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第25 练 卫星变轨问题 双星模型
分值：100 分
1~7 题每小题8 分，共56 分
1.2024 年1 月18 日，天舟七号与空间站天和核心舱成功对接。在交会对接的最后阶段，天舟七号与空间站处
于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟七号在同一轨道上追上空间站实现对接，天
舟七号喷射燃气的方向可能正确的是( )
2.天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射意味着中国航天开启了走向深空的新旅程。由着
陆巡视器和环绕器组成的天问一号经过如图所示的发射、地火转移、火星捕获、火星停泊和离轨着陆等阶段，
则( )
A.天问一号发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度
B.天问一号在“火星捕获段”运行的周期小于它在“火星停泊段”运行的周期
C.天问一号从图示“火星捕获段”需在合适位置减速才能运动到“火星停泊段”
D.着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，机械能守恒
3.(2024·湖北卷·4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图
中实线所示。为了避开碎片，空间站在P 点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定
的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则( )
1
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A.空间站变轨前、后在P 点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P 点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
4.在发射一颗质量为m 的人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽
略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h 的预定圆轨道Ⅲ上。已知它在圆轨道Ⅰ上运行的加速
度大小为g，地球半径为R，卫星在变轨过程中质量不变，则( )
A.卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度大小为(
h
R＋h)2g
B.卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为√
g R
2
R＋h
C.卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能
D.卫星在轨道Ⅲ上的机械能小于在轨道Ⅰ上的机械能
5.(多选)在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程
中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被
称为“潮汐瓦解事件”。天鹅座X－1 就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，黑洞和恒星以它们连线上的
某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞之间的距离不变，则在
这段时间内，下列说法正确的是( )
A.黑洞和恒星之间的万有引力变大
B.黑洞的角速度变大
C.恒星的线速度变大
D.黑洞的线速度变大
2
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6.一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不因自转而瓦解的最小密度之
比为( )
A.T 0
T
B. T
T 0
C.T 0
2
T
2
D. T
2
T 0
2
7.夜空中我们观测到的亮点，其实大部分并不是单一的恒星，而是多星系统。在多星系统中，双星系统又是
最常见的，绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的两颗中子星组成的双星系统的示意图如图所示，若
两中子星的质量之比mP∶mQ＝k∶1，该双星系统远离其他天体。则( )
A.根据图像可以判断出k>1
B.若P、Q 的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q 做圆周运动的线速度大小之和一定
C.P 的线速度大小与P、Q 之间的距离成正比
D.仅增大P、Q 之间的距离，P、Q 运行的周期变小
8、9 题每小题9 分，10 题16 分，共34 分
8.(多选)如图所示是宇宙中存在的某三星系统，忽略其他星体的万有引力，三个星体A、B、C 在边长为d 的
等边三角形的三个顶点上绕同一圆心O 做匀速圆周运动。已知A、B、C 的质量分别为2m、3m、3m，引力常
量为G，则下列说法正确的是( )
A.三个星体组成的系统动量守恒
B.A 的周期小于B、C 的周期
C.A 所受万有引力的大小为3√3Gm
2
d
2
D.若B 的角速度为ω，则A 与圆心O 的距离为3√3Gm
d
2ω
2
9.如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m 的星体位于边长为L 的正方形四个顶点，四颗星体
在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G。下列说法中正确的
是( )
3
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A.星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形中心
B.每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为√
(4＋√2)Gm
2 L
3
C.若边长L 和星体质量m 均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D.若边长L 和星体质量m 均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小变为原来的4 倍
10.(16 分)如图所示，一宇宙飞船绕地球中心做匀速圆周运动，已知地球半径为R，轨道A 半径是2R，将飞船
转移到另一个半径为4R 的圆轨道B 上去，已知地球质量为M，飞船质量为m，引力常量为G。
(1)(7 分)求飞船在轨道A 上的环绕速度vA、飞船在轨道B 上的环绕加速度aB；
(2)(9 分)理论上，若规定距地心无限远处为引力势能零势能点，飞船和地球组成的系统之间的引力势能表达式
为Ep＝－GMm
r
(其中r 为飞船到地心的距离)，请根据理论，计算这次轨道转移点火需要的能量。
(10 分)
11.(多选)(2023·福建卷·8)人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附
近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。
考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O(图中
未标出)转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M 和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心
与地心的距离为R，引力常量为G，L2点到地心的距离记为r(r≪R)，在L2点的航天器绕O 点转动的角速度大
小记为ω。下列关系式正确的是[可能用到的近似
1
( R＋r )
2≈1
R
2(1－2 r
R )]( )
A.ω＝[G( M ＋m)
2 R
3
]
1
2
B.ω＝[G( M ＋m)
R
3
]
1
2
C.r＝[
3m
3 M ＋m ]
1
3R
D.r＝[
m
3 M ＋m ]
1
3R
4
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答案精析
1.A 2.C
3.A [在P 点变轨前后空间站所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P 点的加
速度相同，故A 正确；
因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故
B 错误；
变轨后在P 点获得竖直向下的反冲速度，原水平向左的圆周运动速度不变，因此合速度变大，故C 错误；
由于空间站变轨后在P 点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近
地点的小，故D 错误。]
4.B [卫星在轨道Ⅲ上运行时，根据万有引力提供向心力得G
Mm
( R+h)
2＝ma＝m v
2
R+h，在圆轨道Ⅰ上由mg＝
G Mm
R
2
得GM＝gR2，所以卫星在轨道Ⅲ上的加速度大小为a＝(
R
R+h )
2g，线速度大小为v＝
√
g R
2
R+h
，故A 错误，
B 正确；卫星的线速度大小为v＝√
GM
r
，卫星在圆轨道上运行的动能为Ek＝1
2mv2＝GMm
2r
，可知卫星在轨道
Ⅲ上的动能小于在轨道Ⅰ上的动能，故C 错误；卫星从轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ要点火加速，机械能增大，从
椭圆轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ要再次点火加速，机械能继续增大，所以卫星在轨道Ⅲ上的机械能大于在轨道Ⅰ上的
机械能，故D 错误。]
5.AC [假设恒星和黑洞的质量分别为M、m，环绕半径分别为R、r，且m<M，两者之间的距离为L，则根据
万有引力F 万＝G Mm
L
2 ，恒星和黑洞之间的距离不变，随着黑洞吞噬恒星，在刚开始吞噬的较短时间内，M 与
m 的乘积变大，黑洞和恒星之间的万有引力变大，故A 正确；黑洞和恒星的角速度相等，根据万有引力提供
向心力有G Mm
L
2 ＝mω2r＝Mω2R，其中R+r＝L，解得黑洞的角速度ω＝√
G( M +m)
L
3
，由于(M+m)和L 均不变，
则角速度不变，故B 错误；根据mω2r＝Mω2R，得M
m ＝r
R ，因为M 减小，m 增大，所以R 增大，r 减小，由
v 恒＝ωR，v 黑＝ωr，可得v 恒变大，v 黑变小，故C 正确，D 错误。]
5
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6.D [对近地卫星，有 G M 1m
R
2
＝m( 2π
T 0
)
2R，地球的质量M1＝ρ1·4
3
πR3，联立解得ρ1＝3 π
GT 0
2，以地球赤道处
一质量为m0的物体为研究对象，只有当它受到的万有引力大于等于它随地球一起旋转所需的向心力时，地球
才不会瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为ρ2，则有G M 2m0
R
2
＝m0( 2π
T )
2R，M2＝ρ2·4
3
πR3，联立解得
ρ2＝3 π
GT
2，所以ρ1
ρ2
＝T
2
T 0
2，故选D。]
7.B [设P、Q 之间的距离为L，P 做圆周运动的轨道半径为r1，Q 做圆周运动的轨道半径为r2，角速度为ω，
则有GmPmQ
L
2
＝mPω2r1，GmPmQ
L
2
＝mQω2r2，联立可得mP
mQ
＝r2
r1
＝k
1
，由题图知r1>r2，则k<1，故A 错误；根
据线速度与角速度之间的关系有vP＝ωr1，vQ＝ωr2，r1+r2＝L，则vP+vQ＝ω(r1+r2)＝ωL，可知，若P、Q 的角
速度和它们之间的距离一定，则P、Q 做圆周运动的线速度大小之和一定，故B 正确；根据GmPmQ
L
2
＝mPv P
2
r1
，可得vP＝√
GmQr1
L
2
＝√
GmQ
2
L(mP+mQ)
，故C 错误；根据GmPmQ
L
2
＝mP4 π
2
T
2 r1，GmPmQ
L
2
＝mQ4 π
2
T
2 r2，可得T＝
2π√
L
3
G(mP+mQ)
，若仅增大P、Q 之间的距离，则P、Q 运行的周期将变大，故D 错误。]
8.AD [该系统属于稳定的三星系统，三个星体的角速度、周期相同，动量大小不变，运动过程中总动量不变，
A 正确，B 错误；A 所受万有引力的大小为F＝2G3m·2m
d
2
cos 30°＝6√3G m
2
d
2
，C 错误；若B 的角速度为
ω，则A 的角速度也为ω，根据6√3G m
2
d
2
＝2mω2r，则A 与圆心O 的距离为r＝3√3Gm
d
2ω
2
，D 正确。]
6
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9.B [四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的
中心，故A 错误；由√2Gm
2
L
2
+G
m
2
(√2 L)
2＝( 1
2
+√2)Gm
2
L
2
＝mω2·√2
2
L，可知ω＝√
(4 +√2)Gm
2 L
3
，故B 正确；由
( 1
2
+√2)Gm
2
L
2
＝ma 可知a＝( 1
2
+√2)G m
L
2
，若边长L 和星体质量m 均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加
速度大小是原来的1
2，故C 错误；由( 1
2+√2)Gm
2
L
2 ＝m
v
2
√2
2 L可知星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝
√
(4 +√2)Gm
4 L
，所以若边长L 和星体质量m 均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D
错误。]
10.(1)√
GM
2 R
GM
16 R
2 (2) GMm
8 R
解析 (1)飞船在轨道A 上运动时，由万有引力提供向心力，可得G Mm
(2 R)
2
＝mv A
2
2 R
解得vA＝√
GM
2 R
飞船在轨道B 上运动时，
由牛顿第二定律可得G Mm
(4 R)
2＝maB
解得aB＝GM
16 R
2
(2)设飞船在轨道A 和轨道B 上稳定运行时的机械能分别为EA和EB，
则有EA＝EkA+EpA，EB＝EkB+EpB
飞船在轨道A 的动能EkA＝1
2mv A
2＝GMm
4 R
势能EpA＝－GMm
2 R
可得EA＝－GMm
4 R
7
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飞船在轨道B 的动能
EkB＝1
2
mvB
2，G Mm
(4 R)
2
＝m vB
2
4 R
，
则EkB＝GMm
8 R ，势能EpB＝－GMm
4 R
可得EB＝－GMm
8 R
可得这次轨道转移点火需要的能量
ΔE＝EB－EA＝GMm
8 R 。
11.BD [由题知，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O(图中未标出)转动的双星系
统，则有G Mm
R
2
＝Mω2r1，G Mm
R
2
＝mω2r2，r1+r2＝R，联立解得ω＝[G( M +m)
R
3
]
1
2，故A 错误，B 正确；由题
知，在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，则有G M m
'
( R+r )
2
+Gmm
'
r
2
＝m'ω2(r+r2)，再根据以上分析可知Mr1＝mr2，r1+r2＝R，ω＝[G( M +m)
R
3
]
1
2，联立解得r＝[
m
3 M +m ]
1
3R，故C
错误，D 正确。]
8
