文档文本内容
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第48 讲 动态圆、磁聚焦和磁发散问题
目录
01 考情解码·命题预警..........................................................................................................................1
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................2
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................3
考点一 带电粒子在磁场中运动的动态圆问题...................................................................3
知识点1．“平移圆”模型.................................................................................................................3
知识点2．“放缩圆”模型.................................................................................................................3
知识点3．“旋转圆”模型.................................................................................................................3
考向1. 对平移圆模型的理解............................................................................................................4
考向2.利用放缩圆解决磁场中的临界问题........................................................................................6
考向3 利用“旋转圆”模型解决磁场中的极值问题...........................................................7
考点二 磁聚焦和磁发散问题..................................................................................................9
.................................................................................................................................................................................
知识点1 .磁聚焦模型.....................................................................................................................................9
知识点2.磁发散.................................................................................................................................. 12
考向1．利用磁聚焦寻求关键性几何条件.......................................................................................13
考向2．利用磁聚焦寻求关键性几何条件.......................................................................................14
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................17
1
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考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
带电粒子在磁
场中运动的动
态圆问题
选择题
非选择题
2023·湖南·高考物理第
14 题
2023·湖南·高考物理第
14 题
磁聚焦和磁发
散问题
选择题
非选择题
考情分析：
1.命题形式：单选题非选择题
2.命题分析：湖南高考对带电粒子在匀强磁场中运动往往发组合场的形式出现，其临界问题又涉及动态圆
分析
复习目标：
目标1.进一步理解带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题。
目标2.会用“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”找出对应的临界状态或极值的轨迹。
目标3.理解“磁聚焦”和“磁发散”模型。
2
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考点一 带电粒子在磁场中运动的动态圆问题
知识点1 .“平移圆”模型
适用
条件
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带
电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度
大小为v0，则半径R＝，如
所示
图
3
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圆心
共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射
点的连线平行
界定
方法
将半径为R＝的
行平移，从而探索粒子的
界条件，
种方法叫
圆进
临
这
“平
移圆”法
知识点2 .“放缩圆”模型
适用
条件
粒子源发射速度方向一定、大小不同的同种带电粒子垂直进入匀强磁场时，这些带
电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
圆心
共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情境)，速度v 越大，运动半径也越大。可以发
现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′
上
界定
方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临
界条件，这种方法称为“放缩圆”法
知识点3.“旋转圆”模型
适用
条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子垂直进入匀强磁场
时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，
则圆周运动轨迹半径为R＝，如
所示
图
圆心
共圆
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半
径R＝的
上
圆
界定
方法
将一半径为R＝的
以入射点
心
行旋
，从而探索出
界条件，
种
圆
圆
为
进
转
临
这
方法称为“旋转圆”法
4
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考向1 对平移圆模型的理解
例1 （2025 湖南省邵阳市高三下学期二模） 某种离子诊断测量简化装置如图所示，竖直平面内
存在边界为矩形MNPQ、方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为
的水平匀强磁场，探测板
平
行于
竖直放置，能沿水平方向左右缓慢移动且接地。a、b、c 为三束宽度不计、间距均为
的离子束，离子均以相同速度持续从边界
竖直向上射入磁场，
束中的离子在磁场中沿半径为
的四分之一圆弧运动后从右边界
水平射出，并打在探测板的上边缘
点。已知每束每秒射入
磁场的离子数均为
，探测板
的长度为
，离子质量均为
、电荷量均为
，不计重力
及离子间的相互作用，
。
（1）求离子速度
的大小；
（2）a、c 两束中同时进入磁场的两个离子，求它们打在探测板上的时间差
；
（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的水平分量
与板到
距离
的关系。
【变式训练1·变】（2025·湖南岳阳市第三中学模拟）如图所示，在直角三角形abc 区域内存在垂
直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q 的同种粒子以相同
的速度沿纸面垂直于ab 边射入场区，结果在bc 边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc 边的长度
为L，bc 和ac 的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A. 粒子的入射速度为
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B. 粒子的入射速度为
C. 粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为πL
2
D. 从bc 边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为
考向2 利用放缩圆解决磁场中的临界问题
例2 .(2025·湖南娄底高三模拟）如图所示，边长为L 的等边三角形ABC 内有垂直纸面向里、磁感
应强度大小为B0的匀强磁场，D 是AB 边的中点，一质量为m、电荷量为
的带电粒子从D 点以
速度v 平行于BC 边方向射入磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A. 粒子可能从B 点射出
B. 若粒子从C 点射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为
C. 若粒子从C 点射出，则粒子在磁场中运动的时间为
D. 若粒子从AB 边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短
考向3 利用“旋转圆”模型解决磁场中的极值问
例3 （2025··湖南师大附中模拟）如图所示，在x 轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于平
面向里的匀强磁场。x 轴上放置一无限长挡板，挡板上M、N 两点的坐标分别为
和
，
坐标为
的P 点存在一粒子源，可以在
平面内向各个方向均匀发射速率为v，比荷为
的正电粒子，不计粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是（ ）
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A．带电粒子在磁场中顺时针运动
B．若
，则打在挡板上的粒子数占总数的
C．若
，则挡板上有粒子打到的线段长度为
D．若
，将挡板撤去，则MN 之间各处均有粒子通过
考点二 磁聚焦和磁发散问题
知识点1 磁聚焦模型
电性相同的带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边
界上同一点射出，该点切线与入射方向平行，其轨迹如图所示。
知识点2 磁发散
带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射
方向与入射点的切线方向平行，其轨迹如图所示。
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考向1 利用磁聚焦寻求关键性几何条件
例1 .（2025·湖南·一模）在平面直角坐标系
中有如图所示的有界匀强磁场区域，磁场上边界
是
点为圆心，半径为
的一段圆弧，圆弧与
轴交于
、
两点，磁
场下边界是以坐标原点O 为圆心，半径为
的一段圆弧。现有一束带负电的粒子沿
轴负方向
以速度
射入该磁场区域。已知磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为
，带电粒子质
量为m，电荷量大小为q，不计粒子重力。下列说法中正确的是（ ）
A．正对
点入射的粒子离开磁场后不会过O 点
B．若粒子速度变为
，正对
点入射的粒子离开磁场后一定过O 点
C．粒子在磁场区域运动的最长时间为
D．所有入射粒子都一定过O 点
考向2 利用磁聚焦寻求关键性几何条件
例2 如图2 所示，真空中，xoy 为空间直角坐标系，有一以原点为圆心的圆形磁场区域，半
径为xo，磁场垂直纸面向里. 在x >xo的区域存在平行x 轴，沿-x 方向的匀强电场，电场强度为E.M
点为磁场边界与+y 轴的交点，该点有一α 粒子源不断辐射出α 粒子，在纸面内从M 点以相同的速
率v，沿不同方向射入磁场，发现这些粒子穿出磁场进入电场后，速度都会减小到0. 已知α 粒子
的质量为m，电荷量为+q.（α 粒子重力不计）
（1）求圆形磁场区域中磁感应强度的大小.
（2）由M 点沿-y 方向射入磁场的α 粒子，穿出磁场进入电场后，返回再次穿出磁场，求该粒
子从M 点开始到再次出磁场时所运动的路程.
（3）由M 点向各个方向射入磁场的α 粒子，最终都要汇集于空间某一点，求这些α 粒子从
M 点运动到该点所用时间的范围.
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1．（2024·湖北·高考真题）如图所示，在以O 点为圆心、半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向
里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。
一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC 方向从A 点射入圆形区域。不计重力，下列
说法正确的是（ ）
A．粒子的运动轨迹可能经过O 点
B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C．粒子连续两次由A 点沿AC 方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D．若粒子从A 点射入到从C 点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为
2．（2024·河北·高考真题）如图，真空区域有同心正方形ABCD 和abcd，其各对应边平行，ABCD
的边长一定，abcd 的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面．A
处有一个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD 方向进入磁场。调整abcd 的
边长，可使速度大小合适的粒子经ad 边穿过无磁场区后由BC 边射出。对满足前述条件的粒子，下
列说法正确的是（ ）
A．若粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为45°，则粒子必垂直BC 射出
B．若粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角为60°，则粒子必垂直BC 射出
C．若粒子经cd 边垂直BC 射出，则粒子穿过ad 边的速度方向与ad 边夹角必为45°
D．若粒子经bc 边垂直BC 射出，则粒子穿过ad 边时速度方向与ad 边夹角必为60°
3．（2024·重庆·高考真题）有人设计了一粒种子收集装置。如图所示，比荷为
的带正电的粒子，
由固定于M 点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN 方向运动，能收集各方向粒子的收集器
固定在MN 上方的K 点，O 在MN 上，且KO 垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强
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度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，速率为v0的粒子运动到O 点时，打开磁场开关，该
粒子全被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的影响。
(1)求OK 间的距离；
(2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO 间的距离；
(3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时
刻为计时O 点。求打开磁场的那一时刻。
4．（2024·海南·高考真题）如图，在xOy 坐标系中有三个区域，圆形区域Ⅰ分别与x 轴和y 轴相切
于P 点和S 点。半圆形区域Ⅱ的半径是区域Ⅰ半径的2 倍。区域Ⅰ、Ⅱ的圆心
连线与x 轴平
行，半圆与圆相切于Q 点，QF 垂直于x 轴，半圆的直径MN 所在的直线右侧为区域Ⅲ。区域Ⅰ、
Ⅱ分别有磁感应强度大小为B、
的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向外。区域Ⅰ下方有一粒子源
和加速电场组成的发射器，可将质量为m、电荷量为q 的粒子由电场加速到
。改变发射器的位置，
使带电粒子在OF 范围内都沿着y 轴正方向以相同的速度
沿纸面射入区域Ⅰ。已知某粒子从P 点
射入区域Ⅰ，并从Q 点射入区域Ⅱ（不计粒子的重力和粒子之间的影响）
（1）求加速电场两板间的电压U 和区域Ⅰ的半径R；
（2）在能射入区域Ⅲ的粒子中，某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，求该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ
中运动的总时间t；
（3）在区域Ⅲ加入匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电场强度的
大小
，方向沿x 轴正方向。此后，粒子源中某粒子经区域Ⅰ、Ⅱ射入区域Ⅲ，进入区域Ⅲ
时速度方向与y 轴负方向的夹角成74°角。当粒子动能最大时，求粒子的速度大小及所在的位置到y
轴的距离
。
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5.（2023·湖南·高考真题）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场
方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF 区域（区域Ⅱ）内
存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O 三点在同一直线上，AO 与GF 垂直，且与
电场和磁场方向均垂直。A 点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿
直线AC 运动的粒子才能进入区域Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域
Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF 的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0。若改变电
场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的
相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则t > t0
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t > t0
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
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