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第38 讲 机械振动
核心考点
考点一 简谐运动的基本规律........................................................................................................1
考点二 简谐运动的表达式和图像................................................................................................9
考点三 受迫振动和共振..............................................................................................................16
考点一 简谐运动的基本规律
1.简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总
是指向平衡位置，这样的运动就是简谐运动。
2.平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
3.回复力
(1)定义：使物体在平衡位置附近做往复运动的力。
(2)方向：总是指向平衡位置。
4.简谐运动的特点
受力特点
回复力F＝－
kx
，F(或a)的大小与x 的大小成正比，方向相反
运动特点
靠近平衡位置时，a、F、x 都减小，v 增大；远离平衡位置
时，a、F、x 都增大，v 减小
能量特点
对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。在运动过程中，动
能和势能相互转化，系统的机械能守恒
5.弹簧振子和单摆比较
模型
弹簧振子
单摆
基础过关
1
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示意图
简谐运动
的条件
①弹簧质量要忽略
②无摩擦等阻力
③在弹簧弹性限度内
①摆线为不可伸缩的轻细线
②无空气阻力等
③最大摆角小于5°
回复力
弹簧弹力提供
摆球重力沿与摆线垂直方向(即切
向)的分力(不是摆球所受的合外
力)提供
平衡位置
弹簧处于自然长度处
最低点
周期
*T＝2π√
m
k
T＝2π√
l
g
【例1】（2025·广东·模拟预测）如图（a）所示，轻质弹簧上端固定，下端连接质量为m 的
小球，构成竖直方向的弹簧振子。取小球平衡位置为x 轴原点，竖直向下为x 轴正方向，设
法让小球在竖直方向振动起来后，小球在一个周期内的振动曲线如图（b）所示，若
时刻
弹簧弹力为0，重力加速度为g，则有（ ）
A．0 时刻弹簧弹力大小为
B．弹簧劲度系数为
2
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C．
时间段，回复力冲量为0
D．
时间段，小球动能与重力势能之和不变
【答案】AC
【详解】B．小球平衡位置为x 轴原点，竖直向下为x 轴正方向，
时刻弹簧弹力为0，位移
大小为A，有
可得劲度系数为
故B 错误；
A．0 时刻在正的最大位移处，弹簧的伸长量为2A，则弹力大小为
故A 正确；
C．
时间段，小球从从最高点振动到达最低点，回复力在前
时间沿正方向，在后
时间沿负方向，两段时间的回复力平均值
大小相等，则由
可知回复力冲量为0，故C 正确；
D．
时间段，小球从最高点振动到达最低点，根据能量守恒定律可知弹簧的弹性势能
和小球的机械能相互转化，因弹簧的弹性势能一直增大，则小球动能与重力势能之和减小，
故D 错误。
故选AC。
【例2】（24-25 高三下·辽宁·期中）如图所示，一轻弹簧竖直固定在地面上，上端连接质量
为
的物体B，质量为
的物体A 从B 正上方某高度处自由下落，与B 发生碰撞后（不粘
连）两者立刻一起以相同的速度向下运动，此后，A、B 在运动过程中恰好不分离。已知弹簧
的弹性势能为
，其中
为弹簧的劲度系数，
为弹簧的形变量，弹簧处于弹性限度
内，重力加速度为
，不计空气阻力。则（ ）
3
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A．A、B 碰后立刻向下做减速运动
B．A、B 一起运动过程中加速度的最大值为
C．A、B 碰撞过程中损失的机械能为
D．A、B 运动至最低点时弹簧弹力大小为
【答案】C
【详解】A．碰前A 自由下落，根据动能定理有
解得
A、B 碰后立刻一起以相同的速度
向下运动，系统所受合力向下，根据
由于弹簧弹力变大，可知，碰后A、B 一起先向下做加速度减小的加速运动，故A 错误；
B．结合上述，当加速度减为零时，速度达到最大，此时的位置为简谐运动的平衡位置，当A
和B 恰好不分离时，A、B 之间弹力为0，A 的加速度为重力加速度，则B 的加速度也为重力
加速度，可知，在最高点时弹簧刚好达到原长，加速度为
，根据简谐运动的对称性可知，
A、B 一起运动过程中加速度的最大值为g，故B 错误；
D．结合上述，根据简谐运动的对称性可知，A、B 运动到最低点时的加速度也为
，此时根
据牛顿第二定律有
可知，A、B 运动至最低点时弹簧弹力大小为
故D 错误；
C．A、B 碰撞过程，根据动量守恒定律有
碰撞过程中损失的机械能为
B 开始处于静止时，根据平衡条件有
结合上述，A、B 碰撞后至运动到最高点时弹簧恰好处于原长，该过程有
4
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解得
故C 正确。
故选C。
【例3】（2025·广东茂名·模拟预测）如图所示，平静湖面上漂浮的浮子受到轻微扰动后，在
竖直方向上做简谐运动，周期为
，振幅为
。已知
时刻，浮子正经过平衡位置竖直向
下运动，下列说法正确的是（ ）
A．在
时，浮子的加速度最大，方向竖直向下
B．在
时，浮子的位移最大，速度方向竖直向下
C．在
时，浮子的加速度和位移均为零，速度方向竖直向上
D．浮子的振幅越大，其振动周期就越大
【答案】C
【详解】A．已知
时刻，浮子正经过平衡位置竖直向下运动，可知在
时，浮子处
于下方最大位移处，则浮子的加速度最大，方向竖直向上，故A 错误；
BC．在
或
时，浮子处于平衡位置向上运动，浮子的加速度和位移均为零，速
度方向竖直向上，故B 错误，C 正确；
D．简谐运动的周期与振幅无关，故D 错误。
故选C。
【例4】（2025·吉林长春·模拟预测）如图所示，一足够长的竖直光滑杆固定在水平地面上，
杆上穿有小球P 和Q，一劲度系数为k 的轻弹簧套在杆上，弹簧下端固定，上端与质量为m
的小球Q 连在一起，小球Q 静止时所在位置为O。另一质量也为m 的小球P 从距O 点某距离
5
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位置由静止开始下落，与小球2 发生瞬间碰撞后一起（不粘连）向下运动，两球均可视为质
点，在运动过程中，弹簧的形变量始终在弹性限度内，且两小球恰好能始终不分离。已知弹
簧的形变量为x 时，弹性势能为
，重力加速度为g，不计空气阻力。则（ ）
A．碰撞后两球一起向下运动的过程中加速度大小一直变大
B．P 释放时离O 点的距离为
C．若碰撞后两球一起做简谐运动的周期为T，则它们从O 点向上到第一次返回O 点的时
间为
D．若碰撞后两球一起做简谐运动的周期为T，则它们从O 点向上到第一次返回O 点的时
间为
【答案】BD
【详解】A．碰撞后刚结束后，弹簧弹力小于两球的总重力，所以两球先向下做加速度减小
的加速运动，当弹力等于两球的总重力时，速度达到最大；之后向下做加速度增大的减速运
动。故A 错误；
B．碰后两球做简谐运动，两小球恰好能始终不分离，可知最高点时，小球P 只受重力作用，
加速度大小为
，此时弹簧处于原长状态；设碰撞前Q 处于静止时，弹簧的压缩量为
，则
有
设碰撞后瞬间两球的速度大小为
，从碰后瞬间到最高点恰好不分离，根据能量守恒可得
6
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设P 释放时离O 点的距离为
，碰撞前P 做自由落体运动，则有
碰撞过程根据动量守恒可得
联立解得
，故B 正确；
CD．小球P、Q 碰后做简谐运动反弹上升的最高点为弹簧的原长位置，所以振幅为
若碰撞后两球一起做简谐运动的周期为T，若从平衡位置计时，则振动方程为
从平衡位置向上运动到O 点的时间为
，则有
解得
根据对称性可知，它们从O 点向上到第一次返回O 点的时间为
，故C 错
误，D 正确。
故选BD。
【例5】（2025·陕西汉中·模拟预测）如图甲为一款跳跳人玩具，用手缓慢按压跳跳人头部，
放手后跳跳人就可以跳起，将其等效为图乙所示的模型，其头部质量为
，底部质量为
，
连接头部和底部的轻弹簧劲度系数为
，重力加速度大小为
，不计空气阻力，下列说法正
确的是（ ）
A．从放手到刚要跳起，头部重力势能的增加量大于
B．从放手到跳起，弹簧减少的弹性势能等于跳跳人获得的动能
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C．从放手到头部和底部速度相同，弹簧对头部做功和对底部做功的代数和为零
D．若整个过程底部恰好不离开地面，则手将头部缓慢按压的距离为
【答案】AD
【详解】D．静置于桌面的弹簧小人，弹簧压缩量为
，则
轻压头部后做简谐运动，底部不离开桌面，弹簧的最大伸长量为
，则
最大振幅为
故下压最大距离为
，故D 正确；
A．从放手到刚要跳起，头部上升的距离为
重力势能的增加量
故A 正确；
B．从放手到跳起，弹簧减少的弹性势能等于跳跳人获得的动能与重力势能之和，故B 错误；
C．从放手到头部和底部速度相同，头部和底部的机械能都增加，所以弹簧对头部和对底部
都做正功，即弹簧对头部做功和对底部做功的代数和一定大于零，故C 错误。
故选AD。
简谐运动的周期性与对称性
周期性
做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性
变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期
性变化，其变化周期为T
2
对称性
(1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O 点对称的两点
P、P'(OP＝OP')时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置
的位移大小相等
(2)物体由P 到O 所用的时间等于由O 到P'所用的时间，即tPO＝tOP'
精讲考点
8
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(3)物体往复运动过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等，即
tOP＝tPO
(4)相隔T
2 或(2n＋1)T
2
(n 为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位
置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反
考点二 简谐运动的表达式和图像
1.简谐运动的表达式
x＝A sin(
ωt
＋
φ ) ，ωt＋φ 为相位，φ 为初相位，ω 为圆频率，ω 与周期T 的关系为ω＝2π
T 。
2.简谐运动的振动图像
表示做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦曲线。
【例6】（2025·山东临沂·三模）如图甲所示，太空舱中弹簧振子沿轴线
自由振动，一垂
直于
的弹性长绳与振子相连，沿绳方向为
轴，沿弹簧轴线方向为
轴，弹簧振子振动
后，某时刻记为
时刻，振子的位移
随时间变化的关系式为
，绳
上产生一列沿
轴传播的简谐横波，如图乙所示，实线为
时刻绳子的波形，虚线为
时刻绳子的波形，
为绳上
处的质点。求：
(1)绳波的传播速度；
(2)在
时刻，质点
所处位置的坐标。
基础过关
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【答案】(1)
(2)
【详解】（1）振源在坐标原点，绳子上产生的波只能向右传播，由t0 到t0＋0.2s 波传播的距
离
则波速
（2）由题意得0.2s=nT＋
T（
）
则
已知振子的位移y 随时间t 变化的关系式为
所以在t0＋1.0s 时刻，质点P 位移
质点P 所处位置的坐标为（4，-0.1）。
【例7】（2025·重庆·三模）某波源发出的简谐横波在均匀介质中沿传播路径上先后经过
、
两质点，其振动位移—时间图像如题图所示（实线表示
，虚线表示
）已知
、
两质点
的平衡位置相距
。
(1)以
为单位，用正弦函数写出质点
的振动方程（初相位在
范围内）；
(2)求该简谐波的传播速度大小。
【答案】(1)
(2)
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【详解】（1）由图可知，简谐振动的振幅
周期
故其角频率
设质点a 的振动方程为
结合图像可知，
时，
故有
解得
故质点a 的振动方程为
（2）由于波由a 传到b，由图像可知，传播的距离
解得
故该波的波速为
【例8】（2025·全国·二模）如图所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬
挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅
运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像
如图2 所示，则（ ）
A．光源与小球振动的相位差为
B．光源从初始状态回到平衡位置的时间为0.75s
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C．若影子振动的初相位为
，则
D．影子的最大速度
【答案】BD
【详解】A．图2 可知二者振幅为1cm，设小球的振动方程
光源的振动方程
但t=0 时，则
则
可知光源与小球振动的相位差为
，故A 错误；
B．光源的振动方程
其中
则
光源从初始状态回到平衡位置，即
可知光源从初始状态回到平衡位置的时间为0.75s，故B 正确；
C．小球的振动方程
光源的振动方程
影子是光源发出的光被小球遮挡后，在屏上留下的阴影，取影子某一时刻的位置
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根据几何关系
得影子的振动方程
当t=0 时有
则
故C 错误；
D．对于
设振幅
根据能量守恒
根据图2，周期
且周期
联立解得
故D 正确。
故选BD。
【例9】（2025·陕西商洛·二模）如图甲所示，竖直悬挂的弹簧振子在M、N 两点之间做简谐
运动，O 点为平衡位置，振子到达N 点开始计时，规定竖直向下为正方向。图乙是弹簧振子
做简谐运动的x−t 图像，则（ ）
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A．弹簧振子从N 点经过O 点再运动到M 点为一次全振动
B．乙中的P 点时刻振子的速度方向与加速度方向都沿正方向
C．弹簧振子的振动方程为
D．弹簧振子在前2.5s 内的路程为0.35m
【答案】BD
【详解】A．弹簧振子从N 点经过O 点再运动到M 点为
次全振动，故A 错误；
B．图乙的斜率代表质点的速度，则P 点时刻振子的速度方向为正方向，根据
可知，
加速度方向沿正方向，故B 正确；
C．由图乙知周期为T=2s，弹簧振子的振幅为A=0.07m，则
规定竖直向下为正方向，振子到达N 点开始计时，t=0 时刻位移为0.07m，可知初相为
，则
弹簧振子的振动方程为
，故C 错误；
D．弹簧振子在前2.5s 内的路程为
，故D 正确。
故选BD。
【例10】（2025·辽宁·三模）一列简谐横波沿x 轴正方向传播，波长为120cm，振幅为8cm，
介质中有a 和b 两个质点，其平衡位置分别位于
和
处。某时刻质点b
偏离平衡位置的位移y=4cm，且沿y 轴负方向运动，从该时刻开始计时，质点a 的振动图像
为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】质点a、b 平衡位置之间的距离
质点b 的位移为4cm，且沿y 轴负方向运动，令此时质点a 的相位为
，质点b 的相位为
，
则有
解得
由a、b 之间的距离关系可知
可知质点a 此时的位移
故选D。
从振动图像可获取的信息
1.振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)。
2.某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
3.某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的绝对值和正负分别表示各时刻质
点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
精讲考点
15
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4.某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向
相同。
5.某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
考点三 受迫振动和共振
1.受迫振动
(1)概念：系统在驱动力作用下的振动。
(2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固
有频率无关。
2.共振
(1)概念：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大的现象。
(2)共振的条件：驱动力的频率等于物体的固有频率。
(3)共振的特征：共振时振幅最大。
(4)共振曲线(如图所示)。
f＝f0时，A＝Am，f 与f0相差越大，物体做受迫振动的振幅越小。
【例11】（2025·辽宁·三模）飞力士棒通过利用持殊构造和弹性，产生一定的振动频率，从
而这些振动会深入到身体内的核心肌肉，从而达到强化锻炼的作用。如图所示。飞力士棒的
固有频率为3.5Hz，则（ ）
A．若该棒做自由振动，则频率为3.5Hz
B．使用时手振动的频率增大，飞力士棒振动的幅度也随之增大
C．手每分钟震动210 次，飞力士棒产生共振
D．PVC 软杆长度不变，负重头质量减小时，飞力士棒的固有频率保持不变
【答案】AC
基础过关
16
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【详解】A．若棒做自由振动，则振动按照固有频率振动，故A 正确；
B．随着手振动的频率增大，飞力士棒振动的频率随之增大，但是幅度可能越来越小，故B
错误；
C．手振动频率为
此时频率故固有频率相等，飞力士棒发生共振，故C 正确；
D．负重头质量减小，PVC 杆长度不变，则其结构改变，飞力士棒的固有频率会变化，故D
错误。
故选AC。
【例12】（2025·浙江·二模）上海中心大厦高632 米，为中国第一，全球第二高楼。当台风
来袭时，大厦会出现了晃动，为减小晃动幅度，在距离地面583 米处悬挂重达1000 吨的阻尼
器“上海慧眼”。当台风来袭时，阻尼器中的质量块惯性会产生一个反作用力，大厦摇晃时
发生反向摆动，达到减小大厦晃动幅度的目的。以下说法不合理的是（ ）
A．上海慧眼能“吸收”大厦振动的能量
B．上海慧眼通过与大厦共振达到抗振目的
C．风力越大，阻尼器摆动幅度也越大
D．如果发生地震，上海慧眼也可以起到减震作用
【答案】B
【详解】AB．由题意可知，在大楼受到风力作用摇晃时，阻尼器反向摆动，相当于“吸收”
了大厦振动的能量，起到减震作用，而不是与大厦同向共振，这样会放大振动，故A 正确，
B 错误；
C．如遇台风天气，阻尼器摆动幅度受风力大小影响，风力越大，楼房摆动幅度越大，则阻
尼器摆动幅度越大，故C 正确；
D．如果发生地震，楼房主体也会发生摇晃，阻尼器也会反向摆动，起到减震的作用，故D
正确。
本题选不合理的，故选B。
【例13】（2025·湖北武汉·三模）如图所示是单摆做阻尼振动的位移-时间图像。分析图像，
下列说法正确的是（ ）
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A．阻尼振动的周期不变
B．阻尼振动的周期增大
C．摆球在P 时刻的势能等于Q 时刻的势能
D．摆球在P 时刻的动能等于Q 时刻的动能
【答案】AC
【详解】AB．阻尼振动中，摆球的振幅逐渐减小，由于周期与振幅无关，故振动过程中周期
不变，A 正确，B 错误；
C．摆球在P 时刻的位移大小等于Q 时刻的位移大小，即高度相同，则摆球在P 时刻的势能
等于Q 时刻的势能，C 正确；
D．
图像的斜率表示摆球的速度，由图可知，摆球在P 时刻的速度大于Q 时刻的速度，
根据
可知摆球在P 时刻的动能大于Q 时刻的动能，D 错误。
故选AC。
【例14】（2025·重庆·三模）航天员用同一装置对同一单摆分别在地球和月球上做受迫振动
实验，得到如图所示的共振曲线。将月球视为密度均匀、半径为r 的球体，引力常量为G，
地球表面的重力加速度为g，不考虑星球自转的影响。下列说法正确的是（ ）
A．该单摆在地球上的共振频率为f1 B．所用单摆的摆长为
C．月球表面的重力加速度为
D．月球的密度为
【答案】B
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【详解】ABC．根据单摆周期公式可得
可得
由于月球的重力加速度小于地球的重力加速度，所以该单摆在月球上的共振频率为f1；设月
球表面的重力加速度为
，则有
地球上的频率为
所用单摆的摆长为
可得月球表面的重力加速度为
故AC 错误，B 正确；
D．物体在月球表面上，有
解得月球质量为
根据
可得月球的密度为
故D 错误。
故选B。
【例15】（2025·江西赣州·模拟预测）如图，A、B 为漂浮在海面上的两个浮标，两浮标随海
洋水波上下振动近似看作简谐振动，海洋水波视为简谐横波，若两浮标相距7m，两浮标在
1min 内都完成60 个完整振动。
时刻，浮标A 正在平衡位置向下运动，浮标B 在波谷，
在两浮标之间还有两个水波的波峰，水波从浮标A 向B 方向传播，下列说法正确的是
（ ）
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A．两浮标间的水平距离会减小
B．该列水波的传播速度大小为4m/s
C．水波从浮标A 传到B 的时间为1.5s
D．浮标A 做自由振动，浮标B 做受迫振动
【答案】B
【详解】A．浮标不会随波迁移，两浮标之间水平距离不变，故A 错误；
B．由题可知，波动周期
某时刻浮标A 正在平衡位置向下运动，浮标B 在波谷，在两浮标还有两个水波的波峰，则
解得
则波的传播速度为
，故B 正确；
C．水波从浮标A 传播到B 的时间为
，故C 错误；
D．浮标A、B 均做受迫振动，故D 错误。
故选B。
简谐运动、受迫振动和共振的比较
振动
项目
简谐运动
受迫振动
共振
受力情况
受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期、频率
由系统本身性质决
定，即固有周期T0和
固有频率f0
由驱动力的周期和频
率决定，即T＝T 驱，
f＝f 驱
T 驱＝T0，f 驱＝f0
振动
振动系统的机械能不
由产生驱动力的物体振动物体获得的能量
精讲考点
20
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能量
变
提供
最大
常见
例子
弹簧振子或单摆
(θ<5°)
机械工作时底座发生
的振动
共振筛、声音的共鸣
等
21
