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第54 讲 磁场对运动电荷(带电体)的作用
1．（2025·四川·高考真题）如图所示，I 区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；
Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与I 区边界重合；正方形与圆
形中心同为O 点。I 区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4 1∶。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上
a 点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a 点离开。取sin37°=0.6。则带
电粒子（ ）
A．在I 区的轨迹圆心不在O 点
B．在I 区和Ⅱ区的轨迹半径之上比为1 2∶
C．在I 区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127 37
∶
D．在I 区和Ⅱ区的运动时间之上比为127 148
∶
【答案】AD
【详解】A．由图可知
在I 区的轨迹圆心不在O 点，故A 正确；
B．由洛伦兹力提供向心力
可得
真题演练
1
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故在I 区和Ⅱ区的轨迹半径之上比为
故B 错误；
D．设粒子在磁场Ⅱ区偏转的圆心角为α，由几何关系
可得
故粒子在I 区运动的时间为
粒子在Ⅱ区运动的时间为
联立可得在I 区和Ⅱ区的运动时间之上比为
故D 正确；
C．粒子在I 区和Ⅱ区的轨迹长度分别为
故在I 区和Ⅱ区的轨迹长度之比为
故C 错误。
故选AD。
2．（2025·甘肃·高考真题）2025 年5 月1 日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全
超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁
场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强
度大小为B，内圆半径为
。在内圆上A 点有a、b、c 三个粒子均在纸面内运动，并都恰好
到达磁场外边界后返回。已知a、b、c 带正电且比荷均为
，a 粒子的速度大小为
，方向沿同心圆的径向；b 和c 粒子速度方向相反且与a 粒子的速度方向垂直。不
考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（ ）
2
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A．外圆半径等于
B．a 粒子返回A 点所用的最短时间为
C．b、c 粒子返回A 点所用的最短时间之比为
D．c 粒子的速度大小为
【答案】BD
【详解】由题意，作出
粒子运动轨迹图，如图所示
a 粒子恰好到达磁场外边界后返回，a 粒子运动的圆周正好与磁场外
边界，然后沿径向做匀速直线运动，再做匀速圆周运动恰好回到A 点，
根据a 粒子的速度大小为
可得
设外圆半径等于
,由几何关系得
则
A 错误；
B．由A 项分析，a 粒子返回A 点所用的最短时间为第一次回到A 点的时间
a 粒子做匀速圆周运动的周期
3
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在磁场中运动的时间
匀速直线运动的时间
故a 粒子返回A 点所用的最短时间为
B 正确；
C．由题意，作出
粒子运动轨迹图，如图所示
因为b、c 粒子返回A 点都是运动一个圆周，根据b、c 带正电且比荷均为
，所以两粒子做
圆周运动周期相同，故所用的最短时间之比为1:1，C 错误；
D．由几何关系得
洛伦兹力提供向心力有
联立解得
D 正确。
故选BD。
3．（2025·安徽·高考真题）如图，在竖直平面内的
直角坐标系中，x 轴上方存在垂直纸
面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x 轴放置足够
长的探测薄板MN，MN 到x 轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O 的粒子源，
沿
平面向x 轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质
量为m、速度大小均为
。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（ ）
4
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A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为
B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为
C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
【答案】C
【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力有
，可得
，故A 错误；
B．当粒子沿x 轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y 轴最近，如图轨迹1，根据几何关
系可知
；当粒子恰能通过N 点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y 轴最远，
如图轨迹2，根据几何关系可知，
，故上表面接收到粒子的区域长度为
，故B 错误；
C．根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面N 点；当粒子沿y 轴正方向射出时，粒子下表面
接收到的粒子离y 轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离y 轴距离为d，故下表面接收到
粒子的区域长度为d，故C 正确；
D．根据图像可知，粒子恰好打到下表面N 点时转过的圆心角最小，用时最短，有
，故D 错误。
故选C。
4．（2023·海南·高考真题）如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，
5
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关于小球运动和受力说法正确的是（ ）
A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右B．小球运动过程中的速度不变
C．小球运动过程的加速度保持不变D．小球受到的洛伦兹力对小球做正功
【答案】A
【详解】A．根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A 正确；
BC．小球受洛伦兹力和重力的作用，则小球运动过程中速度、加速度大小，方向都在变，
BC 错误；
D．洛仑兹力永不做功，D 错误。
故选A。
5．（2022·北京·高考真题）正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷。在云
室中有垂直于纸面的匀强磁场，从P 点发出两个电子和一个正电子，三个粒子运动轨迹如图
中1、2、3 所示。下列说法正确的是（ ）
A．磁场方向垂直于纸面向里
B．轨迹1 对应的粒子运动速度越来越大
C．轨迹2 对应的粒子初速度比轨迹3 的大
D．轨迹3 对应的粒子是正电子
【答案】A
【详解】AD．根据题图可知，1 和3 粒子绕转动方向一致，则1 和3 粒子为电子，2 为正电子，
电子带负电且顺时针转动，根据左手定则可知磁场方向垂直纸面向里，A 正确，D 错误；
B．电子在云室中运行，洛伦兹力不做功，而粒子受到云室内填充物质的阻力作用，粒子速
度越来越小，B 错误；
C．带电粒子若仅在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可知
解得粒子运动的半径为
6
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根据题图可知轨迹3 对应的粒子运动的半径更大，速度更大，粒子运动过程中受到云室内物
质的阻力的情况下，此结论也成立，C 错误。
故选A。
6．（2025·江西南昌·一模）如图所示，两根长直导线竖直插入粗糙绝缘水平桌面上的A、B
两小孔中，CD 虚线为AB 连线的中垂线，O 为A、B 连线的中点，连线上a、b 两点关于O 点
对称。导线中通有大小相等、方向相反的电流。已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强
度
，式中k 是常数、I 是导线中的电流、r 为点到导线的距离。一带正电的小滑块以初
速度
从a 点出发在桌面上沿连线CD 运动到b 点。关于上述过程，下列说法正确的是（
）
A．小滑块做匀速直线运动
B．小滑块做匀减速直线运动
C．小滑块做加速度逐渐增大的减速直线运动
D．小滑块做加速度先增大后减小的减速直线运动
【答案】B
【详解】根据右手螺旋定则，结合磁场的合成可知C、D 之间的磁场方向沿CD 向里，磁场感
应强度大小先增大后减小，根据左手定则可知，带正电的小滑块以初速度
从a 点出发在桌
面上沿连线CD 运动到b 点过程中，带正电的小球不受洛伦兹力，沿CD 方向只受到滑动摩擦
力作用，方向沿DC 向外，滑动摩擦力不变，根据牛顿第二定律可知小滑块的加速度不变，
所以小滑块做匀减速直线运动。
故选B。
7．（2025·陕西榆林·二模）如图所示，示波管内的电子枪（图中未画出）射出的电子束射向
荧光屏，若不加电场和磁场，电子束将沿图中虚直线垂直打在荧光屏上。现在于示波管的正
模拟冲关
7
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下方放置一条形磁体，使磁体与虚直线在同一竖直平面（纸面）内，且条形磁体的
极靠近
示波荧光屏管，示波管中的电子束将（ ）
A．向纸外偏转B．向纸内偏转
C．向上偏转
D．向下偏转
【答案】B
【详解】示波管下方磁体
极靠近时，电子束通过的路径上有竖直向上的磁场；电子束由左
向右运动，由左手定则可知，电子束受到的洛伦兹力方向垂直纸面向里，即电子束向纸面内
侧偏转。
故选B。
8．（2024·广东广州·模拟预测）如图，立方体区域
在匀强磁场中．带电粒子
以一定初速度从
点沿
方向垂直磁场进入该区域，粒子仅受磁场力，且能通过
点，则该
匀强磁场方向可能（ ）
A．由
指向
B．由
指向
C．由
指向
D．由
指向
【答案】BD
【详解】粒子在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动，磁场方向应垂直于
、
、
所决定的
平面，因题目未明确带电粒子所带电荷的电性，所以匀强磁场方向可能由
指向
，也可能
由
指向
。
故选BD。
9．（2024·广东清远·模拟预测）地磁场能有效抵御宇宙射线的侵入。图为地球赤道平面的剖
面图，地球半径为
，把地面上高度为
区域内的地磁场视为磁感应强度为方向垂直于剖面
的匀强磁场。宇宙射线中对地球危害最大的带电粒子主要是β 粒子。设β 粒子的质量为
，
电量为
，最大速率为
。下列说法正确的是（ ）
8
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A．无论从哪个点垂直磁场入射，β 粒子都做顺时针转动
B．无论从哪个点垂直磁场入射，β 粒子都做逆时针转动
C．从任何方向垂直磁场入射的β 粒子均不能到达地面，则
D．从任何方向垂直磁场入射的β 粒子均不能到达地面，则
【答案】AC
【详解】AB．根据左手定则可知，无论从哪个点垂直磁场入射，β 粒子都做顺时针转动，故
A 正确，B 错误；
CD．设β 粒子运动的半径为r，根据牛顿第二定律可得
解得
即所有β 粒子的r 都相同，如图所示
可推知当β 粒子沿磁场边界的切线方向射入时，其到达的位置离地面最近，当其轨迹与地面
相切时磁场的厚度为2r， 因此d 应满足的条件是
故C 正确，D 错误。
故选AC。
9
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10．（2024 高三·全国·专题练习）如图所示，粗糙木板MN 竖直固定在方向垂直纸面向里的
匀强磁场中。t＝0 时，一个质量为m、电荷量为q 的带正电物块沿MN 以某一初速度竖直向
下滑动，则物块运动的v－t 图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】A．设初速度为v0，则
FN＝Bqv0
若满足
mg＝Ff＝μFN
即
mg＝μBqv0
物块向下做匀速运动，故A 正确；
BD．若mg>μBqv0，则物块开始有向下的加速度，由
可知，随着速度增大，加速度减小，即物块先做加速度减小的加速运动，最后达到匀速状态，
故D 正确，B 错误；
C．若mg<μBqv0，则物块开始有向上的加速度，物块做减速运动，由
10
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可知，随着速度减小，加速度减小，即物块先做加速度减小的减速运动，最后达到匀速状态，
故C 正确。
故选ACD。
11．（2024·福建泉州·模拟预测）宇宙中存在大量带电粒子，这些带电粒子经过地球时，地
球的磁场使它们发生偏转。若比荷相同的粒子均以同一速度垂直地面射入地磁场区域，有（
）
A．从同一地点射入的正、负粒子，在地磁场的作用下偏转方向相同
B．从同一地点射入的正、负粒子，在地磁场的作用下偏转方向相反
C．在极地附近射入的粒子，受到的地磁场作用力更大
D．在赤道附近射入的粒子，受到的地磁场作用力更大
【答案】BD
【详解】AB．根据左手定则可知，从同一地点射入的正、负粒子，在地磁场的作用下偏转方
向相反。故A 错误；B 正确；
CD．在极地附近射入的粒子，因其速度方向和地磁场的方向接近平行，受到的地磁场作用力
较小，在赤道附近射入的粒子，其速度方向和地磁场方向接近垂直，受到的地磁场作用力更
大。 故C 错误；D 正确。
故选BD。
12．（2024·河北衡水·模拟预测）如图，空间存在着垂直于纸面、磁感应强度为B 的匀强磁
场（图中未画出），M 是垂直于 x 轴的荧光屏，O 点到屏M 的距离为R。Q 点为一粒子源，
从O 点沿Oy 方向发射出一束速度不同、比荷相同的带正电粒子，经磁场偏转后均能水平向
右垂直打在屏M 上，已知粒子以最大速度v0在磁场中运动轨迹如图中所示，则（ ）
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A．磁场方向垂直于纸面向里
B．带电粒子的比荷为
C．磁场区域最小面积为
D．磁场区域最小面积为
【答案】BD
【详解】A．根据左手定则可知，磁场方向垂直于纸面向外，故A 错误；
B．根据
可知比荷为
故B 正确；
CD．速度小于v0的粒子也能水平向右垂直打在屏M 上，所以磁场边界是45°斜线，如图
则磁场区域最小面积为阴影部分面积为
故C 错误，D 正确；
故选BD。
13．（2024·广东深圳·模拟预测）如图甲为黑龙江地区观察到的一道极光，这是来自太阳的
高速带电粒子流与地球大气碰撞而产生的光现象。地球两极附近的地磁场具有较大的竖直分
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量，且越靠近地面，地磁场的磁感应强度越大，图乙是该地区的带电粒子流在洛仑兹力作用
下沿螺旋线运动的简化原理图，图中的螺旋线为某一高速带电粒子的运动轨迹。不计重力，
下列说法正确的是（ ）
A．该粒子带负电，其运动速率越来越大
B．该粒子带负电，其运动速率保持不变
C．该粒子带正电，其运动速率越来越大
D．该粒子带正电，其运动速率保持不变
【答案】D
【详解】由于洛伦兹力不做功，故粒子的运动速率不变；根据左手定则可知，该粒子带正电。
故选D。
14．（2024·河北·二模）如图所示，空间内有一垂直纸面方向的匀强磁场（方向未知），一
带正电的粒子在空气中运动的轨迹如图所示，由于空气阻力的作用，使得粒子的轨迹不是圆
周，假设粒子运动过程中的电荷量不变。下列说法正确的是（ ）
A．粒子的运动方向为
B．粒子所受的洛伦兹力大小不变
C．粒子在b 点的洛伦兹力方向沿轨迹切线方向
D．磁场的方向垂直纸面向里
【答案】D
【详解】A．由于空气阻力做负功，粒子运动过程中速率逐渐减小，由
得
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所以粒子运动的轨道半径逐渐减小，粒子的运动方向为
，A 错误；
B．由公式
可知粒子所受的洛伦兹力逐渐减小，B 错误；
C．粒子所受的洛伦兹力与速度方向垂直，方向指向弯曲轨迹的内侧，所以粒子在b 点的洛伦
兹力并不沿切线方向，C 错误；
D．由左手定则可知匀强磁场的方向垂直纸面向里，D 正确。
故选D。
15．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图所示，光滑绝缘圆管竖直固定在水平匀强磁场中，
一带正电小球从管口由缝静止开始下落，则下列描述圆管对小球的冲量I 随下落时间t 和下落
高度h 的关系图像中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】小球竖直方向只受重力，小球做自由落体运动，则有
，
小球下落过程中在水平方向将受到洛伦兹力，根据水平方向受力平衡可知圆管对小球的弹力
大小始终等于小球所受洛伦兹力，即有
由此可知圆管对小球的冲量
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联立以上各式可得
，
则可知，小球的
图像为过原点且开口向上的抛物线，
图像为过原点的倾斜直线。
故选A。
16．（2025·山西·三模）垂直纸面的两薄铝板M、N，将纸面分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，三个
区域内均存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B₁、B₂ 和B₃，如图所示。两
带电粒子从P 点沿平行铝板方向前、后射入磁场Ⅱ内，穿过M 板的粒子其轨迹半径不变，而
穿过N 板的粒子轨迹半径变小（粒子穿过铝板前、后质量和电荷量均不变），下列判断正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】AB．带电粒子受到洛伦兹力作用，在垂直磁场平面内做匀速圆周运动，由
可得
正粒子穿过M 板动量减小，而轨迹的半径不变，说明
，故A 错误，B 正确；
CD．负粒子穿过N 板后动量变小，轨迹的半径也变小，无法确认B₂ 与B₃ 的大小关系。故
CD 错误。
故选B。
17．（2025·江西·二模）如图所示，在xOy 坐标的第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，
磁感应强度为B，在x 轴和y 轴上装有两相互垂直的平面荧光屏，在第一象限坐标
的M
点处有一粒子源，在某时刻同时发射大量质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度
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大小相同，均为
，速度方向均在xOy 平面内，分布在
范围内。观察发现：x 轴
上的荧光屏OP 之间发光，在P、Q 之间的任一位置会先后两次发光；O、Q 之间的任一位置
只有一次发光，不考虑粒子间的相互作用和粒子所受重力，求：
(1)粒子的运动半径和P 点的坐标；
(2)粒子打到荧光屏上的最短时间（用反角函数表达）；
(3)Q 点先后两次发光的时间间隔。
【答案】(1)2l，
(2)
/
、
）
(3)
【详解】（1）由牛顿第二定律有
可知带电粒子运动的半径为
P 点是发光的最远点，因此MP 为圆轨迹的直径，根据几何知识可得
解得
所以P 点的坐标为
（2）带电粒子运动到y 轴上的荧光屏最短的弦长为l，对应的圆心角为
，则
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由牛顿第二定律有
相应的最短时间为
（或
、
）
（3）Q 点第二次发光时，粒子的运动轨迹与x 轴相切，由几何知识可得，其对应的圆心角为
第一次发光时，粒子的运动轨迹对应的圆心角为
因此两次发光的时间间隔为
18．（2025·湖北·模拟预测）如图所示，在纸面内建立平面直角坐标系，在第一象限的部分
区域分布有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小
的有界匀强磁场（图中未画出），
磁场的左边界与y 轴重合，磁场的右边界与曲线
（其中
，单位：m）相切。从
y 轴上的A 点
沿x 轴正方向射入许多质量均为
、电荷量均为
的带正电粒子，不计粒子的重力及相互作用力，已知所有粒子均垂直磁场左边界射出，取
。求：
(1)粒子在磁场中运动的时间
。
(2)磁场区域的最小面积S。
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(3)速率最大的粒子从A 点到达磁场右边界时动量改变量的大小
。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）所有粒子均垂直磁场左边界射出，可知所有粒子在磁场中均做半个圆周运动。
设某粒子的速率为
，在磁场中轨迹圆半径为
，有
粒子在磁场中做整个圆周运动的周期
则
解得
（2）速率最大的粒子在磁场中运动到磁场右边界，其轨迹圆与曲线相切。设此粒子的轨迹圆
半径为r，轨迹方程为
又
可得
由于两曲线相切，y 只有一解，则
可得
则磁场区域的最小面积为
解得
（3）如图甲，速率最大的粒子的轨迹圆与曲线的切点为
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由（2）知速率最大的粒子轨迹圆半径
，代入轨迹方程求得C 点的横坐标为
，
粒子从A 点运动到C 轨迹圆心角满足
可得
由
解得
如图乙，由矢量运算法则知，此过程中粒子动量改变量大小为
19．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在
的区域内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度大小为
。长为
的光滑空心绝缘细管MN 平行于
轴，初始时
端恰与原点
重合。管中有一可视为质点的带电小球，质量为
，初始位于细管下端
处。现对细管
施以外力使其能够沿
轴以
匀速向右平移，一段时间后，小球从N 端离开细管。若小球带
电量的绝对值为
，其中
，为已知常数。小球所受重力不计。
(1)试判断小球电性正负。并计算小球在管中运动的过程中，所受洛伦兹力对其做功
以及细
管对其做功
；
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(2)求小球从N 端离开细管后，第一次经过
轴的位置纵坐标
；
(3)若
的取值可以改变，请给出小球第二次经过
轴的纵坐标
的取值范围。
【答案】(1)正电，0，
(2)
(3)
，
【详解】（1）小球随细管在水平方向向右做匀速直线运动，小球从细管上端离开，说明小球
在竖直方向受到的洛伦兹力竖直向上，由左手定则可知，小球带正电;洛伦兹力与速度垂直，
洛伦兹力不做功，即W1=0
在竖直方向，对小球，由牛顿第二定律得
小球离开细管时在竖直方向的分速度
对小球由动能定理得
解得
，
（2）设经过时间t 小球离开细管，水平方向
竖直方向
解得
小球离开细管时的坐标是
。
小球离开细管时的速度大小
解得
设小球离开细管时速度方向与水平方向的来角为
。则
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则
，
小球在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
由几何知识可知
则小球轨迹圆的圆心在y 轴上，小球在磁场中的运动轨迹如图所示
小球第一次经过y 轴的坐标
解得
（3）根据小球的运动轨迹，由几何知识可知，小球第二次经过y 轴的坐标
解得
的范围是
20．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系
区域存在一个圆形有界匀
强磁场，磁场圆心位于
轴上，磁场方向垂直于
平面。甲、乙两个带电粒子从
点以相
同的速率进入该磁场。其中甲粒子沿
轴正方向射入，最后平行于
轴正方向射出；乙粒子
沿与
轴正方向成
角的方向射入，最后平行于
轴负方向射出，不计粒子重力，则下列
说法正确的是（ ）
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A．甲、乙两粒子的电性相同
B．若甲粒子带正电，则磁场方向垂直于
平面向外
C．甲、乙两粒子在磁场中的运动时间之比为
D．甲、乙两粒子比荷大小之比为
【答案】C
【详解】A．根据左手定则以及甲、乙两粒子在匀强磁场中的偏转方向可知两个粒子的电性
相反，故A 错误；
B．若甲粒子带正电，且朝
轴正方向偏转，根据左手定则可知磁场方向垂直于
平面向
里，故B 错误；
CD．由两个粒子的运动轨迹可知，甲粒子的轨迹对应的圆心角为
，乙粒子的轨迹对应的
圆心角为
，二者的轨迹半径均等于圆形有界磁场的半径，根据
可知两个粒子的比荷大小相等，
根据
可知两个粒子的运动周期相等，在磁场中的运动时间
所以甲、乙两粒子在磁场中的运动时间之比为
，故C 正确，D 错误。
故选C。
21．（2025·安徽·模拟预测）如图所示，直径分别为
和
的同心圆处于同一竖直面内，
为圆心，
为大圆的水平直径。两圆之间的环形区域（I 区）存在垂直圆面向里的匀强磁
场，小圆内部（II 区）存在垂直圆面向外的匀强磁场。质量为
、电量为
的粒子由
点
紧靠大圆内侧以速度
竖直向上射入磁场。不计粒子的重力。
22
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(1)若粒子运动轨迹与小圆相切，求I 区磁感应强度的大小；
(2)若I 区、II 区磁感应强度的大小均为
，粒子运动一段时间后再次经过
点，求这
段时间粒子运动的路程。
【答案】(1)
或
(2)
【详解】（1）设I 区内磁感应强大小为
，粒子做圆周运动的半径为
，粒子的运动轨迹与
小圆相切有两种情况，如图所示
第一种情况，若粒子轨迹与小圆外切，根据几何关系可得
根据洛伦兹力提供向心力有
解得
若粒子轨迹与小圆内切，由几何关系得
根据洛伦兹力提供向心力有
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解得
（2）由题意可知，I 区和II 内的磁感应强度大小均为
，设粒子在I 区和II 区做圆周
运动的半径都为
，根据洛伦兹力提供向心力有
代入解得
根据题意作出粒子运动轨迹如图所示
根据几何关系可得
，
可知粒子在I 区域转过两个圆心角
的圆弧；粒子在II 区域转过两个圆心角
的圆弧，则这段时间粒子经过的路程
22．（2025·安徽合肥·三模）如图所示的xOy 平面内，第二象限内有竖直向下、场强大小为
的匀强电场。在
的区域，第一象限内有垂直纸面向外、磁感应强
度大小为
的匀强磁场，第四象限内有垂直纸面向里磁感应强度大小为
的匀强磁场，且
图中虚线为磁场的边界，Q 点为虚线和x 轴交点。质量为
电荷量
的粒子，从
点以速度
沿x 轴正向水平射出，恰好从坐标
原点O 进入第四象限，最终从x 轴上的Q 点射出磁场，不计粒子的重力。求：
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(1)粒子初速度
的大小；
(2)
的最小值；
(3)若
粒子在磁场中运动的时间。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，由牛顿第二定律得
由平抛运动的规律，有
解得
（2）设粒子通过
点的速度为
，竖直方向速度为
与
轴的夹角为
，则有
解得
当粒子运动轨迹若为图中①轨迹时，如图
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此时
最小，由几何关系有
再由
解得
（3）若
，由
解得
由题知
同理可得
两端圆弧对应的弦长
故粒子运动轨迹如图中②所示，粒子在磁场中运动的时间
23．（2025·全国·模拟预测）如图所示，矩形
区域内有平行
向下的匀强电场，
边
长为
，
边长为
为
边中点，正三角形
区域内有垂直
平面向里的匀强磁
场。质量为
、带电量为
的粒子从
点以初速度
垂直电场线射入电场中，经电场
偏转后从
点进入匀强磁场，最终从
点射出磁场。粒子重力不计，求：
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(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)匀强磁场的磁感应强度大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动
由
解得
（2）由上问可知，粒子到达
点时
得
则
如图所示，可知粒子在磁场中运动时的圆心角为
，则粒子运动轨迹的半径
27
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由
可得
24．（2025·广西南宁·模拟预测）如图，竖直线
为匀强磁场的左边界，其中水平分界线
上方Ⅰ区域磁场垂直纸面向里，分界线
下方Ⅱ区域磁场垂直纸面向外，磁感应强度均
为
。一个质量为
、电荷量为
（
）的粒子以速度
从左边界的
点水平射入磁场
中。粒子重力忽略不计。求：
(1)粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径
；
(2)若粒子从
点射入磁场中且恰好不从磁场左边界射出，入射点
到
的距离
。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力有
解得
（2）根据题意作图，如图所示
28
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根据几何关系可知
得
CO 距离
解得
25．（2025·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系
中有如图所示的有界匀强磁场区域，
磁场上边界是以
点为圆心、半径为
的一段圆弧，圆弧与
轴交于
、
两点，磁场下边界是以坐标原点
为圆心，半径为
的一段圆弧。
如图，在虚线区域内
有一束均匀分布带负电的粒子沿
轴负方向以速度
射入
该磁场区域。已知磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为
，带电粒子质量为
，
电荷量大小为
，不计粒子重力，
，
。下列说法中正确的是
（ ）
A．粒子在磁场中的运动半径为
B．正对
点入射的粒子离开磁场后不一定会过
点
C．粒子在磁场区域运动的最长时间为
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D．粒子经过
点进入第四象限的比例为
【答案】ACD
【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有
可得粒子在磁场中的轨道半径为
，故A 正确；
B．正对
的粒子，圆心恰好在
轴上，进入磁场后做匀速圆周运动，如图所示
根据勾股定理可知，进入无磁场区域后，速度方向恰好指向
点，即正对
点入射的粒子离
开磁场后一定会过
点，B 错误；
C．根据题意知，所有粒子沿水平方向射入磁场，半径与速度方向垂直，圆心均在入射点的
正下方，半径均为
，所有圆心所在的轨迹相当于将磁场边界向下平移
形状，
平移到
点位置，即所有粒子进入磁场后做圆周运动的圆心到
点距离均为
，如图所示
利用勾股定理可知，进入无磁场区域后，所有粒子速度方向都指向
点，因此所有粒子都过
点。由上述分析可知，从最上方进入的粒子，在磁场中偏转角度最大，运动的时间最长，
如下图所示。
由几何关系可知，该粒子在磁场中旋转了
，因此运动的时间为
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，故C 正确；
D．如图所示
从
水平向左的粒子离开磁场粒子方向沿
轴负方向，故
射入的粒子过
点后射入第四象限，
射入的粒子过
点后射入第三象限。故进入第四象限的比
例为
，故D 正确。
故选ACD。
26．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图所示，空间中有平面直角坐标系
，水平匀强电场
E 平行于x 轴（图中未画出），垂直于
平面向里的匀强磁场的磁感应强度为B，带正电
的微粒以速度
从坐标原点进入磁场后，沿与x 轴成
角做匀速运动，已知微
粒质量
，电量
，重力加速度g 取
，
，
，不计空气阻力，求：
(1)电场强度和磁感应强度的大小；
(2)若微粒通过原点时突然撤去磁场，微粒通过x 轴的坐标及时间；
(3)若微粒通过原点时突然撤去电场，微粒运动过程中最大、最小速度及与x 轴的最远距离。
【答案】(1)
，
(2)
，
(3)
，
，
【详解】（1）微粒匀速通过坐标原点，电场强度方向沿
轴正方向，由受力平衡有
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解得
由
得
（2）若微粒通过原点时突然撤去磁场，微粒做类平抛运动如图所示
设时间通过
轴上坐标为
，微粒加速度
由
，
得
，
（3）若微粒通过原点时突然撤去电场，将微粒速度
分解为沿
轴方向速度
微粒
方向所受洛伦兹力大小
即沿
正方向做匀速直线运动。
微粒沿
轴方向速度
其洛伦兹力使其做匀速圆周运动，由
得
作出图示如图，
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当微粒转动圆周最高点时其速度最小
当微粒转动圆周最低点时其速度最大
微粒距
轴的最远距离
27．（2025·四川凉山·三模）如图所示，粒子
、
的质量分别为
、
，电量分别为
、
，它们以相同的动能从
点沿
方向射入无限长直边界
上方的匀强磁场，
与磁
场边界成
角，磁场方向垂直于纸面向里，则
、
在磁场中运动的时间之比为（ ）
A．6 1∶
B．4 1∶
C．3 1∶
D．2 1∶
【答案】A
【详解】设两粒子的动能为
，根据
可得，两粒子的速度分别为
，
根据牛顿第二定律
周期为
所以
两粒子的圆心角分别为
，
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在磁场中运动时间为
所以
故选A。
28．（2025·新疆·模拟预测）如图所示，虚线MN 是区域Ⅰ和区域Ⅱ的边界，在区域Ⅰ和区域
Ⅱ分布着磁感应强度大小不同无限大的匀强磁场，磁场的方向均垂直纸面向里。将电子由O
点以垂直于边界MN 的速度射入区域I，图中实线所示的“心形”图形是电子的运动轨迹。以
下说法正确的是（ ）
A．电子在区域Ⅰ中的速度大于在区域Ⅱ中的速度
B．电子先通过M 点再通过N 点
C．区域Ⅰ的磁感应强度小于区域Ⅱ的磁感应强度
D．“心形”图形逐渐向左移动
【答案】D
【详解】A．由于洛伦兹力总是与速度方向垂直，所以粒子的速度大小保持不变，则电子在
区域Ⅰ中的速度等于在区域Ⅱ中的速度，故A 错误；
B．磁场的方向均垂直纸面向里，且电子带负电，根据左手定则可知电子先通过N 点再通过
M 点，故B 错误；
C．由洛伦兹力提供向心力可得
可得
由图可知电子在区域Ⅰ的轨道半径较小，所以区域Ⅰ的磁感应强度大于区域Ⅱ的磁感应强度，
故C 错误；
D．由题图可知，电子从O 点经过一次区域Ⅰ和区域Ⅱ的偏转，电子向左移动移动到M 点，
之后重复周期性的运动，所以“心形”图形逐渐向左移动，故D 正确。
故选D。
29．（2025·河北·模拟预测）如图所示，在直角坐标系xOy 平面内，第一象限中存在垂直纸
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面向里的匀强磁场Ⅰ，第二象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅱ，两磁场的磁感应强度大
小相等。一带电粒子从x 轴上P 点垂直x 轴进入磁场Ⅰ，速度大小为v，经过一段时间后刚好
从O 点离开磁场Ⅰ。若要求该粒子仍从P 点垂直x 轴进入磁场Ⅰ但不从x 轴离开磁场Ⅱ，不
计粒子重力。则粒子速度的大小可能为（ ）
A．
B．
C．
D．2v
【答案】CD
【详解】设P 点到O 点的距离为d，粒子刚好从O 点离开磁场Ⅰ，粒子运动轨迹如图中轨迹
1
几何关系可知
因为
联立解得
若要求该粒子仍从P 点垂直x 轴出发但不从x 轴离开磁场Ⅱ，粒子运动轨迹如图中轨迹2，由
几何关系可知θ=30°，则
可得
因为
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可得速度的最小值为
综合可知CD 选项符合题意。
故选CD。
30．（2025·吉林长春·模拟预测）如图所示，有一个弹性绝缘材料制成的圆筒，沿一条直径
开有正对的两孔C 和D，筒内有匀强磁场，有一不计重力的带正电的粒子从D 孔以大小为v
的速度正对圆心入射，与筒壁发生一次弹性碰撞后从C 孔飞出圆筒，粒子与筒壁碰撞时垂直
于筒壁方向的速度等大反向，沿筒壁方向的速度不变。现改变粒子从D 孔入射的方向，使入
射的方向与CD 成30°角，为使粒子与筒壁发生两次弹性碰撞后仍能从C 孔飞出，则粒子的速
度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．v
【答案】D
【详解】当带正电的粒子从D 孔以大小为v 的速度正对圆心入射，与筒壁发生一次弹性碰撞
后从C 孔飞出圆筒，其运动轨迹如图所示
设圆筒的半径为R，由几何知识可知，子圆周运动的轨道半径也为R，洛伦兹力提供圆周运
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动的向心力，则有
改变粒子从D 孔入射的方向，使入射的方向与CD 成30°角，为使粒子与筒壁发生两次弹性碰
撞后仍能从C 孔飞出，其运动轨迹如下图所示
则D 点和第一次碰撞点对于的圆筒的圆心角为
，设粒子的速度为
，
与CD 成
角，
故四边形
为菱形，所以粒子圆周运动的轨道半径为R，洛伦兹力提供圆周运动的向心
力，则有
联立可得
故选D。
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