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第4 讲 万有引力定律及应用
一、开普勒三定律
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律
(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭
圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律
(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连
线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律
(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟
它的公转周期的二次方的比值都相等
＝k，k 是一个与行星无
关的常量
二、万有引力定律
1.内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体
的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比。
2.表达式
F＝G，G 是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3.适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，
物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。
三、宇宙速度
1.第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。
(2)第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度。
(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
(4)第一宇宙速度的计算方法
由G＝m 得v＝；
由mg＝m 得v＝。
1
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2.第二宇宙速度
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。
3.第三宇宙速度
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s。
【自测】 北斗问天，国之夙愿，我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，
其轨道半径约为地球半径的7 倍，则该地球静止轨道卫星( )
图1
A.其发射速度一定大于11.2 km/s
B.在轨道上运动的线速度一定小于7.9 km/s
C.环绕地球运动的轨道可能是椭圆
D.它可以经过北京正上空，所以我国能利用它进行电视转播
答案 B
解析 地球静止
道
星其
射速度一定大于
轨
卫
发
7.9 km/s 而小于11.2 km/s，A
；第
错误
一宇宙速度
近地
星的
速度，即最大的
速度，同步
星的
道半径大于近
为
卫
环绕
环绕
卫
轨
地
星的
道半径，由＝得
卫
轨
v＝，地球静止
道
星的
速度一定小于第一宇宙速度
轨
卫
线
，
即其在
道上运
的
速度一定小于
轨
动
线
7.9 km/s，B 正确；
地球运
的
道是
，
环绕
动
轨
圆C
；地球静止
道
星在赤道平面，因此不
北京上空，
错误
轨
卫
经过
D
。
错误
命题点一 开普勒三定律的理解和应用
1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
3.开普勒第三定律＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同。
但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。
【例1】 (2021·山
坊月考
东潍
)中国首个火星探测器“天问一号”，已于2021 年2 月10
日成功环绕火星运动。若火星和地球可认为在同一平面内绕太阳同方向做圆周运动，
运行过程中火星与地球最近时相距R0、最远时相距5R0，则两者从相距最近到相距最
远需经过的最短时间约为( )
A.365 天
B.400 天
C.670 天
D.800 天
2
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答案 B
解析
火星
道半径
设
轨
为R1，公
周期
转
为T1，地球
道半径
轨
为R2，公
周期
转
为T2，依
意有
题
R1－R2＝R0，R1＋R2＝5R0，解得R1＝3R0，R2＝2R0，根据开普勒第三定律，有＝
解得T1＝年，从相距最近到相距最
需
的最短
设
远
经过
时间为t，有ω2t－ω1t＝π，ω＝，
代入数据，可得t≈405 天。
【针对训练1】 在地球同步卫星轨道平面内运行的低轨道卫星，其轨道半径为同步卫
星轨道半径的，则该低轨道卫星运行周期为( )
A.1 h
B.3 h
C.6 h
D.12 h
答案 B
解析 根据开普勒第三定律，有＝，解得T 卫＝T 同＝×24 h＝3 h，选项B 正确。
命题点二 万有引力定律的理解
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转
的向心力F 向。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg0。
(3)在一般位置：万有引力G 等于重力mg 与向心力F 向的矢量和。
越靠近南、北两极，g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引
力近似等于重力，即＝mg。
2.星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h 处的重力加速度g′，mg′＝，得g′＝，所以＝。
【真题示例2】 (2021·山东卷，5)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事
业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9 倍，半径约为月球的
2 倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2 倍。在着陆前，“祝融”和
“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”
所受着陆平台的作用力大小之比为( )
图2
A.9∶1
B.9∶2
C.36∶1
D.72∶1
答案 B
3
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解析
停
悬
时“祝融”和“玉兔”所受平台的作用力等于万有引力，
＝
则
＝×2＝，
故选项B 正确。
【针对训练2】 (2020·山东卷，7)我国将在今年择机执行“天问1 号”火星探测任务。
质量为m 的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减
速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1 倍，半径约为地球的0.5 倍，地球表面
的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀
减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( )
A.m
B.m
C.m
D.m
答案 B
解析 由G＝mg，解得火星表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值＝＝
0.1×22＝0.4，即火星表面的重力加速度g 火＝0.4g。着
器着
程可
直向下
陆
陆过
视为竖
的匀减速直
运
，由
线
动
v0－at0＝0 可得a＝。由牛
第二定律有
顿
F－mg 火＝ma，解得F
＝m，选项B 正确。
命题点三 万有引力定律的应用
天体质量、密度的计算
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质量
的计
算
利用运行
天体
r、T
G＝mr
m 中＝
只能得到中
心天体的质
量
r、v
G＝m
m 中＝
v、T
G＝m
G＝mr
m 中＝
利用天体
表面重力
加速度
g、R
mg＝
m 中＝
密度
的计
算
利用运行
天体
r、T、R
G＝mr
m 中＝ρ·πR3
ρ＝
当r＝R 时
ρ＝
利用近地卫
星只需测出
其运行周期
利用天体
表面重力
加速度
g、R
mg＝
m 中＝ρ·πR3
ρ＝
【真题示例3】 (2021·广东卷，2)2021 年4 月，我国自主研发的空间站天和核心舱成
功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由
4
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下列物理量能计算出地球质量的是( )
A.核心舱的质量和绕地半径
B.核心舱的质量和绕地周期
C.核心舱的绕地角速度和绕地周期
D.核心舱的绕地线速度和绕地半径
答案 D
解析 根据万有引力提供核心
地球做匀速
周运
的向心力得＝
舱绕
圆
动
m，解得m 地＝
D 正确；由于核心
量在运算中被
掉，故无法通
核心
量求解地球
量，
舱质
约
过
舱质
质
A、
B
；已知核心
的
地角速度，由＝
错误
舱
绕
mω2r 得m 地＝，且ω＝，r
不掉，故
需要
约
还
知道核心
的
舱
绕地半径，才能求得地球
量，
质
C
。
错误
【针对训练3】 (2021·昆山市八校
盟
联
检测)如图3 是一行星绕恒星做匀速圆周运动
的示意图，由天文观测可得其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，试求：
图3
(1)行星运动的轨道半径r；
(2)行星运动的加速度；
(3)恒星的质量m 恒。
答案 (1) (2) (3)
解析 根据
周运
知
和已知物理量求出
道半径；根据万有引力提供向心力，列
圆
动
识
轨
出等式求出中心体的
量和加速度。
质
(1)根据v＝ωR＝，可得r＝。
(2)行星的加速度a＝ωv＝。
(3)根据万有引力提供向心力由G＝ma，解得m 地＝。
双星模型问题
1.定义：公共
心
的两个星体
成的系
，我
称之
双星系
。如
绕
圆
转动
组
统
们
为
统
图4 所示。
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图4
2.特点
①各自所需的向心力由彼此
的万有引力提供，即
间
＝m1ωr1，＝m2ωr2。
②两
星的周期及角速度都相同，即
颗
T1＝T2，ω1＝ω2。
③两
星的
道半径与它
之
的距离关系
颗
轨
们
间
为r1＋r2＝L。
④两
星到
心的距离
颗
圆
r1、r2与星体
量成反比，即＝。
质
⑤双星的运
周期
动
T＝2π。
⑥双星的
量
总质
m1＋m2＝。
【例4】 2017 年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们
复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km，绕二者连线上的
某点每秒转动12 圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有
引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A.质量之积
B.质量之差
C.速率之和
D.各自的自转角速度
答案 C
解析 由
意可知，合并前两中子星
上某点每秒
题
绕连线
转动12 圈，
两中子星的周
则
期相等，且均为T＝ s，两中子星的角速度均为ω＝，两中子星构成了双星模型，假设
两中子星的
量分
质
别为m1、m2，道半径分
轨
别为r1、r2，速率分别为v1、v2，有
则
G＝
m1ω2r1、G＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400 km，解得m1＋m2＝，A、B
；又由
错误
v1＝ωr1、
v2＝ωr2，则v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，C 正确；由
中的条件不能求解两中子星自
的
题
转
角速度，D
。
错误
对点练1 开普勒三定律的理解和应用
1.为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的
16 倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4 倍。P 与Q 的周期之比约为(
)
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A.2∶1
B.4∶1
C.8∶1
D.16∶1
答案 C
解析 由开普勒第三定律得＝k，故＝＝＝，C 正确。
2.2019 年10 月28 日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线，此
时是观察天王星的最佳时间。已知日地距离为r0，天王星和地球的公转周期分别为T
和T0，则天王星与太阳的距离为( )
A. r0
B. r0
C. r0
D. r0
答案 A
解析 由开普勒第三定律可知＝，可得r＝r0，故A 正确，B、C、D
。
错误
对点练2 万有引力定律的理解
3.一飞船围绕地球做匀速圆周运动，其离地面的高度为h，若已知地球表面重力加速
度为g，地球半径为R。则飞船所在处的重力加速度大小( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 忽略地球自
的影响，根据万有引力等于重力列等式
转
在地球表面＝mg
在离地面的高度为h
＝
处
mg′
解得g′＝
对点练3 万有引力定律的应用
4.(2021·天津
区
研
红桥
调
)2019 年5 月17 日，我国成功发射第45 颗北斗导航卫星，该
卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星( )
A.入轨后向心加速度大于地球表面赤道上物体随地球自转的向心加速度
B.入轨后的速度等于第一宇宙速度
C.该卫星的机械能小于同质量的近地卫星的机械能
D.该卫星可以定位在天津上空一定高度处
答案 A
解析 同步
星与地球表面赤道上物体具有相同角速度，根据
卫
a＝ω2r 可知，入
后
轨
向心加速度大于地球表面赤道上物体随地球自
的向心加速度，故
转
A 正确；第一宇
宙速度是
星的最小
射速度，最大的
周运行速度，所有
星的运行速度都不大于
卫
发
圆
卫
7
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第一宇宙速度，故B
；从近地
道
入同步
道需要点火加速离心，所以
星
错误
轨
进
轨
该卫
的机械能大于同
量的近地
星的机械能，故
质
卫
C
；地球静止
道
星即同步
错误
轨
卫
卫
星，只能定点在赤道正上方，不会位于天津正上方，故D
。
错误
5.(2021·广
佛山摸底
东
)中国绕月卫星“龙江二号”是全球首个独立完成地月转移、
近月制动、环月飞行的微卫星，2019 年2 月4 日，“龙江二号”成功拍下月球背面和
地球的完整合照。已知“龙江二号”距离月球表面h 处环月做圆周运动的周期为T，
月球半径为R，万有引力常量为G，据此不可求的物理量是( )
A.“龙江二号”的质量
B.“龙江二号”的线速度大小
C.月球的质量
D.月球表面的重力加速度大小
答案 A
解析 根据万有引力提供向心力可知G＝m(R＋h)，“
江二号
龙
”的
量不可求出，
质
但月球
量可求出，故
质
A
，符合
意，
错误
题
C 正确，不符合
意；根据
题
T＝可求出其运
的
速度，故
动
线
B 正确，不符合
意；根据
题
G＝m0g 且m 月也
已知量，可求出月球表
为
面的重力加速度，故D 正确，不符合
意。
题
6.(2021·山
烟台月考
东
)2020 年7 月23 日我国用“长征五号”大型运载火箭发射首
枚火星探测器“天问一号”，“天问一号”火星探测将通过一次发射实现火星环绕、
着陆和巡视三项任务，这在人类火星探测史上开创了先河。2021 年2 月24 日，探测
器由调相轨道到达近火点时进行变轨，进入停泊轨道，为着陆做准备。若停泊轨道的
近火点高度为a、远火点高度为b，周期为T，已知引力常量为G，火星半径为R，则火
星的质量为( )
图1
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析
火星的近火
星的周期
设
卫
为T1，根据开普勒第三定律可得＝，于近火
星，
对
卫
根据万有引力提供向心力可得G＝mR，
立上式可得
联
m 火＝。
7.(2021·全国甲卷，18)2021 年2 月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器
在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s 的椭圆形停泊轨道，轨道
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与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处
自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远
距离约为( )
A.6×105 m
B.6×106 m
C.6×107 m
D.6×108 m
答案 C
解析 在火星表面附近，
于
火星做匀速
周运
的物体，有
对
绕
圆
动
mg 火＝mR 火，得T
＝，根据开普勒第三定律，有＝，代入数据解得l 远≈6×107 m，C 正确。
8.(2020·全国卷Ⅰ，15)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物
体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A.0.2
B.0.4
C.2.0
D.2.5
答案 B
解析 由万有引力定律可得，
量
质
为m 的物体在地球表面上
，受到的万有引力大
时
小为F 地＝G，
量
质
为m 的物体在火星表面上
，受到的万有引
时
力大小为F 火＝G，二
者的比
＝
值
＝0.4，B 正确，A、C、D
。
错误
9.(2020·北京卷，5)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为
地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )
A.火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B.火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C.火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D.火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
答案 A
解析 火星探
器前往火星，脱离地球引力束
，在太阳系内，射速度
大于第
测
缚还
发
应
二宇宙速度，小于第三宇宙速度，故A 正确，B
；万有引力提供向心力，有＝，
错误
则
解得第一宇宙速度为v1＝
所以火星的第一宇宙速度为v 火＝v 地＝v 地
所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C
；万有引力近似等于
错误
重力，
有＝
则
mg
解得火星表面的重力加速度g 火＝＝g 地＝g 地
所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D
。
错误
10.(2021·湖南永州模拟)2020 年6 月23 日9 时43 分，我国在西昌卫星发射中心用长
征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全
9
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球组网卫星。至此，北斗三号全球卫星导航系统星座部署比原计划提前半年全面完成
已知地球的质量为m 地，半径为R，自转角速度为ω，引力常量为G，该导航卫星为地
球同步卫星，下列说法正确的是( )
A.该导航卫星运行速度大于第一宇宙速度
B.该导航卫星的发射速度大小介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
C.该导航卫星在轨道运行时的加速度大小会小于质量较小的同步卫星加速度大小
D.该导航卫星的预定轨道离地高度为h＝
答案 B
解析
星
地球
万有引力提供向心力，由牛
第二定律可知
卫
绕
转动时
顿
G＝m，形可
变
得v＝，由
公式可知
道半径越大，
速度越小，第一宇宙速度在数
上等于
星
该
轨
线
值
卫
地球表面
的
速度，
航
星
道半径大于地球半径，所以其速度小于
绕
转动时
环绕
该导
卫
轨
第一宇宙速度，故A
；第一宇宙速度是
射
星的最小速度，第二宇宙速度指的
错误
发
卫
星
脱地球引力最小
射速度，
航
星
地球
，没有
脱地球引力，所以
卫
摆
发
该导
卫
绕
转动
摆
其
射速度
发
大小介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之
，
间
选项B 正确；
星
地球
卫
绕
做
周运
万有引力提供向心力，由牛
第二定律可知
圆
动时
顿
G＝ma 可知加速度大小与
量无关，
质
选项C
；星
地球做
周运
万有引力提供向心力，由牛
第二
错误卫
绕
圆
动时
顿
定律可知G＝mω2r，由几何关系可知r＝R＋h，
立可得
联
h＝－R，选项D
。
错误
11.(2021·湖南衡阳
考
联
)2020 年11 月24 日，长征五号运载火箭搭载嫦娥五号探测器
成功发射升空并将其送入预定轨道，11 月28 日，嫦娥五号进入环月轨道飞行，12 月
17 日凌晨，嫦娥五号返回器携带月壤着陆地球。假设嫦娥五号环绕月球飞行时，在距
月球表面高度为h 处，绕月球做匀速圆周运动(不计周围其他天体的影响)，测出飞行
周期T，已如万有引力常量G 和月球半径R。则下列说法错误的是( )
A.嫦娥五号绕月球飞行的线速度为
B.月球的质量为
C.月球的第一宇宙速为
D.月球表面的重力加速度为
答案 B
解析 嫦娥五号
月球
行的
道半径
绕
飞
轨
为(R＋h)，所以
行的
速度
飞
线
为v＝，故A 正
确；嫦娥五号
月球做匀速
周运
，由牛
第二定律
绕
圆
动
顿
G＝m(R＋h)，解得月球的
量
质
为m 月＝，故B
；月球第一宇宙速度
月球表面运行的
星的速度，由牛
第
错误
为绕
卫
顿
二定律得G＝m，解得月球的第一宇宙速度为v＝，故C 正确；在月球表面，重力等于
10
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万有引力mg＝G，月球表面的重力加速度为g 月＝，故D 正确。
12.宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之
为双星系统。设某双星系统A、B 绕其连线上的某固定点O 点做匀速圆周运动，如图2
所示。若A、B 两星球到O 点的距离之比为3∶1，则( )
图2
A.星球A 与星球B 所受引力大小之比为1∶3
B.星球A 与星球B 的线速度大小之比为1∶3
C.星球A 与星球B 的质量之比为3∶1
D.星球A 与星球B 的动能之比为3∶1
答案 D
解析 星球A 所受的引力与星球B 所受引力就是二者之
的万有引力，大小是相等
间
的，故A
；双星系
中，星球
错误
统
A 与星球B
的角速度相等，根据
转动
v＝ωr，速度
则
大小之比为3∶1，故B
；
错误
A、B 两星球做匀速
周运
的向心力由二者之
的万
圆
动
间
有引力提供，可得G＝mAω2rA＝mBω2rB，
星球
则
A 与星球B 的
量之比
质
为mA∶mB＝
rB∶rA＝1∶3，故C
；星球
错误
A 与星球B 的
能之比
＝
动
为
＝＝，故D 正确。
13.(2021·山
泰安
东
检测)2021 年2 月24 日10 时22 分，我国在酒泉卫星发射中心用长
征四号丙运载火箭，成功将遥感三十一号03 组卫星发射升空，卫星进入预定圆形轨
道。如图3 所示为该卫星绕地球运行示意图，测得卫星在t 时间内沿逆时针从P 点运
动到Q 点，这段圆弧所对的圆心角为θ。已知地球的半径为R，地球表面重力加速度
为g，则这颗卫星离地球表面的高度为( )
图3
A.
B.
C.－R
D.－R
答案 C
解析
星的角速度
该卫
为ω＝，在地球表面有mg＝G，于
星，有
对
卫
G＝mω2(R＋h)，
立解得
联
h＝－R。
14.(2021·福建
岩
龙
质检)嫦娥五号任务的圆满完成，标志着我国航天事业发展中里程
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碑式的新跨越。嫦娥五号从地面发射后进入地月转移轨道，再经过变轨后进入绕月圆
形轨道，已知圆形轨道距月球表面高度为h，月球半径为R，月球表面重力加速度为
g0，已知万有引力常量为G。求
(1)月球质量m 月；
(2)探测器在圆轨道上运动的线速度v 大小。
答案 (1) (2)R
解析 (1)月球表面万有引力近似等于重力，有G＝mg0，解得m 月＝。
(2)探
器在
道上运
，万有引力提供向心力有
测
圆轨
动时
G＝m，解得v＝＝R。
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