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第9 练 专题强化：动态平衡和临界、极值问题
分值：100 分
1~7 题每小题7 分，共49 分
1.(2024·山东卷·2)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上
稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于( )
A.1
2
B.√3
3
C.√2
2
D.√3
2
2.(2025·山东菏泽市期中)如图所示，内壁光滑的半圆形轨道竖直固定放置，A 为最低点，B 为右侧最高点。现
用力F 将小球从A 点沿轨道缓慢拉至B 点，且保持力F 的方向与竖直方向的夹角始终为45°。关于该过程，
下列说法正确的是( )
A.力F 先增大后减小
B.力F 一直增大
C.轨道对小球的支持力先增大后减小
D.轨道对小球的支持力一直增大
3.如图所示，橡皮筋一端连接在天花板上，另一端连接在滑轮上，与竖直方向夹角为θ；绕过滑轮的轻绳一端
悬挂一重物，另一端施加水平力F，重物保持静止，现保持F 大小不变，使其在竖直面内沿逆时针方向缓慢
转过60°，不计滑轮质量及一切摩擦，橡皮筋始终在弹性限度内，此过程中，下列说法正确的是( )
A.θ 变小，橡皮筋长度变短
B.θ 变小，橡皮筋长度变长
C.θ 变大，橡皮筋长度变短
1
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D.θ 变大，橡皮筋长度变长
4.(2024·山东淄博市校考)如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑的特色之一。铺设瓦片时，屋顶结构可简化
为图乙所示，建筑工人将一瓦片轻放在两根相互平行的檩条正中间，若瓦片能始终静止在檩条上。已知檩条
与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，檩条间距离为d，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A.瓦片共受到4 个力的作用
B.檩条对瓦片作用力方向垂直檩条向上
C.缓慢减小檩条的倾斜角度θ 时，瓦片与檩条间的摩擦力变大
D.缓慢增大檩条间的距离d 时，两根檩条对瓦片的弹力都增大
5.(2024·山东济宁市期末)如图所示，用一轻绳将光滑小球P 系于粗糙竖直墙壁上的O 点，在墙壁和球P 之间
夹有一矩形物块Q，整体处于静止状态。略微改变绳子的长度，P、Q 仍然均处于静止状态，则下列相关说法
正确的是( )
A.P、Q 两物体都受3 个力作用
B.若绳子缓慢变短，墙壁对Q 的支持力将减小
C.若绳子缓慢变短，绳子的拉力将变大
D.若绳子缓慢变短，Q 受到的静摩擦力将增大
6.如图所示，某健身者右手拉着抓把沿水平方向从图示位置B 缓慢移动到位置A，不计绳子质量，忽略绳子和
重物与所有构件间的摩擦，A、B、重物共面，则重物上升过程中( )
A.绳子的拉力逐渐增大
B.该健身者所受合力逐渐减小
C.该健身者对地面的压力逐渐减小
D.该健身者对地面的摩擦力逐渐增大
7.(2025·山东济宁市开学考)一轻质杆两端分别固定有质量均为m 的小球A、B，两小球由细线OE、FC 悬挂于
水平天花板及竖直墙壁上，如图所示。OE 和FC 的拉力分别用F1和F2表示，初始时，F1与竖直方向的夹角
2
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θ=30°，F2 水平，重力加速度为g。现保持A 球位置不变，将细线FC 的C 端缓慢上移至FC 与水平方向成
α=60°角的位置的过程中，下列说法正确的是( )
A.F1一直减小且减小了mg
B.F2一直减小且减小了mg
C.F2先减小后增大，其最小值为1
2mg
D.轻杆的弹力一直减小，其最小值为√3
3 mg
8~11 题每小题10 分，共40 分
8.(多选)(2024·山东聊城市校考)如图，一斜面粗糙的斜面体置于粗糙地面上，斜面顶端装有一光滑轻质定滑轮。
一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M 相连，M 与滑轮间细绳与斜面平行，系统处
于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N 的细绳与竖直方向成45°。已知M 与斜面体始终
保持静止，则在此过程中( )
A.水平拉力的大小可能保持不变
B.M 所受细绳的拉力大小一定一直增大
C.M 所受斜面的摩擦力大小一定一直增大
D.斜面体所受地面的摩擦力一定增大
9.如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个重环，绕过光滑定滑轮的轻绳一端与重环相连，另一端施加拉力
F 使重环从A 点缓慢上升到B 点。设杆对重环的弹力大小为FN，整个装置处于同一竖直平面内，在此过程中(
)
A.F 逐渐增大，FN逐渐增大
B.F 逐渐增大，FN先减小后增大
C.F 先减小后增大，FN逐渐增大
3
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D.F 先减小后增大，FN先减小后增大
10.小李发现小区的消防通道被一质量为m 的石墩挡住了，为了移开石墩小李找来一根结实的绳子，将绳的一
端系在石墩上，双手紧握绳的另一端用力斜向上拖拽石墩。设绳子与水平方向的夹角为θ，小李对绳施加的
最大拉力为0.6mg，g 为重力加速度，石墩与水平地面间的动摩擦因数为√3
3 ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦
力。则下列说法正确的是( )
A.无论θ 取何值，小李都不可能拖动石墩
B.小李能拖动石墩，且当θ＝π
3 时最省力
C.小李能拖动石墩，且当θ＝π
6 时最省力
D.小李能拖动石墩，且当θ＝π
4 时最省力
11.(多选)(2025·山东菏泽市段考)如图所示，一倾角θ＝30°的斜面体固定于水平地面上，一质量m＝1.0 kg 的
小物块恰好能够静止于斜面上。若给物块施加一平行于斜面且与斜面内的水平虚线成α＝60°角的推力F，在
推力F 由0 逐渐增大的过程中，小物块始终保持静止，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g 取10
m/s2，则下列说法正确的是( )
A.小物块与斜面之间的动摩擦因数为√3
3
B.小物块所受的静摩擦力逐渐减小
C.小物块所受静摩擦力的最小值为2.5 N
D.推力F 的最大值为5√3 N
(11 分)
12.(多选)(2024·山东省一模)粗糙水平地面上有一质量为M、倾角为30°的粗糙楔形物体C，斜面上有一个质量
为2m 的物块B，B 通过平行于斜面的轻绳绕过定滑轮P 与结点O 连接，结点处悬挂一质量为m 的小球A。初
始时OP 间轻绳水平，拉力F 与OP 绳的夹角α=135°，如图所示。现让拉力F 顺时针缓慢转动90°且保持α 大
小不变，转动过程B、C 始终保持静止。下列说法正确的是( )
4
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A.拉力F 一直减小
B.绳对B 的拉力一直增大
C.B、C 间的摩擦力先增大后减小
D.物体C 对地面的压力先增大后减小
5
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答案精析
1.B [根据题意可知机器人“天工”可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，对“天工”分析有
mgsin 30°≤μmgcos 30°
可得μ≥tan 30°＝√3
3
故选B。]
2.B [对小球进行受力分析如图所示，轨道对小球的支持力由竖直向上变为水平向左，整个过程中由动态平
衡的图解法可知，支持力先减小后增大，力F 一直增大。故选B。
]
3.C [力F 转动过程中，滑轮两边绳间的夹角变大，两边绳上拉力的合力减小，根据力的平衡可知，橡皮筋
的弹力变小，长度变短，橡皮筋与竖直方向的夹角等于滑轮两边绳夹角的一半，因此θ 变大，故选C。]
4.D [瓦片受重力、两根檩条的支持力和摩擦力，共5 个力，A 错误；檩条对瓦片作用力应为支持力与摩擦
力的合力，方向竖直向上，B 错误；摩擦力等于mgsin θ，减小檩条的倾斜角度θ 时，摩擦力减小，C 错误；
檩条对瓦片的两个弹力等大，合力等于mgcos θ，当增大檩条间的距离 d 时，两弹力的夹角增大，则两弹力
增大，D 正确。]
5.C [由于小球P 光滑，P、Q 之间没有摩擦力作用，则小球P 受到重力、Q 的支持力和绳子拉力，共3 个力
作用；物块Q 受到重力、P 的压力、粗糙墙壁的支持力和摩擦力，共4 个力作用，故A 错误；若绳子缓慢变
短，绳子与竖直方向的夹角θ 变大，以小球P 为研究对象，根据受力平衡可得FTcos θ＝mPg，FTsin θ＝FNQ，
可得FT＝mP g
cosθ ，FNQ＝mPgtan θ，可知绳子的拉力将变大，Q 对P 的支持力变大；以物块Q 为研究对象，根据
受力平衡可得FN 墙＝FNP＝FNQ，Ff＝mQg，可知墙壁对Q 的支持力将变大，Q 受到的静摩擦力不变，故C 正确，
B、D 错误。]
6.D [由题意可知，重物和健身者一直处于动态平衡状态，由平衡条件可知，健身者所受合力等于零，绳上
的拉力大小不变，其大小等于重物的重力mg，A、B 错误；对健身者受力分析，如图所示，由平衡条件可知，
在竖直方向，则有FTsin θ+FN＝Mg，又有FT＝mg，可得FN＝Mg－mgsin θ，在水平方向，则有FTcos θ＝Ff，
当从B 缓慢移到A 时，θ 角逐渐变小，地面对健身者的支持力逐渐变大，地面对健身者的摩擦力逐渐变大，
由牛顿第三定律可知，健身者对地面的压力逐渐增大，健身者对地面的摩擦力逐渐增大，C 错误，D 正确。
6
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]
7.D
[取两小球及轻杆整体为研究对象，整体受重力2mg、细线OE 的拉力F1及细线FC 的拉力F2作用处于平衡状
态。此三力满足图甲所示关系，当C 端缓慢上移时，由图知细线OE 的拉力一直减小，最初其大小为F1=
2mg
cos30°
=4√3
3
mg，移动后其大小为F1'=
2mg
2
cos30°
=2√3
3
mg，减小了2√3
3
mg，故A 错误；由图甲知细线FC 的
拉力先减小后增大，其最小值为F2min=2mgsin 30°=mg，故B、C 错误；取A 球为研究对象，其所受重力、细
线OE 的拉力F1及轻杆的弹力F 满足图乙所示关系，因为末态时OE 的拉力大小为2√3
3
mg=
mg
cos30° ，所以最
后杆的弹力正好沿水平方向，由图乙知杆的弹力一直在减小，最小值为F'=mgtan 30°=√3
3 mg，故D 正确。
]
8.BD [方法一 图解法
对N 进行受力分析，因为N 的重力与水平拉力F 的合力和细绳的拉力FT是一对平衡力，在力的矢量三角形中
(如图甲所示)可以看出水平拉力的大小逐渐增大，细绳的拉力也一直增大，选项A 错误，B 正确；M 的质量
与N 的质量的大小关系不确定，设斜面倾角为θ，若mNg≥mMgsin θ，则M 所受斜面的摩擦力大小会一直增大
若mNg<mMgsin θ，则M 所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增大，选项C 错误；对整体受力分析，可知斜面
所受地面摩擦力等于水平拉力F，一定增大，选项D 正确。
方法二 解析法
以物块N 为研究对象，受到重力G、水平拉力F 和细绳的拉力FT，设细绳与竖直方向的夹角为α，如图乙所
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示，根据平衡条件可得F＝Gtan α，FT＝G
cosα ，随着α 的增大，F 和FT都增大，故A 错误，B 正确；对于
M，受重力GM、支持力FN、绳的拉力FT以及斜面可能对它的摩擦力Ff，如果开始摩擦力方向沿斜面向上，
如图丙所示，则有FT+Ff＝GMsin θ，当FT不断增大的时候，Ff减小；当FT>GMsin θ 时，有FT＝GMsin θ+Ff，
随着FT的增大，Ff将增大，所以沿斜面的摩擦力Ff可能先减小后增大，C 错误；对整体受力分析，可知斜面
体所受地面摩擦力等于水平拉力F，一定增大，选项D 正确。]
9.B [由题意知，轻绳对重环的拉力和杆对环的弹力的合力与重力等大反向，受力分析并构建力的矢量三角
形如图所示，由图可知，在拉力到达竖直方向前，与竖直方向的夹角越来越小，拉力F 增大，FN减小，拉力
经过竖直方向后，与竖直方向夹角又逐渐变大，拉力F 继续增大，FN也增大，B 正确。
]
10.C [对石墩进行受力分析如图所示
Fcos θ＝μFN
FN+Fsin θ＝mg
解得2F( √3
2 cos θ+1
2sin θ)＝mg
即F＝
mg
2sin( π
3 +θ)，可解得，当θ＝π
6
时，F 最小为0.5mg，故小李能拖动石墩，且当θ＝π
6
时最省力，故选
C。]
11.ACD [质量m＝1.0 kg 的小物块恰好能够静止于斜面上，则有mgsin θ＝μmgcos θ，解得μ＝√3
3 ，故A 正
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确；小物块始终处于静止状态，对小物块受力分析可知，沿斜面方向受力平衡，根据力的平行四边形定则可
知静摩擦力先减小后增大，故B 错误；当静摩擦力与推力垂直时，静摩擦力最小，为Ffmin＝mgsin 30°×sin
30°＝2.5 N，故C 正确；当静摩擦力达到滑动摩擦力时，推力F 最大，根据几何关系可知Fmax＝2mgsin
30°×cos 30°＝5√3 N，故D 正确。]
12.AC [对题图右侧结点处受力分析，α 角大小不变，可以使用辅助圆方法判断力的动态变化情况，如图所
示，通过分析可得绳子拉力FT先增大后减小，拉力F 一直减小，故A 正确，B 错误；初始状态，对O 分析可
得绳子拉力大小为FT=mg，对B 分析，可发现FT=2mgsin 30°，即一开始B 与C 间的静摩擦力为零，故当绳子
拉力FT从mg 先增大后减小到mg，B、C 间的静摩擦力方向一直沿斜面向下且先增大后减小，故C 正确；将
B、C 看成整体，竖直方向有FN 地+FTsin 30°=(2m+M)g，由于FT先增大后减小，故FN 地先减小后增大，即物体
C 对地面的压力先减小后增大，故D 错误。
]
9
