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第27 讲 机械振动
1.知道简谐运动的概念，理解简谐运动的表达式和图象.
2.知道什么是单摆，知道在摆角较小的情况下单摆的运动是简谐运动，熟记单摆的周期公式.
3.理解受迫振动和共振的概念，掌握产生共振的条件．
考点一 简谐运动的规律
简谐运动的运动规律：x＝Asin (ωt＋φ)
(1)变化规律
位移增大时
(2)对称规律
①做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系，
另外速度的大小、动能具有对称性，速度的方向可能相同或相反．
②振动物体来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；振动物体经过关于平衡位置对称的等
长的两线段的时间相等，如tBC＝
t B′C′，如图所示．
(3)运动的周期性特征
相隔T 或nT 的两个时刻振动物体处于同一位置且振动状态相同．
考点二 简谐运动的图象
1．简谐运动的图象
图象
横轴
表示振动时间
纵轴
表示某时刻质点的位移
物理意义
表示振动质点的位移随时间的变化规律
1
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2.振动图象的信息
(1)由图象可以看出振幅、周期．
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移．
(3)可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向．
①回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t 轴．
②速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，若下一时刻位移增大，振动质点
的速度方向就是远离t 轴，若下一时刻位移减小，振动质点的速度方向就是指向t 轴．
考点三 单摆周期公式的应用
1．受力特征：重力和细线的拉力
(1)回复力：摆球重力沿切线方向上的分力，F＝mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F 与位移x 的
方向相反．
(2)向心力：细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，F 向＝FT－mgcos θ.
特别提醒 ①当摆球在最高点时，F 向＝＝0，FT＝mgcos θ.
②当摆球在最低点时，F 向＝，F 向最大，FT＝mg＋m.
2．周期公式：T＝2π，f＝
(1)只要测出单摆的摆长l 和周期T，就可以根据g＝，求出当地的重力加速度g.
(2)l 为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离，要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在
圆弧的圆心．
(3)g 为当地的重力加速度．
考点四 受迫振动和共振的应用
1．受迫振动
(1)概念：振动系统在周期性外力作用下的振动．
(2)特点：受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关．
2．共振
(1)现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大．
(2)条件：驱动力的频率等于系统的固有频率．
(3)特征：共振时振幅最大．
(4)共振曲线：如图所示．
2
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3．自由振动、受迫振动和共振的关系比较
振动
项目
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决
定，即固有周期T0或
固有频率f0
由驱动力的周期或频
率决定，即T＝T 驱或f
＝f 驱
T 驱＝T0或f 驱＝f0
振动能量
振动物体的机械能不
变
由产生驱动力的物体
提供
振动物体获得的能量
最大
常见例子
弹簧振子或单摆
(θ≤5°)
机械工作时底座发生
的振动
共振筛、声音的共鸣
等
[例题1] (24-25 高三下·湖南沅澧共同体·一模)装有一定量细沙的两端封闭的玻璃管竖直漂
浮在水中，水面范围足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压4cm 后放手，忽略水的粘
滞阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动，测得振动周期为0.6s。以竖直向上为正
方向，从某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A 为振幅。对于玻璃管，下列说法正
确的是（ ）
A．振动频率与按压的深度有关
B．振动过程中玻璃管的振幅为8cm
C．t2时刻的横坐标为0.25
D．在t1~t2时间内，玻璃管的位移减小，加速度减小，速度增大
[例题2] 航天员用同一装置对同一单摆分别在地球和月球上做受迫振动实验，得到如图所
3
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示的共振曲线。将月球视为密度均匀、半径为r 的球体，引力常量为G，地球表面的重力加速
度为g，不考虑星球自转的影响。下列说法正确的是（ ）
A．该单摆在地球上的共振频率为f1
B．所用单摆的摆长为
g
4π
2f 2
2
C．月球表面的重力加速度为f 2
2
f 1
2 g
D．月球的密度为
4 g f 2
2
3πGr f 1
2
[例题3] 如图甲所示，质量M =5.0kg的箱子P 放在水平地面上，两根相同的轻质弹簧连
着质量m=1.0kg的小球Q，两弹簧另一端与箱子P 连接，弹簧均处于竖直状态。取竖直向上
为正方向，小球在竖直方向振动过程中相对平衡位置的位移y 随时间t 的变化如图乙所示，箱
子P 始终保持静止。已知两弹簧的劲度系数k =50 N / m，重力加速度g=10 m /s
2，则（ ）
A．t1=0.05πs时，小球的加速度为零
B．t =0.1πs时．小球的速度为零
C．t2=0.15πs时，箱子P 对地面的压力大小为64N
D．t2=0.15πs时．箱子P 对地面的压力大小为56N
[例题4] 如图1 所示，一单摆悬挂在O 点，在O 点正下方P 点有一个钉子，将小球（可视
为质点）拉到A 点后静止释放，小球在竖直平面内做简谐运动，摆球的振动图像如图2 所示。
已知摆球摆角始终不超过5°，重力加速度g 取10m/s²，不计一切阻力和能量损失，下列说法中
正确的是（ ）
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A．该单摆的周期为0.4πs
B．OP 间的距离为1.6m
C．t=0.2πs 时小球动能最大
D．图中x₁ 与x₂ 的比值为2 1∶
[例题5] 如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一质量为m的小钢球。以
弹簧原长时钢球所在的位置为坐标原点O，竖直向下为正方向建立坐标轴Ox。将钢球从O点
处由静止释放，钢球在O、P间做往复运动。弹簧劲度系数为k，且弹簧始终处于弹性限度内，
重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．在P点处，小球的加速度最小
B．在P点处，小球所受弹力的大小为mg
C．在x = mg
k
处，小球的速度最大
D．O、P两点间的距离为3mg
k
[例题6] 如图1 所示，在光滑的水平面上有两弹簧振子甲、乙，甲、乙使用的弹簧劲度系
数相同，两弹簧振子的速度随时间的变化图像如图2 所示。已知弹簧振子的周期公式为
T =2π√
m
k
，其中m 为振子的质量，k 为弹簧的劲度系数，弹簧的弹性势能Ep= 1
2 k x
2，x 为弹
簧形变量，下列说法不正确的是（ ）
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A．甲、乙的周期之比为4:3
B．甲、乙的振子质量之比为16:9
C．甲、乙的机械能之比为32:9
D．甲、乙的弹簧最大形变量之比为16:3
[例题7] 如图所示，鱼漂静止时，O点恰好位于水面处。用手将鱼漂缓慢向下压，使M点
到达水面，松手后，鱼漂沿竖直方向运动，上升到最高处时，N点到达水面。若鱼漂的MN段
可视为圆柱体，仅在重力与浮力的作用下运动，则有关鱼漂松手后的运动，下列说法不正确的
是（ ）
A．鱼漂的运动是简谐运动
B．O点过水面时，鱼漂的速度最大
C．M点到达水面时，鱼漂具有向下的加速度
D．鱼漂由释放至运动到最高点的过程中，速度先增大后减小
[例题8] 如图，某游乐场雪滑梯是由动摩擦因数均为μ=0.2的倾斜滑道和水平滑道平滑连
接组成。已知倾斜滑道AC的高度H =11m，它与水平地面夹角θ =25
∘，水平滑道CD长度为L。
水平滑道末端有一光滑圆弧形冰坑DE，冰坑D、E两点高度相等，冰坑圆弧半径R =90 m , R
远大于弧长DE。游客（可视为质点）从雪滑梯顶部A点无初速度下滑，恰好运动到D点。取
重力加速度大小g=10 m /s
2,sin25
∘=0.4 ,cos25
∘=0.9，不计空气阻力。
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(1)求水平滑道的长度L；
(2)若游客以很小的初速度（可忽略）从A点下滑到达E点，求该游客从A点到E点所用的时间t（结
果保留3 位有效数字）。
题型1 简谐运动中各物理量的分析
1.
如图所示为某质点沿x 轴做简谐运动的图像，根据图像可知该质点（ ）
A．在任意1s 内通过的路程相同
B．在第2s 末和第4s 末的速度相同
C．在1s~3s 内所受回复力沿x 轴正方向
D．在2s~3s 内位移方向与瞬时速度方向相同
2.
如图所示，轻弹簧上端固定，下端挂一小球。现将小球向下拉动距离x 后由静止释放，
并开始计时。已知小球做简谐运动的周期为T，下列说法正确的是（ ）
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A．0~ T
4
过程中，小球的速度一直变小
B．0~ T
4
过程中，小球的振幅逐渐变小
C．T
8
时刻，小球的位移大小为x
2
D．T
4 ~ T
2
过程中，小球的加速度一直变大
3.
国家级自然保护区威宁草海是红尾水鸲的栖息地之一。漂浮于草海湖面的一枯木上站
有一只红尾水鸲，当它飞离后，枯木上下浮动。枯木的运动可视为竖直方向周期为T 的简谐运
动，其位移—时间图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．在T
4
时刻枯木的加速度为零
B．在T
2
时刻枯木的加速度最大
C．在0~ T
4
内枯木所受的合力做正功
D．在T
4
~T
2
内枯木所受的合力做正功
题型2 对简谐运动图像
4.
图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机速度传感器记录了手机在竖直方向
的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中速度v 随时间t 变化的曲线为正弦曲线，
如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．在0~0.2s 内，弹簧弹力逐渐减小
B．手机振动的频率大小为0.8Hz
8
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C．在t=0 时刻，手机的加速度为零
D．v 随t 变化的关系式为v =2sin(5 πt )m ⋅s
−1
5.
某质点做简谐振动的位移一时间关系图像如图所示t0（t0为未知量）时刻该质点处于
平衡位置，已知质点的振动周期为T，振幅为A，则下列说法正确的是（ ）
A．t0+0.75T时刻，质点的加速度最小
B．O 时刻质点正在向平衡位置运动
C．质点的振动方程为x = A cos(
2π
T t + π
4)
D．t0= T
3
6.
如图甲所示，质量m1=2.0kg 的箱子P 放置在水平地面上，两根相同的轻质弹簧连着一
质量m2=1.0kg 的小球Q，两弹簧另一端与箱子P 固定。取竖直向上为正方向，小球相对平衡位
置的位移y 随时间t 的变化如图乙所示，已知两弹簧的劲度系数k=50N/m，重力加速度
g=10m/s2，则（ ）
A．t1=0.1π s时刻小球的加速度最大
B．t2=0.15 π s时刻箱子P 对地面的压力大小为30N
C．0.1π s~0.15 π s时间内箱子P 对地面的压力逐渐减小
D．t3=0.2π s时刻小球的速度为0.4m/s
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题型3 弹簧振子模型
7.
如图所示，两根相同弹性轻绳一端分别固定在A 、A
'点，自然伸长时另一端恰好处
于图中光滑定滑轮上的B、B
'，将轻绳自由端跨过定滑轮连接质量为m的小球，
A 、B、C 、B
'、A
'在同一水平线上，且CB =C B
'。现将小球从C点由静止释放，沿竖直
方向运动到E点时速度恰好为零。已知C 、E两点间距离为h，D为CE 的中点，重力加速度
为g，轻绳形变遵循胡克定律且始终处于弹性限度内，不计空气阻力。下列说法正确的是（
）
A．小球在E点的加速度大小为g
B．小球在CD 段减少的机械能等于在DE 段减少的机械能
C．小球从C运动到D的时间小于从D运动到E的时间
D．若仅将小球质量变为2m，则小球到达E点时的速度为√gh
8.
(24-25 高三下·四川雅安·二模)如图所示，光滑的斜面上有一弹簧振子，O 为其平衡位
置，物块在P、Q 两点间做周期为T 的简谐运动。下列说法正确的是（ ）
A．物块动量变化的周期为T
B．弹簧弹性势能变化的周期为T
C．物块在O 点时，弹簧处于原长
D．物块在P、Q 两点加速度相等
9.
如图所示，一个小球和轻质弹簧组成的系统，小球静止时其下端与水平线a 对齐，现
将小球沿竖直方向向下拉动使其下端与水平线b 对齐后由静止释放，小球将沿竖直方向上下振
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动，经Δt =0.125 s小球首次回到其下端与水平线a 对齐时的位置。已知水平线a、b 之间的
距离d =1 cm，不计空气阻力，轻弹簧始终处在弹性限度以内。若以小球首次回到其下端与水
平线a 对齐时为零时刻，竖直向下为正方向，下列说法中正确的是（ ）
A．小球振动的频率为0.5 Hz
B．小球在2 s 内通过的路程为16 cm
C．t =0.375 s时小球在向上运动
D．小球振动的位移x 随时间t 的变化关系为x =sin(4 πt +0.25π )cm
题型4 单摆模型
10. 如图甲所示，两根完全相同的细绳一端共同连接一个可视为质点的小球，另一端分别
固定于相同高度上的A、B 两点，形成“V”形结构，A、B 两点间距为d=0.6m。初始时小球静
止在平衡位置O 点。现使小球在垂直于纸面方向做简谐运动，其振动图像如图乙所示。已知
重力加速度g=10 m/s2，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．一根细绳的长度为0.5m
B．小球的运动可视为单摆运动，等效摆长为0.5m
C．若只减小A、B 两点之间的距离，则小球做简谐运动的周期变大
D．若换一个质量更大的小球，其他条件不变，则小球做简谐运动的周期变大
11. 如图甲所示，长为l 的细绳一端固定在天花板上O 点，另一端悬挂一小钢球。在O 点
正下方O
'处有一固定的细铁钉（图中未画出）。将小球向左拉开一小角度后由静止释放，同时
开始计时。图乙为小球在开始一个周期内的水平位移x 随时间t 变化的关系图像，以水平向左
为正方向。根据图乙可知O、O
'的间距为（ ）
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A．1
16 l
B．15
16 l
C．1
4 l
D．3
4 l
12. 如图所示，正方体物块A 放在离地高度H =3.2m的粗糙平台上，直径与A 棱长相同
的小球B 静置在与A 等高处，与平台右端距离S =0.8 m，光滑固定斜面MN 与水平方向夹角
θ = 45°，N 点与水平轨道NP 平滑相连，PQ 是半径R =25 m的足够长光滑圆弧，P 点是圆弧最
低点，圆心未画出。现对A 施加水平拉力F =12N，使A 由静止开始向右运动，t1=3s后撤去
F，A 继续滑行t2=1s后从平台右端水平飞出，A 飞离平台的同时B 由静止释放，一段时间后
A、B 发生弹性对心碰撞，碰撞时间极短，分开后A 落到地面上，B 到达M 处时速度恰好沿
MN 方向滑入斜面，从P 点滑上圆弧轨道PQ，减速到0 后返回P 点。已知mA=3kg，
mB=1kg，A 与平台间动摩擦因数μ=0.2，g 取10 m /s
2，A 和B 的大小可忽略不计。
(1)求A 离开平台时的速度vA；
(2)求碰撞过程中， A、B 形变量最大时系统的弹性势能Ep；
(3)求A 与B 到达地面的时间差Δt；
(4)某同学认为可以利用单摆周期T =2π√
R
g
，计算小球B 离开P 点到返回P 点所用时间
t = T
2 = π√
R
g
。你认为是否合理？请通过计算分析说明。
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题型5 受迫振动和共振规律
13. 为了提升汽车行驶过程中的平顺性和稳定性，在汽车车身和底座间装有弹簧和减震器
来减缓震动。如图所示，图甲为某汽车正匀速通过某路口的连续等间距的减速带，图乙为该车
车身的振幅A 和车速v 的关系图像，图像最高点对应的速度为v1。已知两相邻减速带间的距离
为1m，该车车身的固有频率为10Hz，该车经过该减速带过程中，下列说法正确的是（ ）
A．该车经过减速带时车身上下振动的频率随车速增大而减小
B．该车经过减速带时车身上下振动的频率恒为10Hz
C．图乙中v1=10 m /s
D．不同车辆经过该减速带时v1一定相同
14. (24-25 高二下·湖北部分名校·)在机械振动中，关于共振现象，以下说法正确的是（
）
A．在图1 中，A、B、C 三个小球。其中C 球的固有频率最大
B．在图1 中，若把A球拉开较小角度，A球释放后较短时间内，B、C球的振幅相等
C．在图2 中，若把两单摆放在同一地点。则甲乙两单摆的摆长之比为1：4
D．图2 中，若两单摆长相同，放在不同的星球上，则甲乙两单摆所处星球的重力加速度之比
为1：4
15. (24-25 高二上·陕西榆林·期末)如图所示为某同学研究单摆做阻尼振动的位移-时间图像，
M、N 是图像上的两个点，且M、N 两点到平衡位置的距离相等，下列说法正确的是（ ）
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A．单摆做阻尼振动的过程中周期变小
B．摆球在M 点时的动能大于在N 点时的动能
C．摆球在M 点时做减速运动
D．摆球在N 点时正在升高
题型6 实际生活中的受迫振动和共振
16. (24-25 高三上·河南许平汝名校·月考)飞力士棒可以实现日常训练肌肉和提高身体感知
能力。如图甲所示，某型号飞力士棒的固有频率为3Hz，如图乙所示，某人用手驱动该飞力士
棒锻炼。下列说法正确的是（ ）
A．使用者用力越大，飞力士棒振动越快
B．使用者驱动的频率越大，飞力士棒振动的幅度也越大
C．无论使用者驱动的频率多大，飞力士棒振动的频率始终为3Hz
D．使用者驱动的频率减小，飞力士棒振动的幅度可能增大
17. 图甲为共振筛基本结构图，由四根弹簧和一个电动偏心轮组成，当偏心轮每转一周，
就给筛子一个周期性变化的驱动力。若增大电压，可使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可增
大筛子固有周期。图乙是该共振筛的共振曲线。现在某电压下偏心轮的转速是54 r/min，下列
说法正确的是（ ）
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A．质量不变时，增大电压，图中振幅的峰值会往右移
B．电压不变，适当增加共振筛的质量，可以增大其振幅
C．质量不变时，适当减小电压，可以增大共振筛的振幅
D．突然断电，共振筛不会立即停下来，频率立即变为0.8 Hz
18. 2024 年4 月3 日花莲发生规模7.2 的地震，台北101 大楼仅有轻微晃动，这是由于92
楼到87 楼间设有以多条钢缆悬挂重量660 公吨的球形质量块，并以阻尼器与楼板连接所构成
的减振系统。原理为：可将前述减振系统视为有效摆长约为12.1m的单摆式减振系统（示意图
如图1），并设计其振动频率为接近大楼主结构的固有频率。当风力或地震使大楼以主结构的
固有频率振动时，振动能量便能有效地转移到朝相反方向移动的球形质量块，使得阻尼器伸缩
以吸收大楼的振动能量，如图2 所示。估算101 大楼主结构以固有频率的周期约为下列何者？
（可将减振系统视为理想单摆，且取重力加速度g=10m/ s
2来估算）（ ）
A．1.1s
B．5.6s
C．6.9 s
D．9.8 s
E．14.0s
15
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16
