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第46 讲 动态圆、磁聚焦和磁发散问题
目录
01 课标达标练
题型01 三类动态圆
题型02 磁聚焦 磁发散
02 核心突破练
03 真题溯源练
01 三类动态圆
1．（2025 高三上·辽宁鞍山·阶段练习）如图所示，在直角三角形ABC 内存在垂直纸面向外的匀强磁场
（图中未画出），AB 边长为d，∠C＝30°。现垂直AB 边射入一群质量均为m、带电荷量均为q、速度大
小均为v 的带正电粒子，已知垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，运动时间最长的粒子在磁
场中的运动时间为
，则下列判断不正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
1
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C．粒子在磁场中运动的轨道半径为
D．粒子进入匀强磁场时的速度大小为
【答案】C
【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间是
T，即
则得周期
T=4t0
故A 正确；
B．由
得
故B 正确；
C．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有
得
画出该粒子的运动轨迹如图，设轨道半径为R，由几何知识得
可得
故C 错误；
D．根据
，解得
2
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故D 正确。
本题选错误的，故选C。
2．（24-25 高二上·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，有一个边长为l，磁感应强度为B 的正方形匀强磁场区
域abcd, e 是ab 的中点, f 是ac 的中点, 如果在c 点沿对角线方向以一定的速度v 射入一比荷为k 的带电
粒子（不计重力），且该粒子恰好能从f 点射出。则下列说法正确的是（ ）
A．粒子射入磁场的速度大小
B．粒子在磁场中运动的时间为
C．若只减小粒子入射速度大小，则粒子在磁场中的运动时间不变
D．若粒子入射速度大小变为2v，则粒子恰好从a 点射出
【答案】BCD
【详解】A．由题意，当粒子从f 点飞出时，画出粒子运动轨迹，利用几何知识，可求得粒子在磁场中的运
动半径
根据
3
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，
可求得
故A 错误；
B．粒子在磁场中运动的时间为
故B 正确；
C．若只减小粒子入射速度大小，则粒子在磁场中的运动半径将减小，画出粒子在磁场中的运动轨迹可知，
粒子均从ef 边射出，由几何知识可知粒子运动轨迹所对应的圆心角均为90°，运动时间均为
可知粒子在磁场中的运动时间不变，故C 正确；
D．若粒子入射速度大小变为2v， 则粒子在磁场中的运动半径将变为
由几何知识可判断知粒子恰好从a 点射出，故D 正确。
故选BCD。
3．（24-25 高二下·辽宁沈阳·期中）如图所示，直角三角形abc 区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应
强度大小为B，ab 边长为2L，
，一粒子源固定在ac 边的中点d，粒子源垂直ac 边向磁场中发
射不同速率的带正电的粒子，粒子均从bc 边界射出，已知粒子质量为m、电荷量为q，下列说法正确的
是（ ）
A．粒子运动的速率可能为
4
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B．粒子在磁场中运动的时间可能为
C．bc 边界上有粒子射出的区域长度最大为
D．有粒子经过的磁场区域的面积最大为
【答案】BC
【详解】A．根据题意可知当粒子运动轨迹与ab 边相切时，对应的速度最大，如图所示
根据几何知识可得半径为
根据洛伦兹力提供向心力
解得
同理若粒子从c 点射出，则速度
则粒子的速度不可能为
，故A 错误；
B．粒子在磁场中运动的周期为
当粒子垂直bc 边射出时，粒子在磁场中运动的时间为
故B 正确；
CD．根据题意可知当粒子运动轨迹与ab 边相切时，打在cb 上的点到c 点的距离最大，即
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所以打在bc 边界上有粒子射出的区域长度最大为
，有粒子经过的磁场区域的面积最大为
故C 正确，D 错误。
故选BC。
4．（23-24 高二下·河南驻马店·期中）空间中存在直角三角形ABC 区域，其中AB 边长为L，
，
现给该区域施加垂直于纸面向里的稳定的匀强磁场如图，磁感应强度为B，以不同的速率从A 点沿AB
方向射入一束完全相同的正粒子，比荷为
（忽略重力对运动状态的影响），则（ ）
A．粒子速度越大，在磁场中运动时间越长
B．粒子在磁场中运动时间最长为
C．粒子在磁场中运动的最长路程为
D．粒子能从AC 射出的区域长度为L
【答案】BC
【详解】AB．根据洛伦兹力提供向心力
解得
可知粒子速度越大，粒子运动半径越大。当粒子运动半径较小时，能够从
边射出，粒子在磁场中的圆
心角为
，粒子在磁场中运动时间为
该过程中粒子运动时间不变，此时粒子在磁场中运动时间最长，当粒子运动半径较大时，从BC 边射出，
6
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粒子速度越大，轨迹对应的圆心角越小，在磁场中运动时间短，故A 错误，B 正确；
CD．当粒子和BC 边相切时路程最大，此时射出点为粒子在AC 边射出的最远点，由几何关系知
粒子在磁场中运动的最长路程为
此时最远点距
点的距离为
故C 正确，D 错误。
故选BC。
5．（2025·吉林长春·高三月考）（多选）我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨
飞行验证工作，可作为太空发动机使用，带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图，实线所示
的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场I、Ⅱ，磁感应强度分别为
，
。两圆半径均为r，相
切于O 点。一束宽度为
的带电粒子流沿x 轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为
m、电荷量均为
、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正
确的是（ ）
A．
的大小为
B．从O 点进入磁场Ⅱ的粒子的速度仍相同
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C．若
，则粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在六分之一圆周上
D．若
，则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为
【答案】ACD
【详解】A．由磁聚焦的特点可知，粒子在磁场中的运动半径与磁场圆的半径相等，即
解得
A 正确；
B．洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向不改变其速度的大小，其速度大小相等，但速度的方向不同，B 错
误；
C．若
，则
可知，粒子离开磁场II 最远的位置离原点为r，如图所示。
由几何关系，弦所对最大圆心角为
，故粒子在磁场II 的边界的射出点在六分之一圆周上，C 正确；
D．若
，则
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由此可知，粒子离开磁场Ⅱ运动轨迹的弦越长，运动的时间越长，如图所示，粒子在磁场中运动轨迹的圆
心角为
，则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为
D 正确；
故选ACD。
6．（23-24 高二上·海南海口·期末）如图所示，在矩形GHIJ 区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，P 点
是GH 边的中点，四个完全相同的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P 点射入匀强
磁场，它们的轨迹在同一平面（纸面）内，下列说法正确的是（ ）
A．④粒子的速率最大
B．③粒子的向心加速度最大
C．②粒子在矩形GHIJ 磁场区域运动的时间最长
D．①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ 磁场区域的运动周期不相同
【答案】A
【详解】CD．对于完全相同的粒子，其比荷相同，在同一匀强磁场中，则周期相同，由图知③粒子在磁场
中转过的圆心角最大，所以③粒子在矩形GHIJ 磁场区域经历的时间最长，故CD 错误；
A．根据洛伦兹力提供向心力有
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可得
由于④粒子的半径最大，则④粒子的速率最大，故A 正确；
B．粒子的向心加速度为
可知④粒子的向心加速度最大，故B 错误。
故选A。
7．（23-24 高二上·湖北·期中）如图所示，直角三角形
区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为
，已
知
边长为
，比荷均为
的带正电粒子以不同的速率从
点沿
方向射入磁场（不计粒
子重力），则（ ）
A．粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短
B．粒子速度越大，在磁场中运动的路程越大
C．粒子在磁场中运动的最长路程为
D．粒子在磁场中运动的最短时间为
【答案】C
【详解】AB．粒子在磁场中做匀速圆周运动，随速度增加，半径变大，当粒子运动轨迹恰好与BC 边相切
时，粒子运动轨迹如图所示，当粒子从AC 边射出时，即使粒子速度越大，但是运动时间不变，当粒子的
轨迹与BC 边相切时，粒子速度再增加，则粒子从BC 边射出，则随速度增加，在磁场中运动的路程越小，
选项AB 错误；
C．当粒子的轨迹与BC 边相切时，由几何知识得，粒子轨道半径
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r=AB=L
此时粒子在磁场中运动的路程最长为
选项C 正确；
D．当粒子从BC 边射出时，粒子的速度越大，半径越大，出射点越靠近B 点，时间也越来越短，直到从B
点射出时粒子的速度无穷大，时间趋近于零，选项D 错误。
故选C。
8．（2024 高三·全国·专题练习）如图所示，在直角坐标系xOy 第一象限内x 轴上方存在磁感应强度大小为
B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y 轴上S 处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等
的质量均为m，电荷量均为q 的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S 最远的位置是x 轴上的P 点。
已知粒子带负电，
=
=
d，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则（ ）
A．粒子的速度大小为
B．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为
C．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9 2∶
D．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O 点的距离为
【答案】C
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【详解】A．由题意可知，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子射出磁场时离S 最远的位置是x 轴上的
P 点，可以画出其轨迹1，如图所示，可知SP 为直径，由几何关系则有
得
由洛仑兹力提供向心力可得
得
A 错误；
B．粒子的运动周期
得
从O 点射出的粒子如轨迹3，由几何知识可得轨迹3 所对应的圆心角为60°，在磁场中的运动时间
故B 错误；
C．从x 轴上射出磁场的粒子中，运动时间最长的粒子为运动轨迹与x 轴相切的粒子（轨迹2），对应的圆
心角为270°，得
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运动时间最短的粒子为从原点飞出的粒子（轨迹3），此时对应的圆心角为60°，得到
所以
故C 正确；
D．沿平行x 轴正方向射入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为四分之一圆，离开磁场时的位置到O 点的
距离为d，故D 错误。
故选C。
02 磁聚焦 磁发散
9．（24-25 高二上·全国·课后作业）带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。磁聚焦原理如
图，真空中半径为的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一束宽度为
、沿x 轴正方向运动的电子流
射入该磁场后聚焦于坐标原点O。已知电子的质量为m、电荷量为e、进入磁场的速度为v，不计电子重
力及电子间的相互作用，则磁感应强度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题可知，从左侧任选一束电子流A 经磁场偏转后，通过坐标原点O，如图所示
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由于电子沿水平方向射入磁场，半径与速度方向垂直，可知
，由几何关系可知，平行四边形
为菱形，因此电子在磁场中运动的轨道半径
，又由于
可得磁感应强度的大小为
故选C。
10．（22-23 高二下·河北秦皇岛·开学考试）我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在
轨飞行验证工作，可作为太空发动机使用，带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图，实线所
示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场I、Ⅱ，磁感应强度分别为
，
。两圆半径均为r，
相切于O 点。一束宽度为
的带电粒子流沿x 轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已知粒子的质量均
为m、电荷量均为
、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法
正确的是（ ）
A．
的大小为
B．从O 点进入磁场Ⅱ的粒子的速度仍相同
C．若
，则粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在六分之一圆周上
D．若
，则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为
【答案】ACD
【详解】A．由磁聚焦的特点可知，粒子在磁场中的运动半径与磁场圆的半径相等，即
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解得
A 正确；
B．洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向不改变其速度的大小，其速度大小相等，但速度的方向不同，B 错
误；
C．若
，则
可知，粒子离开磁场II 最远的位置离原点为r，如图所示。
由几何关系，弦所对最大圆心角为
，故粒子在磁场II 的边界的射出点在六分之一圆周上，C 正确；
D．若
，则
由此可知，粒子离开磁场Ⅱ运动轨迹的弦越长，运动的时间越长，如图所示，粒子在磁场中运动轨迹的圆
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心角为
，则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为
D 正确；
故选ACD。
11．（2023·山东·模拟预测）利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用
到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为
的带正电粒子流水平向右射入半径为
的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为
，这些带电粒子都将从磁场圆上O 点进入正方形区域，正方
形过O 点的一边与半径为
的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚
到O 点的粒子经过该磁场区域后宽度变为
，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力
及粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里
B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里
C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为
D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为
【答案】BC
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【详解】AB． 根据磁聚焦原理，粒子在半径为
的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为
，有
解得
要使汇聚到O 点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为
，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹
如图所示，由几何关系可知粒子的轨迹半径
，正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分，有
解得
比较可得
由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A 错误，B 正确；
CD． 如图，磁场区域的最小面积为
C 正确，D 错误。
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故选BC。
12．（22-23 高三上·江苏南京·开学考试）带电粒子流的磁控束和磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一，
如图甲，在xoy 平面的第一象限内曲线和y 轴之间存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
B0；在第二象限内存在着如图乙所示的交变磁场（以垂直纸面向外为磁场的正方向）。放射源在A
（3a，0）点发射质量为m、带电量为+q 的粒子，其速度大小
，方向与x 轴负方向的夹角为
θ（大小未知，0<θ≤53°），粒子都能垂直穿过y 轴后进入第二象限。t=0 时刻某粒子P 经过y 轴。不计粒
子重力和粒子间相互作用，已知sin53°=0.8，cos53°=0.6）。求：
（1）若θ=53°，粒子在第一象限的磁场区域运动的时间；
（2）若
，要使粒子P 在0~T0内不回到第一象限，交变磁场的变化周期T0应满足什么条件；
（3）若将第二象限的交变磁场撤换为磁感应强度为B0且分别与x 轴和y 轴相切的圆形有界磁场，且所有
粒子均从x 轴上的切点射出，求粒子中经过圆形磁场区域最大偏转角α 的正弦值。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子运动轨迹如图
粒子在磁场中做匀速圆周运动
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得
在第一象限磁场区域运动的时间为t，则
得
（2）由题意知：粒子不回到第一象限，临界情况为轨迹与y 轴相切，如图所示
粒子在磁场中做匀速圆周运动
则
则
两圆心连线与y 轴夹角为β，有
得
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β＝37°
由题意知，临界条件为
得
T0应满足条件为
（3）在第二象限轨迹如图
由第（2）问知粒子在磁场中运动半径
，由题意可知，所有粒子经圆形磁场后均经过切点，所以θ＝
53°时偏转角最大，当θ＝53°时粒子经过y 轴的坐标为
解得
由几何关系得
所以
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13．（2022·福建莆田·二模）带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一、磁聚焦原理如图，真
空中一半径为r 的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一束宽度为2r、沿x 轴正方向运动的带电粒子
流射入该磁场后汇聚于坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为q、进入磁场的速度均为v，不
计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。则磁感应强度的大小应为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】利用圆形区域匀强磁场实现对带电粒子流的磁聚焦，需要满足：粒子匀速圆周运动半径与圆形磁
场区域的半径相等，设粒子做匀速圆周运动的半径为R，则有
粒子匀速圆周运动所需向心力等于洛伦兹力，则有
解得
故选C。
14．（22-23 高二下·山东济宁·期中）如图所示，在直角坐标系xOy 第一象限内x 轴上方存在磁感应强度大
小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y 轴上S 处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速
率相等的质量大小均为m，电荷量大小均为q 的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S 最远的位置是x
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轴上的P 点。已知
，粒子带负电，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则（ ）
A．粒子的速度大小为
B．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为
C．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O 点的距离为
D．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为
【答案】ACD
【详解】A．由
，可得
SP＝5d
如图所示，结合“在轨迹圆中，轨迹的直径为最长的弦”和题中“所有粒子射出磁场时离S 最远的位置是
x 轴上的P 点”可知SP 是其中一个轨迹的直径，由
可得
则
故A 正确；
B．由几何知识可得从O 点射出的粒子，轨迹所对的圆心角为106°，在磁场中的运动时间为
故B 错误；
C．假设沿平行x 轴正方向射入的粒子，离开磁场时的位置到O 点的距离为l，由几何知识可得
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代入
解得
故C 正确；
D．从x 轴上射出磁场的粒子，从原点射出时在磁场中运动时间最短，其运动时间为
运动轨迹与x 轴相切时运动时间最长，由几何知识可得轨迹所对的圆心角为
，运动时间为
则
故D 正确。
故选ACD。
15．（21-22 高二上·河北张家口·阶段练习）如图所示，以直角三角形AOC 为边界的有界匀强磁场区域，
磁感应强度为B，∠A=60°，AO=L，在O 点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子。已
知粒子的比荷为
，发射速度大小都为
，设粒子发射方向与OC 边的夹角为θ，不计粒子重力
及它们之间的相互作用。对于粒子进入磁场后的运动，下列判断不正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的半径R = L
B．当θ=0°时，粒子射出磁场时的速度方向与AC 边垂直
C．当θ=0°时，粒子在磁场中运动时间
D．当θ=60°时，粒子在磁场中运动时间
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【答案】C
【详解】A．根据牛顿第二定律有
①
由题意可知
②
联立①②解得
③
故A 正确；
BC．如图1 所示，当θ=0°时，粒子从AC 边的D 点射出，根据几何关系可知粒子射出磁场时的速度方向与
AC 边垂直，且粒子转过的圆心角为60°，运动时间为
故C 错误；
D．如图2 所示，当θ=60°时，根据几何关系可知粒子将从A 点射出，粒子转过的圆心角为60°，运动时间
为
故D 正确。
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本题选错误的，故选C。
16．（24-25 高三下·甘肃·阶段练习）如图所示，在两平行金属极板P、Q 上加恒定电压U，极板Q 的右侧
有一个边长为
的正方形匀强磁场区域abcd，磁场的磁感应强度方向垂直纸面向里。P 极板上中心O
处有一粒子源，可发射出初速度为零、电荷量与质量的比值为k 的带电粒子（不计重力），Q 极板中心
有一小孔，可使粒子射出后垂直磁场方向从a 点沿对角线ac 方向进入匀强磁场区域，下列说法正确的是
（ ）
A．带电粒子刚进入磁场时的速度大小为
B．若带电粒子向上偏转，则极板Q 的电势比极板P 的电势高
C．若带电粒子恰好从d 点射出，则其在磁场中的运动时间为
D．带电粒子进入磁场时的速度越大，其运动半径一定越大，在磁场中运动的时间一定越长
【答案】AC
【详解】A．根据动能定理
且有
可得带电粒子刚进入磁场时的速度大小为
故A 正确；
B．若带电粒子向上偏转，可知粒子带正电，由于在电场中加速运动，可知极板Q 的电势比极板P 的电势
低，故B 错误；
C．若带电粒子恰好从d 点射出，根据几何关系
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可知粒子在磁场中做圆周运动的半径为L，圆心角为
，粒子在磁场运动周期
则其在磁场中的运动时间为
故C 正确；
D．由洛伦兹力提供向心力可知
可得
带电粒子进入磁场时的速度越大，其运动半径一定越大，离开磁场时就越靠近c 点，则圆周运动的弦切角
越小，所以圆心角也越小，在磁场中运动的时间越短，故D 错误。
故选AC。
1.（全国III 卷·高考真题）平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM
上方存在匀强磁场、磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q
（q>0），沿纸面以大小为v 的速度从OM 上的某点向左上方射入磁场，速度方向与OM 成30°角，已知
该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场，不计重力。则粒子离开
磁场时的出射点到两平面交线O 的距离为（ ）
A．mv
2qB
B．√3mv
qB
C．2mv
qB
D．4 mv
qB
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【答案】D
【详解】带电粒子在磁场中做圆周运动洛伦兹力提供向心力，所以
qvB =m v
2
r
根据题意，轨迹与ON 相切，画出粒子的运动轨迹如图所示
由于
AD =2r sin30° =r
故△AO′D 为等边三角形，∠O′DA=60°，而∠MON=30°，则∠OCD=90°，故CO′D 为一直线，则
OD =
CD
sin30° =2CD = 4 r = 4 mv
qB
故选D。
2．（2025·全国卷·高考真题）如图，正方形abcd 内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a
以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab 边的中点、b 点和
c 点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（ ）
A．t1 < t2 = t3
B．t1 < t2 < t3
C．t1 = t2 > t3
D．t1 > t2 > t3
【答案】A
【详解】由于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则电子在磁场中运动的时间为
设正方形abcd 的边长为l，则
，
，
则有t1 < t2 = t3
故选A。
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3．（2024·广西·高考真题）
坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂
直纸面向里。质量为m，电荷量为
的粒子，以初速度v 从O 点沿x 轴正向开始运动，粒子过y 轴时速
度与y 轴正向夹角为
，交点为P。不计粒子重力，则P 点至O 点的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】粒子运动轨迹如图所示
在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有
可得粒子做圆周运动的半径
根据几何关系可得P 点至O 点的距离
故选C。
4．（2024·湖北·高考真题）如图所示，在以O 点为圆心、半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强
磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为
m、电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC 方向从A 点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是
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（ ）
A．粒子的运动轨迹可能经过O 点
B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C．粒子连续两次由A 点沿AC 方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D．若粒子从A 点射入到从C 点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为
【答案】D
【详解】AB．在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出的；根据圆的特点可知粒子
的运动轨迹不可能经过O 点，故AB 错误；
C．粒子连续两次由A 点沿AC 方向射入圆形区域，时间最短则根据对称性可知轨迹如图
则最短时间有
故C 错误；
D．粒子从A 点射入到从C 点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图所示
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设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知
根据洛伦兹力提供向心力有
可得
故D 正确。
故选D。
5．（2024·河北·高考真题）如图，真空区域有同心正方形ABCD 和abcd，其各对应边平行，ABCD 的边长
一定，abcd 的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面．A 处有一个粒
子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD 方向进入磁场。调整abcd 的边长，可使速度
大小合适的粒子经ad 边穿过无磁场区后由BC 边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是（
）
A．若粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为45°，则粒子必垂直BC 射出
B．若粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为60°，则粒子必垂直BC 射出
C．若粒子经cd 边垂直BC 射出，则粒子穿过ad 边的速度方向与ad 边夹角必为45°
D．若粒子经bc 边垂直BC 射出，则粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角必为60°
【答案】AD
【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，在正方形abcd 区域中做匀速直线运动，粒子穿过ad 边时速度
方向与ad 边夹角为45°，在正方形abcd 区域中的运动轨迹必平行于AC 的连线，可知粒子必经过cd 边，进
入正方形abcd 区域前后的两段圆弧轨迹的半径相等，并且圆心角均为45°，据此作出粒子可能的两个运动
轨迹如图所示
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粒子的运动轨迹均关于直线BD 对称，粒子必从C 点垂直于BC 射出，故A 正确；
C．若粒子经cd 边垂直BC 射出，粒子运动轨迹如图所示
设粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为
，则图中两段圆弧轨迹的圆心角
与
的关系为
设两正方形的对应边之间的距离为
，为保证粒子穿过ad 边，需满足
且有
联立解得
为保证粒子穿过cd 边，需满足
为保证从BC 边射出，需满足
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联立解得
可得粒子经cd 边垂直BC 射出，粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角范围是
故C 错误；
BD．粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为60°时，作出粒子恰好经过c 点的运动轨迹如图所示
设粒子在e 点进入正方形abcd 区域，线段MN 垂直平分轨迹ec，与AB 选项的分析同理，粒子的轨迹关于
线段MN 对称。线段CE 平行于轨迹ec，取圆弧轨迹的中点F，过F 点做轨迹ec 的平行线分别交AD 与BC
于点G 和点
，点
为点E 关于MN 的对称点。易知点e 为ad 的中点，点E 为AD 的中点，Ee 垂直于ad
和AD，设粒子轨迹半径为r，正方形ABCD 的边长为2L。由几何关系得
联立解得
因
，故
，即EF 垂直于
，由对称性可知四边形
为矩形，
垂直于
CE，可知点
是点F 关于MN 的对称点，即点F 是圆弧cH 的中点，可知由c 到
粒子的轨迹圆心角为
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30°，可得粒子垂直BC 射出。若粒子速度较大，轨迹半径较大，则粒子在c 点左侧穿过cd，其轨迹如图所
示
与临界轨迹对比，粒子第二段的轨迹圆心不会在BC 上，故粒子不会垂直BC 射出。若粒子速度较小，轨迹
半径较小，则粒子在c 点下方穿过cb，其轨迹如图所示。
与粒子恰好经过c 点的运动过程同理，根据对称性可知粒子一定垂直BC 射出，故B 错误，D 正确。
故选AD。
6．（2024·福建·高考真题）如图，用两根不可伸长的绝缘细绳将半径为的半圆形铜环竖直悬挂在匀强磁
场中，磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向外，铜环两端
、
处于同一水平线。若环中通有
大小为
、方向从
到
的电流，细绳处于绷直状态，则（ ）
A．两根细绳拉力均比未通电流时的大
B．两根细绳拉力均比未通电流时的小
C．铜环所受安培力大小为
D． 铜环所受安培力大小为
【答案】AC
【详解】方法一：微元法
AB．如图，取通电半圆形铜环的一小段
，可将其视为直导线，根据左手定则可知，改小段导线受到的安
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培力方向如图所示，其大小
根据对称性苛刻的，如图所示，对称的两小段所受的安培力在水平方向的分力大小相等，方向相反，相互
抵消，则通电后半圆形铜环受到的安培力竖直向下，根据受力分析可知，通电后两绳拉力变大，故A 正确，
B 错误；
CD．对每小段导线所受安培力在竖直方向的分力求和，可得
故C 正确，D 错误。
故选AC。
方法二：等效法
通电半圆形铜环可等效为等效长度为直径
，电流方向
，根据左手定则可知半圆形铜环受到的安培
力方向竖直向下，大小
根据受力分析可得，通电后，绳子拉力
两根细绳拉力均比未通电流时的大。
故选AC。
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