文档文本内容
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第30 讲 机械振动
目录
01 考情解码·命题预警..........................................................................................................................2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................3
考点一 简谐振动的基体规律...........................................................................................................................3
知识点1．关于简谐运动两个重要概念的理解.............................................................................................................3
知识点2．关于机械运动的两种描述..............................................................................................................................3
知识点3．关于简谐运动的三个特点....................................................................................................................3
知识点4.简谐运动的周期性与对称性.............................................................................................................................4
考向1.简谐运动基本物理量的分析.................................................................................................................................4
考向2.简谐运动的周期性与对称性.................................................................................................................................5
考点二 简谐运动的公式和图像.....................................................................................................................6
知识点1.简谐运动的振动方程和图像...................................................................................................................6
知识点2.由图像可获取的信息.........................................................................................................................................6
考向1 简谐运动的方程...................................................................................................................................................7
考向2 简谐运动的图像...................................................................................................................................................8
考点三 单摆.....................................................................................................................................................14
知识点1 单摆及其周期公式....................................................................................................................14
知识点2 单摆的理解................................................................................................................................14
考向1 单摆的周期....................................................................................................................................15
考向2 单摆的振动图像及其表达式........................................................................................................18
考点四 受迫振动和共振.................................................................................................................................25
知识点1 受迫振动和共振........................................................................................................................25
考向1 受迫振动及共振..........................................................................................................................25
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................28
1
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考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
简谐振动基本规
律
选择题
非选择题
河北卷T6
浙江卷1 月卷T10，3
分
山东卷T10
简谐运动的公式
和图像
选择题
非选择题
甘
卷
肃
·T5
2 黑吉辽T7、福建卷
T2、贵州卷T9
单摆
选择题
非选择题
河北卷T6
浙江卷6 月卷T9，3
分
受迫振动和共
振
选择题
非选择题
浙江1 月选考T6
考情分析：
1 考情分析：
1.命题形式：单选题非选择题
2.命题分析：机械振动是湖南高考物理的重要知识点，从近几年考情来看，命题注重与面械波一起综合考
查，主要考查对基本概念、规律的理解以及实验能力。来可能会更多地将简谐振动与单摆知识与其他物理
知识综合考查，如与能量守恒定律结合，分析单摆摆动过程中的能量转化；或与运动学知识结合，了解受
迫振动和共振特征。
3.备考建议：本讲内容备考时候，弄清简谐振动基本规律，掌握简谐运动的公式和图像表示的物理意义，
把问题放到真实情境中去理解。
4.命题情境：
①生活实践类：共振
、
、地震波、多普勒彩超等
筛摆钟
；
②学习探究类：
运
的特征、
的周期与
的定量关系、用
量重力加速度、受迫振
的
简谐
动
单摆
摆长
单摆测
动
特点、共振的条件及其
用、波的干涉与衍射
象、多普勒效
应
现
应。
复习目标：
目标1.知道简谐运动的概念，掌握简谐运动的特征，理解简谐运动的表达式和图像。
目标2.知道什么是单摆，熟记单摆的周期公式。
目标3.理解受迫振动和共振的概念，了解产生共振的条件。
2
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考点一 简谐振动
知识点1．关于简谐运动两个重要概念的理解
平衡位置
物体在振动过程中回复力为零的位置
回复力
①定义：使物体在平衡位置附近做往复运动的力叫回复力。
②表达式：回复力F＝－
kx
。负号表示回复力的方向与位移方向始终相
反，回复力的大小与位移的大小成正比。
3
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③属于效果力，可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力或某个
力的分力提供。
注意：回复力等于做
运
的物体指向平衡位置的合外力，而不是物
简谐
动
体受到的合外力
知识点2．关于机械运动的两种描述
表达
式描
述
①动力学表达式：F＝－
kx
，其中“－”表示回复力与位移的方向相反
②运动学表达式：x＝A sin(
ωt
＋
φ ) ，其中A 代表振幅，ω＝2πf 表示简谐运动
振动的快慢，ωt＋φ 代表简谐运动的相位，φ 叫作初相
图像
描述
①从平衡位置开始计时，振动表达式为x＝Asin ωt，图像如图甲所示
②从最大位移处开始计时，振动表达式为x＝Acos ωt，图像如图乙所示
注意：
运
的
简谐
动
x-t
像是一条正弦或余弦曲
，不是振子的运
迹，振子
图
线
动轨
的运
迹是一条
段
动
线
轨
知识点3．关于简谐运动的三个特点
受力特点
回复力F＝－
kx
，F(或a)的大小与x 的大小成正比，方向相反
运动特点
靠近平衡位置时，a、F、x 都减小，v 增大；远离平衡位置时，a、F、x
都增大，v 减小(填“增大”或“减小”)
能量特点
对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能
相互转化，系统的机械能守恒
知识点4.简谐运动的周期性与对称性
周期性
做
运
的物体的位移、回复力、加速度和速度均随
做周期性变
化，变化周
简谐
动
时
期就是
运
的周期
简谐
动
T；
能和
能也随
做周期性
化，其
化周期
动
时
势
间
变
变
为
称性
对
(1)如
所示，做
运
的物体
关于平衡位置
图
简谐
动
经过
O 点
称的两点
对
P、P′
(OP＝OP′)
，速度的大小、
能、
能相等，相
于平衡位置的位移大小
时
动
对
势
相等
(2)物体由P 到O 所用的
等于由
时间
O 到P′所用的
，即
时间
tPO＝tOP′
4
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(3)物体往复运
程中通
同一段路程
动过
过
(如OP 段)所用
相等，即
时间
tOP＝tPO
(4)相隔或(n
正整数
为
)的两个
刻，物体位置关于平衡位置
称，位移、速
时
对
度、加速度大小相等，方向相反
考向1 简谐振动基本物理量的分析
例1（2025·广东茂名·模拟预测）如图所示，平静湖面上漂浮的浮子受到轻微扰动后，在竖直方向
上做简谐运动，周期为
，振幅为
。已知
时刻，浮子正经过平衡位置竖直向下运动，下列
说法正确的是（ ）
A．在
时，浮子的加速度最大，方向竖直向下
B．在
时，浮子的位移最大，速度方向竖直向下
C．在
时，浮子的加速度和位移均为零，速度方向竖直向上
D．浮子的振幅越大，其振动周期就越大
【答案】C
【详解】A．已知
时刻，浮子正经过平衡位置竖直向下运动，可知在
时，浮子处于下
方最大位移处，则浮子的加速度最大，方向竖直向上，故A 错误；
BC．在
或
时，浮子处于平衡位置向上运动，浮子的加速度和位移均为零，速度方
向竖直向上，故B 错误，C 正确；
D．简谐运动的周期与振幅无关，故D 错误。
故选C。
【变式训练1·】（2025·江西南昌·一模）如图所示，并列悬挂两个相同的弹簧振子（互不影响）。
把两个小球拉到相同的位置，先释放A 球，当A 球第一次到达平衡位置时再释放B 球，在接下来
的运动过程中，两小球不可能在同一时刻具有（ ）
5
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A．相同的速度与相同的动能
B．相同速度与相同位移
C．相同的位移与相同的加速度
D．相同的位移与相同的动能
【答案】B
【详解】当A 球第一次到达平衡位置时再释放B 球，则两球振动的相位始终相差
，振动图
像如图，根据简谐振动的特点：
A．在同一时刻，可能具有相同大小的速度，由
可知，可能相同的动能，例如t1
时刻，故A 不合题意；
B．在同一时刻，由于两球振动的相位始终相差
，不可能同时具有相同速度与相同位移，
例如t2时刻，位移相同，速度大小相同，但是方向不同，故B 符合题意；
C．在同一时刻，可能具有相同的位移，根据
可知，可能相同的加速度，例如t2时
刻，故C 不合题意。
同一时刻，可能有相同的位移，此时速度大小一定相同，则有相同的动能，例如t2时刻，故D
不符合题意。
故选B。
【变式训练2】】如图所示，小球在BC 之间做简谐运动，当小球位于O 点时，弹簧处于原长，在
小球从C 点运动到O 点的过程中( )
A.动能不断增大，加速度不断减小
B.回复力不断增大，系统机械能守恒
C.弹性势能不断减小，加速度不断增大
D.弹性势能不断增大，加速度不断减小
6
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【答案】 A
【解析】 做简谐运动的小球，从C 点到O 点的过程中逐渐靠近平衡位置，速度方向指向平衡位置，
弹簧弹力充当回复力，也指向平衡位置，故速度方向与受力方向相同，合外力做正功，动能不断增
大；同时由于偏离平衡位置的位移减小，由回复力公式F＝－kx 可知，回复力逐渐减小，根据牛顿
第二定律可知F＝－kx＝ma，故加速度不断减小，故A 正确；由上述分析可知回复力不断减小，整
个系统只有弹簧弹力做功，故系统的机械能守恒，故B 错误；在小球从C 点到O 点的过程中，弹
簧形变量逐渐减小，故弹性势能逐渐减小，同时由上述分析可知，加速度也逐渐减小，故C、D 错
误。
考向2 简谐振动的周期性和对称性
例2 小球做简谐运动，若从平衡位置O 开始计时，经过0.5 s，小球第一次经过P 点，又经过0.2
s，小球第二次经过P 点，则再过多长时间该振子第三次经过P 点( )
A.1.0 s
B.2.4 s
C.0.8 s
D.2.2 s
【答案】 D
【解析】 若小球从O 点开始向指向P 点的方向振动，作出示意图如图甲所示
则小球的振动周期为T1＝(0.5＋0.1)×4 s＝2.4 s，则该小球再经过时间Δt＝T1－0.2 s＝2.2 s，第三次经
过P 点；若小球从O 点开始向背离P 点的方向振动，作出示意图如图乙所示
则有0.5 s＋0.1 s＝T2，小球的振动周期为T2＝0.8 s，则该小球再经过时间Δt′＝T2－0.2 s＝0.6 s，第
三次经过P 点，A、B、C 错误，D 正确
【变式训练1】（2025·浙江·模拟预测）如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧悬挂在天花板上的O点，
质量为m的物块（视为质点）悬挂在弹簧的下端，系统静止时物块停在M，现把物块竖直向下拉到
N点，然后由静止释放。已知P点在M点的正上方，P、N两点到M点的距离相等，重力加速度为
g，下列说法正确的是（ ）
7
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A．物块由N运动到P，弹簧的弹力先减小后增大
B．把此装置放在光滑的斜面上，振动周期小于2π√
m
k
C．把此装置移动到月球上，其振动周期大于2π√
m
k
D．物块由N到P，重力的冲量大小为πmg√
m
k
【答案】D
【详解】A．弹簧振子做简谐运动，系统静止时物块停在M，说明M点为平衡位置。在M点时，弹
簧的弹力为F =mg
弹簧的伸长量为Δ x = mg
k
若MN = MP≤Δ x，则物块从N到P弹簧弹力一直减小；若MN = MP>Δ x，说明物块运动到P时
弹簧处于压缩状态，则从N到P弹簧弹力先减小后增大，故A 错误。
BC．弹簧振子的振动周期为T =2π√
m
k
，把此装置放在光滑的斜面上或移动到月球上，由于m、k
不变，则振动周期不变，故BC 错误。
D．根据简谐运动的对称性可得物块由N到P的运动时间为t NP= T
2 =π√
m
k
则物块由N到P，重力的冲量大小为I =mgt NP=πmg√
m
k
故D 正确。
故选D。
【变式训练2·】如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过M、N 两点，历时1
s，质点通过N 点后再经过1 s 又第2 次通过N 点，在这2 s 内质点通过的总路程为12 cm。则质点的
振动周期和振幅分别为( )
A．3 s、6 cm
B．4 s、6 cm
C．4 s、9 cm
D．2 s、8 cm
【答案】 B
【解析】 简谐运动的质点，先后以同样的速度通过M、N 两点，则可判定M、N 两点关于平衡位
置O 点对称，所以质点由M 到O 时间与由O 到N 的时间相等，那么平衡位置O 到N 点的时间t1＝
0.5 s，因过N 点后再经过t＝1 s，质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N 点，则有从N 点到
最大位移处的时间t2＝0.5 s，因此，质点振动的周期是T＝4(t1＋t2)＝4 s。这2 s 内质点通过的总路
程的一半，即为振幅，所以振幅A＝＝6 cm，故选B
8
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考点二 简谐振动的公式和图像
知识点1.简谐运动的振动方程和图像
(1)从平衡位置开始计时：x＝Asin ωt，如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时：x＝Acos ωt，如图乙所示。
(3)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。
知识点2.由图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度
大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
3.简谐运动的对称性(如图)
(1)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
(2)相隔Δt＝(n＋)T(n＝0，1，2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向
(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。
考向1 简谐振动方程
例1 （2025·甘肃兰州·一模）在建筑工地上，工人使用插入式混凝土振捣器对浇筑的混凝土进行振
捣作业。振捣器开启后，其内部的偏心块高速旋转，带动振捣棒做简谐运动，并将振动传递给
9
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混凝土。已知振捣棒的振动方程为
。下列说法正确的是（ ）
A．振捣棒做简谐运动的频率为50Hz
B．
时刻，振捣棒的位移为1.5mm
C．振捣棒在1s 内通过的路程是600mm
D．振捣棒的振动频率越高，混凝土颗粒的振动一定越剧烈
【答案】C
【详解】AB．根据表达式
可知频率为
Hz
将
代入解得
mm
故AB 错误；
C．振捣棒的周期为
s
由于1s=
，则振捣棒在1s 内通过的路程是
mm
故C 正确；
D．当振捣棒的振动频率与混凝土颗粒的固有频率越接近时，振动越剧烈，故D 错误；
故选C。
【变式训练1】（2025·北京顺义·一模）如图所示为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加
速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度
a 随时间t 变化的关系为
。下列说法正确的是（ ）
A．手机振动的周期
B．
时，弹簧弹力为0
C．
时，手机位于平衡位置上方
D．从
至
，手机的动能减小
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【答案】D
【详解】A．由题意可知
可得
故A 错误；
B．
时，
由牛顿第二定律可知
可知，此时弹簧弹力与重力二力平衡，弹簧弹力不为零，故B 错误；
C．
时，
可知手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，故C 错误；
D．
时，
可知，
至
时间内，手机从平衡位置向平衡位置上方移动，由于在平衡位置时
手机速度最大，因此手机动能减小，故D 正确。
故选D。
考向2 简谐振动图像
例2 （2025·湖南长沙·三模）如图1 所示，在光滑的水平面上有两弹簧振子甲、乙，甲、乙使用的
弹簧劲度系数相同，两弹簧振子的速度随时间的变化图像如图2 所示。已知弹簧振子的周期公
式为
，其中m 为振子的质量，k 为弹簧的劲度系数，弹簧的弹性势能
，
x 为弹簧形变量，下列说法不正确的是（ ）
A．甲、乙的周期之比为4:3
B．甲、乙的振子质量之比为16:9
C．甲、乙的机械能之比为32:9
D．甲、乙的弹簧最大形变量之比为16:3
【答案】D
11
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【详解】A．由图2 可得
，
解得
，
所以
故A 正确；
B．根据弹簧振子的周期公式为
整理得
则
故B 正确；
C．由图2 可得，两弹簧振子的最大速度之比为
当振子有最大速度时，振子的机械能只有动能，则根据
可得
故C 正确；
D．当弹簧形变量最大时，振子的动能全部转化为弹性势能，根据
整理可得
所以
故D 错误。
本题选择不正确的，故选D
【变式训练1】（2025·宁夏银川·一模）如图甲所示，一根粗细均匀的木筷，下端绕几圈细铁丝后
竖直悬浮在装有盐水的杯子中。现把木筷竖直向上提起一段距离后放手，其在水中的运动可视
为简谐运动。以竖直向上为正方向，从某时刻开始计时，木筷的横截面积为S，木筷下端到水面
12
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的最小距离为
，最大距离为
。则（ ）
A．木筷在
时间内动能先减小后增大
B．木筷做简谐运动的振幅为
C．木筷（含铁丝）的质量为
D．木筷在0~3t0时间内运动的路程为
【答案】BCD
【详解】A．木块在最大位移处速度最小，木筷在t0~5t0时间内由正向最大位移处运动到负向最
大位移处，速度先增大后减小，故A 错误；
B．由简谐运动的对称性可知h2﹣h1＝2A
即
故B 正确；
C．木筷静止在平衡位置时，即
求得
故C 正确；
D．木筷振动方程的一般形式为y＝Asin（ωt+φ）
其中
，
，
代入得
13
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t＝0 时，有
结合木筷下端的位移y 随时间t 变化的图像可知，木筷在0~3t0时间内运动的路程为
故D 正确。
故选BCD。
【变式训练2】（2025·北京石景山·一模）如图甲所示，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球
的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x 轴。若将小球从弹簧原长处由
静止释放，其在地球表面与某球状天体表面（不考虑自转影响）做简谐运动的x-t 图
像如图乙所示，则地球表面与该天体表面的重力加速度之比为（ ）
A．2：1
B．1：2
C．1：4
D．4：1
【答案】A
【详解】设地球表面的重力加速度为
，球状天体表面的重力加速度为
，弹簧的
劲度系数为
根据简谐运动的对称性有
解得
故选A。
考点三 单摆
知识点1 单摆及其周期公式
14
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1.定义：用不可伸长的细线悬挂小球的装置，细线的
质量
与小球相比可以忽略，球的
直径
与线的长度相比也可以忽略。（如图所示）
2.做简谐运动的条件：最大摆角θ＜5°。
3.回复力：F＝mg
sin
θ
。
4.周期公式：T＝
2π
√
l
g
。
（1）l 为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
（2）g 为当地重力加速度。
5.单摆的等时性：单摆的振动周期取决于
摆长
l
和
重力加速度
g
，与振幅和摆球质量
无关
。
知识点2 单摆的理解
1.单摆的受力特征
（1）回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F＝－mgsin θ≈－mg
l x＝－kx，负号表示回复
力F 与位移x 的方向相反。
（2）向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向分力的合力充当向心力，Fn＝FT－mgcos θ。
（3）两个特殊位置：
①当摆球在最高点时，Fn＝mv
2
l ＝0，FT＝mgcos θ。
②当摆球在最低点时，Fn＝mvmax
2
l
，Fn最大，FT＝mg＋mvmax
2
l
。
2.等效重力加速度的理解
（1）对于不同星球表面：g＝GM
R
2 ，M 与R 分别为星球的质量与半径。
（2）单摆处于超重或失重状态时：g 效＝g±a。
（3）重力场与匀强电场中：g 效＝G效
m 。
15
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考向1 单摆的周期
例1 （2025·广东汕头·一模）如图1 所示，在距离水平圆盘中心
处固定一小球，转动圆盘，小球
做线速度为
的匀速圆周运动，在圆盘圆心正上方，另一完全相同的小球制成的单摆在小角度
的摆动。图2 是两球在与摆球摆动平面平行的竖直面上的投影，两球投影时刻都在同一竖直方
向上。已知小球半径为
，重力加速度为
，下列说法正确的是（ ）
A．单摆的摆线长度为
B．单摆在做简谐运动，其回复力为合力
C．更换另一体积更大的摆球，投影依旧时刻在同一竖直方向
D．若该装置从汕头搬到北京，要使投影依旧时刻在同一竖直方向，则圆盘转速要变快
【答案】D
【详解】A．由题意可知，两小球的周期相同，做圆周运动的小球的周期为
根据单摆的周期公式
联立，解得单摆的摆线长度为
故A 错误；
B．单摆在做简谐运动，重力沿速度方向的分力提供回复力，故B 错误；
C．单摆的摆长为摆线长度加小球半径，更换另一体积更大的摆球，则单摆的摆长变长，周期
变大，投影不能时刻在同一竖直方向，故C 错误；
D．若该装置从汕头搬到北京，重力加速度
变大，则单摆的周期变小，要使投影依旧时刻在
同一竖直方向，做圆周运动的小球的周期也要变小，根据
可知，圆盘转速要变快，
故D 正确。
故选D。
【变式训练1】（2025·山西吕梁·三模）某同学用如图所示的装置描绘单摆做简谐运动的振动图像。
16
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第一次实验时在纸带上恰好有两个完整的振动图像，第二次实验时改变摆长，用2 倍的速度拉
相同的纸带，纸带上也恰好有两个完整的振动图像，则第一次实验和第二次实验中单摆的摆长
之比为（ ）
A．4 1∶
B．2 1∶
C．1 2∶
D．1 4∶
【答案】A
【详解】由题意可知两次实验中单摆的周期之比为
再由周期公式
解得
故选A。
【变式训练2】（2025·陕西西安·一模）力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，如图
甲所示，
点为单摆的固定悬点，现将摆球从
点释放，则摆球在竖直平面内的
之间来回摆动。
点为运动中的最低位置，
小于
且是未知量。
图乙是由力传感器得到的细线对摆球的拉力大小
随时间变化的曲线，图中
时刻为摆
球从
点开始运动的时刻，重力加速度
。下列说法正确的是（ ）
A．单摆的周期为
B．摆长为
C．摆球的质量为
D．摆球运动过程中的最大速度为
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【答案】AC
【详解】A．小球在一个周期T 内两次经过最低点，球在最低点时绳子拉力最大，结合图乙可
知单摆周期
，故A 正确；
B．根据单摆周期
联立以上解得摆长
故B 错误；
CD．分析可知球在最低点时速度v 最大，图乙可知绳子拉力最大值、最小值分别为
，设小球质量为m，小球在最低点时，由牛顿第二定律有
小球在最高点时，由牛顿第二定律有
小球从最高点到最低点，由动能定理得
联立以上解得
故C 正确，D 错误。
故选 AC。
考向2 单摆的振动图像及其表达式
例2（2025·福建·模拟预测）智能手环随手臂做简谐运动，其质量为m，位移图像x−t如图所示。
图中函数是余弦函数，初相位为0，abcd 四个点分别表示所在点的横坐标大小。下列说法不正确的
是（ ）
A．当手环运动到b处时，传感器的加速度大小为A cosb
B．当手环运动到c处时，传感器所受回复力大小为m[
3π
2(d −a)]
2
A
C．当手环运动到d处时，传感器的加速度大小最大
D．当手环运动到a处时，传感器速度与c处相同
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【答案】A
【详解】A．手环做简谐运动，当手环运动到b处时，传感器的位移大小为x = A cosb
加速度大小不是A cosb，故A 错误，符合题意；
B．设手环运动周期为T，由图可知3
4 T =d −a
当手环运动到c处时，传感器所受回复力大小为F =mg A
L
由周期公式T =2π√
L
g
解得F =mω
2 A =m[
3 π
2(d −a)]
2
A
故B 正确，不符合题意；
C．当手环运动到d处时，处于最高点，传感器的加速度最大，故C 正确，不符合题意；
D．手环在a、c 两处时离开平衡位置的位移最大，当手环运动到a处时，传感器速度与c处相同，
都是零，故D 正确，不符合题意。
故选A。
【变式训练1】（2025·河北秦皇岛·一模）如图甲所示是一个单摆，摆球在竖直面做小角度摆动，
摆球经过平衡位置时的速度大小为v，设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，由
此可知（ ）
A．该单摆振动的频率为0.8 Hz
B．振动方程为x =−4cos(2.5 πt )cm
C．t =0时，摆球速度大小为v
D．t =0.2s时，摆球加速度为零
【答案】B
【详解】A．由振动图，可知周期为0.8s，即可得频率f = 1
T
解得f =1.25 Hz
故A 错误；
B．由振动图可得到振幅A = 4cm，因为ω=2πf
联立以上解得质点的振动方程为x =−4cos(2.5 πt )cm
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故B 正确；
C．由质点的振动图的斜率表示速度，可知t =0时，摆球速度大小为0，故C 错误；
D．由回复力与位移的关系，结合振动图，可知t =0.2s摆球在平衡位置，速度最大，在竖直方向上，
拉力与重力的合力提供向心力，即小球有向心加速度，故D 错误。
故选B。
【变式训练2】（2025·黑龙江·二模）如图所示是同一地点的甲、乙两单摆的部分振动图像，下列
说法正确的是（ ）
A．甲、乙两单摆的摆长之比为9:4
B．乙单摆的振动方程x =8sin(
π
3 t +π)cm
C．甲单摆的机械能小于乙单摆的机械能
D．0~1s内，甲摆球的重力势能增大，乙摆球的重力势能减小
【答案】B
【详解】A．由振动图像可知，甲、乙单摆的周期T 甲= 4s，T 乙=6s
根据单摆周期公式T =2π√
l
g
可知l甲
l乙
= T 甲
2
T 乙
2 = 4
2
6
2 = 4
9
故A 错误；
B．对乙单摆有T 乙=6s，A =8cm
故ω乙= 2π
T 乙
= π
3 rad/s
由图可知，t =0时刻，乙单摆的位移为0，且向负方向运动，故乙单摆的振动方程为
x =8sin( π
3 t + π )(cm)
故B 正确；
C．单摆的机械能与摆球的质量、振幅等因素有关，仅从振动图像无法判断两单摆小球的质量关系，
所以不能比较机械能的大小，故C 错误；
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D．0~1s内，甲、乙摆球均从平衡位置向最高点运动，故甲、乙摆球的重力势能均增大，故D 错
误。
故选B。
考点四 受迫振动和共振
知识点1 受迫振动和共振
1.振动中的能量损失
（1）阻尼振动：由于实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用，振幅必然
逐渐减小
，这种振动称为阻尼振动。
（2）振动系统能量衰减的方式：①由于受到摩擦阻力的作用，振动系统的机械能逐渐转化为
内
能
；②由于振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量
向四周辐射出去
。
2.受迫振动
系统在
驱动力
作用下的振动叫作受迫振动。物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的周期（或
频率）等于
驱动力
的周期（或频率），与物体的固有周期（或频率）
无
关。
3.共振
如图反映了受迫振动振幅A 与驱动力频率f 之间的关系。驱动力的频率f 跟振动系统的固有频率f0
相差越小，受迫振动的振幅越大；驱动力的频率f 等于振动系统的
固有频率
f 0 时，受迫振动的
振幅最大，这种现象称为共振。
考向1 受迫振动及共振
例1 （2025·辽宁·三模）飞力士棒通过利用持殊构造和弹性，产生一定的振动频率，从
而这些振动会深入到身体内的核心肌肉，从而达到强化锻炼的作用。如图所示。飞力
士棒的固有频率为3.5Hz，则（ ）
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A．若该棒做自由振动，则频率为3.5Hz
B．使用时手振动的频率增大，飞力士棒振动的幅度也随之增大
C．手每分钟震动210 次，飞力士棒产生共振
D．PVC 软杆长度不变，负重头质量减小时，飞力士棒的固有频率保持不变
【答案】AC
【详解】A．若棒做自由振动，则振动按照固有频率振动，故A 正确；
B．随着手振动的频率增大，飞力士棒振动的频率随之增大，但是幅度可能越来越小，
故B 错误；
C．手振动频率为
此时频率故固有频率相等，飞力士棒发生共振，故C 正确；
D．负重头质量减小，PVC 杆长度不变，则其结构改变，飞力士棒的固有频率会变化，
故D 错误。
故选AC。
解题技巧
1.共振曲线
如图所示，横坐标为驱动力的频率f，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力的频率对某固有频
率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响，由图可知，f 与f0越接近，振幅A 越大；当f＝f0时，
振幅A 最大。
2.受迫振动中系统能量的转化
做受迫振动的系统的机械能不守恒，驱动力对系统做功，补偿系统的能量损耗，使系统的振动维持
下去。
3.无论发生共振与否，受迫振动的频率都等于驱动力的频率，但只有发生共振现象时振幅才能达到
最大。
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【变式训练1】（2025·江苏·一模）某电视节目上一男子表演“狮吼功”——用声音震碎
玻璃杯。关于这一现象，下列说法中正确的是（ ）
A．声音频率越低越容易震碎玻璃杯B．声音频率越高越容易震碎玻璃杯
C．需要很大的音量才能震碎玻璃杯D．在适当的频率下无需很大的音量就能震碎
玻璃杯
【答案】D
【详解】发生共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率，用声音震碎玻璃杯
是声音的频率与玻璃杯的固有频率相等，使玻璃杯发生共振，从而使玻璃杯碎裂，
与音量的大小无关。
故选D。
【变式训练2】（2025·重庆·三模）航天员用同一装置对同一单摆分别在地球和月球上做
受迫振动实验，得到如图所示的共振曲线。将月球视为密度均匀、半径为r 的球体，引
力常量为G，地球表面的重力加速度为g，不考虑星球自转的影响。下列说法正确的是
（ ）
A．该单摆在地球上的共振频率为f1 B．所用单摆的摆长为
C．月球表面的重力加速度为
D．月球的密度为
【答案】B
【详解】ABC．根据单摆周期公式可得
可得
由于月球的重力加速度小于地球的重力加速度，所以该单摆在月球上的共振频率为f1；
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设月球表面的重力加速度为
，则有
地球上的频率为
所用单摆的摆长为
可得月球表面的重力加速度为
故AC 错误，B 正确；
D．物体在月球表面上，有
解得月球质量为
根据
可得月球的密度为
故D 错误。
故选B。
1.
（2025·河北·高考真题）如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，
两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜
面平行。此外，两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长。将左侧
小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离，然后松开。弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为θ，不计
摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中，下列说法正确的是（ ）
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A．左侧小物块沿斜面做简谐运动
B．细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大
C．右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等
D．若θ增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长
【答案】AC
【详解】A．对左侧小物块，设沿斜面向下的位移为x，则有T + kx −mgsinθ =ma
此时，对右侧小物块，有
mgsinθ+ kx−T =ma
联立可得
2kx =2ma=2 F
则左侧小物块受到的合外力
F =ma=kx，方向与位移方向相反，故其做简谐运动，故A 正确；
B．根据以上分析，可得2T =2mgsinθ，绳拉力保持不变，故B 错误；
C．同理可知，右侧小物块也做简谐运动，根据对称性，其在最高和最低位置的加速度大小相等，
故C 正确；
D．弹簧振子振动周期T 周=2π√
m
k
，与斜面夹角无关，故D 错误。
故选AC。
2.
（2025·江苏·高考真题）如图所示，弹簧一端固定，另一端与光滑水平面上的木箱相
连，箱内放置一小物块，物块与木箱之间有摩擦。压缩弹簧并由静止释放，释放后物块在木箱
上有滑动，滑动过程中不与木箱前后壁发生碰撞，不计空气阻力，则（ ）
A．释放瞬间，物块加速度为零
B．物块和木箱最终仍有相对运动
C．木箱第一次到达最右端时，物块速度为零
D．物块和木箱的速度第一次相同前，物块受到的摩擦力不变
【答案】D
【详解】A．根据题意可知，释放时，物块与木箱发生相对滑动，且有摩擦力，根据牛顿第二定律
可知释放时物块加速度不为0，故A 错误；
B．由于物块与木箱间有摩擦力且发生相对滑动，所以弹簧的弹性势能会减少，直到弹簧的最大弹
力满足以下分析的F：设物块与木箱之间的最大静摩擦力为f ，物块质量为m，对物块根据牛顿第
二定律f =ma
设木箱质量为M，对物块与木箱整体，根据牛顿第二定律F =(m+ M )a
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可得F =(m+ M ) f
m
即弹簧的最大弹力减小到F =(m+ M ) f
m后，二者一起做简谐运动，故B 错误；
C．根据AB 选项分析可知只有当二者一起做简谐运动前，有相对滑动，木箱第一次到达最右端时，
物块速度不为零，故C 错误；
D．开始滑块的加速度向右，物块与滑块第一次共速前，物块相对滑块向左运动，受到向右的摩擦
力，共速前二者有相对滑动，摩擦力恒为二者之间的滑动摩擦力，保持不变，故D 正确。
故选D。
3.
（2025·甘肃·高考真题）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为2m的小球A，质
量为m 的小球B 与A 用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为
g。现剪断细线，下列说法正确的是（ ）
A．小球A 运动到弹簧原长处的速度最大B．剪断细线的瞬间，小球A 的加速度大小为g
2
C．小球A 运动到最高点时，弹簧的伸长量为mg
k
D．小球A 运动到最低点时，弹簧的伸长量
为2mg
k
【答案】BC
【详解】A．剪断细线后，弹力大于A 的重力，则A 先向上做加速运动，随弹力的减小，则向上的
加速度减小，当加速度为零时速度最大，此时弹力等于重力，弹簧处于拉伸状态，选项A 错误；
B．剪断细线之前则F弹=3mg
剪断细线瞬间弹簧弹力不变，则对A 由牛顿第二定律F 弹−2mg=2ma
解得A 的加速度a= g
2
选项B 正确；
C．剪断细线之前弹簧伸长量x1= 3mg
k
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剪断细线后A 做简谐振动，在平衡位置时弹簧伸长量x2= 2mg
k
即振幅为A = x1−x2= mg
k
由对称性可知小球A 运动到最高点时，弹簧伸长量为mg
k ，选项C 正确；
D．由上述分析可知，小球A 运动到最低点时，弹簧伸长量为3mg
k
，选项D 错误。
故选BC。
4.
（2025·四川·高考真题）如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂
在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面
向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2 个周期的振
动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则（
）
A．小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零
B．小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零
C．小球甲、乙的振动周期之比为3:4
D．小球丙、丁的摆长之比为1:2
【答案】C
【详解】根据单摆周期公式T =2π√
L
g
可知T 丁>T 丙>T 乙>T 甲
CD．设甲的周期为T 甲，根据题意可得2T 甲= 3T 乙
2
=T 丙= T 丁
2
可得T 丙=2T 甲，T 乙= 4
3 T 甲，T 丁= 4T 甲
可得T 甲:T 乙=3:4，T 丙:T 丁=1:2
根据单摆周期公式T =2π√
L
g
结合T 丙:T 丁=1:2
可得小球丙、丁的摆长之比L丙: L丁=1:4
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故C 正确，D 错误；
A．小球甲第一次回到释放位置时，即经过T 甲（T 丙
2
）时间，小球丙到达另一侧最高点，此时速度
为零，位移最大，根据a=−kx
m 可知此时加速度最大，故A 错误；
B．根据上述分析可得T 乙= 1
3 T 丁
小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙振动的时间为T 丁
4 （即3T 乙
4
）可知此时小球乙经过平衡位
置，此时速度最大，动能最大，故B 错误。
故选C。
5.
（2025·湖北·高考真题）质量均为m 的小球a 和b 由劲度系数为k 的轻质弹簧连接，
小球a 由不可伸长的细线悬挂在O 点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b 竖直下拉长度
l 后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b 后
（ ）
A．小球a 可能会运动
B．若小球b 做简谐运动，则其振幅为l
2
C．当且仅当l≤mg
k 时，小球b 才能始终做简谐运动 D．当且仅当l≤2mg
k
时，小球b 才能
始终做简谐运动
【答案】AD
【详解】B．如果A 球不动而B 球单独振动则B 球做简谐振动，简谐振动的平衡位置合力为零，即
B 球初始时刻位置，则可知B 的振幅为l，B 错误；
ACD．A 球发生运动的临界条件为弹簧对A 球向上的弹力大于A 球的重力，则此时对A 球有
k x0=mg
对B 球有此时加速度k x0+mg=ma
由简谐振动的对称性可得向下拉到最低点松手释放的加速度也为a，则有kl =ma
解得l = 2mg
k
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即l≤2mg
k
，否则A 球会发生运动，AD 正确，C 错误。
故选AD。
6．（2025·广东·高考真题）关于受迫振动和多普勒效应，下列说法正确的是（ ）
A．系统的固有频率与驱动力频率有关
B．只要驱动力足够大，共振就能发生
C．应用多普勒效应可以测量车辆的速度
D．观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率大
【答案】C
【详解】A．系统的固有频率只与系统本身有关，与驱动力频率无关，A 错误；
B．只有驱动力频率与系统固有频率相同时，共振才能发生，B 错误；
CD．根据多普勒效应可知观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率
小，观察者与波源相互靠近时，接收到的波的频率比波源的频率大，所以应用多普勒
效应可以测量车辆的速度，C 正确，D 错误。
故选C。
7．（2024·北京·高考真题）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度
传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加
速度a 随时间t 变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．
时，弹簧弹力为0
B．
时，手机位于平衡位置上方
C．从
至
，手机的动能增大
D．a 随t 变化的关系式为
【答案】D
【详解】A．由题图乙知，
时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小
为
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A 错误；
B．由题图乙知，
时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B 错误；
C．由题图乙知，从
至
，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移
处运动，速度减小，动能减小，C 错误；
D．由题图乙知
则角频率
则a 随t 变化的关系式为
D 正确。
故选D。
30
