文档文本内容
考
情
分
析
生活实
试 地球不同纬度重力加速度的比较
践类
题
开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”、“环绕法”计算天
情 学习探
体的质量和密度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速
境 究类
度，天体的“追及”问题，卫星的变轨和对接问题，双星或多星模型
第 1 课时 万有引力定律及应用
目标要求 1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。2.掌握计
算天体质量和密度的方法。
考点一 开普勒定律
开普勒三大定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭
(轨道定律) 圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连
(面积定律) 线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它 ＝k，k是一个与行星无关
(周期定律) 的公转周期的二次方的比都相等 的常量
注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，例如月球、卫星绕地球的运动。此时 k
是一个与中心天体有关的常量。
思考
1.已知同一行星在轨道的两个位置的速度：近日点速度大小为v ，远日点速度大小为v ，近
1 2
日点距太阳距离为r，远日点距太阳距离为r。
1 2
(1)v 与v 大小什么关系？
1 2
(2)试推导＝。
答案 (1)v>v
1 2
(2)证明：由开普勒第二定律可得Δlr＝Δlr，则有vΔt·r＝vΔt·r，
1 1 2 2 1 1 2 2
可得＝。
2．把行星绕太阳运行的轨道近似为圆轨道，试求k值。
答案 由＝mr得：＝，即k＝。
1．围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。( √ )
2．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。( × )
3．不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。( × )
例1 (2023·广东清远市南阳中学检测)如图所示，是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道，
M、N、P是小行星依次经过的三个位置，F 、F 为椭圆的两个焦点。小行星由M到N和由
1 2
N到P的过程中，通过的路程相等，小行星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S 和S。已
1 2
知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功。下列判断正确的是( )
A．太阳位于焦点F 处
1
B．S>S
1 2C．在M和N处，小行星的动能E >E
kM kN
D．在N和P处，小行星的加速度a >a
N P
答案 B
解析 已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功，说明小行星靠近太阳运动，所
以太阳位于焦点F 处，A错误；根据开普勒行星运动定律可知小行星由 M到P的过程中速
2
度逐渐增大，小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，所以小行星由M到
N运动时间大于由N到P的运动时间，由开普勒第二定律可知 S>S ，B正确；由动能定理，
1 2
由M到N过程中，万有引力做正功，则动能增大，即E <E ，C错误；根据万有引力公式
kM kN
F＝G，可知小行星在N处的引力小于在P处的引力，由牛顿第二定律F＝ma，得a <a ，D
N P
错误。
例2 (2023·江苏无锡市期末)2021年2月，我国首次火星探测任务中探测器“天问一号”
成功进入周期为T的大椭圆环火轨道。14天后，“天问一号”成功实施近火制动，经过极
轨转移轨道(图中未画出)，进入近火点高度(离火星表面的高度)为h、远火点高度为H、周期
为T的火星停泊轨道。已知火星半径为R。则大椭圆环火轨道半长轴为( )
A.(H＋h) B.(H＋h＋2R)
C. (H＋h) D. (H＋h＋2R)
答案 B
解析 根据开普勒第三定律可得＝，解得a＝(H＋h＋2R)，故选B。
考点二 万有引力定律
1．万有引力定律
(1)内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量
m 和 m 的乘积成正比、与它们之间 距离 r 的二次方 成反比。即F＝G，G为引力常量，通常
1 2
取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由物理学家卡文迪什测定。
(2)适用条件
①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视
为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝G，得g＝。(2)地球上空的重力加速度大小g′
地球上空距离地球中心r＝R＋h处由mg′＝，得g′＝。
1．地球对人的万有引力大于人对地球的万有引力。( × )
2．地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。( √ )
3．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。( × )
例3 (2020·全国卷Ⅰ·15)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体
在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
答案 B
解析 万有引力定律表达式为F＝G，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比
值为＝＝0.4，选项B正确。
例4 假定太阳系中一颗质量均匀、可看作球体的小行星其自转原来可以忽略。现若该行
星自转加快，角速度为ω时，该行星表面“赤道”上的物体对行星的压力减为原来的。已
知引力常量为G，则该行星的密度ρ为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 该行星表面“赤道”上的物体相对行星中心静止，忽略行星自转时，有＝F ，行星
N
自转角速度为ω时，有＝F ＋mRω2，行星的密度ρ＝，解得ρ＝，故选D。
N
万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心
力F ，如图所示。
向
(1)在赤道上：
G＝mg ＋mω2R。
1
(2)在两极上：G＝mg 。
0
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F 的矢量和。
向
越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
例5 (2024·湖北省模拟)中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自
主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了 10 000米，首次实现了无缆无人
潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像。若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球
内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力
加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是( )
答案 D
解析 设地球的质量为M，地球的半径为R，“海斗一号”下潜h深度后，以地心为球心、
以R－h为半径的球体的质量为M′，则根据密度相等有＝，由于球壳对球内任一质点的万
有引力为零，根据万有引力定律有G＝mg，联立以上两式并整理可得g＝(R－h)，由该表达
式可知D正确，A、B、C错误。
考点三 天体质量和密度的计算
1．利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg，得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
2．利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G＝mr，得M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测
出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
例6 航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同
时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，
月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求：(1)月球表面的自由落体加速度大小g ；
月
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ。
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝g t2
月
月球表面的自由落体加速度大小g ＝
月
(2)不考虑月球自转的影响，有G＝mg ，
月
得月球的质量M＝
(3)月球的密度ρ＝＝＝。
例7 (2023·辽宁卷·7)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如
图所示。若月球绕地球运动的周期为T ，地球绕太阳运动的周期为T ，地球半径是月球半
1 2
径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为( )
A．k3()2 B．k3()2
C.()2 D.()2
答案 D
解析 设月球绕地球运动的轨道半径为r ，地球绕太阳运动的轨道半径为r ，根据G＝mr，
1 2
可得G＝m r，G＝m r，
月 1 地 2
由几何关系有＝＝，
根据ρ＝，
可得ρ ＝，ρ ＝，
地 日
则＝()2，故选D。
课时精练
1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
答案 C
解析 由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行的椭圆轨道的一个焦点上，故A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误；
根据开普勒第三定律(周期定律)知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周
期的平方的比值是一个常量，故C正确；对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相
同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。
2．(2024·山东青岛市调研)编号为2020FD2的小行星是中国科学院紫金山天文台发现的一颗
近地小行星。科学家们观测到它的轨道如图所示，轨道的半长轴大于地球轨道半径，小于木
星轨道半径，近日点在水星轨道内，远日点在木星轨道外。已知木星绕太阳公转的周期为
11.86年，关于该小行星，下列说法正确的是( )
A．在近日点加速度比远日点小
B．在近日点运行速度比远日点小
C．公转周期一定小于11.86年
D．在近日点的机械能比远日点小
答案 C
解析 根据G＝ma可知，该小行星在近日点加速度比远日点大，故A错误；根据开普勒第
二定律，该小行星在近日点运行速度比远日点大，故B错误；该小行星轨道的半长轴大于
地球轨道半径，小于木星轨道半径，已知木星绕太阳公转的周期为11.86年，根据开普勒第
三定律可知，该小行星的公转周期一定小于 11.86年，故C正确；在同一轨道上，只有万有
引力做功，机械能守恒，该小行星在近日点的机械能等于远日点的机械能，故D错误。
3．位于贵州的“中国天眼”(FAST)可以测量地球与木星之间的距离。当FAST接收到来自
木星的光线传播方向恰好与地球公转线速度方向相同时，测得地球与木星的距离是地球与太
阳距离的k倍。若地球和木星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动且轨道共面，则可知木星的
公转周期为( )
A． 年 B． 年
C． 年 D． 年
答案 A
解析 设地球与太阳距离为r，根据题述可知木星与太阳的距离R＝＝
设木星的公转周期为T，根据开普勒第三定律，则有＝ ，T ＝1年，解得T＝
地年，选项A正确，B、C、D错误。
4．(2023·陕西商洛市山阳中学一模)过去几千年中，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系
内，行星“51Pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51Pegb”绕其中心恒星做匀
速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，已知太阳的质量约为
2×1030 kg，则该中心恒星的质量约为( )
A．2×1030 kg B．1×1029 kg
C．4×1028 kg D．2×1028 kg
答案 A
解析 根据万有引力提供向心力可得G＝m2r，可得M＝，故该中心恒星与太阳的质量之比
为＝·＝·≈1，所以该中心恒星的质量M≈M＝2×1030 kg，故选A。
1 2
5.(2021·山东卷·5)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行
星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量
约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑
的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为( )
A．9∶1 B．9∶2 C．36∶1 D．72∶1
答案 B
解析 悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝G，可得＝G∶
G＝×2＝，故选B。
6．2022年8月10日，我国在太原卫星发射中心用长征六号运载火箭成功将“吉林一号”组
网星中的16颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定的环绕地球运动轨道，发射任务取得圆满
成功。这16颗卫星的轨道平面各异，高度不同，通过测量发现，它们的轨道半径的三次方
与运动周期的二次方成正比，且比例系数为p。已知引力常量为G，由此可知地球的质量为(
)
A. B. C. D.
答案 C
解析 卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有 G＝mr2，又由题可知r3
＝pT2，联立解得M＝，C项正确。
7．(多选)(2023·安徽滁州市期末)已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，自转周
期也基本相同。地球表面重力加速度是g，若某人在地球表面上能向上跳起的最大高度是
h，在忽略自转影响的条件下，下列说法正确的是( )
A．该人以相同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度是
B．火星表面的重力加速度是gC．火星的平均密度是地球平均密度的
D．该人在火星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的
答案 ABC
解析 根据万有引力定律得F＝G，知＝＝×22＝，该人在火星表面受到的万有引力是在地
球表面受到的万有引力的，故D错误；根据G＝mg，可得＝＝×22＝，则火星表面的重力
加速度为g，故B正确；根据ρ＝∝，可得＝＝×23＝，故C正确；因为火星表面的重力加
速度是地球表面重力加速度的，根据h＝知该人以相同的初速度在火星上跳起的最大高度是
在地球上跳起的最大高度的，为h，故A正确。
8．(2023·浙江温州市模拟)一卫星绕某一行星做匀速圆周运动，其高度恰好与行星半径相等，
线速度大小为v。而该行星的环绕周期(即沿行星表面附近飞行的卫星运行的周期)为T。已
知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设该行星的半径为R，质量为M，卫星的质量为m，根据题意，由万有引力充当向心
力有G＝m，对沿该行星表面附近飞行的卫星，则有G＝m′R，解得M＝，故选D。
9.(2023·四川省成都七中模拟)如图所示，A、B两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，O为地心，
在两卫星运行过程中，AB连线和OA连线的夹角最大为θ，则A、B两卫星( )
A．做圆周运动的周期之比为2
B．做圆周运动的周期之比为
C．与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为
D．与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为
答案 C
解析 夹角最大时，OB与AB垂直，根据几何关系有r ＝r sin θ，由开普勒第三定律可得＝，
B A
则＝，A、B错误；t时间内，卫星与地心连线扫过的面积S＝·πr2，则＝·＝，C正确，D错
误。
10．(2023·陕西商洛市一模)用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量
位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地
球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹
簧测力计的读数是F。
0(1)若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F ，求比值的表达式，并就h＝
1
1.0%R的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；
(2)若在赤道地面称量，弹簧测力计读数为F，求比值的表达式。
2
答案 (1)＝ 0.98
(2)＝1－
解析 (1)在北极地面称量时，物体受到的重力等于地球的引力，则G＝F，在北极上空高出
0
地面h处称量时，有G＝F，则＝。
1
当h＝1.0%R时≈0.98。
(2)在赤道地面称量时，考虑地球的自转，地球的引力提供重力(大小等于弹簧测力计示数)与
物体随地球自转需要的向心力；在赤道上小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力
和弹簧测力计的作用力，有G－F＝mR()2
2
得＝1－＝1－。
11．(2023·辽宁大连市一模)若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙号”
下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙号”所在处与“天宫一号”所
在处的重力加速度大小之比为(质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零)( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设地球的密度为ρ，则在地球表面，物体受到的重力和地球的万有引力大小似近相等，
有g＝G。由于地球的质量为M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表达式可写成g＝＝＝πGρR。质
量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力
即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”所在处的重力加速度
g′＝πGρ(R－d)，所以有＝；根据G＝mg″，“天宫一号”所在处的重力加速度为g″＝，
所以＝，＝，故C正确，A、B、D错误。
