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第48 讲 动态圆、磁聚焦和磁发散问题
目录
01 课标达标练
题型01 动态圆模型的应用
题型02 慈聚焦、磁发散问题的应用
02 核心突破练
03 真题溯源练
01 动态圆模型的应用
1.（2025 高三·全国·专题练习）如图所示，长方形abcd 区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
大小为B，区域内的点O 处有一粒子源，O 点离ab 边距离为0.25L，离bc 边距离为L，粒子源以垂直指向
dc 边的速度方向向磁场内发射不同速率带正电的粒子，已知ab 边长为2L、bc 边长为L，粒子质量均为
m、电荷量均为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．从ab 边射出的粒子的运动时间均相同
B．从bc 边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为
C．粒子有可能从c 点离开磁场
D．若要使粒子离开长方形区域，速率至少为
2. (2025 广东华南师范大学附属中学高三二模)如图所示，在x 轴及其上方存在垂直xOy 平面向外的匀强磁
场，坐标原点O 处有一粒子源，可向x 轴和x 轴上方的各个方向不断地发射速度大小均为
，
质量为
，带电量为
的同种带电正离子。在x 轴上距离原点1m 处垂直于x 轴放
1
a
b
d
c
O
e
B
v
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置一个长度为1m，厚度不计且能接收带电粒子的薄金属板P（粒子一旦打在金属板P 上立即被接收）。现
观察到沿x 轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端。不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力。取
，则被薄金属板接收的粒子运动的时间可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.如图所示，长方形abcd 长ad＝0.6m，宽ab＝0.3m，O、e 分别是ad、bc 的中点，以ad 为直径的半
圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B＝0.25T.一群不计重力、质量m＝3×10－
7kg、电荷量q＝＋2×10－3C 的带电粒子以速度v＝5×102m/s 沿垂直ad 方向且垂直于磁场射入磁场区域(
)
A．从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在Oa 边
B．从aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边
C．从Od 边射入的粒子，出射点分布在Oa 边和ab 边
D．从aO 边射入的粒子，出射点分布在ab 边和be 边
【
4.如图所示，一个边界为PQ、MN（两边界上有磁场）的足够大的匀强磁场区域，宽
度为
d，磁场方向垂直纸面向里。O 点处有一体积可忽略的粒子发射装置，能够在纸面内向磁场各个方向连续、
均匀地发射速度大小相等的质子，发现从磁场MN 边界射出的质子数占总数的三分之一，不计质子间相互
作用及重力，则MN 边界上有质子射出的区域长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图所示，平行边界MN、PQ 间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两边界长
度足够长，间距为d，MN 上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m、电荷量均为
2
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q 的带正电的粒子，粒子射入磁场的速度
，不计粒子的重力，则粒子能从PQ 边界射出磁场的区域
长度为（ ）
A．d
B．
C．2d
D．
6．如图所示，在足够长的荧光屏MN 上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度的大小B=0.1T、方向
与纸面垂直。距离荧光屏h=8cm 处有一粒子源S，以速度v=5×105m/s 不断地在纸面内向各个方向发射比荷
的带正电粒子，不计粒子的重力。则粒子打在荧光屏范围的长度为（ ）
A．10cm
B．12cm
C．20cm
D．24cm
02 慈聚焦、磁发散问题的应用
7．带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一、磁聚焦原理如图，真空中一半径为r 的圆形区域
内存在垂直纸面的匀强磁场，一束宽度为2r、沿x 轴正方向运动的带电粒子流射入该磁场后汇聚于坐标原
点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相
互作用力。则磁感应强度的大小应为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
8．我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行验证工作，可作为太空发动机使
用，带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图，实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀
强磁场I、Ⅱ，磁感应强度分别为
，
。两圆半径均为r，相切于O 点。一束宽度为
的带电粒子流沿
x 轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为
、进入磁场的速度均为
v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．
的大小为
B．从O 点进入磁场Ⅱ的粒子的速度仍相等
C．若
，则粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在六分之一圆周上
D．若
，则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为
9．利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯
片技术得到飞速发展。如图，宽度为
的带正电粒子流水平向右射入半径为
的圆形匀强磁场区域，磁感
应强度大小为
，这些带电粒子都将从磁场圆上O 点进入正方形区域，正方形过O 点的一边与半径为
的
磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O 点的粒子经过该磁场区域后
宽度变为
，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是（
）
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A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里
B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里
C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为
D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为
1。如图1 所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场，下列判断
正确的是（ ）
A、电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长
B．电子在磁场中运动时间越长。其轨迹线所对应的圆心角越大
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同
2.如图3 所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd 区域内，O 点
是cd 边的
中点。一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O 点沿纸面以垂直于cd 边的
速度射入正
方形内，经过时间t0刚好从c 点射出磁场。现设法使一束这样带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°的方向，
以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是（ ）
A．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从cd 边射出磁场
B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ad 边射出磁场
C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从bc 边射出磁场
D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ab 边射出磁场
3．如图所示，直角三角形的AB 边长为L，
，三角形区域内存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从D 点沿着垂直BC 边的方向以速度v 射入磁
场，CD 间距离为L，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是（ ）
图1
5
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A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．
时，带电粒子垂直于AC 边射出磁场
C．若粒子从BC 边射出磁场，则
D．若粒子从AC 边射出磁场，则
4．科学家利用磁场控制带电粒子的轨迹，研究粒子的性质。如图，
左下方空间内有垂直纸面向里的
匀强磁场，
。现有电荷量相同、质量不同的甲、乙两种正粒子，先后从
上
点以平行于
的相同速度射入磁场，甲、乙分别经过
上
、
两点，
，不考虑粒子间相互
作用力及重力，则（ ）
A．乙在磁场中运动的轨道半径为
B．乙的质量是甲质量的2.5 倍
C．甲在磁场中运动时间大于乙
D．洛伦兹力对甲、乙均做正功
5．如图所示，区域AOC 内有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S。某一时刻，从S 平行于
纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速
度大小相同，经过一段时间有部分粒子从边界OC 射出磁场。已知∠AOC＝60°，从边界OC 射出的粒子在
磁场中运动的最长时间等于
（T 为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动
的时间不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，PQ 为磁感应强度
、方向垂直纸面向里的匀强磁场的边界，磁场中的O 点有一
6
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粒子源，它均匀地向纸面内各个方向同时发射速率为
、比荷为
的带正电的
粒子。已知O 点与PQ 的距离为8cm，不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用，下列判断正确的是（
）
A．PQ 上有粒子飞出的区域长度为
B．飞出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间为
C．飞出磁场的粒子在磁场中运动的最短时间为
D．飞出磁场的粒子数占所有粒子数的
7．如图所示，PQ 为磁感应强度为
、方向垂直纸面向里的匀强磁场的边界，磁场中的O 点有
一粒子源，它均匀地向纸面内各个方向同时发射速率为
、比荷为
的带正电的粒
子．已知O 点与PQ 的距离为
，不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用，下列判断正确的是（ ）
A．飞出磁场的粒子数占所有粒子数的一半
B．PQ 上有粒子飞出的区域长度为
C．飞出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间是最短时间的2 倍
D．飞出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间是最短时间的
倍
8．如图所示，边长为0.64m 的正方形内有磁感应强度
的匀强磁场，方向垂直于纸面向外。在正方
形中央处有一个点状的放射源P，它在纸面内同时向各个方向均匀连续发射大量同种粒子，该种粒子速度
大小为
，比荷
。不考虑粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是（
7
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）
A．粒子在磁场中运动的最短时间为
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．正方形边界上有粒子射出的区域总长为1.6m
D．稳定后单位时间内射出磁场的粒子数与单位时间内粒子源发射的总粒子数之比为1 2∶
9．我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行验证工作，可作为太空发动机使
用，带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图，实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀
强磁场I、II，磁感应强度分别为B1，B2。两圆半径均为r，相切于O 点。一束宽度为2r 的带电粒子流沿x
轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为+q、进入磁场的速度均为v，
不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．B1的大小为
B．从O 点进入磁场II 的粒子的速度仍相等
C．若
，则粒子在磁场II 的边界的射出点在四分之一圆周上
D．若
，则粒子在磁场II 中运动的最长时间为
10．磁聚焦和磁发散技术在许多真空系统中得到了广泛应用，如电子显微镜技术，它的出现为科学研究做
出了重大贡献。现有一个磁发散装置，如图所示，在半径为R 的圆形区域内存在垂直纸面向外，磁感应强
度为B 的匀强磁场，在圆形磁场区域右侧有一方向竖直向下，电场强度为E 的匀强电场，电场左边界与圆
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形磁场右边界相切。在水平地面上放置一个足够长的荧光屏PQ，它与磁场相切于P 点。粒子源可以持续
的从P 点向磁场内发射速率为v 方向不同的带正电同种粒子。经观测：有一粒子a 以竖直向上的初速度射
入磁场，该粒子经磁场偏转后恰好以水平方向离开磁场，然后进入电场区域。粒子b 进入磁场的速度方向
与粒子a 的速度方向夹角为
（未知），进入磁场后，粒子b 的运动轨迹恰好能通过圆形磁场的圆心O，
最终也进入到电场区域。已知电场强度和磁感应强度的关系满足
，不计粒子重力及粒子间相互作用。
求：
（1）粒子的比荷
；
（2）粒子b 与粒子a 的夹角
和b 粒子打在荧光屏上的亮点到P 点的距离x；
（3）入射方向与荧光屏所在平面成
区间范围内的粒子，最终打到荧光屏上形成的亮线长度。
11．带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流（每个粒子的质量为
、
电荷量为
）以初速度垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在
平面内的粒子，
求解以下问题。
（1）如图，宽度为
的带电粒子流沿
轴正方向射入圆心为
、半径为
的圆形匀强磁场中，若带
电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点
，求该磁场磁感应强度
的大小；
（2）如图，虚线框为边长等于
的正方形，其几何中心位于
。在虚线框内设计一个区域面积最
小的匀强磁场，使汇聚到
点的带电粒子流经过该区域后宽度变为
，并沿
轴正方向射出。求该磁场磁
感应强度
的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；
9
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1．（2024·湖北·高考真题）如图所示，在以O 点为圆心、半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强
磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、
电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC 方向从A 点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是
（ ）
A．粒子的运动轨迹可能经过O 点
B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C．粒子连续两次由A 点沿AC 方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D．若粒子从A 点射入到从C 点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为
2．（2024·河北·高考真题）如图，真空区域有同心正方形ABCD 和abcd，其各对应边平行，ABCD 的边长
一定，abcd 的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面．A 处有一个粒子
源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD 方向进入磁场。调整abcd 的边长，可使速度大小
合适的粒子经ad 边穿过无磁场区后由BC 边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是（ ）
A．若粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为45°，则粒子必垂直BC 射出
B．若粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为60°，则粒子必垂直BC 射出
C．若粒子经cd 边垂直BC 射出，则粒子穿过ad 边的速度方向与ad 边夹角必为45°
D．若粒子经bc 边垂直BC 射出，则粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角必为60°
3．（2024·重庆·高考真题）有人设计了一粒种子收集装置。如图所示，比荷为
的带正电的粒子，由固定
于M 点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN 方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN 上
方的K 点，O 在MN 上，且KO 垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直
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于纸面向里的匀强磁场，速率为v0的粒子运动到O 点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重力，
忽略磁场突变的影响。
(1)求OK 间的距离；
(2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO 间的距离；
(3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计
时O 点。求打开磁场的那一时刻。
4．（2024·海南·高考真题）如图，在xOy 坐标系中有三个区域，圆形区域Ⅰ分别与x 轴和y 轴相切于P 点
和S 点。半圆形区域Ⅱ的半径是区域Ⅰ半径的2 倍。区域Ⅰ、Ⅱ的圆心
连线与x 轴平行，半圆与圆相
切于Q 点，QF 垂直于x 轴，半圆的直径MN 所在的直线右侧为区域Ⅲ。区域Ⅰ、Ⅱ分别有磁感应强度大小
为B、
的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向外。区域Ⅰ下方有一粒子源和加速电场组成的发射器，可将
质量为m、电荷量为q 的粒子由电场加速到
。改变发射器的位置，使带电粒子在OF 范围内都沿着y 轴
正方向以相同的速度
沿纸面射入区域Ⅰ。已知某粒子从P 点射入区域Ⅰ，并从Q 点射入区域Ⅱ（不计粒
子的重力和粒子之间的影响）
（1）求加速电场两板间的电压U 和区域Ⅰ的半径R；
（2）在能射入区域Ⅲ的粒子中，某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，求该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动
的总时间t；
（3）在区域Ⅲ加入匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电场强度的大小
，方向沿x 轴正方向。此后，粒子源中某粒子经区域Ⅰ、Ⅱ射入区域Ⅲ，进入区域Ⅲ时速度方向与
y 轴负方向的夹角成74°角。当粒子动能最大时，求粒子的速度大小及所在的位置到y 轴的距离
。
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5.（2023·湖南·高考真题）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直
向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF 区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁场，磁
场方向垂直纸面向外。图中A、C、O 三点在同一直线上，AO 与GF 垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A
点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC 运动的粒子才能进入区域
Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF
的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0。若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ
中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则t > t0
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t > t0
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
12
