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考点20 卫星变轨 多星模型
1. 3 年真题考点分布
题型
选择题
高考考点
航天器的变轨问题；宇宙中的双星模型和多星模型
新高考
2023
新课标卷4 题、
2022
福建卷4 题、浙江卷8 题、
2021
天津卷5 题、湖南卷7 题、北京卷6 题、
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】近3 年新高考卷对于运动的描述考查共计6 次，主要考查：
1. 航天器、卫星的变轨问题；
2. 宇宙中的双星模型和多星模型；
【备考策略】能熟练掌握万有引力定律，掌握卫星变轨过程中各种运动参量的变化；熟记双星模型，掌握
双星模型的特点；掌握并理解三星或多星模型做圆周运动的向心力来源并求各种的运动参量。
【命题预测】本节内容单独出现在各省高考试卷中的概念不是很大，一般会与上一考点卫星相关的知识结
合在一起考察，2024 年的考生不能轻视本节内容，在平时练题的时，多选择以我国航空航天
技术的发展成果为背景相关的题型训练。双星模型规律性较强，高考灵活多变，出现在高考
题中光的概率不大，多星模型难度偏大，如果出现在考卷中，一般会以压轴题的形式出现，
2024 年的考试想获得高分，不能忽视多星模型的训练。
1
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考法
1 航天器的变轨问题
1. 卫星轨道的突变
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器运行轨道发生突
变，使其进人预定的轨道。如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：
（1）先将卫星发送到近地轨道I，使其绕地球做速圆周运动，速率为v1；
（2）变轨时在 P 点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道II；
（3）在Q 点再次点火加速进入圆形轨道III，最后以速率v4绕地球做匀速圆周运动。
2. 卫星变轨的实质
两类变轨
离心运动
向心运动
变轨原因
卫星速度突然增大
卫星速度突然变小
F 万与Fn
的关系
（万有引力不足提供所
需要的向心力）
（万有引力大于提供所需要
的向心力）
变轨结果
转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上
运动
转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
在新圆轨道上稳定运动的速率比原轨道的
小，周期比原轨道的大
在新圆轨道上稳定运动的速率比原轨道的大，周
期比原轨道的小
3. 对接问题
在对接问题中，同一轨道上的飞行器，欲使后面的飞行器追上前面的飞行器，需将后面的飞行器减速，
使其变轨到更低的轨道上从而获得更大的速度，然后再在适当的位置加速回归到原来的轨道上。
【典例1】（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）2023 年2 月24 日下午，“逐梦寰宇问苍穹——中国
载人航天工程三十年成就展”开幕式在中国国家博物馆西大厅举行，本次展览为期3 个月，全面系统回顾
2
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工程全线三十年来自信自强、奋斗圆梦的辉煌历程．载人航天进行宇宙探索过程中，经常要对航天器进行
变轨．某次发射Z 卫星时，先将Z 卫星发射至近地圆轨道Ⅰ，Z 卫星到达轨道Ⅰ的A 点时实施变轨进入椭
圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的远地点B 时，再次实施变轨进入轨道半径为
（R 为地球半径）的圆形轨道Ⅲ绕
地球做圆周运动．下列判断正确的是（ ）
A．Z 卫星可能是一颗地球同步卫星
B．Z 卫星在轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅲ上运动的周期
C．Z 卫星在轨道Ⅲ上经过B 点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过B 点时的速度
D．Z 卫星在圆形轨道Ⅲ上运行时的加速度小于它在圆轨道Ⅰ上运行时的加速度
【答案】CD
【详解】A．地球半径为
，该卫星的离地高度为
，而地球同步卫星的离地高度约为
，故
卫星不是地球同步卫星，故A 错误；
B．根据开普勒第三定律
知，轨道Ⅱ半长轴小于轨道Ⅲ的半径，则
卫星在轨道2 上运行的周期小于在轨道3 上运行的周期，故B
错误；
C．卫星从轨道II 上
点进入圆轨道Ⅲ，需加速，故
正确；
D．卫星绕地运动时，合力为万有引力，根据
，
可见离地越远（越大），加速度越小，故
卫星在圆形轨道Ⅲ上运行时的加速度小于它在圆轨道Ⅰ上运
行时的加速度，故D 正确。
故选CD。
（1）航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆周轨道上的运
行速度变化由
判断.
（2）航天要在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大；
（3）航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度.
航天器变轨问题的三点注意事项
3
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·
1．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校考三模）如图所示，“天问一号”探测器成功进入环绕火星椭圆轨道，
在椭圆轨道的近火点P（接近火星表面）制动后顺利进入近火圆轨道，Q 点为近火轨道上的另一点，M 点
是椭圆轨道的远火点，椭圆轨道的半长轴等于圆形轨道的直径，下列说法正确的是（ ）
A．探测器在M 点的速度大于在Q 点的速度
B．探测器在Q 点与椭圆轨道上的P 点的加速度相同
C．探测器在椭圆轨道与圆轨道上的周期之比为8：1
D．探测器在椭圆轨道上P 点与M 点的速度之比为3：1
【答案】D
【详解】A．假设探测器以半径为椭圆轨道的半长轴做匀速圆周运动，在经M 点时的速度要大于在椭圆轨
道上经M 点时的速度，由
，
可知探测器在近火圆轨道Q 点的速度要大于在圆轨道上M 点的速度，因此探测器在椭圆轨道M 点的速度
小于在Q 点的速度，故A 错误；
B．由万有引力和牛顿第二定律知
，解得
可知探测器在Q 点与椭圆轨道上的P 点的加速度大小相等，方向不同，故B 错误；
C．由题意可知椭圆的半长轴为
，根据开普勒第三定律可得
，则有
，故C 错误；
D．设探测器在椭圆轨道上P 点速度为vP，在M 点的速度为vM，设火星的半径为R，根据开普勒第二定律
可得
，解得
，故D 正确。
故选D。
2．（2023·广东·广州市第二中学校联考三模）天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射意
味着中国航天开启了走向深空的新旅程。由着陆巡视器和环绕器组成的天问一号经过如图所示的发射、地
火转移、火星捕获、火星停泊和离轨着陆等阶段，其中的着陆巡视器于2021 年5 月15 日着陆火星，则（
）
4
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A．天问一号发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度
B．天问一号在“火星捕获段”运行的周期小于它在“火星停泊段”运行的周期
C．天问一号从图示“火星捕获段”需在合适位置减速才能运动到“火星停泊段”
D．着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，机械能守恒
【答案】C
【详解】A．天问一号要到达火星，需要脱离地球的引力束缚，发射速度大于第二宇宙速度，故A 错误；
B．根据开普勒第三定律
，在“火星捕获段”运行的半径大，故天问一号在“火星捕获段”运行的
周期大于它在“火星停泊段”运行的周期，故B 错误；
C．天问一号从图示“火星捕获段”需在近地点减速才能运动到“火星停泊段”， 故C 正确；
D．着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，重力势能减小，动能减小，机械能
不守恒，故D 错误。
故选C。
3．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）2023 年1 月21 日，神舟十五号3 名航天员在400km
高的空间站向祖国人民送上新春祝福，空间站的运行轨道可近似看作圆形轨道Ⅰ，设地球表面重力加速度
为g，地球半径为R，椭圆轨道Ⅱ为载人飞船运行轨道，两轨道相切与A 点，下列说法正确的是（ ）
A．在轨道I 通过A 点的速度大于在轨道Ⅱ通过B 点的速度
B．载人飞船在A 点的加速度大于在B 点的加速度
C．空间站在轨道I 上的速度小于
D．载人飞船沿轨道I 和轨道Ⅱ运行时，在相同时间内与地球连线扫过的面积相等
【答案】C
【详解】A．如图轨道Ⅱ与轨道Ⅲ内切，沿轨道Ⅲ的运行速度大于在轨道Ⅰ通过
点的速度，轨道Ⅱ通过
B 点的速度大于轨道Ⅲ的运行速度，则轨道I 通过A 点的速度小于轨道Ⅱ通过
点的速度，故A 错误；
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B.根据万有引力提供向心力，有
，解得
由图可知，
点到地心的距离大于
点到地心的距离，所以在
点的加速度小于在
点的加速度，故B 错
误；
C．根据万有引力提供向心力有
，万有引力等于重力有
可知，
是围绕地球做圆周运动的最大速度，则空间站在轨道工上的速度小于
，故C 正确；
D．根据开普勒第二定律可知，在同一条轨道上运动的卫星，相同的时间内扫过相同的面积，而不同轨道
间不满足该条件，故D 错误。
故选C。
考法
2 宇宙中的双星和多星模型
1．双星模型
（1）定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
（2）特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ω1
2r1，＝m2ω2
2r2
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
（3）两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
2．多星模型
（1）定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或
周期相同．
（2）三星模型：
①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
6
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（3）四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆
周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O 做匀速圆
周运动(如图丁所示)．
【典例2】（2023·福建福州·福建师大附中校考模拟预测）宇宙中的两个距离较近的天体组成双星系统，两
天体可看作在同一平面内绕其连线上某一点做匀速圆周运动，由于某些原因两天体间的距离会发生变化，
持续对这两个天体进行观测，每隔固定时间记录一次，得到两天体转动周期随观测次数的图像如图所示。
若两天体的总质量保持不变，且每次观测的双星系统稳定转动，则第3 次观测时两天体间的距离变为第1
次观测时距离的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】两天体构成双星系统，则两天体的周期T 相同。设两天体的质量分别为
、
，轨道半径分别
为
、
，两天体间距离为L，由万有引力提供向心力对两天体分别有
，
，
解得
，
两天体的总质量为
由题意可知两天体的总质量不变，可得
不变；
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由题图可知，第3 次观测时天体的周期为第1 次观测时周期的
，所以第3 次观测时两天体间的距离为第1
次观测时的
。
故选B。
【典例3】（多选）（2023·河南郑州·统考模拟预测）宇宙中存在一个由四颗星组成的系统，三颗质量均为
m 的星球a、b、c 恰好构成一个边长为L 的正三角形，在它们的中心O 处还有一颗质量也为m 的星球，如
图所示。已知引力常量为G，每个星球的半径均远小于L。对于此系统，则下列说法正确的是（ ）
A．中心O 处的星球受到a、b、c 三颗星球总的万有引力为零
B．a、b、c 三颗星球的线速度大小均为
C．a、b、c 三颗星球的加速度大小均为
D．若某时刻中心O 处星球消失，则a、b、c 三颗星球仍将按原轨道运动且运动周期不变
【答案】AB
【详解】A．由万有引力公式可得
即正三角形顶点所在处的星球与中心点处的星球之间的万有引力大小相等，而根据几何关系可知，顶点处
的星球对中心点处星球的万有引力两两之间的夹角均为
，则根据力的矢量合成可知中心点处星球所受
万有引力的合力为零，故A 正确；
BC．a、b、c 三颗星球所受万有引力大小相同，方向均指向中心点O，任选其中一颗星分析可知其所受万
有引力为
而由万有引力充当向心力有
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解得
，
,
，故B 正确，C 错误；
D．若某时刻中心O 处星球消失，则a、b、c 三颗星球所受万有引力变成两两之间万有引力的合力，且指
向中心，有
显然万有引力变小了，若要在原来的轨道上继续做圆周运动，则可知做圆周运动的线速度必须减小，而根
据万有引力充当向心力，可得周期
显然
，故D 错误。
故选AB。
1．（2023·安徽·模拟预测）天文学家发现了一对被称为“灾难变星”的罕见双星系统，约每51 分钟彼此
绕行一圈，通过天文观测的数据，模拟该双星系统的运动，推测在接下来的7000 万年里，这对双星彼此绕
行的周期逐渐减小至18 分钟。如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球在万有引
力作用下，绕O 点做匀速圆周运动。不考虑其他天体的影响，两颗星球的质量不变，在彼此绕行的周期逐
渐减小的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．每颗星球的角速度都在逐渐变小
B．两颗星球的距离在逐渐的变大
C．两颗星球的轨道半径之比保持不变
D．每颗星球的加速度都在变小
【答案】C
【详解】AB．根据题意，由公式
可知，由于在彼此绕行的周期逐渐减小，则每颗星球的角速度都
在逐渐变大，设双星转动的角速度为
，双星间距离为
，星球的质量分别为
、
，由万有引力提供
向心力有
解得
，可知，距离
逐渐的变小，故AB 错误；
C．根据题意，由万有引力提供向心力有
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解得
，由于星球质量不变，则两颗星球的轨道半径之比保持不变，故C 正确；
D．由万有引力公式提供向心力有
，可知，由于距离
逐渐的变小，每颗星球的加速度
都在变大，故D 错误。
故选C。
4．（2023·重庆·模拟预测）中国天眼FAST 已发现约500 颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，
如在球状星团M92 第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图是相距为L 的A、B 星球构成的双星系统绕
O 点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C 为B 的卫星，绕B 做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期也
为T，忽略A 与C 之间的引力，且A 与B 之间的引力远大于C 与B 之间的引力。引力常量为G，则（ ）
A．A、B 的轨道半径之比为
B．C 的质量为
C．B 的质量为
D．A 的质量为
【答案】D
【详解】B．C 绕B 做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有
，解得
，
故不能求出C 的质量，故B 错误；
C．双星系统在万有引力作用下绕O 点做匀速圆周运动，对A 研究
对B 研究
解得双星的总质量，
，故C 错误；
D．A 的质量
，故D 正确；
A．A、B 的轨道半径之比为
，故A 错误。
故选D。
5．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校联考模拟预测）如图所示是宇宙中存在的某三星系统，忽
略其他星体的万有引力，三个星体A、B、C 在边长为d 的等边三角形的三个顶点上绕同一圆心O 做匀速圆
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周运动。已知A、B、C 的质量分别为2m、3m、3m，引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．三个星体组成的系统动量守恒
B．A 的周期小于B、C 的周期
C．A 所受万有引力的大小为
D．若B 的角速度为
，则A 与圆心O 的距离为
【答案】AD
【详解】AB．该系统属于稳定的三星系统，三个星体的角速度、周期相同。动量大小不变，运动过程中总
动量不变，A 正确，B 错误；
C．A 所受万有引力的大小为
，C 错误；
D．若B 的角速度为
，则也A 的角速度为
，则根据
则A 与圆心O 的距离为
，
则A 与圆心O 的距离为
，D 正确。
故选AD。
【基础过关】
2.（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）我国成功发射“神舟七号”载人飞船，随后航天员圆满
完成了太空出舱任务并释放了“伴飞”小卫星。载人飞船在固定的轨道上做匀速圆周运动，“伴飞”小卫
星与载人飞船相对静止，“伴飞”小卫星有多种伴飞模式，图1 和图2 是其中的两种伴飞模式，则下列说
法正确的是（ ）
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A．载人飞船的速度大小介于7.9km/s 到11.2km/s 之间
B．图1 的伴飞模式下，“伴飞”小卫星的线速度大于载人飞船的线速度
C．图2 模式下“伴飞”小卫星只需向后喷出气体，加速后，就可以和载人飞船对接
D．图1 和图2 这两种伴飞模式下“伴飞”小卫星的角速度大小是相等的
【答案】D
【详解】A．第一宇宙速度
是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，则载人飞船的速度小于
，故A 错误；
BD．“伴飞”小卫星与载人飞船相对静止，可知图1 和图2 这两种伴飞模式下“伴飞”小卫星的角速度大
小是相等的，都与载人飞船的角速度大小相等，根据
图1 的伴飞模式下，由于“伴飞”小卫星的轨道半径小于载人飞船的轨道半径，则“伴飞”小卫星的线速
度小于载人飞船的线速度，故B 错误，D 正确；
C．图2 模式下“伴飞”小卫星向后喷出气体，加速后将做离心运动，变轨到更高的轨道，不可能与载人飞
船对接，故C 错误。
故选D。
2．（2023·湖北武汉·湖北省武昌实验中学校考模拟预测）登陆火星需经历如图所示的变轨过程，已知引力
常量为G，则下列说法错误的是（ ）
A．飞船在轨道上运动时，运行的周期
B．飞船在轨道在Ⅱ上，在飞船里可用弹簧测力计可以测出物体的重力的大小
C．飞船在P 点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P 点朝前喷气
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度
【答案】B
【详解】A．飞船运行时，根据图象可知轨道半长轴rⅢ＞rⅡ＞rⅠ，根据开普勒第三定律
可知，飞船在轨道上运动时，运行的周期TⅢ＞TⅡ＞TⅠ，故A 不符合题意；
B．飞船在轨道在Ⅱ上，在飞船处于完全失重状态，不可用弹簧测力计可以测出物体的重力的大小，故B
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符合题意；
C．从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ做近心运动，需减速，应朝速度同方向喷气，故C 不符合题意；
D．根据万有引力提供圆周运动向心力，有
火星的密度为
联立解得火星的密度
，故D 不符合题意。
故选B。
3．（2023·天津宁河·天津市宁河区芦台第一中学校考模拟预测）某载人宇宙飞绕地球做圆周运动的周期为
T，由于地球遮挡，宇航员发现有
时间会经历“日全食”过程，如图所示，已知地球的半径为R，引力
常量为G，地球自转周期为
，太阳光可看作平行光，则下列说法正确的是（ ）
A．宇宙飞船离地球表面的高度为2R
B．一天内飞船经历“日全食”的次数为
C．宇航员不受地球引力的作用，呈现漂浮状态
D．地球的平均密度为
【答案】D
【详解】A．由几何关系，飞船每次“日全食”过程的时间内飞船转过
角，所需的时间为
由于宇航员发现有
时间会经历“日全食”过程，则：
所以
设宇宙飞船离地球表面的高度，由几何关系可得
可得
，故A 错误；
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B．飞船绕地球一圈时间为T，飞船绕一圈会有一次日全食，所以每过时间T 就有一次日全食，而地球自转
一圈时间为
，得一天内飞船经历“日全食”的次数为
，故B 错误；
C．宇航员处于完全失重状态，呈现漂浮状态，但宇航员仍受地球引力的作用，地球引力提供所需的向心
力，故C 错误；
D．根据万有引力提供向心力得
，又
，解得
则地球的平均密度为
，故D 正确。
故选D。
4．（2023·河北·模拟预测）长篇科幻小说《三体》中设想构建太空电梯，与生活中的普通电梯十分相似。
只需要在地球同步轨道上建造一个空间站，并用某种足够长且足够结实的“绳索”将其与地面相连，宇航
员、乘客以及货物可以通过像电梯轿厢一样的升降舱沿绳索直入太空。如图乙所示，假设有一长度为r 的
太空电梯连接地球赤道上的固定基地与同步空间站
相对地球静止，卫星b 与同步空间站a 的运行方向
相同，其轨道半径比同步轨道半径大。某时刻二者距离最近，再经过时间t 之后，a、b 再次相距最近。已
知地球自转周期为T，下列说法正确的是（ ）
A．太空电梯上各点的加速度随高度增大而减小
B．太空电梯上各点线速度与高度正比
C．卫星b 的运动周期为
D．卫星b 受到的向心力比同步空间站a 的向心力小
【答案】C
【详解】A．太空电梯上各点运动的角速度相同，加速度
与到地心距离成正比，随高度增大而增大，A 错误；
B．线速度
，与到地心距离成正比，不是高度成正比，B 错误；
C．经过时间t 之后，a、b 再次相距最近，a 比b 多运动了一周，则有
解得
，C 正确；
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D．卫星b 和同步空间站a 受到向心力来自万有引力，因卫星与空间站的质量关系不知道，所以无法确定向
心力的大小，D 错误。
故选C。
5．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）2020 年12 月1 日，嫦娥五号探测器成功在月球正面预选着
陆区着陆。某中学的科技小组设想嫦娥五号的登月轨道方案如图所示，环月轨道I 为圆形轨道，环月轨道II
为椭圆轨道，远月点记为P 点，近月点记为Q 点（图中未标出）。减速下降阶段速度很小能安全着陆。下
列说法正确的是（ ）
A．嫦娥五号在环月轨道I 上的运动速度比月球的第一宇宙速度大
B．嫦娥五号在环月轨道I 上的机械能小于在环月轨道II 上的机械能
C．嫦娥五号在轨道I 和轨道II 上经过P 点时的加速度相等
D．嫦娥五号在环月轨道I 上的运行周期比在环月轨道II 上的运行周期短
【答案】C
【详解】A．根据公式
，可知轨道半径越大，线速度越小，月球的第一宇宙速度等于在月球表面
的环绕速度，故嫦娥五号在环月轨道Ⅰ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小，选项A 错误；
B．从轨道I 变轨到轨道II，需要在P 点减速做近心运动，故嫦娥五号在环月轨道Ⅰ上的机械能大于在环月
轨道Ⅱ上的机械能，选项B 错误；
C．根据
，可知，嫦娥五号在轨道I 和轨道II 上经过P 点时的加速度相等，选项C 正确；
D．根据开普勒第三定律可得
，在环月轨道Ⅰ上的运行的半径大于在环月轨道Ⅱ上的运行半长轴，
故嫦娥五号在环月轨道Ⅰ上的运行周期比在环月轨道Ⅱ上的运行周期长，选项D 错误。
故选C。
6．（2023·山东聊城·统考三模）如图所示，双星系统由质量不相等的两颗恒星组成，质量分别是M、m
，它们围绕共同的圆心O 做匀速圆周运动。从地球A 看过去，双星运动的平面与AO 垂直，A、O
间距离恒为L。观测发现质量较大的恒星M 做圆周运动的周期为T，运动范围的最大张角为
（单位是弧
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度）。已知引力常量为G，
很小，可认为
，忽略其他星体对双星系统的作用力。则
（ ）
A．恒星m 的角速度大小为
B．恒星m 的轨道半径大小为
C．恒星m 的线速度大小为
D．两颗恒星的质量m 和M 满足关系式
【答案】D
【详解】A．恒星m 与M 具有相同的角速度，则角速度为
，选项A 错误；
B．恒星M 的轨道半径为
对恒星系统mω2r=Mω2R，解得恒星m 的轨道半径大小为
，选项B 错误；
C．恒星m 的线速度大小为
，选项C 错误；
D．对恒星系统
=mω2r=Mω2R，解得GM=ω2r(r+R)2，，Gm=ω2R(r+R)2
相加得
，联立可得
，选项D 正确；
故选D。
【点睛】双星问题，关键是知道双星做圆周运动的向心力由两者之间的万有引力来提供，知道两者的角速
度相同，周期相同.
7．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）如图甲所示，河外星系中两黑洞A、B 的质量分别为
和
，
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它们以连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。为研究方便简化为如图所示的示意图，黑洞A 和黑洞B 均
可看成球体，
，且黑洞A 的半径大于黑洞B 的半径，下列说法正确的是（ ）
A．黑洞A 的向心力大于黑洞B 的向心力
B．若两黑洞间的距离一定，把黑洞A 上的物质移到黑洞B 上，它们运行的角速度变大
C．若两黑洞间的距离一定，把黑洞A 上的物质移到黑洞B 上，A 运行的线速度变大
D．人类把宇航器发射到距黑洞A 较近的区域进行探索，发射速度不大于第三宇宙速度
【答案】C
【详解】A．两黑洞靠两者之间的万有引力充当向心力，可知黑洞A 的向心力等于黑洞B 的向心力，选项A
错误；
B．两黑洞转动的角速度相等，根据
，解得
若两黑洞间的距离一定，把黑洞A 上的物质移到黑洞B 上，它们运行的角速度不变，选项B 错误；
C．若两黑洞间的距离一定，把黑洞A 上的物质移到黑洞B 上，则M1变小，L1变大，根据v=ωr 可知，A 运
行的线速度变大，选项C 正确；
D．人类要把宇航器发射到黑洞A 或B 较近的区域进行探索，则必须脱离太阳系，则发射速度一定大于第
三宇宙速度，即大于16.7km/s,选项D 错误。
故选C。
8．（2023·江苏·模拟预测）宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引
力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一
直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并
沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中
各星间的距离已在图中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线形三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为
B．直线形三星系统中星体做圆周运动的周期为
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C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为
D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为
【答案】D
【详解】A．直线三星系统中星体做圆周运动，万有引力做向心力；根据星体受到另两个星体的引力作用
可得
星体做圆周运动的线速度大小为
，故A 错误；
B．直线三星系统中星体做圆周运动，万有引力做向心力；根据星体受到另两个星体的引力作用可得
解得星体做圆周运动的周期为
，故B 错误；
C．根据几何关系可得：三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，圆周运动的轨道半径为
由万有引力提供向心力得
解得三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为
，故C 错误；
D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为
，故D 正确。
故选D。
9．（多选）（2023·贵州毕节·统考三模）地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫作天文
单位，用来量度太阳系内天体与太阳的距离。在天文学中，天文单位有严格的定义，用符号AU 表示，即
地球到太阳的距离为1AU。科学家对银河系中心附近的恒星S2 进行了多年的持续观测，绘出1994 年到
2002 年间S2 的位置如图所示。科学家认为S2 的运动轨迹是半长轴约为1000AU 的椭圆，其轨道可近似为
圆轨道，在银河系中心可能存在质量很大的黑洞。地球绕太阳公转周期为1 年，根据题中给出的数据，可
以估算的是（ ）
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A．S2 的周期
B．太阳的质量
C．太阳与黑洞的质量比
D．黑洞的质量
【答案】AC
【详解】A．设S2 的周期为
，由图中数据可知
可得S2 的周期为
，故A 正确；
BCD．设地球质量为
，太阳质量为
，地球到太阳的距离为
，地球的公转周期为
；由
万有引力提供向心力可得
解得
设S2 的质量为
，黑洞质量为
，S2 到黑洞的距离为
，S2 的公转周期为
，由万有
引力提供向心力可得
，解得
联立可得太阳与黑洞的质量比为
，故BD 错误，C 正确。
故选AC。
10．（2023·福建厦门·统考二模）我国天文学家通过“天眼”在武仙座球状星团中发现一个由白矮星P、脉
冲星Q 组成的双星系统．如图所示，P、Q 绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，忽略其他天体对P、Q 的
影响．已知P 的轨道半径大于Q 的轨道半径，P、Q 的总质量为M，距离为L，运动周期均为T，则（ ）．
A．P 的质量小于Q 的质量
B．P 的线速度小于Q 的线速度
C．P 受到的引力小于Q 受到的引力
D．若总质量M 恒定，则L 越大，T 越大
【答案】AD
【详解】AC．P 受到的引力与Q 受到的引力为相互作用力，大小相等；设P 的质量为
，Q 的质量为
，
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由万有引力提供向心力可得
，
，可得
由于P 的轨道半径大于Q 的轨道半径，可知P 的质量小于Q 的质量，故A 正确，C 错误；
B．根据
，由于P 的轨道半径大于Q 的轨道半径，可知P 的线速度大于Q 的线速度，故B 错误；
D．根据由万有引力提供向心力可得
，
可得
，若总质量M 恒定，则L 越大，T 越大，故D 正确。
故选AD。
【能力提升】
1．（2023·贵州黔东南·校考模拟预测）2022 年10 月9 日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”先进天
基太阳天文台发射升空，以“一磁两暴”为科学目标开启了对太阳的探索之旅。“夸父一号”运行轨道距
地面的高度为720 公里，周期为99 分钟，轨道为太阳同步晨昏轨道，下列说法正确的是（ ）
A．“夸父一号”的加速度比地球同步卫星的加速度大
B．“夸父一号”运动的角速度小于地球同步卫星运行的角速度
C．“夸父一号”的线速度比地球同步卫星的线速度小
D．由以上信息和万有引力常量G 可估算出“夸父一号”的质量
【答案】A
【详解】A．夸父一号的周期99 分钟小于地球同步卫星的周期24 小时，根据
，解得
可知，夸父一号的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，根据
，解得
可知，“夸父一号”的加速度比地球同步卫星的加速度大，故A 正确；
B．根据
，根据上述，夸父一号的周期99 分钟小于地球同步卫星的周期24 小时，则“夸父一号”
运动的角速度大于地球同步卫星运行的角速度，故B 错误；
C．根据
，解得
由于夸父一号的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，则“夸父一号”的线速度比地球同步卫星的线速
度大，故C 错误；
D．根据
，则有
，等式两侧将夸父一号的质量消去了，可知由以上信息和万有
引力常量G 不能估算出“夸父一号”的质量，故D 错误。
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故选A。
2．（2023·北京平谷·统考一模）发射地球同步卫星，可简化为如下过程：先将卫星发射到近地圆轨道1，
然后点火，使其沿椭圆轨道2 运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2 相切于P 点，轨
道2、3 相切于Q 点，如图所示。则当卫星分别在1、2、3 轨道上正常运行时，下列说法正确的是（ ）
A．地球同步卫星可以定点在北京上空
B．卫星在轨道3 上的速率大于在轨道1 上的速率
C．卫星在轨道2 上从P 点向Q 点运动的过程中机械能逐渐增大
D．卫星在轨道1 上经过P 点时的速率小于它在轨道2 上经过P 点时的速率
【答案】D
【详解】A．由于地球同步卫星相对地面静止，自西向东绕地球转动，因此轨道平面一定在赤道所确定的
平面内，不可能定点在北京上空，A 错误；
B．根据
，可得
，因此卫星在轨道3 上的速率小于在轨道1 上的速率，B 错误；
C．卫星在轨道2 上从P 点向Q 点运动的过程中，只有万有引力做功，因此机械能守恒，C 错误；
D．在轨道1 上经过P 点时，做圆周运动，因此满足
，在轨道2 上经过P 点后做离心运动，满
足
因此可知卫星在轨道1 上经过P 点时的速率小于它在轨道2 上经过P 点时的速率，D 正确。
故选D。
3．（2023·江苏·模拟预测）石墨烯是一种超轻超高强度的新型材料。有人设想：用石墨烯制作超级缆绳连
接地球赤道上的固定基地与地球静止同步空间站（周期与地球自转周期相同），利用超级缆绳承载太空电
梯从地球基地向空间站运送物资。已知地球半径为R，自转周期为T，地球北极表面重力加速度为
。若
该设想能实现，质量为m 的太空电梯（可视为质点）停在距地球表面高度为R 的位置时，超级缆绳对太空
电梯的拉力大小为（ ）
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A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设质量为
的物体在北极地面静止，则有
解得
太空电梯在距离地面高R 位置时受到的万有引力为F，则有
太空电梯在超级缆绳上绕地球做匀速圆周运动，其周期与地球同步空间站相同，即也为T，大于它自由绕
地球做匀速圆周运动的周期，此时地球对它的万有引力大于它所需要的向心力，所以超级缆绳对太空电梯
的拉力向上，设为
，则有
其中
，解得
故选C。
4．（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）如图所示，2022 年7 月15 日，由清华大学天文系祝伟教授牵头的
国际团队近日宣布在宇宙中发现两个罕见的恒星系统。该系统均是由两颗互相绕行的中央恒星组成，被气
体和尘埃盘包围，且该盘与中央恒星的轨道成一定角度，呈现出“雾绕双星”的奇幻效果。若其中一个系
统简化模型如图所示，质量不等的恒星A 和B 绕两者连线上某一定点O 做匀速圆周运动，由天文观察测得
其运动周期为T，A 到O 点的距离为r1，A 和B 的距离为r，已知引力常量为G，则A 的质量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【详解】取B 为研究对象，B 绕O 点做匀速圆周运动，设A、B 的质量分别为
和
，由万有引力定律及
牛顿第二定律得
解得
，又根据
则A 的质量为
故选A。
5．（2023·陕西西安·统考模拟预测）天玑星是北斗七星之一，在天玑星周围还有一颗伴星，它们组成双星
系统，各自绕二者连线上的某一点O 做匀速圆周运动，伴星距O 点较远，如图所示。现已知天玑星的质量
为M，二者之间连线的距离为L，运动周期均为T，万有引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．伴星的线速度小于天玑星的线速度
B．伴星的质量大于天玑星的质量
C．天玑星的运动半径为
D．天玑星和伴星的总质量为
【答案】D
【详解】A．双星的周期相同，角速度相同，根据
，伴星的线速度大于天玑星的线速度，故A 错误；
B．设伴星的质量为m，运动半径为r，天玑星的运动半径为R，则
，得
由
，得
，伴星的质量较小，故B 错误；
C．伴星的半径
，天玑星的半径
，故C 错误；
D．双星的总质量为
，故D 正确。
故选D。
6．（2023·北京东城·北京一七一中校考模拟预测）宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一
种三星系统如图所示，三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星
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体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量为G，下列说法正确
的是（ ）
A．每颗星做圆周运动的角速度为
B．每颗星做圆周运动的加速度大小与三星的质量无关
C．若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2 倍，则周期变为原来的2 倍
D．若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2 倍，则线速度变为原来的4 倍
【答案】C
【详解】AB．任意两星间的万有引力F=G
对任一星受力分析，如图所示，由图中几何关系知：r=
L，F 合=2Fcos30°=
F
由牛顿第二定律可得F 合=mω2r，联立可得ω=
，an=ω2r=
，AB 错误；
C．由周期公式可得T=
=2π
，L 和m 都变为原来的2 倍，则周期T′=2T，C 正确；
D．由速度公式可得v=ωr=
，L 和m 都变为原来的2 倍，则线速度v′=v，大小不变，D 错误。
故选C。
7．（多选）（2023·山东济南·山东师范大学附中校考模拟预测）某载人飞船发射过程可以简化为如图所示，
轨道1 是椭圆轨道，变轨后到圆轨道2，A 点和C 点分别是轨道1 的远日点和近日点，B 点是轨道2 上与
A、C 共线的点，A 点距地心的距离为2r，C 点距地心的距离为r，则（ ）
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A．飞船在轨道1 上过C 点的速度大于轨道2 过A 点的速度
B．若轨道2 的速度为v，则轨道1 在A 点的加速度为
C．在轨道1 上运行的周期与轨道2 上运行周期的之比为
D．在轨道1 上由C 点运动到A 点的过程中，由于离地高度越来越大，所以机械能逐渐增大
【答案】AB
【详解】A．飞船在C 点所在圆轨道变轨到轨道1 需要点火加速，因此可知飞船在轨道1 上C 点的速度大
于C 点所在圆轨道的速度，而根据万有引力充当向心力有
，可得
可知轨道半径越大，线速度越小，则可知飞船在C 点所在圆轨道的速度大于轨道2 上的速度，由此可知飞
船在轨道1 上过C 点的速度大于轨道2 过A 点的速度，故A 正确；
B．根据万有引力充当向心力有
，可得
轨道2 上的A 点和轨道1 上的A 点距离球心的距离相等，而与中心天体距离相等的点加速度大小相等，则
可知轨道1 在A 点的加速度为
，故B 正确；
C．轨道1 的半长轴
，轨道2 的半径为
，设轨道1 的周期为
，轨道2 的周期为
，根据开普勒
第三定律有
，解得
，故C 错误；
D．在轨道1 上由C 点运动到A 点的过程中，动能向势能转化，总的机械能守恒，故D 错误。
故选AB。
8．（多选）（2023·湖北·模拟预测）2016 年2 月11 日，科学家宣布“激光干涉引力波天文台（LIGO）”
探测到由两个黑洞合并产生的引力波信号，这是在爱因斯坦提出引力波概念100 周年后，引力波被首次直
接观测到。在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。如图所示，
黑洞A、B 可视为质点，它们围绕连线上O 点做匀速圆周运动，且AO 大于BO，不考虑其他天体的影响。
下列说法正确的是（ ）
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A．黑洞A 的向心加速度等于B 的向心加速度
B．黑洞A 的质量小于B 的质量
C．黑洞A、B 合并过程中距离减小，相互绕转
增大
D．两黑洞之间的距离越大，A 的周期越小
【答案】BC
【详解】A．根据
可知
相同，r 大的
大，A 错误；
B．在匀速转动时的向心力大小关系为
，由于A 的半径比较大，所以A 的质量小，
B 正确；
C．双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度根据
，
，
，故L 减小
增大，C 正确；
D．双星之间的周期公式为
，所以两黑洞之间的距离越大，A 的周期越大，故D 错误。
故选BC。
9．（多选）（2023·重庆·统考模拟预测）近年科学研究发现，在宇宙中，三恒星系统约占所有恒星系统的
十分之一，可见此系统是一个比较常见且稳定的系统。在三恒星系统中存在这样一种运动形式：忽略其他
星体对它们的作用，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一
共同的圆心
在三角形所在平面内以相同角速度做匀速圆周运动。如图所示为
、
、
三颗星体质量
、
、
大小不同时，星体运动轨迹的一般情况。设三颗星体在任意时刻受到的万有引力的合力大小
分别为
、
、
，加速度大小分别为
、
、
，星体轨迹半径分别为
、
、
，下列说法正确
的是（ ）
A．图中星球
对
的万有引力大于星球
对
的万有引力
B．图中三颗星体质量大小关系为
C．
、
、
的矢量和不一定为0，与星体质量有关
D．
、
、
的矢量和不一定为0，与星体质量有关
【答案】BD
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【详解】AB．星球
对
的万有引力
星球
对
的万有引力
FBA 与FCA 的合力指向AO 偏向C 一侧，可知
，则mC>mB
同理mA>mC，故A 错误，B 正确；
CD．根据万有引力定律可知F1=FBA+FCA，同理可得F2=FAB+FCB，F3=FAC+FBC
（此处的“+”号表示的是矢量的运算）则F1+F2+F3=FBA+FCA+FAB+FCB+FAC+FBC=0
而
当三颗星体的质量相等时，加速度的矢量和才等于0，故C 错误，D 正确；
故选BD。
10．（2023·全国·模拟预测）由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：
三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心在三角形
所在的平面内做角速度相等的圆周运动，如图所示。已知星体A 的质量为
，星体B、C 的质量均为m，
三角形边长为d。求：
（1）星体A 所受的合力大小
；
（2）星体A、B、C 的向心加速度大小之比
。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设星体A 受到星体B、C 的引力大小分别为
、
，分析如图所示，由几何关系知
，又
由矢量合成有
，则二者的合力大小
（2）由几何对称性可知星体B、C 受力大小相等，对星体B 分析如图所示
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，
设星体B 所受的合力为
，正交分解
，有
，
，
则
则
，解得
【真题感知】
1．（2022·浙江·统考高考真题）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P 点沿地火转移轨道到Q 点，
再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（ ）
A．发射速度介于7.9km/s 与11.2km/s 之间
B．从P 点转移到Q 点的时间小于6 个月
C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
【答案】C
【详解】A．因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于
11.2km/s 与16.7km/s 之间，故A 错误；
B．因P 点转移到Q 点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期（1 年共
12 个月），则从P 点转移到Q 点的时间为轨道周期的一半时间应大于6 个月，故B 错误；
C．因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停
泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C 正确；
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D．卫星从Q 点变轨时，要加速增大速度，即在地火转移轨道Q 点的速度小于火星轨道的速度，而由
，可得
可知火星轨道速度小于地球轨道速度，因此可知卫星在Q 点速度小于地球轨道速度，故D 错误；
故选C。
2．（2022·福建·高考真题）2021 年美国“星链”卫星曾近距离接近我国运行在距地
近圆轨道上的
天宫空间站。为避免发生危险，天宫空间站实施了发动机点火变轨的紧急避碰措施。已知质量为m 的物体
从距地心r 处运动到无穷远处克服地球引力所做的功为
，式中M 为地球质量，G 为引力常量；现将
空间站的质量记为
，变轨前后稳定运行的轨道半径分别记为
、
，如图所示。空间站紧急避碰过程发
动机做的功至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】空间站紧急避碰的过程可简化为加速、变轨、再加速的三个阶段；空间站从轨道
变轨到
过程，
根据动能定理有
依题意可得引力做功
万有引力提供在圆形轨道上做匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律有
求得空间站在轨道上运动的动能为
动能的变化
解得
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故选A。
3．（2021·北京·高考真题）2021 年5 月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个
首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离
火星表面2.8102 km、远火点距离火星表面5.9105 km，则“天问一号” （ ）
A．在近火点的加速度比远火点的小
B．在近火点的运行速度比远火点的小
C．在近火点的机械能比远火点的小
D．在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动
【答案】D
【详解】A．根据牛顿第二定律有
，解得
故在近火点的加速度比远火点的大，故A 错误；
B．根据开普勒第二定律，可知在近火点的运行速度比远火点的大，故B 错误；
C．“天问一号”在同一轨道，只有引力做功，则机械能守恒，故C 错误；
D．“天问一号”在近火点做的是离心运动，若要变为绕火星的圆轨道，需要减速，故D 正确。
故选D。
4．（2019·江苏·高考真题）1970 年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍
沿椭圆轨道绕地球运动，如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离
为r，地球质量为M，引力常量为G。则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】“东方红一号”从近地点到远地点万有引力做负功，动能减小，所以
，过近地点圆周运动
的速度为
，由于“东方红一号”在椭圆上运动，所以
，故B 正确．
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