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5.1 万有引力定律
考点一 开普勒行星定律..................................................................................................................................................... 1
题组1：开普勒第一定律与第二定律.......................................................................................................................1
题组2：开普勒第三定律..............................................................................................................................................3
考点二 万有引力定律的理解............................................................................................................................................ 4
题组1：万有引力的大小..............................................................................................................................................5
题组2：万有引力与重力的关系................................................................................................................................6
题组3：万有引力与动力学综合问题.......................................................................................................................7
考点三 天体质量、密度的估算........................................................................................................................................8
题组1：利用重力加速度求天体质量与密度.........................................................................................................9
题组2：利用环绕卫星求天体质量与密度........................................................................................................... 10
5.1 万有引力定律
考点一 开普勒行星定律
题组1：开普勒第一定律与第二定律
1.（单选）二十四节气划分是以地球和太阳的连线每扫过15°定为一个节气。如图所示为北半球二十四个
节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球在近日点附近。则( )
A. 芒种到夏至的时间比大雪到冬至的长B. 立夏时地球的公转速度比谷雨时大
C. 夏至时地球受太阳的引力比冬至大
D. 由地球的公转周期可求出地球的质量
【答案】A
【解析】解：A.芒种到夏至和大雪到冬至均转过15
∘，因前者在远地点附近，角速度较小，后者在近日点附
近，角速度较大，由角度和角速度的关系：t = θ
ω，可知芒种到夏至的时间间隔比大雪到冬至的长，故A 正
确;
B、根据开普勒第二定律可知立夏时地球的公转速度比谷雨时小，故B 错误；
C、夏至时地球在远日点地球距离太阳比较远，冬至时地球在近日点，地球距离太阳比较近，根据
F = GMm
r
2
可知，夏至时地球受太阳的引力比冬至小，故C 错误；
1
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D、设地球的公转周期为T，太阳的质量为M，地球的质量为m，地球的轨道半径为r，根据万有引力提供
向心力有GMm
r
2
=mr ⋅4 π
2
T
2 ，地球的质量m可以消去，可以求出太阳的质量，不能求出地球的质量，故D
错误。
故选：A。
2. （单选）如图所示，哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1，加速度大小为a1；在
远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，加速度大小为a2，则( )
A. v1
v2
>√
r2
r1
B. v1
v2
=√
r2
r1
C. a1
a2
= v1
2⋅r2
2
v2
2⋅r1
2
D. a1
a2
= r2
r1
【答案】A
【解析】AB.由于哈雷彗星做的不是圆周运动，在近日点做离心运动，在远日点做近心运动，因此不能通
过万有引力充当向心力计算其在近日点和远日点的线速度之比，需通过开普勒第二定律求解，设在极短时
间Δt内，在近日点和远日点哈雷彗星与太阳中心的连线扫过的面积相等，即有1
2 v1 Δt ⋅r1= 1
2 v2 Δt ⋅r2
可得v1:v2=r2:r1
故v1
v2
>√
r2
r1
故A 正确，B 错误；
CD .对近日点，根据牛顿第二定律有G Mm
r1
2 =ma1
对远日点，根据牛顿第二定律有G Mm
r2
2 =ma2
联立解得a1:a2=r2
2:r1
2
故CD 错误。
故选A。
3.（单选）1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球
运动．如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为
M，引力常量为G.则 ( )
A. v1>v2，v1=√
GM
r
B. v1>v2，v1>√
GM
r
2
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C. v1<v2，v1=√
GM
r
D. v1<v2，v1>√
GM
r
【答案】B
【解析】“东方红一号”环绕地球在椭圆轨道上运行的过程中，由开普勒第二定律可知，卫星在近地点的速
度大于在远地点的速度，即有v1>v2；从近地点向远地点运动时，卫星做离心运动．由离心运动条件可知，
此时G Mm
r
2 < mv1
2
r
，解得v1>√
GM
r
，故选B。
题组2：开普勒第三定律
4. （单选）我国发射的天问一号探测器经霍曼转移轨道到达火星附近后被火星捕获，经过系列变轨后逐渐
靠近火星，如图所示，Ⅰ轨道和Ⅱ轨道为其中的两个轨道。图中阴影部分为探测器与火星的连线在相等时
间内扫过的面积，下列说法正确的是( )
A. 两阴影部分的面积相等
B. 探测器在Ⅱ轨道上通过P点时的速度小于在Ⅰ轨道上通过P点时的速度
C. 探测器在Ⅰ轨道运行的周期小于在Ⅱ轨道运行的周期
D. 探测器在Ⅰ轨道上的机械能小于在Ⅱ轨道上的机械能
【答案】B
【解析】A.根据开普勒第二定律可知探测器绕火星运行时在同一轨道上与火星的连线在相同时间内扫过的
面积相等，但在不同轨道上与火星的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故A 错误;
BD.探测器从Ⅰ进入Ⅱ需在P点减速，做近心运动，机械能减小，故 B 正确、D 错误。
C.根据开普勒第三定律a
3
T
2 =定值，知探测器在Ⅰ轨道上运行周期比在Ⅱ轨道上大，故C 错误。
5. （单选）中国古代所谓的“扫把星”说的是彗星，若某颗彗星绕日运动的轨道为椭圆，平均周期约为p年，
近日点的速率为v1，近日点到太阳的距离约为日地距离的q倍。地球绕太阳运动的轨道为圆轨道，据此可
知该彗星在远日点的速率为( )
A.
q v1
2√p
3−q
B.
p v1
√p
3−q
C.
p v1
3√p
2−q
D.
q v1
2
3√p
2−q
【答案】D
【解析】设彗星绕日运动的轨道半长轴为a，地球绕太阳运动的轨道半径为R，根据开普勒第三定
律 a
3
T 1
2 = R
3
T 2
2 ，
3
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解得 a
R =
3√p
2，
近日点到太阳距离为 a1=qR，
故远日点到太阳距离为 a2=2a−a1，
根据开普勒第二定律可得 v1a1= v2a2，
联立解得 v2=
q v1
2
3√p
2−q
。
故选D。
6. （单选）如图所示，某卫星的发射过程经历了3个轨道：轨道2是半径为R的圆轨道，轨道1和3为椭圆
轨道且分别与轨道2相切，轨道1和3的长轴在同一直线上。已知轨道3的远地点到地心的距离为R1，轨道1
的近地点到地心的距离约等于地球半径R0。则该卫星在轨道1和3上运行时的周期之比为( )
A. R1+ R
R0+ R
B. R0+ R
R1+ R
C. √
( R1+ R
R0+ R )
3
D. √
( R0+ R
R1+ R )
3
【答案】D
【解析】由题知，轨道1的半长轴r1= R+ R0
2
，轨道3的半长轴r3= R+ R1
2
，由开普勒第三定律有r3
3
T 3
2 = r1
3
T 1
2，
解得该卫星在轨道1和3上运行时的周期之比T 1
T 3
=√
( R0+ R
R1+ R )
3，选项D 正确。
故选D。
考点二 万有引力定律的理解
题组1：万有引力的大小
1. （单选）下列说法符合史实的是( )
A. 开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
B. 牛顿测出了万有引力常量，被称为“称量地球质量”的人
C. 哈雷根据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归时间
D. 天王星是运用万有引力定律在“笔尖下发现的行星”
【答案】C
【解析】A、开普勒总结出了行星运动的规律，牛顿发现了万有引力定律，故A 错误；
B、卡文迪许测出了万有引力常量，被称为“称量地球质量”的人，故 B 错误；
4
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C、哈雷根据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归时间，故C 正确；
D、海王星是运用万有引力定律在“笔尖下发现的行星”，故D 错误。
故选C。
2. （单选）设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，月球与地球
仍可看作是均匀的球体，开采前，地球质量大于月球质量，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前
相比( )
A. 地球与月球间的万有引力变大
B. 地球与月球间的万有引力变小
C. 月球的公转周期不变
D. 月球的公转周期变大
【答案】B
【解析】AB.开采前，由万有引力定律可得F前=G Mm
r
2 ，由题目给定条件可知，M、m之和不变，开采
后由万有引力定律可得F后=G ( M + Δm)(m−Δm)
r
2
，由于
Mm−( M + Δm)(m−Δm)= Δm( M −m+ Δm)>0，且r不变，故A 错误，B 正确；
CD .由万有引力提供向心力有G Mm
r
2 =m 4 π
2
T
2 r，可得T =2π √
r
3
GM
，由于r不变，M增大，则周期T变
短，故CD 错误。
故选B。
3. （单选）如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外表面上一个质点P的万有引力为F。如
果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r = R
2 ，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为( )
A. F
2
B. F
8
C. 7 F
8
D. F
4
【答案】C
【解答】解：原来球体与球外质点P间的万有引力为F，挖去的半径为R
2 的球的质量为原来球的质量的1
8，
其他条件不变，由F = G m1m2
r
2
，知挖去部分对质点P的引力为F
8 ，
所以剩余部分对质点P的引力为F −F
8 = 7
8 F，故C 正确，ABD 错误。
故选C。
题组2：万有引力与重力的关系
5
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4. （单选）从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质
量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”
和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之
比为( )
A. 9：1 B. 9：2 C. 36：1
D. 72：1
【答案】B
【解答】在星球表面，根据物体所受的万有引力等于重力得：
GMm
R
2
=mg
解得：g= GM
R
2
故g火
g月
= M 火R月
2
M 月R火
2 =9× 1
4 = 9
4
悬停时，两车均受力平衡，即F =mg
F祝
F 兔
= m祝g火
m兔g月
= 2×9
4
= 9
2，故B 正确，ACD 错误。
故选：B。
5. （单选）一颗在赤道上空做匀速圆周运动的人造卫星，其轨道半径上对应的重力加速度为地球表面重力
加速度的九分之一、已知地球半径为R，则该卫星离地面的高度为( )
A. R
B. 2 R
C. 3 R
D. 4 R
【答案】B
【解析】对地面上的物体 mg=G Mm
R
2 ，对轨道卫星 1
9 m
' g= GM m
'
( R+h)
2，解得h=2 R，故选B。
6. （单选）“中国天眼”发现，在距离地球17光年处有一颗具有和地球相同自转特征的“超级地球”。如题图
所示，该星球可以视为均匀圆球，绕AB轴自转，O点为其球心，半径OE与赤道平面的夹角为θ。已知该
星球的半径为R，北极点A处的重力加速度大小为g，赤道上D处的重力加速度大小为kg(0<k <1)，则E
处的自转线速度大小为( )
6
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A. (1−k )√Rg
B. √(1−k )Rgcosθ
C. √Rg(1−k )cosθ
D. √(1−k
2)Rgcosθ
【答案】B
【解析】在北极点A处有GMm
R
2
=mg
在赤道上D处有GMm
R
2
=m⋅kg+mω
2 R
联立解得，该星球自转的角速度ω=√
(1−k )g
R
因此E处的自转线速度大小v =ωR cosθ =√(1−k )Rgcosθ，选项B 正确
故选B
题组3：万有引力与动力学综合问题
7. （单选）将轻质弹簧一端固定在地球某处水平地面上，由某高度处静止释放一个小球，小球落在竖直弹
簧上。已知小球速度最大时弹簧的压缩量为x。假设把该装置搬到某星球上(该星球的密度是地球密度的
0.8倍，半径是地球半径的0.5倍)，仍然将小球由同样高度处释放，则小球速度最大时弹簧的压缩量为( )
A. 2.5 x B. 1.25 x
C. x
D. 0.4 x
【答案】D
【解析】小球速度最大的位置，弹簧的压缩量为x，此时弹簧弹力等于小球重力，即：kx =mg，由此可见，
压缩量x∝g，
根据黄金代换式得：g= GM
r
2 =
Gρ 4
3 πr
3
r
2
= 4
3 Gπρr，g∝ρr，
综上x∝ρr，则可以得到在该星球上的弹簧压缩量与地球上弹簧压缩量之比：x'
x = ρ火r 火
ρ地r地
，解得：
x' =0.4 x。
故选D。
8.（单选）2024年6月4日7时38分，嫦娥六号上升器携带月球样品自月球背面起飞。将上升器自静止开始
竖直上升的第一阶段视为匀变速直线运动，该阶段所用的时间为t，发动机的推力大小恒为F，上升器的位
移大小为h，已知上升器(包括月球样品)的质量为m，月球的半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影
响，h≪R。则月球的质量为( )
A. F R
2
Gm −h R
2
Gt
2
B. h R
2
Gt
2 −F R
2
Gm
C. F R
2
Gm −2h R
2
Gt
2
D. 2h R
2
Gt
2 −F R
2
Gm
【答案】C
【解析】在上升器上升的第一阶段，有h= 1
2 at
2 ， F −mg=ma
7
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在月球表面附近有mg=G Mm
R
2
联立解得月球的质量为M = F R
2
Gm −2h R
2
Gt
2
故选C。
9. （单选）某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半，若从地球表面高h处平抛一物
体，射程为60m，则在该星球上，从同样高度以同样的初速度v0平抛同一物体，射程应为 ( )
A. 10m B. 15m C. 90m D. 360m
【答案】A
【解析】由平抛运动规律可知，射程x = v0t = v0√
2h
g
，即在v0、h相同的条件下，x∝1
√g .又由公式
G Mm
R
2 =mg得g= GM
R
2 ，则g星
g地
= M 星
M 地
( R地
R星
)
2
= 9
1 ×( 2
1 )
2
= 36
1
，所以x星
x地
= √g地
√g星
= 1
6 ，得x星=10m，故选
项A 正确．
考点三 天体质量、密度的估算
题组1：利用重力加速度求天体质量与密度
1. （单选）科学家通过天文观测发现太空中某行星的半径为地球半径的k倍，行星表面重力加速度为地球
表面重力加速度的n倍，则该行星密度与地球密度之比为( )
A. n
k
B. k
n
C. kn
D. 1
kn
【答案】A
【解析】由G Mm
R
2 =mg ， V = 4
3 π R
3 ， ρ= M
V
得ρ=
3 g
4 πGR
因此该行星密度与地球密度之比为 n
k 。
故选A。
2. （单选）我国计划在2030年前实现首次中国人登陆月球，假设航天员登录月球前先随着陆器和登月飞
船绕月球做匀速圆周运动、周期为T，登月后在月球表面用弹簧测力计测量一个质量为m的物体的重力，
当物体静止时，弹簧测力计的示数为F。已知万有引力常数为G，着陆器和登月飞船绕月球做圆周运动时
距月球表面的高度可忽略不计，则月球的质量为( )
A.
FT
2πGm
B.
F
3T
2
4 π
2Gm
2 C.
F
2T
3
4 π
2Gm
3 D.
F
3T
4
16 π
4Gm
3
【答案】D
【解析】【解答】设月球表面的重力加速度为g，月球的半径为R，月球的质量为M，根据题意则有
F =mg
在月球表面物体的重力和万有引力大小相等，则有GMm'
R
2
=m' g
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对于绕月球表面做匀速圆周运动的航天器而言则有GMm' '
R
2
=m' '( 2π
T )
2 R
联立解得M =
F
3T
4
16 π
4Gm
3，故ABC 错误，D 正确。
故选：D。
3. （多选）若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L.已
知月球半径为R，引力常量为G.则下列说法正确的是 ( )
A. 月球表面的重力加速度g月= 2h v0
2
L
2
B. 月球的质量m月= 2h R
2v0
2
G L
2
C. 月球的自转周期T = 2πR
v0
D. 月球的平均密度ρ= 3h v0
2
2πG L
2
【答案】AB
【解析】根据平抛运动规律得：L= v0t，h= 1
2 g月t
2，联立解得：g月= 2h v0
2
L
2 ，A 正确；
对于月球表面质量为m的物体有：m g月=G mm月
R
2
，解得：m月= g月R
2
G
= 2h R
2v0
2
G L
2
，B 正确；
v0是小球做平抛运动的初速度，而非月球自转的线速度，C 错误；
月球的平均密度：ρ=
m月
4
3 π R
3 =
3h v0
2
2πG L
2 R ，D 错误．
题组2：利用环绕卫星求天体质量与密度
4.（单选）2024年4月26日，神舟十八号载人飞船成功发射，神舟十八号乘组人员与神舟十七号乘组人员
在太空成功会师。已知空间站组合体绕地球做匀速圆周运动的轨道离地高度为地球半径的1
16 ，运行周期为
T，引力常量为G，则地球的密度为( )
A. (
17
16)
3 3 π
GT
2
B. (
17
16)
2 3 π
GT
2
C. (
1
16)
3 3 π
GT
2
D. (
1
16)
2 3 π
GT
2
【答案】A
【解答】由G
Mm
( 17
16 R)
2 =m( 17
16 R)( 2π
T )
2
，地球密度ρ=
M
4
3 π R
3 =(
17
16)
3 3 π
GT
2 ，A项正确。
5.（单选）1798年，英国物理学家卡文迪什测出了引力常量G，因此卡文迪什被人们称为能称出地球质量
的人．若已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间为T 1(地球的
自转周期)，一年的时间为T 2(地球的公转周期)，地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心
的距离为L2.你能计算出 ( )
A. 地球的质量m地= g R
2
G
B. 太阳的质量m日= 4 π
2 L2
3
GT 2
2
C. 月球的质量m月= 4 π
2 L1
3
GT 2
2
D. 月球、地球及太阳的密度
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【答案】AB
【解析】对地球表面上质量为m的物体，根据万有引力等于重力，有G m地m
R
2
=mg，则m地= g R
2
G
，故A
正确；
地球绕太阳运动，根据万有引力提供向心力有G m日m地
L2
2
=m地
4 π
2
T 2
2 L2，解得m日= 4 π
2 L2
3
GT 2
2 ，故B 正确；
因为不知道月球的卫星运行情况或月球表面重力加速度及月球半径，无法求出月球的质量，故C 错误；
月球的质量、半径无法求出，太阳的半径未知，则无法求出月球以及太阳的密度，故D 错误．
6.如图所示，A、B是地球的两颗卫星，其中卫星A是地球静止卫星，A、B两颗卫星轨道共面，沿相同方
向绕地球做匀速圆周运动。已知卫星A的轨道半径为卫星B轨道半径的4倍，卫星A的轨道半径为地球半径
的6倍，地球的自转周期为T 0，引力常量为G。求：
(1)卫星B绕地球做圆周运动的周期T；
(2)地球的平均密度ρ。
【答案】(1)根据开普勒第三定律得 r A
3
T 0
2 = rB
3
T
2 ，
解得 T = 1
8 T 0
(2)设地球半径为R，地球的质量为M，卫星A的质量为m，根据牛顿第二定律得 G Mm
(6 R)
2 =m 4 π
2
T 0
2 ⋅6 R
地球的质量为 M = ρ 4
3 π R
3
解得 ρ= 648 π
GT 0
2
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