外。
【详解】（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，在-y 方向有
+x 方向有
根据牛顿第二定律有
联立解得
（2）粒子经过Q 点时+x 方向的分速度
则合速度大小
设粒子vQ与x 轴的夹角为
，有
几何关系
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半径
解得
（3）粒子经两磁场偏转到回到x 轴时速度大小不变，方向与+x 轴的夹角为θ 且斜向右上方，
做类斜抛运动，粒子如果能够打到M 点，则+y 方向
+x 方向
解得
①若所加磁场垂直于平面向内，且粒子恰能到达N 点，几何关系
解得
又因为在磁场中半径
联立解得
若
，粒子回到x 轴时的位置与MN 间的距离
打在屏上，则所加磁场垂直
于平面向内，且
时粒子能打到MN 上；
②若所加磁场垂直于平面向外，且粒子恰能到达M 点，几何关系
解得
同理
若
，粒子回到x 轴时的位置与MN 间的距离也为
打在屏上，则所加磁场
垂直于平面向外，且
时粒子能打到MN 上，总之要使粒子能打到MN 上，磁感应
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强度
，方向垂直于平面向内或向外均可。
9．（2025 高三·天津·专题练习）如图所示，在直角坐标系中，x 轴下方存在竖直向上的匀强
电场，电场强度为E，在x 轴上方，0<y≤L 的范围内存在垂直于纸面向外，磁感应强度大小为
的匀强磁场区域Ⅰ，在L<y≤2L 的范围内存在垂直于纸面向里，磁感应强度大小也为
的
匀强磁场区域Ⅱ。有一质量为m，电荷量为+q 的带电粒子从y 轴负半轴上某点P 静止释放，
恰好不能进入磁场区域Ⅱ中，不计粒子重力。
(1)求释放点P 的坐标；
(2)若磁场区域Ⅰ的磁感应强度变为
，仍从P 点静止释放该粒子，求粒子从释放到离开磁
场的时间；
【答案】(1)（0，
）
(2)
【详解】（1）粒子在电场中运动的过程中，由动能定理得
粒子在磁场区域Ⅰ中运动，恰不进入磁场区域Ⅱ，由几何关系得
由牛顿第二定律得
联立解得
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故P 点的坐标为（0，
）。
（2）粒子在电场中，由动量定理得
解得
粒子在磁场区域Ⅰ中，由牛顿第二定律得
解得
由几何关系得
解得
粒子在磁场区域Ⅰ中做圆周运动的周期
粒子在磁场区域Ⅰ中运动的时间
在磁场区域Ⅱ中，粒子做圆周运动的半径为r，设粒子射出磁场区域Ⅱ时的半径与上边界的夹
角为α，根据几何关系得
解得
粒子在磁场区域Ⅱ中做圆周运动的周期
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在磁场区域Ⅱ中运动时间
总时间
解得
10．（2025·浙江·二模）芯片制造工艺中，离子注入控制是一道重要的工序。某技术人员利
用电磁场设计一种方案简要如图所示，从离子源产生的离子（初速度不计）经匀强电场加速
U0后，沿中轴线飞入平行金属板A、B，之后经需要先后进入由电流控制磁场的半径为r（较
小）的圆形边界匀强磁场Bx和足够大的匀强磁场By，两磁场的磁感应强度分别由相应的电流
Ix和Iy大小和方向控制，磁感应强度与电流关系满足B=kI，k 为常数，忽略边缘效应，以平行
极板中心O 为坐标原点，建立O-xyz 坐标系（垂直纸面向外为z 轴正方向），平行极板长为
L1，间距为d，圆形边界在YOZ 平面内的匀强磁场BX的圆心坐标（0，L2，0），待制造芯片
放置位置中心坐标（0，L3，0）。已知离子电量为+q、质量为m。
(1)若Ix=Iy=0 时，离子恰好打到（R， L3， O） 点，求UAB的值；
(2)若UAB=0， Iy =0 时，控制离子恰好打到（0，L3，R）点，求Ix的值；
(3)若UAB=0，Ix为某值时，离子经圆形磁场偏转
角进入By磁场，试导出离子打到芯片上位
置 （x，y，z） 与Iy的关系式（设离子转动不到90°）。
21
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【答案】(1)
(2)
(3)
；y = L3；
【详解】（1）根据动能定理有
根据类平抛运动规律有
，
其中x=R
解得
（2）根据几何关系有
其中
根据洛伦兹力提供向心力有
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则
解得
（3）By磁场中运动时间
角速度为
离子转过角度
By磁场中半径
坐标为
y= L3
z
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11．（2025·山东威海·三模）如图甲所示，三维空间
中，
的空间存在沿
轴负
方向的匀强电场，场强大小为
，
（
未知）处存在平行于
的无限大界面；界
面与
间存在沿
轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为
；界面左侧空间存在周期
性变化的磁场，变化规律如图乙所示，沿
轴负方向为磁场的正方向，磁感应强度大小也为
。质量为
，电荷量为
的带电粒子，从某位置
沿
轴负方向射入，经过
点时的速度
大小为
，方向与
轴负半轴的夹角为
；当粒子到达界面时，速度方向平行于
平面，
该时刻为周期性变化磁场的计时起点；在
（
未知）时粒子的速度方向沿
轴负方
向，不计粒子重力。求：
(1)粒子在
间运动的轨迹方程；
(2)
的可能值；
(3)
的值。
【答案】(1)
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(2)
或
（n=0，1，2……）
(3)
或
【详解】（1）根据运动的分解可得，水平方向有
，
竖直方向有
，
，
联立可得
（2）根据洛伦兹力提供向心力有
，
所以
粒子从O 点运动到界面需要的时间为t，则
所以t 可能为
或
则
或
（n=0，1，2……）
（3）当距离为d1时，如图甲所示
从界面运动到距z 轴最远，粒子转过的圆心角为120°，则
25
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所以
当距离为d2时，如图乙所示，从界面运动到距z 轴最远，粒子转过的圆心角为60°，则
所以
12．（2025·河南·三模）如图所示，纸面内ACD 区域由直角三角形ACO 和四分之一圆AOD
组成，
，区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，空间存在平行于纸面向左的匀强
电场（图中未画出），O 点为一粒子源，沿OA 方向不断射出质量为m、电荷量为q 的带正电
的粒子，粒子恰能做直线运动，粒子的速度大小均为
，仅撤去电场，粒子恰能从圆弧AD
的中点射出磁场；OA 长为L，不计粒子的重力及粒子间的相互影响，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)匀强电场的电场强度大小；
(3)若仅撤去磁场，则粒子运动的加速度大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）仅撤去电场，粒子恰能从圆弧AD 的中点射出磁场，其运动轨迹如图所示
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根据洛伦兹力提供向心力有
根据几何关系有
联立得
（2）电场和磁场并存时粒子沿直线运动，有
又
得
（3）若仅撤去磁场，根据牛顿第二定律有
又
得
13．（2025·山东青岛·三模）如图所示，MN 是长度为3a 的线状粒子源，PQ 是金属网，从
MN 均匀逸出比荷为
、初速度为0 的带正电粒子。半径为a 的圆形区域与PQ 相切于
，
延长交于MN 中点。在MN、PQ 间所加电压为
，粒子经电场加速后进入
PQ 右侧区域，在PQ 右侧部分区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。不计粒子重力。
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(1)若仅圆内有磁场，磁感应强度大小为
，求粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若仅圆外有磁场，不考虑粒子重复进入无磁场区域：
（ⅰ）当磁感应强度大小为
时，求能经过圆心O 的粒子在MN 上逸出时的位置到
的距离；
（ⅱ）要使能进入圆形区域的粒子数占总数的50%，求磁感应强度的大小。
【答案】(1)
(2)（ⅰ）0，
；（ⅱ）
【详解】（1）粒子在加速电场中，根据动能定理可得
在磁场中洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有
，
当粒子在圆形磁场中轨迹对应弦长最长，为圆形磁场直径2a 时，粒子在磁场中运动的时间最
长，轨迹如图所示
对应轨迹圆周运动的圆心角60°，在磁场中运动的最长时间
（2）（ⅰ）①d=0，粒子直线运动经过O 点；
②粒子在右侧磁场中匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
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解得
由几何关系得：当粒子指向圆心进入无磁场区域时，粒子轨迹与对称轴相切，如图所示
所以，粒子到对称轴的距离
（ⅱ）取临界状态，粒子在右侧磁场中运动轨迹圆恰好与无磁场区域圆相切，如图所示
根据题意有一半的粒子圆形区域，所以上下两轨迹圆圆心距离为
，由几何关系可得
解得
由牛顿第二定律得
解得
14．（2025·安徽·三模）如图所示，在Oxy 平面（纸面）内，在
区间内存在平行y
轴的匀强电场，
；在
，的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，由左
向右分为间距均为d0（d0未知）的n（n 为整数且未知）份，各区域磁感应强度大小依次为
B、2B、…、nB，
，
。一带正电的粒子从坐标原点沿与x 轴正方向成
29
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角射入，在坐标为（4d，2d）的P 点以速度v0垂直磁场边界射入磁场，恰能达到磁
场右侧边界x4。已知整个装置处于真空中，粒子的比荷
，不计粒子重力，
sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
(1)匀强电场的电场强度E 的大小；
(2)匀强电场右边界横坐标x2的值；
(3)d0的大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）对粒子，在电场中，有
其中
，
解得
（2）粒子在电场中的轨迹如图所示
30
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在电场中有
解得
解得
故
（3）在竖直方向很短的时间内，由动量定理有
求和可得
从进入磁场到右边界，速度大小变为v0，方向沿y 轴负方向，
解得
又
解得
，
15．（2025·新疆省直辖县级单位·二模）真空中的平面直角坐标系xOy 的第一象限内存在沿y
轴正方向、电场强度大小为E 的匀强电场，其余象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场。如图
所示，一质量为m、电荷量为
（
）的带电粒子，从y 轴上的P 点以一定的速度平行
于x 轴射入第一象限，然后从x 轴上的Q 点进入磁场，恰好能回到P 点。已知
，
，不计粒子受到的重力。求：
31
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(1)粒子射入匀强电场时的初动能
；
(2)粒子回到P 点时的速度大小v；
(3)匀强磁场的磁感应强度大小B。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设带电粒子射入匀强电场时的初速度大小为
，带电粒子从P 点运动到Q 点
所用的时间为t，则有
，
粒子射入匀强电场时的初动能为
解得
（2）设粒子在Q 点时的速度方向与x 轴的夹角为θ，此时位移与x 轴的夹角为α，如图所示
32
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根据几何关系，则有
，
，
解得
（3）由于粒子回到P 点时速度方向与y 轴正方向所成的角一定为钝角，粒子轨迹的圆心一定
位于第三象限，图中β 与θ 互余，则有
，
根据牛顿第二定律
解得
16．（2025·海南省直辖县级单位·二模）竖直平面内水平虚线上方有方向水平向左的匀强电
场。虚线下方高度为H 的区域内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场和方向竖直向上的匀强电
场，虚线上、下方的电场强度大小相等。将质量为m、电荷量为＋q 的小球从a 点以初速度v0
竖直向上抛出，小球的运动轨迹如图所示，a、c 两点在虚线上，b 点为轨迹的最高点。小球
从c 点进入虚线下方区域做匀速圆周运动且恰好不出下边界。不计空气阻力，重力加速度为
g。求：
33
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(1)小球运动到b 点的时间t 及小球经过c 点时的速度大小；
(2)匀强磁场的磁感应强度B 的大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由于小球在虚线上方竖直向上做匀减速运动，到b 点时竖直速度为0，则
解得
又由于小球在虚线下方磁场和电场中做匀速圆周运动，则
从a 到c 的运动时间
在水平方向上
，
由运动的合成
联立解得
（2）由题意可知小球运动轨迹如图所示
设c 点小球速度与水平方向成θ，由
解得
由几何关系可得
解得
34
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由牛顿第二定律
由以上各式联立得
17．（2025·广西北海·模拟预测）如图所示，在第一象限的
区域内和第四象限内存在方
向垂直纸面向里的匀强磁场，在第二象限内的曲线
上方有沿
轴负方向的匀强电场，其
场强大小为
，曲线左侧有一粒子源AB，B 端位于
轴上，能够持续不断地沿
轴正方
向发射速度为
、质量为
、电荷量为
的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通
过
点，已知从A 点射出的粒子恰好从P 点进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。
(1)写出匀强电场边界
段的边界方程（粒子入射点的坐标
和
间的关系式）；
(2)若某带电粒子在第二象限从
点沿
轴正方向射出后，进入第四象限的匀强磁场，
刚好不从磁场上边界射出，求磁感应强度的大小
；
(3)若第四象限内磁场为非匀强磁场，磁感应强度大小随
轴坐标均匀变化，其关系为
（
为第（2）问中求得的值），某带电粒子从
点沿
轴正方向射出后，
进入第四象限的非匀强磁场，求粒子从射入磁场到速度方向变为沿
轴正方向的过程中，其
运动轨迹与
轴所围成的面积。
【答案】(1)
(2)
(3)
35
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【详解】（1）粒子在电场
区域做类平抛运动，则
，
代入
解得
（2）由
段的边界方程可知
粒子在电场中做类平抛运动，水平、竖直位移分别满足
，
联立可得
从
点出电场时的速度与水平方向的夹角满足
则
粒子从
点出电场时的速度为
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为
，粒子轨迹刚好磁场上边界相切时，由几何关系得
由洛伦兹力提供向心力有
解得
（3）粒子进入第四象限的磁场后，沿
轴方向应用动量定理有
对粒子从进入磁场到速度方向变为沿
轴正方向的过程求和得
可得
运动轨迹与
轴所围成的面积
代入
解得
36
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18．（2025·陕西渭南·三模）如图所示，两带电平行金属板MN、PQ 竖直放置，两板板长与
两板间的距离相等，两板间存在有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出）。在金属板PQ
的右侧与两板上边缘平齐的边界虚线QF 下方同时存在有垂直纸面向外的匀强磁场和竖直向
上的匀强电场。一质量为m、电荷量为+q 的带电微粒以速度v0、沿两金属板对角线从MN 板
下边缘进入两板间，之后做匀速直线运动，恰好从PQ 板上边缘离开，经一段时间带电微粒
进入QF 下方的复合场中做匀速圆周运动，且带电微粒在复合场中运动轨迹的最左端与进入
复合场前的最高点在同一竖直线上。重力加速度为g。忽略空气阻力，求：
(1)两金属板间磁场的磁感应强度大小B0；
(2)复合场中电场强度大小E1和磁感应强度大小B1；
(3)若在复合场内放置一个竖直挡板，位置可调，若带电微粒垂直击中挡板，求挡板到PQ 板
的水平距离。
【答案】(1)
(2)
，
(3)
（n=0，1，2……）
【详解】（1）由于带电微粒沿两金属板对角线从MN 板下边缘进入两板间做匀速直线运动，
则
所以
（2）微粒进入复合场后做匀速圆周运动，则
，
运动轨迹，如图所示
37
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根据几何关系可得
联立解得
，
（3）若在复合场内放置一个竖直挡板，位置可调，若带电微粒垂直击中挡板，挡板到PQ 板
的水平距离满足
（n=0，1，2……）
19．（2025·全国·模拟预测）如图甲所示，有一空间直角坐标系
，
轴沿竖直方向。
在
空间内存在一沿
轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B（B 未知），在
的范围内存在一以
轴为对称轴、磁感应强度大小为
、方向平行于
轴的柱形磁场区域，
其方向变化如图乙所示的磁场，
时磁感应强度方向沿
轴负方向。
时刻一电荷量为
、质量为
的带电小球从
平面
处的P 点由静止释放，经过
点时其速度
方向刚好沿
轴的正方向。不计空气阻力，重力加速度大小为
。
(1)求小球到达
点的速度大小以及磁感应强度B 的大小。
(2)若小球刚进入
轴下方的磁场区域的时刻为
，经过一段时间后小球刚好第一次回到
轴上的某点而没有离开磁场区域。求
轴下方磁场区域的半径
。
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【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）小球从
到
的过程中，由机械能守恒可得
解得
根据动量定理可得
即
联立解得
（2）进入
轴下方磁场，带电小球的运动可以分解为竖直方向的自由落体运动与平行于
平面内的匀速圆周运动。
根据磁场周期的特点，带电小球刚好没有离开磁场，其平行于
平面内的匀速圆周运动的
运动轨迹如图所示
根据牛顿第二定律有
由几何关系可得
解得
20．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在三维直角坐标系
中，
平面左侧区域
有沿着y 轴正方向的匀强电场，
平面右侧有一个垂直于y 轴的足够大荧光屏，
平面
与荧光屏之间的区域有沿着y 轴正方向的匀强磁场，荧光屏与y 轴交点位置的坐标为
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。一质量为m、电荷量为
的粒子从坐标为
的P 点以大小为
的初
速度沿z 轴负方向射出，经电场偏转后从O 点进入磁场，粒子再次经过y 轴的位置离O 点距
离为d，最终打在荧光屏上，不计粒子的重力。求：
(1)匀强电场的电场强度E 的大小；
(2)粒子打在荧光屏上的位置坐标；
(3)若在
平面与荧光屏之间的区域再加上一平行于y 轴的匀强电场，要使粒子仍打在荧光
屏上（2）问中所求的位置，则所加匀强电场的电场强度
应满足什么条件。
【答案】(1)
(2)
(3)
沿y 轴正方向时，
；
沿y 轴负方向时，
【详解】（1）对粒子，类平抛运动，z 轴
y 轴
则
40
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（2）
方向的速度
则粒子做螺旋线轨迹运动，在
平面上做速率为
的匀速圆周运动，y 轴上做速度为
的
匀速直线运动。
匀速圆周运动周期
运动时间
又
，
得
，
则打到荧光屏上位置坐标
，即
（3）①若
沿y 轴正方向，则粒子在y 轴方向上做匀加速直线运动，运动时间：
，即
在y 轴方向
解得：
②若
沿y 轴负方向，则粒子在y 轴方向上做匀减速直线运动，运动时间
,
即
41
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在y 轴方向
解得
21．（2025·山东·模拟预测）如图所示，在直角坐标系
中，以
（
，0）为圆心、
为半径的半圆区域内存在垂直
平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
，
为与
轴重合的直径；在
区域存在垂直
平面向外的匀强磁场，磁感应强
度大小为
（未知）；在
区域存在沿
轴负方向的匀强电场
（未知）；
在
区域存在垂直
平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小
为
（未知）。已知
，
，一质量为
、带电量为
的正
粒子从圆周上
点（
）沿
轴正方向以速度
进入磁场
，之后经磁场
从
轴
上的
点沿
轴正方向进入匀强电场
，经
点进入磁场
，又经过
点射出磁场。不计
粒子重力，求：
(1)匀强磁场
的磁感应强度大小及
点坐标；
(2)电场强度
与磁感应强度
的比值；
(3)粒子从
点射入磁场到从
点射出磁场，整个运动过程中需用的时间。
【答案】(1)
，[0，
]
42
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(2)
(3)
【详解】（1）带正电的粒子在磁场
做圆周运动，设半径
，洛伦兹力提供向心力，根据
解得
粒子运动轨迹如图所示
由几何关系可知，粒子将从
点进入磁场
，且其速度与
轴正方向的夹角为
，粒子进
入磁场
后做匀速圆周运动，设其轨迹半径为
，由于粒子垂直
轴离开磁场
，由几何
关系可知
根据洛伦兹力提供向心力
解得
点的
坐标为
则
点的坐标为[0，
]。
（2）粒子在电场中做类平抛运动，则有
，
，
43
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联立解得
粒子到
点的竖直分速度设为
，则
解得
即粒子从
点射入磁场
内的速度方向与
轴正向成
角，速度大小为
，则做圆周
运动的半径
根据
解得
所以
（3）粒子在磁场
中运动时间
粒子在磁场
中运动时间
粒子在电场中运动时间由
解得
粒子在磁场
中运动时间
所以粒子整个运动过程中需用的时间
22．（2025·四川遂宁·模拟预测）如图所示是离子回旋加工芯片流程的示意图。离子源发出
质量为m 的正离子，沿水平中轴OO1经速度选择器后，进入可加电场或磁场且边长为L 的正
44
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方形偏转区，偏转后进入加有水平向右的匀强磁场
的共振腔，使腔内气体电离蚀刻芯片。
已知速度选择器与偏转区的匀强电场均为
，方向相反，匀强磁场均为
，方向垂直纸面向
外。仅加电场时离子出射偏转角α 很小，且
。不考虑电磁场突变影响，离子进入
共振腔后不碰壁。角度θ 很小时，有
，
，
(1)离子的电荷量；
(2)偏转区仅加磁场时，离子出射时偏离轴线OO1的距离；
(3)离子以（2）问中的速度进入共振腔，受与运动方向相反的阻力
，k 为已知常数。施
加垂直O2O3轴线且匀速旋转的匀强电场E2使离子加速。稳定后离子在垂直O2O3轴线的某切
面内以与电场相同角速度做匀速圆周运动，速度与电场的夹角（小于90°）保持不变。
①为保证离子不接触芯片，求芯片距离O2的最小距离；
②角速度为多大时，稳定后旋转电场对离子做功的瞬时功率最大。
【答案】(1)
(2)
(3)①
；②
【详解】（1）离子沿水平中轴
经过速度选择器，设离子电荷量为
满足
偏转区仅加电场时，水平方向
竖直方向
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且有
联立解得
（2）离子在磁场中偏转时，设偏转角为
，磁场半径
偏转角等于圆心角，由几何关系
可得
，离子出射时偏离
轴线的距离
解得
（3）当离子进入共振腔后，将速度分解为两个方向，其中水平方向
其中
①水平方向在阻力
下做减速运动，为保证离子不接触芯片，对离子进入到水平方向速
度减小为0 过程分析，由动量定理有
其中
得芯片距离
的最小距离
②稳定后离子会以与旋转电场相同的恒定角速度在某一切面内做匀速圆周运动，设最终速度
为
。沿圆周的半径方向
沿圆周的切线方向
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可得
旋转电场对离子做功的功率
当
即
时，电场对离子做功的瞬时功率最大。
23．（2025·广东·三模）如图所示，在直角坐标系
中，
轴竖直，
、A 两点间的距离
为
，
。第一象限内有方向垂直坐标平面水平向里的匀强磁场和沿
轴负方向的匀强
电场，第三象限内有方向垂直坐标平面水平向外的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，第四象
限内有方向沿
轴正方向的匀强电场。一质量为
、电荷量为
的带负电小球从A 点以大小
，（g 为重力加速度大小）的初速度沿
做直线运动，小球通过
点后在第三象
限内做匀速圆周运动，恰好通过坐标为
的
点。已知第四象限内电场的电场强度
大小
，不计空气阻力。
(1)求第一象限内磁场的磁感应强度大小
以及第三象限内磁场的磁感应强度大小
；
(2)求小球从通过
点（第一次通过
轴）到第三次通过
轴所用的时间及其在第四象限内
运动的过程中到
轴的最大距离
；
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(3)若仅将第一象限内的电场撤去，让小球从
、A 两点连线的延长线上的
点（图中未画
出）以大小
的初速度沿
方向射出，要使小球射出后在第一象限内（不包括坐标
轴）运动的过程中存在小球的速度方向水平的时刻，求
两点间的距离
应满足的条件。
【答案】(1)
，
(2)
，
(3)
【详解】（1）经分析可知，小球的运动轨迹如图所示
且小球在第一象限内做匀速直线运动，根据物体的平衡条件有
解得
设小球在第三象限内做匀速圆周运动的轨迹半径为
，根据几何关系有
洛伦兹力提供小球做匀速圆周运动所需的向心力，有
解得
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（2）小球从
点运动到
点所用的时间
解得
设小球通过
点时所受合力的方向与竖直向下方向的夹角为
，有
解得
可见小球所受合力的方向与小球通过
点时的速度方向垂直，小球在第四象限内做类平抛运
动，设小球在第四象限内运动的加速度大小为
，有
设小球从
点运动到再次通过
轴时所用的时间为
，有
解得
又
解得
将小球通过
点时的速度沿水平方向和竖直方向分解，当小球沿水平方向的分速度为零时，
小球到
轴的距离最大，有
其中
解得
（3）小球的初速度沿水平方向和竖直方向的分量大小分别为
经计算可知
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因为
所以小球的运动可分解为大小为
、方向水平向左的匀速直线运动和大小为
、沿顺时针方
向的匀速圆周运动，小球做匀速圆周运动的周期
解得
设小球通过
轴时的速度方向恰好第一次水平，则此种情况下小球从
点运动到
轴的时间
设此种情况下
两点间的距离为
，有
解得
因此
两点间的距离
应满足的条件为
24．（2025·河南·模拟预测）如图所示，在某空间建立平面直角坐标系
，第二、三象限
有沿
轴正方向的匀强电场，第一、四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。一质量为
、
带电荷量为
的粒子从
轴上的
点，以速度
平行于
轴正向开始运动，粒子第一
次进入磁场时恰好经过
轴上的
点。已知
点坐标为
，
点坐标为
，不
计粒子重力。
(1)求匀强电场场强的大小；
(2)求粒子刚进入磁场时的速度大小；
(3)如果粒子第一次经过
轴后能再次经过
点，求磁感应强度的大小。
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【答案】(1)E=
(2)v=
(3)
或
【详解】（1）设匀强电场场强为E，粒子在电场中运动的加速度为a，由牛顿第二定律，则
有qE=ma
从P 点第一次到达M 点经过的时间为t，做类平抛运动，则有
，2d=
联立解得E=
（2）设粒子第一次到达M 点时速度为v，方向与y 轴正方向夹角为θ，到达M 点时速度竖直
分量vy=v0
速度水平分量vx，则有
解得vx=
粒子在M 点速度v=
（3）由几何关系可知
设磁感应强度为B，粒子在磁场中的轨迹轨迹半径为R，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB=
①若粒子再次经过M 点时，从电场进入磁场，则粒子在磁场中进入电场时，必然再次经过P
点，由几何关系有2×3d=2Rsinθ
解得B=
②若粒子再次经过M 点时，从磁场进入电场，每完成一个周期性运动，轨迹沿y 轴平移距离
为Δy=2×3d-2Rsinθ
则有(n+1)·Δy=6d（n=1、2、3……）
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联立解得B=
（n=1、2、3……）
综上所述粒子第一次经过
轴后能再次经过
点磁感应强度的大小
或
25．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，直角坐标系的第一象限空间存在垂直纸面向里的磁
场，磁感应强度大小沿
轴方向满足
（、
为已知量）；第二象限空间存在
沿
方向、场强大小为
的匀强电场，和磁感应强度大小为
、垂直
平面向里的匀强
磁场；第三象限存在方向和大小未知的匀强电场（图中未画出）。一质量为
、电荷量为
的带电粒子，从
轴上的点
沿纸面以与
方向夹角
的初速度
射入
第三象限的匀强电场，并从原点
射入第一象限，过
点的速度方向与
方向夹角为
。
不计粒子重力，求：
(1)第三象限电场强度
的大小和方向；
(2)粒子在第一象限的轨迹与坐标轴围成的面积S；
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(3)若
，粒子在第二象限运动过程中的最大速度
（结果用含
的式子表示）。
【答案】(1)
，与
轴的夹角为
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在第三象限匀强电场中做类斜抛运动，粒子在
方向的位移为零，
方向
的平均速度也为零，设末速度为
，有
粒子类斜抛的末速度与初速度垂直，画出速度矢量三角形（如图1）。
分析可知，
的方向与
轴的夹角为
，电场力的方向与
的方向相同，故
的方向
与
轴的夹角为
，与
轴的夹角为
。且有
设粒子在电场
中运动的时间为，在
方向做匀速直线运动的位移为
，在电场力方向类
自由落体运动的位移也为
，加速度为
，有
则有
根据牛顿第二定律有
解得
（2）由于洛伦兹力不做功，粒子在第一象限做匀速率曲线运动，由磁场特点（
相同的各点
磁感应强度相同）可知，粒子的轨迹为上下对称的曲线，如图2 所示。
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对粒子在
方向应用动量定理，有
可得
故粒子在第一象限的轨迹与坐标轴围成的面积为
（3）粒子以速度
射入第二象限，在叠加场中做曲线运动，轨迹为旋轮线。（配速法）将进
入第二象限的初速度分解为
和
，粒子以
做匀速直线运动，以
做匀速圆周运动，如图
3 所示。
有
解得
由于
当两个分运动的速度方向相同时，粒子的合速度最大，为
26．（2025·天津·二模）如图所示，空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强
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电场，一带负电小球（可视为质点）质量
，电荷量大小
，从倾角
的光滑斜面最高点由静止开始下滑，当沿斜面下滑距离
时与斜面脱离。此时立即将电
场反向，小球做匀速圆周运动，最终恰好不与地面发生碰撞。（已知
，
，重力加速度取
）
(1)求电场强度的大小
；
(2)求磁感应强度的大小
；
(3)求斜面的长度
。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意，当小球沿斜面下滑距离
时立即将电场反向，小球做匀速圆
周运动，说明电场力与重力的合力为零
由电场力与重力平衡得
代入数据解得电场强度的大小
（2）由题意知，当小球沿斜面下滑距离
时与斜面脱离，分析小球此时受力情况可知，
斜面对小球弹力恰为零，小球仅受重力、电场力和洛伦兹力作用
在垂直于斜面方向上
由平衡知识可得
下滑距离的过程只有重力和电场力做功
由动能定理得
联立并代入数据解得
，
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（3）设脱离点距斜面底端距离为x，小球圆周运动的轨道半径为R
由洛伦兹力提供向心力得
代入数据解得
由几何关系可得
故斜面的长度
27．（2025·福建福州·三模）在一真空区域的竖直平面内建立如图所示的直角坐标系xOy，第
一象限内存在沿x 轴正方向的匀强电场，第三象限内存在沿y 轴正方向的匀强电场，电场强
度大小均相等；y＞0 的区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，y＜0 的区域内存在垂直纸面向
里的匀强磁场，磁感应强度大小均相等。一质量为m、带电量为q 的微粒恰好沿虚线AO 做匀
速直线运动，速度大小为
方向与x 轴负方向夹角为
重力加速度为g。求：
(1)电场强度的大小和磁感应强度的大小；
(2)微粒在第三象限内运动的时间和离开第三象限时的位置坐标；
(3)微粒在第四象限内运动过程中速度的最大值。
【答案】(1)
，
(2)
，
(3)
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【详解】（1）根据受力平衡条件，微粒带正电，有
，
解得
，
（2）微粒进入第三象限后，由受力分析，重力和电场力平衡，故微粒受洛伦兹力做匀速圆周
运动，设微粒运动半径为R，由几何关系可得
，微粒在第三象限内运动的时间
根据洛伦兹力提供向心力有
周期为
联立解得
微粒离开第三象限时在竖直方向移动的距离为
微粒离开第三象限时的位置坐标为
（3）微粒进入第四象限后速度方向与y 轴负方向夹角为45°，根据运动的合成与分解，可以
把速度分解到x、y 方向，分速度分别为
，
根据受力分析
，微粒运动可分解为水平方向速度大小为
匀速直线运动和速度大
小为
的匀速圆周运动。
与
同向时合速度最大，最大速度为
28．（2025·天津和平·三模）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy 平面内存
在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为
。质量为
、电荷
量为
的电子从
点不断地沿
轴正方向以大小不同的速度水平入射，速度大小在0 到
范
围内变化。入射速度大小为
的电子，入射后沿
轴做直线运动；入射速度小于
时，电子
的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点电子所受的合力大小相等。不计重力
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及电子间相互作用。
(1)求电场强度的大小
；
(2)若电子入射速度为
，求运动到速度为
时位置的纵坐标
；
(3)若一段时间内入射电子的总数为
，且电子数随速率的变化均匀分布，求能到达纵坐标
位置的电子数
占总电子数
的百分比。
【答案】(1)
(2)
(3)90%
【详解】（1）由题知，入射速度为
时，电子沿
轴做直线运动则有
解得
（2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力
不做功，且由于电子入射速度为
，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，
根据动能定理有
解得
（3）若电子以
入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为
，则根据动能定理有
由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有
在最低点有
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联立有
，
要让电子达纵坐标
位置，即
解得
则若电子入射速度在
范围内均匀分布，能到达纵坐标
位置的电子数
占
总电子数
的90%。
29．（2025·安徽合肥·三模）如图所示，在xOy 坐标系第二象限有一个半径为R 的圆形区域，
圆心为C，圆形边界分别与x 轴、y 轴相切于M、N 两点。圆形区域内存在垂直坐标平面向外
的匀强磁场。第一象限存在沿y 轴负方向的匀强电场。在M 点放置一粒子源，粒子源可向磁
场中各个方向发射速率均为
的同种带正电粒子，其中沿MC 方向射入磁场的粒子恰好从N
点进入电场，后从x 轴上的P 点离开电场。已知磁感应强度大小为B，电场强度大小
。
不计粒子所受重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子的比荷为
B．P 点与坐标原点O 的距离为
C．粒子运动至P 点时的速度大小为
D．x 正半轴上有粒子经过的范围长度为2R
【答案】BD
【详解】A．由题可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，根据洛伦兹力提供向心力
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解得比荷
，故A 错误；
B．粒子从N 点垂直电场进入第一象限，沿y 方向有
解得
沿x 方向有
，故B 正确；
C．沿y 向的速度为
则粒子运动至P 点时的速度大小为
，故C 错误；
D．粒子在磁场中运动的轨迹圆半径等于磁场圆半径R，由磁发散的规律可知，沿各个方向入
射的粒子从磁场圆的右半圆上所有点离开，且离开时速度均沿x 轴正向，进入电场后沿x 轴
方向的最小距离为0，即打在O 点。从M 点正上方离开的粒子在电场中的x 轴方向的位移最
大，此时
解得
则沿x 轴方向有
因此x 正半轴上有粒子经过的范围长度为2R，故D 正确。
故选BD。
30．（2025·山东聊城·三模）现代科学实验中，对带电粒子运动的控制要求越来越高。如图
甲所示，在空间坐标系
中，
的区域内存在与
轴负方向夹角为30°的匀强电
场，在
的空间存在沿
轴正方向的匀强电场，两部分电场强度大小相等。同时在
的空间还存在沿
轴方向变化的磁场（图中未画出）﹐磁感应强度随t 的变化规律如图乙所示。
一质量为m，电荷量为＋q 的带电粒子，从静止出发经过加速电压U 后，从A 点
（
未知）处进入匀强电场，一段时间后恰好从原点О 沿y 轴负方向进入
的空间。已
知粒子第一次经过О 点时记为
时刻，粒子在
时间内恰好可以在与
平面平
行的平面内做一个完整的圆周运动，且在
时间内能达到的
坐标最大值的绝对值
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与A 点相同，规定磁场方向沿
轴正方向为正，不计粒子重力，图乙中
未知。求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)
的大小；
(3)
时刻粒子的位置坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)（
，0，0）
【详解】（1）设粒子经加速电压后速度为
，则有
解得
一段时间后恰好从原点О 沿y 轴负方向进入
的空间，可知在O 点时，粒子水平方向速
度为0，则水平方向有
其中
联立解得
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（2）设粒子经过原点O 时速度为v，在
区域内的匀强电场中，水平方向，有
解得
竖直方向，有
，
其中
解得
，
进入
的空间，与
平面平行的平面内做一个完整的圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
有
根据题意
解得
（3）进入进入
的空间，粒子在磁场的作用下平行于xOy 平面做匀速圆周运动，在电场
作用下平行于x 轴方向做初速度为0 的匀加速直线运动。
在
时间内，粒子运动的周期
在
时间内，粒子将做离心运动，周期与在B0磁场中做匀速圆周运动相同，
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故在
时间内，粒子运动半个周期，到达x 轴上。
在x 方向，
解得2t0时刻粒子的位置坐标为（
，0，0）
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