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第44 讲 电容器 带电粒子在电场中的运动
1．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是
模仿犰狳设计的，逐渐增大施加于两极板压力F 的过程中，F 较小时弹性结构易被压缩，极
板间距d 容易减小；F 较大时弹性结构闭合，d 难以减小。将该电容器充电后断开电源，极板
间电势差U 与F 的关系曲线可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据公式
和电容的决定式
可得
根据题意F 较小时易被压缩，故可知当F 较小时，随着F 的增大，d 在减小，且减小的越来
越慢，与电源断开后Q 不变，故此时极板间的电势差U 在减小，且减小的越来越慢；当F 增
大到一定程度时，再增大F 后，d 基本不变，故此时U 保持不变，结合图像，最符合情境的
是D 选项。
故选D。
2．（2025·江苏·高考真题）如图所示，平行金属板与电源连接。一点电荷由a 点移动到b 点
的过程中，电场力做功为W。现将上、下两板分别向上、向下移动，使两板间距离增大为原
来的2 倍，再将该电荷由a 移动到b 的过程中，电场力做功为（ ）
真题演练
1
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A．
B．W
C．
D．
【答案】A
【详解】根据题意可知，电容器与电源保持连接，电容器两端电压不变，现将电容器两极板
间距增大至原来的两倍，由公式
可知，极板间电场强度变为原来的
，则有
可知，再把电荷由a 移至b，则电场力做功变为原来的
，即电场力做功为
。
故选A。
3．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，光滑绝缘水平面AB 与竖直面内光滑绝缘半圆形轨
道BC 在B 点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A 间距离为
。原长为
的轻质绝缘弹簧
一端固定于O 点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的
电场力与重力大小相等。物块在A 点左侧释放后，依次经过A、B、C 三点时的动能分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可得A 点弹簧伸长量为
，B 点和C 点弹簧压缩量为
，即三个位置弹簧弹性
势能相等，则由A 到B 过程中弹簧弹力做功为零，电场力做正功，动能增加，
同理B 到C 过程中弹簧弹力和电场力做功都为零，重力做负功，则动能减小，
由A 到C 全过程则有
因此
2
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故选C。
4．（2025·四川·高考真题）如图所示，真空中固定放置两块较大的平行金属板，板间距为
d，下极板接地，板间匀强电场大小恒为E。现有一质量为m、电荷量为q（
）的金属微
粒，从两极板中央O 点由静止释放。若微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与
极板相同，所带电荷量的绝对值不变。不计微粒重力。求：
(1)微粒第一次到达下极板所需时间；
(2)微粒第一次从上极板回到O 点时的动量大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由牛顿第二定律
由运动学公式
联立可得微粒第一次到达下极板所需的时间为
（2）微粒第一次到达下极板时的速度大小为
由于微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不
变，设微粒碰后第一次到达上极板时的速度大小为
，满足
代入解得
同理可得微粒第一次从上极板回到O 点时的速度大小为
，满足
3
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代入解得
故微粒第一次从上极板回到O 点时的动量大小为
5．（2025·江苏·高考真题）如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个
相同的带正电粒子a、b 同时从O 点以初速度
射出，速度方向与水平方向夹角均为
。已知
粒子的质量为m。电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求：
(1) a 运动到最高点的时间t；
(2) a 到达最高点时，a、b 间的距离H。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意，不计重力及粒子间相互作用，则竖直方向上，由对
球，根据牛顿
第二定律有
a 运动到最高点的时间，由运动学公式有
联立解得
（2）方法一、根据题意可知，两个小球均在水平方向上做匀速直线运动，且水平方向上的初
速度均为
，则两小球一直在同一竖直线上，斜上抛的小球竖直方向上运动的位移为
斜下抛的小球竖直方向上运动位移为
4
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则小球a 到达最高点时与小球b 之间的距离
方法二、两个小球均受到相同电场力，以a 球为参考系，
球以
的速度向下做匀速
直线运动，则a 到达最高点时，a、b 间的距离
6．（2025·山西临汾·三模）一种计算机键盘采用电容式传感器，每个键下面由相互平行的活
动极板和固定极板组成，如图甲所示，其内部电路如图乙所示。按键前两极板间距为d，按
下某键，只有该键的电容改变量不小于原电容的40%时，键盘才有感应，下列说法正确的是
（ ）
A．按键的过程中，电容器的电荷量不变
B．按键的过程中，图乙电流计中电流从a 流向b
C．要使传感器有感应，至少要将按键按下
D．要使传感器有感应，至少要将按键按下
【答案】D
【详解】AB．按键的过程中，电容器两板间距减小，根据
可知电容C 变大，两板电压U 一定，根据Q=CU 可知，电容器的电荷量增加，电容器充电，
则按键的过程中，图乙电流计中电流从b 流向a，故AB 错误；
CD．根据
，
解得
模拟冲关
5
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则要使传感器有感应，至少要将按键按下
故C 错误，D 正确。
故选D。
7．（2025·广西北海·模拟预测）新能源汽车的能量回收系统，利用电磁感应回收能量存储在
电容器中。某同学用如图电路研究利用电磁感应为电容器充电的现象，两间距为
、
阻值可忽略不计的平行光滑导轨沿水平方向固定，导轨左端连接
的电容器。两导轨间
存在磁感应强度大小为
、方向竖直向下的匀强磁场。质量为
、阻值可忽略
不计的导体棒垂直导轨放置。在导体棒上施加一水平向右的恒力同时开始计时，导体棒产生
的加速度大小恒为
。棒始终垂直导轨且与导轨接触良好。
(1)写出电容器带电量
随时间变化关系式；
(2)判断电容器充电时电流是否变化，并说明理由；
(3)求恒力的大小。
【答案】(1)
(2)电容器充电电流恒定，见解析
(3)
【详解】（1）电容器带电量
电容器两极板间电压
其中
解得
（2）由电容器板间带电量
可得
电容器充电电流恒定；
（3）对导体棒a 由牛顿第二定律得
其中
得
6
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8．（2025·天津·一模）如图所示，两块较大的金属板A、B 平行放置并与一个电源相连，其
中A 板接地（取大地电势φ=0）。S 闭合后，两板间有一个质量为m、电荷量为q 的油滴恰好
处于静止状态。以下说法正确的是（ ）
A．保持S 闭合，若将A 板向上平移一小段位移，则油滴向下加速运动，G 中有b→a 的电
流
B．保持S 闭合，若将A 板向左平移一小段位移（油滴仍处于两极板之间），则油滴仍然
静止，G 中有a→b 的电流
C．若将S 断开，再将A 板向左移动一小段位移，油滴向下运动
D．若将S 断开，再将B 板向下平移一小段位移，油滴将仍然静止
【答案】AD
【详解】A．开始时，重力和电场力平衡，故
将A 板上移，由
可知，E 变小，故油滴应向下加速运动；根据
，
可
知，电容器电量减小，故G 中有b→a 的电流；故A 正确；
B．若将A 板向左平移一小段位移，则E 不变，油滴仍静止，但由于S 减小，则C 减小，电
容器电量减小，故G 中有b→a 的电流；故B 错误；
C．若将S 断开，Q 不变，将A 板向左移动一小段位移，S 减小，C 减小，则U 增大，E 增大，
则油滴向上运动，故C 错误；
D．若将S 断开，Q 不变，再将B 板向下平移一小段位移，根据
可知，场强E 不
变，则油滴仍静止，故D 正确。
故选AD。
9．（2025·江西·模拟预测）电容器是一种重要的电学元件，可以制成多种传感器，还可以用
来贮存电场能（
）。如图，一个平行板电容器充电后与电源断开，A、B 两极板
水平，B 板固定带负电并接地，A 板带正电，一个带电小球用绝缘细线连接于B 板处于静止
7
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状态，将A 板向上平移一小段距离的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．绝缘细线的拉力会增大
B．小球的电势能增大
C．两极板的电势差增大
D．电容器贮存的电场能增大
【答案】CD
【详解】A．根据
，
，
解得
由于电容器带电量不变，两板间的距离增大时，两板间的电场强度不变，因此根据力的平衡
可知，绝缘细线上的拉力不变，故A 错误；
B．结合上述可知，极板之间的电场强度不变，电场方向向下，根据
可知，小球与下板间的距离不变，小球的电势不变，根据
即小球的电势能不变，故B 错误；
C．根据
，
解得
可知，两板间的电势差变大，故C 正确；
D．电容器贮存电场能
极板所带电荷量一定，极板之间电势差增大，则电容器贮存的电场能增大，故D 正确。
故选CD。
10．（2025·安徽·模拟预测）电容式话筒中的电容式传感器如图所示，导电性振动膜片与固
定电极构成一个电容器。当振动膜片向左运动时，下列说法中正确的是（ ）
8
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A．电容器的电容增大
B．电容器所带电荷量不变
C．振动膜片与固定电极间的电场强度变小
D．有电流通过电阻
，电流方向自左向右
【答案】C
【详解】A．当振动膜片向左振动时电容器两极板间的距离变大，根据
可知电容值减小，故A 错误；
BD．由
可知因U 不变的情况下，电容C 减小，则电容器带电荷量Q 减小，电容器处于放电状态，R
中电流方向自右向左，故BD 错误；
C．依据
则知U 不变，距离d 变大，则场强减小，故C 正确。
故选C。
11．（2025·黑龙江·二模）在现代高科技的芯片制造工厂里，有一项重要的工艺涉及对微小
带电液滴的精确控制。工程师们需要将极其微小的液滴（这些液滴带有特定的电荷）精确地
传输到芯片的特定位置进行加工处理。其原理如图所示，水平放置的两块平行金属板
、
组成的电容器的电容为
，
、
板间距为
。开始时，两板均不带电，上极板接地。上板
中央有一小孔，现使带电荷量为
、质量为
的液滴逐个从小孔处以相同速度
垂直射向
板，且将电荷全部传给
板，忽略液滴体积和空气阻力，下列说法正确的是（ ）
9
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A．极板间的电场强度不变
B．极板间的电场力对液滴做正功
C．射向
板的某一液滴可能会匀速运动
D．电容器的电容随极板上的电荷量增加而变大
【答案】C
【详解】A．断电时，极板间电场强度
因为
以及
代入上式可解得
极板电荷量增大，极板间的电场强度变大，故A 错误；
B．由于下极板电性与液滴的电性相同，液滴受到竖直向上的电场力，所以液滴下落过程中，
极板间的电场力对液滴做负功，故B 错误；
C．由分析可知，随着下级板吸收的液滴越来越多，两极板间的场强越来越大，当液滴在极
板间所受的电场力等于液滴的重力时，即
时，液滴匀速下落，故C 正确；
D．根据电容器电容的决定式
可知，电容器的电容与极板所带电荷量无关，故D
错误。
故选C。
12．（2025·云南曲靖·二模）2025 年央视春晚，杭州宇树科技旗下的机器人H1 惊艳亮相。这
款人形机器人配置了AI 驱动的全身运动控制技术，安装了大量的传感器，其中一种传感器叫
做电容式传感器，当某待测量发生变化时，能引起电容器的电容变化。如图是四个电容式传
感器的示意图，关于这四个传感器的作用，下列说法正确的是（ ）
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A．图a 的传感器可直接测量速度
B．图b 的传感器可直接测量液体的密度
C．图c 的传感器可测量压力
D．图d 的传感器可直接测量加速度
【答案】C
【详解】A．图a 的电容器为可变电容器，通过转动动片改变正对面积，改变电容，可以用来
测量角度和角速度，不能直接测量速度，故A 错误；
B．图b 的电容器的一个极板是金属芯线，另一个极板是导电液，故是通过改变电容器两极间
正对面积而引起电容变化的，可以用来测量液面的高度，不可直接测量液体的密度，故B 错
误；
C．图c 的传感器是通过改变极板间的距离，改变电容器的，可以用来测量压力，故C 正确；
D．图d 的可变电容器，通过改变电介质，改变电容，可以用来测量位移，不能直接测量加
速度，故D 错误。
故选C。
13．（2025·山东临沂·二模）如图甲所示，两平行金属板A、B 水平放置，两板间距为d，紧
靠两板右端宽度为d 的两虚线间为电磁场区域，紧靠B 板右端有一长度为
且与竖直方向
的夹角为
的倾斜挡板C，挡板C 的中心有一小孔D，挡板C 将电磁场区域分成上下两部
分，分别为区域Ⅰ和区域Ⅱ。区域Ⅰ中有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
；区域Ⅱ中有垂直纸面向里的匀强磁场和水平向左的匀强电场，磁感应强度大小
为
，电场强度为
。A、B 板之间的电压
随时间周期性变化的规律
如图乙所示。粒子源位于O 点，可持续不断地沿板间中线以速度
发射带负电粒子，粒子质
量为m，带电量为q。已知
时刻进入两板间的带电粒子在
时刻刚好沿A 板右边缘射
出交变电场，打在挡板C 上的粒子均被挡板吸收，只有穿过小孔D 的粒子才能进入区域Ⅱ，
不计粒子重力及粒子间的相互作用，计算结果只能选用m、q、d、T 表示。求
11
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(1)A、B 板之间的电压
；
(2)能够穿过小孔D 的粒子进入两板间的时刻t；
(3)粒子在区域Ⅱ的出射点与小孔D 的竖直距离y。
【答案】(1)
(2)
或
(3)
【详解】（1）由t=0 时刻进人两板间的带电粒子在t=T 时刻网好沿A 板右边缘射出交变电场，
竖直方向先做匀加速直线运动再做匀减速直线运动，则
且
联立解得
（2）不同时刻进人两板间的粒子，在两板间电场力的冲量一定为零，故粒子一定以
水 平
向右离开交变电场，能通过小孔的粒子在区域I 中，其轨迹圆心角设为
，由几何关系得
且
联立解得
在0-T 时段内进人交变电场能够通过小孔的粒子，其进人的时刻设为
，竖直位移满足
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或
解得
或
考虑到周期性
可得
或
（3）粒子从小孔射出的速度方向与水平方向的夹角为
，该速度沿水平和竖直方向 的
分速度大小为
分析数据发现
则粒子从小孔射出后的运动可分解为沿竖直方向的匀速直线运动和速度大小为
的
匀速圆周运动，可知
解得
粒子做匀速圆周运动，从小孔至出射转过的圆心角设为
，由外何关系知
联立解得
从小孔至出射所用时间设为
做匀速圆周运动产生的竖直位移为
做匀速直线运动产生的竖直位移为
粒子在区域I 的出射点与小孔D 的竖直距离
联立解得
14．（2025·广西北海·模拟预测）图中A、B 两点固定等量同种点电荷，AB 在同一水平线上，
点C、D 是AB 垂直平分线上的两点，且C、D 到AB 连线距离相等，
。将一个质量
为m、电荷量为＋q 的带电小球放在C 处，小球恰好处于静止状态。若球在C 处以速度v 竖直
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向下运动，球到达D 点时，速度为2v。重力加速度为g，小球可视为质点，则（ ）
A．A、B 处电荷带负电
B．点A 处电荷在C 处产生的场强大小为
C．AB 间的距离为
D．小球由C 到D 受电场力先增大后减小再增大再减小
【答案】BCD
【详解】AB．由平衡条件
可得点电荷A 在小球C 处产生的场强大小为
球受A、B 处点电荷的斥力，球带正电，则点电荷A 在C 处产生的场强方向由A 指向C，A、
B 处电荷带正电，A 错误，B 正确；
C．点C、D 电势相等，则球从C 到D 电场力做功为零，设CD 间距离为h，则由动能定理
解得
设AB 间距离L，则
解得
C 正确；
D．设点AB 到CD 上某点距离为r，则根据场强的叠加原理可知，CD 上某点的合场强为
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根据均值不等式可知当
时E 有最大值，即小球由C 到D 受电场力先增大后减小再
增大再减小，D 正确。
故选BCD。
15．（2025·陕西渭南·三模）如图所示为某静电除尘装置的简化原理图，已知板间距为
，
板长为
，两块平行带电电极板间为除尘空间，两极板间电压为
。当进入除尘空间的带
电尘埃碰到极板时，所带电荷立即被中和，同时尘埃被收集。若质量为
、电荷量为
的
带电尘埃分布均匀，均以沿板方向的速率v 射入除尘空间时，该除尘装置的除尘率
（相同
时间内被收集尘埃的数量与进入除尘空间尘埃的数量之百分比）恰好为100%。不计空气阻力、
尘埃的重力及尘埃之间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（ ）
A．仅将两极板间电压变为
，除尘装置的除尘率变为50%
B．仅将两极板间电压变为
，除尘装置的除尘率变为25%
C．仅带电尘埃射入除尘空间的速度变为
，除尘装置的除尘率变为25%
D．仅带电尘埃射入除尘空间的速度变为
，除尘装置的除尘率变为50%
【答案】AC
【详解】AB．两极板间电压为
时， 由牛顿第二定律得
所以尘埃的加速度变为原来的
，尘埃在板间水平方向运动为匀速直线运动，故尘埃在板间
运动的时间不变，由竖直方向位移
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那么尘埃在板间竖直方向的最大位移为板间
，故除尘率
故A 正确，B 错误；
CD．除尘率
则仅带电尘埃射入除尘空间的速度变为
，除尘率变为原来的
，即除尘装置的除尘率变为
25%，故C 正确，D 错误。
故选AC。
16．（2025·福建三明·三模）如图甲，在纸面内建立直角坐标系xoy，坐标系的第一、二象限
有足够长的宽度为d、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的上边界MN 平行于x 轴。P、
Q 是长度为L 的平行金属板、垂直于纸面放置，两板中线与y 轴共线，两板间加上周期为T、
场强大小为
的周期性变化的电场，如图乙所示。取x 轴正方向为电场的正方向，位于P、
Q 两板中线上的粒子源沿y 轴正方向持续发射质量为m、电荷量为q、速度大小为
的带正电
的粒子，粒子均能从x 轴离开电场进入磁场。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，忽略电
场与磁场的边界效应。
(1)求
时刻进入电场的粒子，在
时刻沿x 轴方向的偏移量
；
(2)若粒子从O 点进入磁场，求粒子需从哪些时刻进入电场？若粒子从O 点进入磁场且恰好不
穿出磁场的上边界MN，求磁感应强度
的大小；
(3)磁场方向不变，将磁感应强度大小改为
，粒子进入磁场后，若还受一个与速度方向总相
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反的阻力作用，且阻力大小
为已知量，粒子轨迹恰与磁场MN 边界相切，求最左
边与最右边两相切点的横坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)
，
【详解】（1）
，粒子沿 x 轴方向做初速度为零的匀加速度直线运动，由运动学知识
可知沿x 轴方向位移
由牛顿第二定律有
联立解得
（2）从
时刻进入的粒子在电场中沿x 轴方向的位移为零，粒子从
O 点进入磁场；
粒子穿过电场的时间为
粒子离开交变电场时沿电场方向速度变化为零，从 O 点进入的粒子均以
的速度垂直于
x 轴进入匀强磁场中做匀速圆周运动。
由几何关系，轨迹与上边界相切，则
粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即
联立解得
（3）粒子从
时刻进入的粒子沿x 轴的运动位移最大，由牛顿第二定
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律可知粒子在电场中的加速度为
沿x 轴方向做匀加速直线运动，沿x 轴方向的最大位移为
进入磁场后，轨迹恰与磁场MN 边界相切处，y 方向速度为0，对粒子在y 方向由动量定理有
即
解得
由几何关系，从x 轴上
进入磁场的粒子在MN 边界上的横坐标为
从x 轴上
进入磁场的粒子在MN 边界上的横坐标为
17．（2025·河南·三模）如图所示，绝缘轨道ABC 固定在竖直平面内，AB 部分是光滑的
圆
弧轨道，轨道半径为R，BC 部分是足够长的水平轨道，两部分平滑连接。空间存在水平向左
的匀强电场（图中未画出），场强大小为E（未知）。现将一质量为m、电荷量为q 的带电
物块（可视为质点）从轨道上的A 点由静止释放，物块沿轨道运动。已知物块与轨道BC 间
的动摩擦因数为0.125，整个运动过程中物块在BC 段运动的总路程为2R，重力加速度大小为
g，且
。则整个运动过程中带电物块向右运动的最远处与B 点相距（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【详解】根据题意可知，由于
则物块不会停在
上，则物块最终将在
点左侧一段圆弧上来回往复运动，且在
点的速
度为0，则有
解得
运动到最远时，根据动能定理得
解得
故选A。
18．（2025·山西·三模）竖直平面内存在水平向右的匀强电场E，一带电小球从电场中的O 点
以初速度v₀ 向左上方射出，v₀ 方向与水平方向成30°角，如图所示。小球运动到其轨迹的最
左端时，速度大小恰好等于初速度大小v₀，则小球受到的电场力与它受到的重力的比值为（
）
A．
B．1：2
C．
D．
【答案】C
【详解】带电小球在水平方向上做匀减速运动，根据牛顿第二定律有
根据速度—时间公式有
小球运动到其轨迹的最左端，速度大小与初速度大小相同，表明小球在竖直方向上经历减速
为零又反向加速的过程
解得
故选C。
19．（2025·云南昆明·三模）匀强电场中，质量为m、带电量为q（q>0）且可视为质点的小
球在长为L 的绝缘轻绳拉力作用下绕固定点O 在竖直平面内做圆周运动，M 点和N 点分别为
圆周上的最低点和最高点，电场方向平行于圆周平面。已知运动过程中小球速度最小值为
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（g 为重力加速度），此时绳子拉力恰好为零。小球运动到M 点时速度大小为
且
大于小球经过N 点时的速度，不计空气阻力。若O 点电势为零，下列说法正确的是（ ）
A．小球受到的电场力与重力的夹角为30°角
B．匀强电场的场强大小为
C．M 点的电势为
D．小球从速度最小到速度最大的过程中，电场力做的功为2mgL
【答案】BC
【详解】AB．因运动过程中小球速度最小值为
，此时绳子拉力恰好为零，可知小球受
的合力为
因重力竖直向下，可知电场力大小也为mg 与重力夹角为120°，根据
可知匀强电场的场强大小为
选项A 错误，B 正确；
20
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C．因MO 两点的电势差为
O 点电势为零，M 点的电势为
选项C 正确；
D．小球从速度最小到速度最大的过程中，即从等效最高点Q 到等效最低点P 的过程中，电
场力做的功为
选项D 错误。
故选BC。
20．（2025·湖南娄底·二模）在水平面上，从
点将一小球斜向上抛出，而后落于水平面上
的
点。现将空间中加上竖直方向的电场，将一带电小球仍从
点以相等的速率斜向上抛出，
最后还是落在
点，不计空气阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．两小球在空中运动的时间相等
B．两小球在最高点时的速度相等
C．带电小球在空中运动时的加速度一定大于重力加速度
D．若仅将电场方向改为水平方向，带电小球的落地点一定不在
点
【答案】D
【详解】A．带电小球，在电场中由于受电场力，竖直方向的加速度一定不等于重力加速度，
但两小球均落于B 点，抛出时的夹角一定不同，时间不等，A 错误；
B．由于夹角不相等，水平分速度不等，在最高点时的速度不相等，B 错误；
C．由于不明确电场的方向和带电小球的电性，所以加速度可能大于也可能小于重力加速度，
C 错误；
21
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D．电场竖直方向时，水平方向的分运动始终是匀速运动，电场方向改变后，水平方向的分
运动变为变速运动，所以落点发生改变，D 正确。
故选D。
21．（2025·山西吕梁·三模）如图所示，倾角为
的光滑、足够长绝缘斜面固定在水平地面
上，斜面底端有一电荷量为
、质量为
的带电小物块，小物块在平行于斜面
向上的恒定拉力
作用下，由静止开始运动，经过一段时间
后撤去拉力
，此后，小
物块继续沿斜面运动，又经过
返回到斜面底端。已知重力加速度
取
，整个空
间存在水平向右的电场强度大小
的匀强电场。则拉力
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由牛顿第二定律可得
，
取沿斜面向上为正方向，则
，
且
联立解得
N
故选D。
22．（2025·湖北·模拟预测）如图所示，界面PQ 的左侧有匀强电场，电场强度大小
，方向水平向右。质量
、电荷量
的小滑块（大小忽略不
计）放在一两端有固定弹性挡板（挡板厚度不计）的木板上，它与木板间的动摩擦因数
，木板的质量为
，木板与水平地面间的动摩擦因数
，板长
22
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，木板的右端距电场边界PQ 的距离
，重力加速度g 取
，滑块与挡板
间发生的碰撞为弹性碰撞，且时间极短，可忽略不计，碰撞过程中滑块的电荷量不变。求：
(1)滑块与挡板第一次碰撞前滑块的速度。
(2)滑块与挡板第二次碰撞后滑块的速度。
(3)木板停止运动时木板的总位移。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）滑块与挡板第一次碰撞前，设其速度为
，根据动能定理得
解得
（2）滑块与挡板第一次碰撞过程，根据动量守恒有
根据能量守恒有
联立解得
，
碰后对m 分析，根据牛顿第二定律有
解得
对M 分析，根据牛顿第二定律有
解得
设经时间
，M、m 共速，则有
23
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解得
故M、m 共速的速度
M、m 共速后，对m 分析，根据牛顿第二定律有
解得
对M 分析，根据牛顿第二定律有
解得
共速前后M 与m 的相对位移大小相等，则有
解得
滑块将与挡板发生第二次碰撞前，m 的速度
M 的速度
滑块与挡板第二次碰撞过程，根据动量守恒有
根据能量守恒有
解得
，
即第二次碰撞后滑块的速度为
。
（3）作出v-t 图像如图所示
24
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滑块与挡板第一次碰撞到与挡板发生第二次碰撞过程中的位移
同理，可得滑块与挡板第二次碰撞到与挡板发生第三次碰撞过程中的位移
同理可得滑块与挡板第n 次碰撞到与挡板发生第
次碰撞过程中的位移
，滑块与挡板第
次碰撞到与挡板发生第
次碰撞过程中的位移
，则有
故挡板运动位移为
后，M、m 以相同速度
一起匀速运动，到界面PQ，m 出电场后，根据能量守恒有
解得
长木板停止运动时木板的总位移
23．（2025·山东·三模）现代科技常利用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示的空
间直角坐标系
（
轴未画出，正方向垂直于
平面向外）中，在
轴上的
点
有一粒子源，可以沿
轴正方向发射质量均为
、电荷量均为
、速度大
小均为
的带电粒子。在
的空间内存在如图乙所示的交变电场，电场强度大小
未知，方向平行于
轴，
时间内沿
轴正方向；在
的空间内存在如图丙所示的
25
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交变磁场，磁感应强度大小为
，方向沿
轴负方向；在
，
的空间内存
在磁感应强度大小也为
、方向沿
轴负方向的匀强磁场；在
，
的空间
内存在电场强度大小也为
、方向沿
轴正方向的匀强电场。
点
和
点
为
轴和分界线的交点。已知
时刻射出的粒子恰好通过
点。不计粒子重
力和粒子间的相互作用以及电、磁场的边界效应。求：
(1)电场强度大小
；
(2)
时刻射出的粒子在
时间内离
轴的最大距离；
(3)
时刻射出的粒子第
次到达
平面时的坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【详解】（1）粒子由P 点运动到M 点的过程，沿x 方向做匀速直线运动，所用时间为
26
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所以沿y 方向先做匀加速直线运动后做匀速直线运动，所以
其中
得
（2）设磁感应强度大小为
，粒子在磁场中做匀速圆周运动，其周期为
粒子在
时间内的运动轨迹如图所示
根据运动的对称性可得
、
时间内粒子沿y 轴正方向的位移大小均为
在
时刻，
，
方向与x 轴正方向的夹角为
，
时间内粒子以速度v 做匀速圆周运动，则
解得
时间内粒子沿y 轴方向的最大位移
27
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综上所述可得
（3）
时刻射出的粒子在
时刻到达N 点，速度为
，方向与x 轴正方向的夹
角为
，粒子在磁场中的运动为螺旋运动，每次在磁场中运动的时间为
。粒子每次进
入磁场后沿y 轴负方向移动的距离
粒子每次进入磁场后，有
解得
沿z 轴负方向移动的距离
粒子每次进入电场后沿y 轴负方向移动的距离
归纳得，
时刻射出的粒子第
次到达
平面时的坐标为
或
24．（2025·湖北黄冈·二模）如图所示，平行金属极板M 和N 水平放置，两极板间距为d、
长度为1.5d，极板连接恒压电源
。半径为d 的光滑固定圆弧轨道ABC 竖直放置，
圆弧轨道关于竖直直径OB 对称，轨道左侧A 点与N 极板右端相接触，小球Q 静止在B 点。
现有一质量为m、带电量
的绝缘小球，从M 板左端附近的P 点以一定初速度水平射入，
小球刚好无碰撞的从A 点沿切线方向进入圆弧轨道并与Q 碰撞后粘在一起，之后的运动恰不
脱离轨道。假设小球可视为质点，不计极板边缘效应和空气阻力，重力加速度大小为g，
。
28
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(1)求小球水平射入时初速度
的大小；
(2)求小球Q 的质量
；
(3)运动过程中圆弧轨道受到的最大压力的大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设小球在极板间运动的加速度为a，时间为t，在竖直方向上，根据牛顿第二
定律有
解得
根据位移时间公式有
解得
在水平方向上有
解得
（2）P 运动到N 板右侧沿电场线方向的速度
则根据几何关系有
解得
设小球在A 点时的速度为
，则有
29
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设小球B 点时的速度为
，小球由A 运动到
，根据机械能守恒定律
解得
P、Q 发生完全非弹性碰撞，设碰后二者的共同速度为v，根据动量守恒定律
之后的运动二者恰好不脱离轨道
解得
（3）①碰前小球P 通过B 点时轨道对两小球的支持力
，根据牛顿第二定律有
解得
②碰后P、Q 经过B 点时轨道对小球的支持力
，根据牛顿第二定律有
解得
由牛顿第三定律，两小球碰后通过B 点时对轨道的压力最大为
25．（2025·河北·模拟预测）如图所示，绝缘粗糙的水平轨道AB 与处于竖直平面内的半圆形
光滑绝缘轨道BC 平滑连接，BC 为竖直直径，半圆形轨道的半径
，所在空间存在
水平向右的匀强电场，电场线平行于AB，电场强度
。将一带电体甲在P 点由静止
释放，此后甲与位于B 点的不带电的绝缘体乙发生正碰并瞬间粘在一起，P 点到B 点的距离
，已知带电体甲的带电量
，甲、乙两个物体的质量m 均为0.002kg 且
均可看作质点，带电体甲与水平轨道间的动摩擦因数为0.25，g 取
，
，
30
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。求：
(1)甲、乙两个物体碰撞过程中损失的机械能；
(2)甲、乙两个物体粘在一起后沿半圆轨道运动过程中对轨道压力的最大值；
(3)粘连体离开C 点后落到水平轨道上的位置与B 点的距离d 和落到轨道上时的速度v。
【答案】(1)0.075J
(2)0.32N
(3)0.6m，4m/s，方向竖直向下
【详解】（1）对甲进行分析，根据动能定理有
解得
碰撞过程，根据动量守恒定律有
解得
则甲、乙两个物体碰撞过程中损失的机械能
解得
（2）令甲、乙两个物体粘在一起后沿半圆轨道运动过程的等效物理最低点为D，该位置重力
与电场力的合力方向背离圆心，令重力、电场力合力方向与水平方向夹角为
，则有
解得
甲乙整体从B 运动到D 过程，根据动能定理有
31
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在等效物理最低点，对甲乙整体进行分析，根据牛顿第二定律有
根据牛顿第三定律有
解得
（3）甲乙整体从B 运动到C 过程，根据动能定理有
解得
之后，甲乙整体在竖直方向做自由落体运动，则有
，
水平方向做匀变速直线运动，则有
，
解得
，
，
落到轨道上时的速度
解得
速度v 的方向竖直向下。
26．（2025·安徽合肥·三模）如图所示，小球a 被绝缘轻绳1 系在天花板上，小球b 被绝缘轻
绳2 系在小球a 上。两小球质量相等且均带正电，处在水平方向的匀强电场中，平衡时轻绳1
与竖直方向的夹角为θ1、轻绳2 与竖直方向的夹角为θ2，且
两小球间的库仑力不能忽
略，则下列说法正确的是（ ）
A．a 的电荷量可能等于b 的电荷量
B．a 的电荷量一定小于b 的电荷量
C．绳1 中的张力可能等于绳2 中的张力
D．绳1 中的张力一定大于轻绳2 中的张力的2 倍
【答案】C
32
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【详解】AB．小球ab 为整体受力分析，设小球ab 电荷量为
，由平衡条件
，
小球b 受力分析，小球ab 库仑力为
，由平衡条件
，
故
则
，a 的电荷量一定大于b 的电荷量，故AB 错误；
CD．由上面可知
，
，
但F 大小未知，无法确定绳1 绳2 中的张力大小关系，故C 正确D 错误。
故选 C。
27．（2025·全国·模拟预测）如图所示，矩形
区域内有平行
向下的匀强电场，
边
长为
，
边长为
为
边中点，正三角形
区域内有垂直
平面向里的匀强磁
场。质量为
、带电量为
的粒子从
点以初速度
垂直电场线射入电场中，经电场
偏转后从
点进入匀强磁场，最终从
点射出磁场。粒子重力不计，求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)匀强磁场的磁感应强度大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动
33
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由
解得
（2）由上问可知，粒子到达
点时
得
则
如图所示，可知粒子在磁场中运动时的圆心角为
，则粒子运动轨迹的半径
由
可得
28．（2025·湖北·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系
位于竖直平面内，空间存在沿x
轴负方向、电场强度大小
的匀强电场（未画出）。将一可伸缩的光滑绝缘细
杆置于
平面内，细杆的两端分别置于原点O 和点A（4m，2m），杆上套有质量
、
电荷量
的小球，将其从点A 由静止释放，经时间
后小球到达点O。现保持细杆
的一端仍位于点O，另一端移动到
平面内的点B，仍然由静止释放小球，经时间
后到
达点O，已知重力加速度大小
，则点B 的坐标可能是（ ）
34
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A．（9m，3m）
B．（8m，8m）
C．（3m，6m）
D．（7m，-1m）
【答案】AD
【详解】小球受到的电场力与重力的合力如图所示
则有
可得
将小球受到的电场力与重力的合力看成等效重力，根据等时圆模型可知，细杆为一圆轨道的
弦，细杆的O 端位于该圆的等效最低点，另一端位于圆周上，如图所示
设圆心为
（
，
），则有
，
，
联立解得
，
，
若点B 的坐标为（9m，3m），则有
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若点B 的坐标为（8m，8m），则有
若点B 的坐标为（3m，6m），则有
若点B 的坐标为（7m，-1m），则有
故选AD。
29．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在水平虚线上方区域有竖直向下的匀强电场，电场
强度大小为E，在虚线下方区域有垂直纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为
的粒子从虚线上方距虚线高度为h 的a 点向右水平发射，粒子从b 点进入磁场，a、b 两点间
的水平距离为2h。不计粒子的重力。
(1)求粒子自a 点水平发射时的速度大小；
(2)若粒子第一次从磁场回到电场并运动到虚线上方高度为h 的位置时，粒子距a 点的距离为
h，求磁场的磁感应强度大小的可能值；
(3)若粒子从a 点发射，经磁场回到电场中并第一次运动到虚线上方高度为
处弥时，粒子
在电场中运动的总时间与在磁场中运动的时间相等，求粒子此时到a 点的水平距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，竖直方向有
根据牛顿第二定律，有
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水平方向，有
解得粒子自
点水平发射时的速度大小
（2）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，离开磁场时速度方向与水平方向仍成
角，到达虚
线上方高度为
的
点时在电场中的水平位移仍为
，
点的位置可能在
点的右侧，也可
能在
点的左侧，如图所示（图中仅画出了一种情况）
由几何知识可知
或
根据洛伦兹力提供向心力，有
，
解得
或
（3）粒子从
点发射，经磁场回到电场中并第一次运动到虚线上方高度为
处时，粒子在
电场中运动的总时间
设匀强磁场的磁感应强度大小为
，则粒子在磁场中运动的时间
设粒子在磁场中的轨迹半径为
，则有
粒子此时到
点的水平距离
联立解得
30．（2025·陕西安康·模拟预测）如图所示，在倾角为
的绝缘弹性挡板上方有垂直纸面的
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匀强磁场和沿竖直方向的匀强电场。现有一质量为m、电荷量为
的小球从距挡板
底端N 点为
的M 点以一定速度水平向右抛出，小球可以匀速率运动且在与挡板发生第4
次碰撞时恰好到达N 点，小球每次均沿竖直方向与挡板碰撞，碰撞时间极短，碰后以原速率
沿水平方向弹出。若撤去电场和磁场，其他条件不变，则小球可不与挡板碰撞直接到达N 点，
取重力加速度为g。以下描述正确的是（ ）
A．小球抛出时的初速度大小为
B．匀强电场的方向为竖直向下，电场强度为
C．匀强磁场的方向为垂直纸面向外，磁感应强度为
D．有电场和磁场时，小球从
的时间为
【答案】ACD
【详解】A．撤去电场和磁场，小球做平抛运动，可不与挡板碰撞直接到达N 点，满足
计算可得小球抛出时的初速度大小为
，A 正确；
BC．有电场和磁场作用时，小球可匀速率运动，静电力向上与重力平衡，匀强电场的方向为
竖直向上，电场强度为
小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，匀强磁场的方向为垂直纸面向外，与挡板碰撞4 次
时恰好到达N 点，小球做圆周运动的半径为
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可得磁感应强度大小为
，B 错误，C 正确；
D．小球做圆周运动与挡板碰撞4 次时恰好到达N 点，共经历四段圆心角为
的圆弧，小球
从
的时间为
，D 正确。
故选ACD。
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