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第46 讲 动态圆、磁聚焦和磁发散问题
目录
01
考情解码·命题预警1
02 体系构建·思维可视.........................................................................................................................2
03 核心突破·靶向攻坚.........................................................................................................................3
考点一 三类动态圆............................................................................................................................3
知识点 三类动态圆模型.....................................................................................................................3
考向1 “平移圆”模型..............................................................................................................................4
考向2 “放缩圆”模型..............................................................................................................................9
考向3 “旋转圆”模型............................................................................................................................13
考点二 磁聚焦 磁发散....................................................................................................................19
知识点 磁聚焦和磁发散模型...........................................................................................................19
考向 磁聚焦 磁发散模型......................................................................................................................... 19
04 真题溯源·考向感知.......................................................................................................................26
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
带电粒子在磁场
中的运动
选择题
非选择题
\
\
全国甲卷T7，6 分
考情分析：
1．在黑吉辽高考物理中，带电粒子在磁场中的运动是电磁学板块的重难点，对考生的知识掌握和应用能
力有着较高要求。
2．从命题思路上看，磁场内容与电场、电磁感应、力学等知识的综合考查趋势将愈发明显。
复习目标：
目标一：理解带电粒子在磁场中运动的基础知识，学会计算周期、半径等等。
目标二：攻破圆模型，磁发散、磁聚焦模型。
1
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2
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考点一 三类动态圆
知识点 三类动态圆模型
模型
解读
“平移圆”模型
（1）条件：带电粒子射入匀强磁场的速度大小和方向相同，入射点不同但在同
一直线上。
（2）特点：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，而且圆心在同一直
线上，该直线与入射点的连线平行。
（3）用法：将半径相同的轨迹圆沿入射点所在的直线进行平移，从而探索粒子
运动的有关临界问题
“放缩圆”模型
（1）条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射速度的方向一定，但大
小不同。
（2）特点：带电粒子做圆周运动的轨迹圆的圆心，一定位于沿着粒子在入射点
所受洛伦兹力方向的射线上，速度越大，半径越大，圆心离入射点越远。
（3）用法：用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中可发现粒
子运动的有关临界问题
“旋转圆”模型
（1）条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射速度的大小一定，但方
向不同。
（2）特点：所有沿不同方向入射的粒子的轨迹圆半径相同，其轨迹圆的圆心在
以入射点为圆心，半径等于轨迹圆半径的圆周上。
（3）用法：将半径相同的轨迹圆以入射点为圆心旋转，从圆的动态变化中可发
现粒子运动的有关临界问题
3
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考向1 “平移圆”模型
例1 如图所示，边长为L 的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A 点沿AB 方向射入磁场，恰好从C
点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD 的中点P 垂直AD 射入磁场，从DC 边的M 点飞出磁场（M
点未画出）。设粒子从A 点运动到C 点所用的时间为t1，由P 点运动到M 点所用时间为t2（带电粒子重力
不计），则t1:t2为（ ）
A．2:1
B．2:3
C．3:2
D．3:1
【答案】C
【详解】如图所示，画出粒子从A 点射入磁场到从C 点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移
根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为
R = L
从C 点射出的粒子运动时间为
t1= 90°
360° T = 1
4 T
从P 点入射的粒子圆心在AD 延长线上距D 点1
2 L处，那么粒子转过的圆心角满足
cosθ =
1
2 L
L = 1
2
解得
θ =60°
运动时间为
4
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t2= 60°
360° T = 1
6 T
则有
t1
t2
=
1
4 T
1
6 T
= 3
2
故选C。
【变式训练1】（多选）如图，在直角三角形ABC 内存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB
边长度为d，
，现垂直AB 边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v 的带正电粒子，
已知垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为
，运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为
，不
计粒子重力，则（ ）
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为
D．粒子进入磁场时速度大小为
【答案】BD
【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间是
，即
则得周期
故A 错误；
B．由
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得
故B 正确；
C．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有
得
画出该粒子的运动轨迹如图
设轨道半径为R，由几何知识得
可得
故C 错误；
D．根据
解得
故D 正确。
故选BD。
【变式训练2】（多选）如图所示，有一边长为a 的正方形ABCD，在ABCD 内的适当区域加一垂直正方
形ABCD 所在平面的匀强磁场。一束电子以某一速度沿正方形ABCD 所在平面、且垂直于AB 边射入该正
方形区域，已知该束电子从AB 边上的任意点入射，都只能从C 点沿正方形ABCD 所在平面射出磁场，不
计电子重力，则关于该区域的磁场方向及最小面积，下列说法正确的是（ ）
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A．磁场方向垂直于ABCD 所在平面向里
B．磁场方向垂直于ABCD 所在平面向外
C．磁场的最小面积为
D．磁场的最小面积为
【答案】AC
【详解】AB．由于电子要在ABCD 平面内从C 点射出，区域磁场必须垂直区域平面向里，故A 正确，B
错误；
CD．磁场的最小面积是一个以B 点为圆心、正方形的边长为半径的四分之一圆和以D 点为圆心、正方形
的边长为半径的四分之一圆的公共范围，如图所示
由几何关系得最小面积为
，故C 正确，D 错误；
故选AC。
【变式训练3】如图所示，在直角三角形ABC 内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AB 边长度为d，
，现垂直AB 边以相同的速度射入一群质量均为m、电荷量均为q 的带正电粒子（不考虑电荷间的相互作
用），已知垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为
，运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为
，则下列判断中正确的是（ ）
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A．粒子在磁场中运动的轨道半径一定是
B．粒子在磁场中运动的速度一定是
C．该匀强磁场的磁感应强度大小一定是
D．如果粒子带的是负电，不可能有粒子垂直BC 边射出磁场
【答案】C
【详解】C．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出粒子垂直
边离开磁场的轨迹如图所示：
由几何关系可知圆弧对应的圆心角为
，则垂直
边射出的粒子在磁场中运动的时间是
，即
则得周期
由
得
故C 正确；
AB．设当粒子的速度为
时，有一个粒子的轨迹刚好与
边相切从
点离开磁场，设此时粒子的轨迹半
径为，画出轨迹如图中所示黑色轨迹：
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则可知此时粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为
，运动时间最长，为
，由几何关系可得
可得
根据圆周运动规律有
可得
但若粒子的速度小于
，在磁场中运动的轨道半径
也可以在磁场运动半圈而从
边离开，在磁场中的运动最长时间也为
，如图中的红色轨迹所示，则可
知粒子在磁场运动的轨道半径不一定等于
粒子在磁场运动的速度大小不一定等于
故AB 错误；
D．如果粒子带的是负电，以B 点为圆心，转过的圆心角为
的粒子能垂直BC 边射出磁场，故D 错误。
故选C。
考向2 “放缩圆”模型
例1（多选）如图所示，在矩形GHIJ 区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，P 点是GH 边的中点，四个
完全相同的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P 点射入匀强磁场，它们轨迹在同一平
面（纸面）内，下列说法正确的是（ ）
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A．①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ 磁场区域的运动周期相同
B．④粒子的速率最大
C．③粒子的向心加速度最大
D．②粒子在矩形GHIJ 磁场区域运动的时间最长
【答案】AB
【详解】AD．对于完全相同的粒子，其
相同，又
，在同一匀强磁场中，则周期都相同，由图
知③粒子在磁场中转过的圆心角最大，所以③粒子在矩形GHIJ 磁场区域经历的时间最长，故A 正确，D
错误；
BC．根据
可得
由于④粒子的半径最大，则④粒子的速率最大，因为
，
得粒子的向心加速度
可知④粒子的向心加速度最大，故B 正确，C 错误。
故选AB。
【变式训练1】如图所示，直角三角形
区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为B，已知
边长为L，
，相同带正电粒子（不计重力）以不同的速率从A 点沿
方向射入磁场，则（ ）
A．粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短
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B．粒子在磁场中运动的时间最长时，是从C 点射出的
C．粒子速度越大，在磁场中运动的路程越长
D．粒子在磁场中运动的最长路程为
【答案】D
【详解】AB．当粒子能够从AC 边射出时，在磁场中运动如图所示
由几何关系可知，粒子在磁场中的圆心角都为
，因此运动时间为
当粒子不能从AC 边射出，圆心角变小，时间变短，故AB 错误；
C．粒子速度越大，粒子在磁场中运动的轨道半径越大，当粒子运动轨迹与BC 边相切时运动轨迹最长，粒
子速度再增大，粒子运动轨迹变短，并不是速度越大，粒子运动轨迹越长，故C 错误；
D．当粒子和BC 边相切时路程最大，此时有
由A 中分析知运动的路程为
故D 正确。
故选D。
【变式训练2】如图所示，等腰直角三角形abc 区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小
为B。三个相同的带电粒子从b 点沿bc 方向分别以速度v1、v2、v3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为
t1、t2、t3，且t1∶t2∶t3=3 3 1
∶∶。直角边bc 的长度为L，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的
是 （ ）
A．三个速度的大小关系一定是v1=v2＜v3
B．三个速度的大小关系可能是v2＜v1＜v3
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C．粒子的比荷
=
D．粒子的比荷
=
【答案】B
【详解】AB．由于t1∶t2∶t3=3 3 1
∶∶，作出粒子运动轨迹图如图所示：
它们对应的圆心角分别为90°、90°、30°，由几何关系可知轨道半径大小分别为
R2<R3，R1<R3=2L
由于v1、v2大小关系未知，R1、R2大小无法确定。
由qvB=m
得
v=
可知三个速度的大小关系可能是
v2＜v1＜v3
选项A 错误，B 正确；
C．粒子运动周期
T=
=
则
解得
选项C 错误；
D．对速度
为的粒子有
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又
R3=2L
解得粒子的比荷
选项D 错误。
故选B。
考向3 “旋转圆”模型
例1 如图所示，以直角三角形AOC 为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A=60°，AO=L，在O
点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子。已知粒子的比荷为
，发射速度大小都为
，设粒子发射方向与OC 边的夹角为θ，不计粒子重力及它们之间的相互作用。对于粒子进入磁
场后的运动，下列判断不正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的半径R = L
B．当θ=0°时，粒子射出磁场时的速度方向与AC 边垂直
C．当θ=0°时，粒子在磁场中运动时间
D．当θ=60°时，粒子在磁场中运动时间
【答案】C
【详解】A．根据牛顿第二定律有
①
由题意可知
②
联立①②解得
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③
故A 正确；
BC．如图1 所示，当θ=0°时，粒子从AC 边的D 点射出，根据几何关系可知粒子射出磁场时的速度方向与
AC 边垂直，且粒子转过的圆心角为60°，运动时间为
故C 错误；
D．如图2 所示，当θ=60°时，根据几何关系可知粒子将从A 点射出，粒子转过的圆心角为60°，运动时间
为
故D 正确。
本题选错误的，故选C。
【变式训练1】（多选）如图所示，足够长的荧屏板MN 的上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度
大小为B，方向垂直纸面向里。距荧屏板d 处有一粒子源S，能够在纸面内不断均匀地向各个方向发射速
度大小为
，电荷量为q、质量为m 的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子源发射粒子的总个数为
n，则（ ）
A．粒子能打到板上的区域长度为
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B．打到板上的粒子数为
C．从粒子源出发到板的最短时间为
D．从粒子源出发到板的最短时间为
【答案】ABC
【详解】A．粒子受到的洛仑兹力充当向心力，粒子运动的半径为
粒子运动到绝缘板的两种临界情况如图
设SC 垂直于MN 于C 点，由几何关系可知，左侧最远处与S 之间的距离恰好是圆的直径，则左侧最远处A
离C 距离为
，右侧离C 最远处为B，距离为d，所以粒子能打在板上的区域长度是
，故A 正
确；
B．竖直向上的粒子刚好与MN 相切，分析可知有一半的粒子能达到极板上，粒子源发射粒子的总个数为
n，则打到板上的粒子数为
，B 正确；
CD．粒子的轨迹所对应的弦长越短，运动轨迹对应的圆心角越小，时间越短，故在磁场中运动最短的粒
子运动轨迹示意图如下
粒子做整个圆周运动的周期为
由几何关系可知最短时间为
故D 错误，C 正确。
故选ABC。
【变式训练2】如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点．有无数个带有相同
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电荷和相同质量的粒子在纸面内沿各个方向以同样的速率通过P 点进入磁场．这些粒子射出边界的位置均
处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的
．将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，结果相
应的弧长变为圆周长的
，则
等于
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设圆的半径为，磁感应强度为
时，从P 点射入的粒子与磁场边界的最远交点为M，最远的点
是轨迹上直径与磁场边界圆的交点，
，如图所示，所以粒子做圆周运动的半径R，则有
，解得
；
磁感应强度为
时，从P 点射入的粒子与磁场边界的最远交点为N，最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆
的交点，
，如图所示，所以粒子做圆周运动的半径
，则有
，由带电粒子做圆周运动
的半径
，由于
相等，则得
，故选项A 正确，B、C、D 错误；
故选选项A．
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【变式训练3】如图所示，在直角坐标系xOy 第一象限内x 轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面
向里的匀强磁场，在y 轴上S 处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为
m，电荷量大小均为q 的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S 最远的位置是x 轴上的P 点。已知OP＝
OS＝
d，粒子带负电，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则（ ）
A．粒子的速度大小为
B．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为
C．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O 点的距离为
d
D．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9:4
【答案】AB
【详解】A．由OP＝
OS＝
d，可得
SP＝2d
如图所示，结合“在轨迹圆中，轨迹的直径为最长的弦”和题中“所有粒子射出磁场时离S 最远的位置是
x 轴上的P 点”可知SP 是其中一个轨迹的直径，由
可得
则
v＝
A 正确；
B．由几何知识可得从O 点射出的粒子，轨迹所对的圆心角为60°，在磁场中的运动时间为
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t＝
＝
B 正确；
C．沿平行x 轴正方向射入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为四分之一圆，离开磁场时的位置到O 点的
距离为d，C 错误；
D．从x 轴上射出磁场的粒子，从原点射出时在磁场中运动时间最短，运动轨迹与x 轴相切时运动时间最
长
tmax＝
＝
则
tmax∶t＝9 2∶
D 错误。
故选AB。
考点二 磁聚焦 磁发散
知识点 磁聚焦和磁发散模型
磁发散
磁聚焦
带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如
果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与磁场
圆上过入射点的切线方向平行
带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径
与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，
磁场圆上过该点的切线与入射方向平行
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考向 磁聚焦 磁发散模型
例1 带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。磁聚焦原理如图，真空中半径为的圆形区域内
存在垂直纸面的匀强磁场。一束宽度为
、沿x 轴正方向运动的电子流射入该磁场后聚焦于坐标原点O。
已知电子的质量为m、电荷量为e、进入磁场的速度为v，不计电子重力及电子间的相互作用，则磁感应强
度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题可知，从左侧任选一束电子流A 经磁场偏转后，通过坐标原点O，如图所示
由于电子沿水平方向射入磁场，半径与速度方向垂直，可知
，由几何关系可知，平行四边形
为菱形，因此电子在磁场中运动的轨道半径
，又由于
可得磁感应强度的大小为
故选C。
例2 如图所示，半径为R、圆心为O 的圆形区域内有方向垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。两
个质量、电荷量都相同的带正电粒子，以不同的速率从a 点先后沿直径ac 和弦ab 方向射入磁场区域，ab
和ac 的夹角为30°，已知沿ac 方向射入的粒子刚好从b 点射出，沿ab 方向射入的粒子刚好从O 点正下方
射出，不计粒子重力。则（ ）
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A．沿ac 方向射入的粒子在磁场中运动轨迹半径为R
B．沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动轨迹半径为
C．沿ac 方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的时间之比为2 1∶
D．沿ac 方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的速率的比值为
【答案】C
【详解】
A．沿ac 方向射入的粒子在磁场中运动方向偏转60°，其轨迹所对的圆心角为60°，如图中轨迹1 所示，由
几何关系知其轨迹半径为
，A 错误；
B．沿ab 方向射入磁场区域的粒子在磁场中运动轨迹如图中轨迹2 所示，根据几何关系可知，该粒子的轨
迹所对圆心角为30°，则轨迹半径r 满足
又
解得
B 错误；
C．两粒子的质量和电荷量相同，则在磁场中的运动周期相同，结合两粒子在磁场中的偏转角可知，沿ac
方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的时间之比为2 1∶，C 正确；
D．根据
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可得
则沿ac 方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的速率的比值为
，D 错误。
故选C。
【变式训练1】（多选）如图所示，长方形abcd 长
，宽
，e、f 分别是ad、bc 的中点，
以ad 为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
。一群不计重力、质量
、电荷量
的带电粒子以速度
从左右两侧沿垂直ad 和bc 方向射入
磁场区域（不考虑边界粒子），则以下正确的是（ ）
A．从ae 边射入的粒子，出射点分布在ab 边
B．从ed 边射入的粒子，出射点全部分布在bf 边
C．从bf 边射入的粒子，出射点全部分布在ae 边
D．从fc 边射入的粒子，全部从d 点射出
【答案】BD
【详解】根据牛顿第二定律得
解得
A．如果矩形区域全部存在磁场，则从e 点射入的粒子，将从b 点射出，但是磁场限定在半圆区域，则粒
子离开磁场后做匀速直线运动，所以粒子会从bf 射出。因此从ae 边射入的粒子，有部分靠近e 点射入的粒
子从bf 边射出。A 错误；
B．从d 点射入的粒子，将从f 点射出，所以从ed 边射入的粒子，将都从bf 边射出。B 正确；
C．从f 点射入的粒子，将从d 点射出，所以从bf 边射入的粒子，将有部分从ed 边射出。C 错误；
D．因为轨道半径等于磁场半径，所以从fc 边射入的粒子，会发生磁聚焦，全部从d 点射出。D 正确。
故选BD。
【变式训练2】（多选）如图所示，ABCO 为一边界为半圆周的匀强磁场区域，圆弧半径为R，O 点为圆心，
P 点、B 点、M 点为圆弧边界上的点，B 点为半圆弧中点，Q 点为OA 中点，N 点为边界OC 中点，且
PQ∥BO MN
∥
。现有三个完全相同的带电粒子以相同速度射入磁场（不计粒子重力），其中粒子1 从B 点正
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对圆心O 射入，恰从A 点射出，粒子2 从P 点射入，粒子3 从M 点射入，则（ ）
A．粒子2 从A 点射出磁场
B．粒子3 在磁场中的轨道半径等于R
C．粒子2 和粒子3 离开磁场时方向不同
D．粒子1 粒子2 粒子3 在磁场中的运动时间之比为2 3 3
∶∶
【答案】AB
【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
得
由于粒子相同、粒子速度相同，则粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r 相同，由题意可知，由B 点射入
磁场粒子1 恰好从A 点射出，粒子1 的运动轨迹如图所示，由几何知识可知，粒子做圆周运动的轨道半径
等于磁场区域半径；
AB．粒子2 从P 点沿PQ 射入其运动轨迹如图所示，设对应的圆心为G，运动轨道半径也为PG=R，连接
GP、GA，GPOA 是平行四边形，GP=BO，则粒子2 一定从A 点射出磁场，由于粒子相同、粒子速度相同，
则粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r 相同且等于磁场区域半径R，故AB 正确；
CD．由M 点射入的粒子3 的圆心为P 点，由几何关系可知，该粒子从O 点射出磁场，由几何关系可知，
粒子3 的圆心角即偏转角为
，同理可知，粒子2 的圆心角即偏转角为
，粒子1 的圆心角即偏转角为
，则粒子2 和粒子3 离开磁场时方向相同，粒子在磁场中做圆周运动的周期
相同，粒子在磁场
中的运动时间为
则粒子1、2、3 在磁场的运动时间之比为
故CD 错误。
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【变式训练3】（多选）如图所示，半径为R 的圆形区域内有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大
小为B ，P 是磁场边界上的最低点。大量质量均为m，电荷量为-q（q > 0）的带电粒子，以相同的速率从
P 点向纸面内的各个方向射入磁场区域。已知粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r = 2R， A、C 为圆形
区域水平直径的两个端点，粒子的重力、空气阻力和粒子间的相互作用均不计，则下列说法正确的是（
）
A．粒子射入磁场时速率为
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．不可能有粒子从C 点射出磁场
D．不可能有粒子从A 点沿水平方向射出磁场
【答案】BD
【详解】A．粒子在磁场中做圆周运动，根据牛顿第二定律：
且r＝2R，所以
A 选项错误；
B．要使带电粒子在圆形磁场中的运动时间最长，则粒子圆周运动的轨迹应以磁场圆直径为弦，则粒子的
运动轨迹如图甲。由几何关系知，此轨迹在磁场中的偏转角为60°，所以最长时间为
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故B 选项正确；
C．当入射速度的方向合适时，是可以确定从C 点射出的粒子圆周运动的圆心的，如图乙所示，作PC 的
中垂线，以P 或C 点为圆心以2R 为半径画圆弧交PC 中垂线于O，O 点即为能通过C 点轨迹的圆心，故C
选项错误；
D．若粒子能从A 点水平射出磁场，则在A 点作速度方向的垂线，再作AP 两点的中垂线，交点即为圆心，
此时圆周运动的半径r≠2R，如图丙所示，故D 选项正确。
故选BD。
【变式训练4】（多选）（2025·江西萍乡·三模）如图，空间中一半径为R 的圆形区域（包括边界）内有方
向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。磁场左侧宽度为R 的区域里，大量质量为m、电荷
量为q 的带正电粒子以相同的水平速度平行射入圆形磁场，其中从A 点沿AO 方向射入的粒子，恰好能从
圆形磁场最高点M 点飞出，已知过A、O 两点的直线水平且是有带电粒子射入区域的中心线，不计粒子重
力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．粒子做圆周运动的半径为
B．粒子的初速度大小为
C．粒子在磁场中运动的最短时间为
D．粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】BD
【详解】AB．由几何关系可知粒子圆周运动的半径
由洛伦兹力提供向心力得
解得粒子的初速度大小为
故A 错误，B 正确；
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CD．如图所示
由C 点入射的粒子运动时间最短，设运动轨迹对应的圆心角为α，则有
粒子做圆周运动的周期为
粒子运动的最短时间
同理，由D 点入射的粒子运动时间最长，对应的圆心角为120°，则最长时间为
故C 错误，D 正确。
故选BD。
1.（全国III 卷·高考真题）平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM
上方存在匀强磁场、磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q
（q>0），沿纸面以大小为v 的速度从OM 上的某点向左上方射入磁场，速度方向与OM 成30°角，已知该
粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场，不计重力。则粒子离开磁场
时的出射点到两平面交线O 的距离为（ ）
A．mv
2qB
B．√3mv
qB
C．2mv
qB
D．4 mv
qB
【答案】D
【详解】带电粒子在磁场中做圆周运动洛伦兹力提供向心力，所以
qvB =m v
2
r
根据题意，轨迹与ON 相切，画出粒子的运动轨迹如图所示
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由于
AD =2r sin30° =r
故△AO′D 为等边三角形，∠O′DA=60°，而∠MON=30°，则∠OCD=90°，故CO′D 为一直线，则
OD =
CD
sin30° =2CD = 4 r = 4 mv
qB
故选D。
2．（2025·全国卷·高考真题）如图，正方形abcd 内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a
以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab 边的中点、b 点和c
点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（ ）
A．t1 < t2 = t3
B．t1 < t2 < t3
C．t1 = t2 > t3
D．t1 > t2 > t3
【答案】A
【详解】由于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则电子在磁场中运动的时间为
设正方形abcd 的边长为l，则
，
，
则有t1 < t2 = t3
故选A。
3．（2024·广西·高考真题）
坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂
直纸面向里。质量为m，电荷量为
的粒子，以初速度v 从O 点沿x 轴正向开始运动，粒子过y 轴时速度
与y 轴正向夹角为
，交点为P。不计粒子重力，则P 点至O 点的距离为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】粒子运动轨迹如图所示
在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有
可得粒子做圆周运动的半径
根据几何关系可得P 点至O 点的距离
故选C。
4．（2024·湖北·高考真题）如图所示，在以O 点为圆心、半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强
磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、
电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC 方向从A 点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是
（ ）
A．粒子的运动轨迹可能经过O 点
B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C．粒子连续两次由A 点沿AC 方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D．若粒子从A 点射入到从C 点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为
【答案】D
【详解】AB．在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出的；根据圆的特点可知粒
子的运动轨迹不可能经过O 点，故AB 错误；
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C．粒子连续两次由A 点沿AC 方向射入圆形区域，时间最短则根据对称性可知轨迹如图
则最短时间有
故C 错误；
D．粒子从A 点射入到从C 点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图所示
设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知
根据洛伦兹力提供向心力有
可得
故D 正确。
故选D。
5．（2024·河北·高考真题）如图，真空区域有同心正方形ABCD 和abcd，其各对应边平行，ABCD 的边长
一定，abcd 的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面．A 处有一个粒子
源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD 方向进入磁场。调整abcd 的边长，可使速度大小
合适的粒子经ad 边穿过无磁场区后由BC 边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是（ ）
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A．若粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为45°，则粒子必垂直BC 射出
B．若粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为60°，则粒子必垂直BC 射出
C．若粒子经cd 边垂直BC 射出，则粒子穿过ad 边的速度方向与ad 边夹角必为45°
D．若粒子经bc 边垂直BC 射出，则粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角必为60°
【答案】AD
【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，在正方形abcd 区域中做匀速直线运动，粒子穿过ad 边时速
度方向与ad 边夹角为45°，在正方形abcd 区域中的运动轨迹必平行于AC 的连线，可知粒子必经过cd 边，
进入正方形abcd 区域前后的两段圆弧轨迹的半径相等，并且圆心角均为45°，据此作出粒子可能的两个运
动轨迹如图所示
粒子的运动轨迹均关于直线BD 对称，粒子必从C 点垂直于BC 射出，故A 正确；
C．若粒子经cd 边垂直BC 射出，粒子运动轨迹如图所示
设粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为
，则图中两段圆弧轨迹的圆心角
与
的关系为
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设两正方形的对应边之间的距离为
，为保证粒子穿过ad 边，需满足
且有
联立解得
为保证粒子穿过cd 边，需满足
为保证从BC 边射出，需满足
联立解得
可得粒子经cd 边垂直BC 射出，粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角范围是
故C 错误；
BD．粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为60°时，作出粒子恰好经过c 点的运动轨迹如图所示
设粒子在e 点进入正方形abcd 区域，线段MN 垂直平分轨迹ec，与AB 选项的分析同理，粒子的轨迹关于
线段MN 对称。线段CE 平行于轨迹ec，取圆弧轨迹的中点F，过F 点做轨迹ec 的平行线分别交AD 与BC
于点G 和点
，点
为点E 关于MN 的对称点。易知点e 为ad 的中点，点E 为AD 的中点，Ee 垂直于ad
和AD，设粒子轨迹半径为r，正方形ABCD 的边长为2L。由几何关系得
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联立解得
因
，故
，即EF 垂直于
，由对称性可知四边形
为矩形，
垂直于
CE，可知点
是点F 关于MN 的对称点，即点F 是圆弧cH 的中点，可知由c 到
粒子的轨迹圆心角为
30°，可得粒子垂直BC 射出。若粒子速度较大，轨迹半径较大，则粒子在c 点左侧穿过cd，其轨迹如图所
示
与临界轨迹对比，粒子第二段的轨迹圆心不会在BC 上，故粒子不会垂直BC 射出。若粒子速度较小，轨迹
半径较小，则粒子在c 点下方穿过cb，其轨迹如图所示。
与粒子恰好经过c 点的运动过程同理，根据对称性可知粒子一定垂直BC 射出，故B 错误，D 正确。
故选AD。
6．（2024·福建·高考真题）如图，用两根不可伸长的绝缘细绳将半径为的半圆形铜环竖直悬挂在匀强磁
场中，磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向外，铜环两端
、
处于同一水平线。若环中通有大
小为
、方向从
到
的电流，细绳处于绷直状态，则（ ）
A．两根细绳拉力均比未通电流时的大
B．两根细绳拉力均比未通电流时的小
C．铜环所受安培力大小为
D． 铜环所受安培力大小为
【答案】AC
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【详解】方法一：微元法
AB．如图，取通电半圆形铜环的一小段
，可将其视为直导线，根据左手定则可知，改小段导线受到的
安培力方向如图所示，其大小
根据对称性苛刻的，如图所示，对称的两小段所受的安培力在水平方向的分力大小相等，方向相反，相互
抵消，则通电后半圆形铜环受到的安培力竖直向下，根据受力分析可知，通电后两绳拉力变大，故A 正确，
B 错误；
CD．对每小段导线所受安培力在竖直方向的分力求和，可得
故C 正确，D 错误。
故选AC。
方法二：等效法
通电半圆形铜环可等效为等效长度为直径
，电流方向
，根据左手定则可知半圆形铜环受到的安培
力方向竖直向下，大小
根据受力分析可得，通电后，绳子拉力
两根细绳拉力均比未通电流时的大。
故选AC。
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