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第24 课时 人造卫星 宇宙速度
目标要求 1.会比较卫星运行的各物理量之间的关系。2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大
小。3.会分析天体的“追及”问题。
考点一 卫星运行参量的分析
1.基本公式
(1)线速度大小：由G Mm
r
2 ＝mv
2
r 得v＝ 。
(2)角速度：由G Mm
r
2 ＝mω2r 得ω＝ 。
(3)周期：由G Mm
r
2 ＝m(2π
T )2r 得T＝ 。
(4)向心加速度：由G Mm
r
2 ＝man得an＝ 。
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r 越大，v、ω、an ，T ，即越高越 。
2.“黄金代换式”的应用
忽略中心天体自转影响，则有mg＝G Mm
R
2 ，整理可得 。在引力常量G 和中心天体质量M 未知时，
可用gR2替换GM。
3.人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫星的
轨道是赤道轨道。
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)同步卫星
①静止卫星的轨道平面与 共面，且与地球自转的方向相同。
②周期与地球自转周期相等，T＝ 。
③高度固定不变，h＝3.6×107 m。
④运行速率约为v＝3.1 km/s。
(3)近地卫星：轨道在 附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度
v＝7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)。
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。
1
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(1)在同一轨道上质量大的卫星受到地球引力大，是否加速度就大，运行速度就快？
(2)随着我国航空航天科技的发展，将来可以发射定点到广州上空的静止卫星吗？
(3)赤道上放置一待发射卫星A，天空运行一同步卫星B，可以由v＝√
GM
r
得A 卫星线速度大于B 卫星线
速度吗？
例1 (2023·天津卷·1)运行周期为24 h 的北斗卫星比运行周期为12 h 的( )
A.加速度大
B.角速度大
C.周期小
D.线速度小
例2 (2023·广东卷·7)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P 绕恒星Q 做匀速圆周运动。由于P 的遮挡，
探测器探测到Q 的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P 的公转周期相同。已知Q 的质
量为M，引力常量为G。关于P 的公转，下列说法正确的是( )
A.周期为2t1－t0
B.半径为
3√
GM (t1−t0)
2
4 π
2
C.角速度的大小为
π
t1−t0
D.加速度的大小为
3√
2π GM
t1−t0
例3 (多选)(2024·山东青岛市校考)如图所示，赤道面内的同步卫星与地心的距离为r，运行速率为
v1，向心加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度大小为
v2，地球半径为R，则下列比值正确的是( )
A.a1
a2
＝r
R
B.a1
a2
＝(R
r )2
2
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C.v1
v2
＝r
R
D.v1
v2
＝√
R
r
同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
如图所示，a 为近地卫星，轨道半径为r1；b 为赤道面内的地球同步卫星，轨道半径为r2；c 为赤道上随地
球自转的物体，轨道半径为r3。
比较
项目
近地卫星
(r1、ω1、
v1、a1)
同步卫星
(r2、ω2、
v2、a2)
赤道上随地球自转的物体
(r3、ω3、v3、a3)
向心力
来源
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
轨道半径
r2>r1＝r3
角速度
ω1>ω2＝ω3
线速度
v1>v2>v3
向心
加速度
a1>a2>a3
考点二 宇宙速度
三个宇宙速度
第一宇宙速度
(环绕速度)
v1＝ km/s，是人造地球卫星的 发射速度，这
也是地球卫星的最大环绕速度
第二宇宙速度
v2＝11.2 km/s，是物体挣脱 引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度
v3＝16.7 km/s，是物体挣脱 引力束缚的最小发射速度
(1)试推导第一宇宙速度的两个表达式。
(2)近地卫星的运行周期大约是多长时间？
(已知地球质量为m 地，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，其中R＝6.4×103 km，g
＝9.8 m/s2)
3
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例4 中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个多月到达火星附近，要通
过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行。已知地球的质量约为火星质量的10 倍，
地球半径约为火星半径的2 倍，下列说法正确的是( )
A.若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9 km/s
B.“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，小于11.2 km/s
C.火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶√5
D.火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
宇宙速度与运动轨迹的关系
1.v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
2.7.9 km/s<v 发<11.2 km/s 时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
3.11.2 km/s≤v 发<16.7 km/s 时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
4.v 发≥16.7 km/s 时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
考点三 天体的“追及”共线问题
例5 (2023·湖北卷·2)2022 年12 月8 日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，
此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地
球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出( )
A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D.下一次“火星冲日”出现在2023 年12 月8 日之前
例6 (2024·山东济宁市校考)地球的两颗卫星绕地球在同一平面内做匀速圆周运动，环绕方向如图所
示。已知卫星一运行的周期为T0，地球的半径为R0，卫星一和卫星二到地球中心的距离分别为R1＝
2R0，R2＝8R0，引力常量为G，某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为2
3π，下列说法正确的是( )
A.卫星二的机械能一定大于卫星一的机械能
4
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B.地球的质量M＝30 π
2 R0
3
GT 0
2
C.卫星二围绕地球做圆周运动的周期T2＝4T0
D.从图示时刻开始，经过t＝16
21T0时间两卫星第一次相距最近
天体“追及”问题的处理方法
1.相距最近：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近。从相
距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t＝2π 或t
T A
－t
T B
＝1。
2.相距最远：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远。从相
距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t'＝π 或t
'
T A
－t
'
T B
＝1
2。
3.若两同心转动的卫星初始位置不在同一直径上时，找两卫星的运动关系时需注意初始时刻两卫星与地心
连线之间的夹角。
5
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答案精析
考点一
1.(1)√
GM
r
(2)√
GM
r
3
(3)2π√
r
3
GM
(4)GM
r
2 越小 越大 慢
2.GM＝gR2
3.(2)①赤道平面 ②24 h (3)地球表面
讨论交流 (1)由a＝GM
r
2 及v＝√
GM
r
可得卫星运行加速度和速度与卫星质量无关，同一轨道上各卫星具有
相同加速度大小和速度大小。
(2)由于静止卫星必须与地球自转同步，且转动中心必须在地心，故静止卫星只能定点在赤道正上方。
(3)赤道上放置的物体由万有引力的一个分力提供向心力，故不满足v＝√
GM
r
，又由v＝ωr，A、B 两卫星
具有相同的角速度，故B 卫星线速度大。
例1 D [根据万有引力提供向心力有F＝G Mm
r
2 ＝mv
2
r ＝mrω2＝m4 π
2
T
2 r＝ma，可得T＝2π√
r
3
GM
，v＝
√
GM
r
，ω＝√
GM
r
3 ，a＝GM
r
2 。因为运行周期为24 h 的北斗卫星周期大，故运行轨道半径大，则线速度小，
角速度小，加速度小，故选D。]
例2 B [由题图(b)可知探测器探测到Q 的亮度随时间变化的周期为T＝t1－t0，则P 的公转周期为t1－t0，
故A 错误；P 绕Q 做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得GMm
r
2
＝m4 π
2
T
2 r，解得半径为r＝
3√
GM T
2
4 π
2 ＝
3√
GM (t1−t0)
2
4 π
2
，故B 正确；P 的角速度为ω＝2π
T ＝2π
t1−t0
，故C 错误；P 的加速度大小为a＝
ω2r＝( 2π
t1−t0
)2·3√
GM (t1−t0)
2
4 π
2
＝2π
t1−t0
·
3√
2π GM
t1−t0
，故D 错误。]
例3 AD [根据万有引力提供向心力，有G Mm
r
2 ＝mv1
2
r
，G M m
'
R
2 ＝m'v2
2
R
，故v1
v2
＝√
R
r ；对于同步卫星和
地球赤道上的物体，其共同点是角速度相等，有a1＝ω2r，a2＝ω2R，故
a1
a2
＝r
R ，故选A、D。]
考点二
7.9 最小 地球 太阳
讨论交流 (1)由Gm地m
R
2
＝mv
2
R 得v＝√
G m地
R
6
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由mg＝mv
2
R 得v＝√gR
(2)近地卫星运行周期T＝2π√
R
g ＝2π√
6.4×10
6
9.8
s≈85 min。
例4 C [卫星在行星表面附近绕行的速度为该行星的第一宇宙速度，由G Mm
R
2 ＝mv
2
R ，可得v＝√
GM
R ，
故v 火∶v 地＝1∶√5，所以在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要v 火＝7.9
√5 km/s，故
A 错误，C 正确；“天问一号”探测器挣脱了地球引力束缚，则它的发射速度大于等于11.2 km/s，故B 错
误；g 地＝G
M 地
R地
2，g 火＝G
M 火
R火
2，联立可得g 地>g 火，故D 错误。]
例5 B [火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律有
r 火
3
r地
3 ＝T 火
2
T 地
2，可得T 火
T 地
＝√
r 火
3
r地
3 ＝3√3
2√2
，故A 错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不
变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B 正确；在星球
表面根据万有引力定律有G Mm
R
2 ＝mg，由于不知道火星和地球的质量比以及火星和地球的半径比，故无法
得出火星和地球表面的自由落体加速度大小之比，故C 错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω 火
＝2π
T 火
，ω 地＝2π
T 地
，要发生下一次“火星冲日”，则有( 2π
T 地
－2π
T 火
)t＝2π，得t＝
T 火T 地
T 火−T 地
>T 地，可知下
一次“火星冲日”出现在2023 年12 月8 日之后，故D 错误。]
例6 D [因为两卫星的质量未知，所以无法比较它们机械能的大小，A 错误；对卫星一，由牛顿第二定
律得G Mm
4 R0
2＝m( 2π
T 0
)2×2R0，解得地球质量为M＝
32π
2 R0
3
GT 0
2
，故B 错误；由开普勒第三定律
T 2
2
T 0
2 ＝( 8 R0
2 R0
)
3可得卫星二围绕地球做圆周运动的周期为T2＝8T0，故C 错误；两卫星共线且在地球同一侧时相距最近，
设从图示时刻开始经过t 时间，两卫星第一次相距最近，则2π
T 0
t－2π
8T 0
t＝2π－2π
3 ，解得t＝16
21T0，故D 正
确。]
7
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