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第22 讲 磁场对运动电荷的作用
目录
考点一 对洛伦兹力的理解...........................................................................................................1
考点二 带电粒子做圆周运动的分析思路...................................................................................1
考点三 带电粒子在有界磁场中的运动.......................................................................................4
考点四 带电粒子运动的临界和极值问题...................................................................................7
练出高分.........................................................................................................................................10
考点一 对洛伦兹力的理解
1．洛伦兹力
磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力．
2．洛伦兹力的方向
(1)判定方法
左手定则：掌心——磁感线垂直穿入掌心；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
大拇指——指向洛伦兹力的方向．
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F 垂直于B 和v 决定的平面(注意：洛伦兹力不做功)．
3．洛伦兹力的大小
(1)v∥B 时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B 时，洛伦兹力F＝q v B .(θ＝90°)
(3)v＝0 时，洛伦兹力F＝0.
[例题1] （多选）（2022•湖南模拟）如图所示，光滑的水平桌面处于匀强磁场中
磁场方向竖直向下，磁感应强度大小为B；在桌面上放有内壁光滑、长为L 的试管，
底部有质量为m、带电量为q 的小球，试管在水平向右的拉力作用下以速度v 向右做
匀速直线运动（拉力与试管壁始终垂直），带电小球能从试管口处飞出，关于带电小
球及其在离开试管前的运动，下列说法中正确的是（ ）
1
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A．小球带负电，且轨迹为抛物线
B．小球运动到试管中点时，水平拉力的大小应增大至qB√
qvBL
m
C．洛伦兹力对小球做正功
D．对小球在管中运动全过程，拉力对试管做正功，大小为qvBL
[例题2] （多选）（2022•绵阳模拟）两根导线通有大小方向相同的电流，垂直穿
过绝缘水平面，俯视如图所示。O 点是两导线在绝缘水平面内连线的中点，a、b 是连
线垂直平分线上到O 点距离相等的两点。一可视为质点的带正电滑块以相同大小的初
速度vo分别从a、b 向O 点运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．滑块在a、b 两点受到的磁场力方向相同
B．滑块在a、b 两点受到的磁场力方向相反
C．若水平面光滑，则滑块从a 点出发后一定做曲线运动
D．若水平面粗糙，则滑块从b 点出发后一定做减速运动
[例题3] （多选）（2021•德州二模）如图所示，光滑绝缘圆弧轨道的半径为R，
最低点N 点左侧处于垂直纸面向外的匀强磁场中，现将一带负电的小球（可视为质
点）自最低点右侧的M 点静止释放，M、N 两点间的距离远小于轨道半径R，小球到
达最左侧的位置为P 点（图中未画出），小球运动过程中始终未脱离轨道，已知重力
加速度为g，下列说法中正确的是（ ）
A．P 点比M 点高
B．小球向左经过N 点后，对轨道的压力立即变大
C．小球在P 点和M 点处对轨道的压力大小不相等
2
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D．小球运动的周期为2π√
R
g
[例题4] 如图所示，一个带正电的物体从粗糙斜面顶端滑到斜面底端时的速度为
v．若加上一个垂直于纸面指向纸外的方向的磁场，则物体滑到底端时（ ）
A．v 变大
B．v 变小
C．v 不变
D．不能确定
[例题5] 如图所示，空间有一个范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，一个
质量为m、电荷量为+q 的带电小圆环套在一根固定的绝缘水平细杆上，杆足够长，环
与杆的动摩擦因数为μ．现给环一个向右的初速度v0，在圆环整个运动过程中，下列
说法正确的是（ ）
A．如果磁场方向垂直纸面向里，圆环克服摩擦力做的功一定为1
2mv0
2
B．如果磁场方向垂直纸面向里，圆环克服摩擦力做的功一定为1
2mv0
2−m
3 g
2
2B
2q
2
C．如果磁场方向垂直纸面向外，圆环克服摩擦力做的功一定为1
2mv0
2
D．如果磁场方向垂直纸面向外，圆环克服摩擦力做的功一定为1
2mv0
2−m
3 g
2
2B
2q
2
考点二 带电粒子做圆周运动的分析思路
1．匀速圆周运动的规律
若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v 做匀速圆周
运动．
2．圆心的确定
(1)已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入
射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图3 甲所示，P 为入射
3
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点，M 为出射点)．
图3
(2)已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入
射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P 为入
射点，M 为出射点)．
3．半径的确定
可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小．
4．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ 时，其运动时
间表示为t＝T(或t＝)．
[例题6] （2023•沙坪坝区校级模拟）如图所示，空间中分布有垂直纸面向里的匀
强磁场，磁感应强度为B，有一质量为M，电荷量为q（q＞0）的粒子静止在O 点。
某时刻，该粒子炸裂成P、Q 两部分，P 粒子质量为M
3 、电荷量为q
3 ，Q 粒子质量为
2 M
3 、电荷量为2q
3 。不计粒子重力，则下列说法正确的是（ ）
A．P 粒子与Q 粒子半径之比r1：r2＝2：1
B．P 粒子与Q 粒子半径之比r1：r2＝1：2
C．P 粒子与Q 粒子周期之比T1：T2＝2：1
D．P 粒子与Q 粒子周期之比T1：T2＝1：2
[例题7] （2023•鹰潭一模）如图所示，虚线MN 上方存在垂直纸面向外的匀强磁
场，在直角三角形OQP 中，∠PQO，∠QOP＝30°。两个带电荷量数值相等的粒子a、
b 分别从O、P 两点以垂直于MN 的方向同时射入磁场，恰好在Q 点相遇。不计粒子
重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是（ ）
4
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A．a 带负电，b 带正电
B．a、b 两粒子的周期之比为1：3
C．a、b 两粒子的速度之比为2：1
D．a、b 两粒子的质量之比为1：3
[例题8] （多选）（2023•湖南模拟）一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方
向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc 足够长，∠abc＝135°，其
他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，在纸面内从a
点垂直于ab 射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，
以下说法正确的是（ ）
A．从ab 边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
B．从a 点入射的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长
C．粒子在磁场中的最长运动时间不大于πm
qB
D．粒子在磁场中的最长运动时间不大于3 πm
2qB
[例题9] （2023•邯山区校级二模）如图所示，OO′上侧有磁感应强度大小B＝
2.0×10﹣4T 的匀强磁场，电子以v＝1.6×106m/s 的速度从A 点与OO′成30°方向进入磁
场，在垂直于磁场的平面内运动。已知电子质量m＝9.1×10﹣31kg、电量q＝1.6×10﹣
19C。
（1）画出电子在磁场中运动轨迹；
（2）该电子离开磁场出射点离A 的距离；
（3）该电子在磁场中运动的时间。
5
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[例题10] （2023•文昌模拟）如图所示，足够大的光滑绝缘水平桌面上建一直角坐
标系xOy，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直桌面向下。质量为m、电荷量为q 带电小
球A（可视为质点）从坐标原点O 以一定初速度沿着x 轴正方向射出，在第一象限内
运动并从坐标为（0，a）的P 点向左离开第一象限。
（1）判断小球A 的电性并求出初速度v0的大小；
（2）若小球A 在第一象限内运动过程中与一个静止、不带电的小球B（可视为质点）
发生弹性正碰，碰撞时间极短，碰后两球电量均分，碰后小球A 仍沿原轨迹运动。不计
两球之间的库仑力。
①求小球B 的质量mB；
②若两球碰后恰好在坐标为（−√3
4 a，3
4 a）的位置首次相遇，求小球B 在第一象限初
始位置的坐标。
考点三 带电粒子在有界磁场中的运动
带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图7 所示)
图7
2．平行边界(存在临界条件，如图8 所示)
6
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图8
3．圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图9 所示)
图9
4．分析带电粒子在匀强磁场中运动的关键是：
(1)画出运动轨迹；
(2)确定圆心和半径；
(3)利用洛伦兹力提供向心力列式．
[例题11] （2023•云南模拟）如图所示，纸面内有一圆心为O，半径为R 的圆形磁
场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里。由距离O 点0.4R 处的P 点沿
着与PO 连线成θ＝30°的方向发射速率大小不等的电子。已知电子的质量为m，电荷
量为e，不计电子的重力且不考虑电子间的相互作用。为使电子不离开圆形磁场区域，
则电子的最大速率为（ ）
A．7eBR
10m
B．√29eBR
10m
C．21eBR
40m
D．(5−2√3)eBR
5m
[例题12] （2023•西城区一模）如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，
一带电粒子从圆周上的P 点沿半径方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为
v1，运动轨迹为PN；若粒子射入磁场时的速度大小为v2，运动轨迹为PM。不计粒子
的重力，下列判断正确的是（ ）
7
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A．粒子带负电
B．速度v1大于速度v2
C．粒子以速度v1射入时，在磁场中运动时间较长
D．粒子以速度v1射入时，在磁场中受到的洛伦兹力较大
[例题13] （2023•兰州模拟）如图所示，直角三角形ABC 区域内存在垂直于纸面
向里的匀强磁场，∠B＝90°，∠C＝30°。某种带电粒子（重力不计）以不同速率从
BC 边上D 点垂直BC 边射入磁场，速率为v1 时粒子垂直AC 边射出磁场，速率为v2
时粒子从BC 边射出磁场，且运动轨迹恰好与AC 边相切，粒子在磁场中运动轨迹半
径为r1、r2，运动时间为t1、t2。下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电
B．r1：r2＝2：1
C．v1：v2＝3：1
D．t1：t2＝1：4
[例题14] （多选）（2023•南宁二模）地磁场对宇宙高能粒子有偏转作用，从而保
护了地球的生态环境。赤道平面的地磁场简化为如图所示，O 为地球球心、R 为地球
半径。地磁场只分布在半径为R 和2R 的两边界之间的圆环区域内，磁感应强度大小
均为B，方向垂直纸面向里。假设均匀分布的带正电高能粒子以相同速度垂直MN 沿
赤道平面射向地球。已知粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子的重力及相互作
用力。下列说法正确的是（ ）
A．若粒子速率小于qBR
2m ，入射到磁场的粒子可以到达地面
8
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B．若粒子速率小于qBR
2m ，入射到磁场的粒子均无法到达地面
C．若粒子速率为qBR
m ，正对着O 处入射的粒子恰好可以到达地面
D．若粒子速率为3qBR
2m ，入射到磁场的粒子恰好有一半可以到达地面
[例题15] （2022•郑州一模）竖直平面内有Ⅰ、Ⅱ两个区域的匀强磁场，方向均垂
直纸面向外，两区域边界相切，如图所示。Ⅰ区域是半径为R 的圆形边界磁场，磁感
应强度大小为B；Ⅱ区域是边长为2R 的正方形边界场，感应强度大小为2B。以圆形
边界磁场最底端O 为原点建立xOy 直角坐标系。一质量为m，电荷量为+q 的粒子，
由原点O 沿与x 轴正方向夹角60°进入Ⅰ磁场区域，速度大小v = qBR
m 。粒子重力忽略
不计，求：
（1）粒子运动到x 轴时的位置；
（2）若Ⅱ区域内磁场反向，则粒子再次经过y 轴时的位置。
考点四 带电粒子运动的临界和极值问题
1．临界问题的分析思路
物理现象从一种状态变化成另一种状态时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状
态点．与临界状态相关的物理条件称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点．
临界问题的一般解题模式为：
(1)找出临界状态及临界条件；
(2)总结临界点的规律；
(3)解出临界量．
2．带电体在磁场中的临界问题的处理方法
带电体进入有界磁场区域，一般存在临界问题，处理的方法是寻找临界状态，画出临界轨
迹：
(1)带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零．
9
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(2)射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切．
[例题16] （多选）（2023•怀仁市模拟）如图所示，在水平荧光屏MN 上方分布了
水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧光屏d 处有一粒子源S，能够在纸
面内不断地向各个方向同时发射同种带正电的粒子，不计粒子的重力，已知水平向左
射出的粒子经过时间t 刚好垂直打在荧光屏上，则（ ）
A．所有粒子均会打到荧光屏上
B．粒子从射出到打到荧光屏上的最长时间为3t
C．粒子从射出到打到荧光屏上的最短时间为2
3 t
D．粒子能打到荧光屏上的区域长度为(√3+1)d
[例题17] （多选）（2023•蚌埠模拟）如图所示，a、b 是直线上间距为4d 的两点，
也是半圆直径的两个端点，c 位于ab 上，且ac＝d，直线上方存在着磁感应强度大小
为B、垂直于半圆平面的匀强磁场（未画出），其中半圆内部没有磁场．一群比荷为
k 的同种带电粒子从ac 之间以相同的速率垂直于ab 射入圆弧区域，所有粒子都能通过
b 点，不计粒子间的相互作用和粒子的重力，则（ ）
A．粒子的速率为2dBk
B．粒子的速率为dBk
C．从c 点射入的粒子在磁场中运动的时间为2π
3kB
D．从c 点射入的粒子在磁场中运动的时间为4 π
3kB
[例题18] （多选）（2023•河南模拟）如图所示，匀强磁场垂直纸面向里，其边界
如图所示，磁场的磁感应强度大小为B，半圆形边界的半径为R，O 为半圆的圆心，
ab 是半圆的直径，边界上c 点到a 的距离为R，a、b、c、O 在同一直线上，从c 点沿
垂直边界、垂直磁场向上射出速度大小不同的质量为m、电荷量为q 的带负电的粒子，
粒子均能从圆弧（含a、b 点）上射出磁场，不计粒子的重力和粒子间作用，则能从圆
弧边界射出的粒子（ ）
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A．粒子速度大小范围为qBR
2m ≤v ≤3qBR
2m
B．粒子的速度越大，粒子在磁场中运动的时间越短
C．从圆弧面射出后能到达b 点的粒子速度大小可能为qBR
m
D．从圆弧面射出后经过O 点的粒子在磁场中做圆周运动的半径为R
[例题19] （多选）（2023•自贡模拟）如图所示，直角三角形ABC 位于纸面内，
∠C＝30°，AB 边长为√3d，垂直于纸面向外的匀强磁场被限定在直角三角形ABC 区
域内。质量为m、电荷量为+q 的粒子从A 点以速度v 沿纸面射入磁场区域，刚好从C
点离开磁场。粒子重力不计，下列说法中正确的是（ ）
A．磁场磁感应强度的最大值为2mv
3qd
B．粒子通过磁场的最长时间为πd
v
C．粒子在磁场做匀速圆周运动的最小周期为3 πd
v
D．粒子在磁场做匀速圆周运动的最大角速度为v
3d
[例题20] 如图所示，在第一象限某区域有一垂直于xOy 平面向外、磁感应强度B1
= 3m v0
2qa
的矩形匀强磁场PQMN，点Q 坐标为（2a，0），其余点坐标未知。现有一质
量为m、电量大小为q、不计重力的带正电粒子从y 轴上的A（0，a）点以初速度v0
沿x 轴正方向射入第一象限、从Q 点射出矩形磁场并进入第四象限。第四象限中，虚
线EQ 左侧存在垂直于xOy 平面向里、磁感应强度B2＝kmv0
qa （k 为大于零的未知常
数）的匀强磁场。虚线EQ 与x 轴正方向的夹角为α（未知），在x＝4a 处垂直于x 轴
放置一块长为2√3a 的金属挡板。金属挡板良好接地，所有打到金属挡板上的电荷均
能被吸收并导入大地。求：
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（1）带电粒子在B1磁场中运动的时间是多少？
（2）矩形匀强磁场PQMN 的最小面积是多少？
（3）在题（2）的基础上，沿OA 放置一个线状粒子源，该粒子源能均匀地沿x 轴正方
向源源不断地发射质量为m、电量大小为q、不计重力的带正电粒子，且单位时间内 发
射的粒子数为N，发射速度大小与发射点纵坐标的关系满足v= y
a v0。已知所有从EQ 射
出磁场B2的粒子速度方向均沿x 轴正方向。求接地导线上的电流大小随k 值变化的函数
表达式。
练出高分
一．选择题（共10 小题）
1．（2023•辽宁模拟）正电子的发现，开辟了反物质领域的研究。如图所示，为安德森发
现正电子的云室照片，在垂直于照片平面的匀强磁场（照片中未标出）中，高能宇宙射
线穿过铅板时（粒子速度减小），有一个粒子的轨迹和电子的轨迹完全相同，但弯曲的
方向反了。安德森发现这正是狄拉克预言的正电子。下列说法正确的是（ ）
A．粒子从上向下穿过铅板
B．粒子穿过铅板后运动周期减小
C．匀强磁场的方向垂直照片平面向里
D．粒子穿过铅板后向心加速度大小不变
2．（2023•贵阳模拟）托卡马克装置是一种利用磁约束来实现受控核聚变的环形容器，其
结构如图所示。工作时，高温等离子体中的带电粒子被强匀强磁场约束在环形真空室内
12
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部，而不与器壁碰撞。已知等离子体中带电粒子的平均动能与等离子体的温度T 成正比。
为了约束更高温度的等离子体，需要更强的磁场，以使带电粒子在磁场中的运动半径不
变。由此可判断所需的磁感应强度B 正比于（ ）
A．T
B．T2
C．√T
D．√T
3
3．（2023•山西模拟）用图1 所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时
发现，有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简
化成如图2 所示的情景来讨论：在空间存在平行于x 轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy
平面内以初速度v0沿与x 轴正方向成α 角的方向，射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线，
其轴线平行于x 轴，直径为D，螺距为Δx，则下列说法中正确的是（ ）
A．匀强磁场的方向为沿x 轴负方向
B．若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D 减小，而螺距Δx 不变
C．若仅增大电子入射的初速度v0，则直径D 增大，而螺距Δx 将减小
D．若仅增大α 角（α＜90°），则直径D 增大，而螺距Δx 将减小，且当α＝90°时“轨
迹”为闭合的整圆
4．（2023•新会区校级一模）带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动
轨迹。如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中观察到某带电粒子的轨迹，其中a 和b
是运动轨迹上的两点。该粒子使云室中的气体电离时，其本身的动能在减少，而其质量
和电荷量不变，重力忽略不计。下列说法正确的是（ ）
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A．粒子带正电
B．粒子先经过a 点，再经过b 点
C．粒子运动过程中洛伦兹力对其做负功
D．粒子运动过程中所受洛伦兹力逐渐减小
5．（2023•海东市模拟）如图所示，在第Ⅳ象限内有垂直坐标平面向外的匀强磁场，一对
比荷之比为2：1 的正、负带电粒子在坐标平面内以相同的速率沿与x 轴成30°角的方向
从坐标原点射入磁场。不计粒子受到的重力及粒子间的作用力。正、负带电粒子在磁场
中运动的时间之比为（ ）
A．1：2
B．2：1
C．1：3
D．1：1
6．（2023•涟源市二模）如图，虚线MN 的右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，在图示平面
内两比荷相同的带正电粒子a、b 从MN 上的同一点沿不同方向射入匀强磁场后，又从
MN 上的同一点射出磁场。已知a 粒子初速度的方向垂直虚线MN，粒子的重力和粒子
间的相互作用忽略不计，则下列描述两粒子速度大小的关系图像正确的是（ ）
A．
B．
14
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C．
D．
7．（2023•青羊区校级模拟）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，
其边界如图中虚线所示，ab＝cd＝2L，bc＝de＝L，一束 2
4He 粒子在纸面内从a 点垂直
于ab 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知粒子的质量
为m、电荷量为q。则粒子在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为（ ）
A．3qBL
4 m
B．5qBl
4 m
C．5qBL
8m
D．5qBL
6m
8．（2023•宜宾模拟）如图所示，L1和L2为两条平行的磁场边界线，L1上方和L2下方都
是垂直纸面向里，范围足够大，且磁感应强度相同的匀强磁场，L1和L2之间无磁场；
A、B 两点是L2上相距一定距离的两点。带电粒子从A 点以初速度v0与L2成30°角斜向
右上方射出，经过偏转后正好过B 点，不计重力，下列说法正确的是（ ）
A．该粒子一定是带正电
B．该粒子经过B 点时的速度一定跟在A 点时的速度相同
C．若只稍微增大该粒子在A 点的初速度，它将仍可能经过B 点
D．若只将该粒子在A 点的初速度方向改为与L2成60°角斜向右上方，它将不可能经过
B 点
9．（2023•平城区校级一模）空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，
线段MN 是屏与纸面的交线，长度为4L，其左侧有一粒子源S，可沿纸面内各个方向不
断发射质量为m、电荷量为q、速率相同的粒子；SP⊥MN，P 为垂足，如图所示，已知
SP＝MP＝L，若MN 上所有的点都能被粒子从其右侧直接打中，则粒子的速率至少为（
）
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A．√2qBL
m
B．2qBL
m
C．√5qBL
m
D．√10qBL
m
10．（2023•岳阳一模）在xOy 竖直平面内存在沿y 轴正方向的匀强电场和垂直于平面向外
的匀强磁场，现让一个质量为m，电荷量为q 的带正电小球从O 点沿y 轴正方向射入，
已知电场强度大小为2mg
q
，磁感应强度大小为B，小球从O 点射入的速度大小为mg
qB ，
重力加速度为g，则小球的运动轨迹可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
二．计算题（共2 小题）
11．（2023•龙泉驿区模拟）如图所示，在纸面内有一平面直角坐标系xOy，其第一象限内
有一沿y 轴负方向的有界匀强电场，其右侧边界满足方程y＝x2，如图中虚线所示，电
场强度大小E＝4V/m。第三象限内（包含x 轴负半轴）存在垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度大小为B= π
4 T。在第一象限内虚线右侧、纵坐标0≤y≤0.25m 区域内有大量
（速度相等）沿x 轴负方向运动的带电粒子，粒子电荷量q＝+8×10﹣6C，质量m＝1×10
﹣6kg。已知从边界上横坐标为x＝0.1m 以初速度v0处飞入的粒子从坐标原点飞出电场区
域，不计粒子重力和粒子之间的相互作用力，求：
（1）粒子的初速度v0；
（2）所有粒子离开电场时，其速度方向与x 轴负方向所成夹角的范围；
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（3）粒子在磁场中运动的最短时间和出磁场的坐标。
12．（2023•浙江模拟）如图1 所示，在xOy 平面上的第一象限全部区域有大小为E
= 2mv
2
eR
，方向竖直向上的匀强电场，有一位于第二象限的电子源持续不断地沿x 轴正
方向发射速率均为v 的电子，形成沿y 轴方向均匀分布的电子流，电子源所在位置的纵
坐标分布范围为R～2R。荧光屏的上端固定于x 轴上，其横坐标分布范围为0～5R，荧
光屏上被电子碰撞的位置均会显示荧光。电子每次碰撞过程中机械能损失75%，碰撞前
后速度方向与荧光屏的夹角相等（与竖直方向对称）。已知电子的质量为m，电荷量为
e，不计电子重力，忽略电子间的相互作用。
（1）求荧光区域的横坐标的最小值；
（2）若从y＝R 沿x 轴正方向射出的电子与荧光屏第一次碰撞的作用时间为t0，求第一
次碰撞过程中荧光屏对该电子的作用力大小；
（3）求荧光区域的横坐标的最大值；
（4）现把匀强电场撤去，在第一象限全部区域加上方向垂直向里的匀强磁场B，如图2
所示。若所有电子最终均静止在荧光屏上（没有离开第一象限），求B 的取值范围。
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