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5.2 万有引力定律的应用
考点一 宇宙速度的理解与计算........................................................................................................................................1
题组1：三个宇宙速度的理解....................................................................................................................................1
题组2：第一宇宙速度的计算....................................................................................................................................2
考点二 卫星运行参量分析.................................................................................................................................................3
题组1：不同轨道卫星状态参量的比较.................................................................................................................. 3
题组2：卫星与同步卫星及赤道上物体运行参量比较.......................................................................................5
5.2 万有引力定律的应用
考点一 宇宙速度的理解与计算
题组1：三个宇宙速度的理解
1. （单选）如图所示为教材中关于“天体运行中三个宇宙速度”的插图，其中有①②③④条轨道，下列说
法正确的是( )
A. 轨道①对应的速度是卫星绕地球运行所需的最大发射速度
B. 轨道①对应的速度是圆轨道卫星的最大环绕速度
C. 轨道②上卫星单位时间扫过的面积等于轨道③上卫星单位时间扫过的面积
D. 卫星沿轨道④运动，将脱离太阳引力的束缚，飞出太阳系
【答案】B
【解析】AB.轨道①对应的速度是卫星绕地球运行所需的最小发射速度，最大环绕速度，故A 错误，B 正
确；
C.根据开普勒第二定律可知，同一轨道上某一卫星在相等时间内扫过的面积相等，而不同轨道上相同时间
内扫过的面积不相等，故C 错误；
D.卫星沿轨道④运动，将脱离地球引力的束缚，没有飞出太阳系，故D 错误。
故选B。
2.（单选）2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫
星)，该卫星( )
A. 入轨后可以位于北京正上方B. 入轨后的速度大于第一宇宙速度
C. 发射速度大于第二宇宙速度D. 若发射到近地圆轨道所需能量较少
【答案】D
【解答】A、同步卫星只能在赤道上空，故A错误；
B、所有卫星绕地球做圆周运动的运行速度都不大于第一宇宙速度，故B错误；
1
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C、同步卫星的发射速度都要小于第二宇宙速度，故C错误；
D、依据能量守恒定律可知，将卫星发射到越高的轨道需要克服引力所做的功越大，所以发射到近地圆轨
道，所需能量较小，故D正确。
故选：D。
3.（单选）2024年6月25日，中国嫦娥六号月球探测器完成人类首次从月背采样并返回地球。整个返回过
程包括月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移以及再入回收等阶段。关于以上阶段，下列
说法正确的是( )
A. 月面上升阶段，上升器的起飞速度至少需要达到7.9km/ s
B. 上升器与轨返组合体交会对接后，运动周期将会增大
C. 轨返组合体进入月地转移时，速度不会超过11.2km/ s
D. 返回器采用半弹道跳跃式再入大气层方式返回，这一过程机械能守恒
【答案】C
【解析】A、第一宇宙速度7.9km/ s是卫星在地球发射的最小速度，也是卫星绕地球做圆周运动的最大环
绕速度。月面上升阶段，上升器要脱离月球，其起飞速度至少要达到月球上的第一宇宙速度，并不是地球
上的第一宇宙速度7.9km/ s，选项A 错误;
B、上升器与轨返组合体交会对接后，组合体的轨道半径不变，故运动周期不变，选项B 错误;
C、第二宇宙速度11.2km/ s是卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度，轨返组合体进入月地转移时，是
从月球轨道向地球运动，其速度不能超过11.2km/ s，否则会脱离地球引力范围，无法回到地球，选项C
正确;
C、返回器采用半弹道跳跃式再入大气层方式返回，在大气层中会受到空气阻力，空气阻力会对返回器做
功，机械能不守恒，选项D 错误。
题组2：第一宇宙速度的计算
4. （单选）天问三号将实现火星采样返回.已知地球和火星质量之比约为9:1，半径之比约为2:1.若在地
球表面抛射绕地航天器，在火星表面抛射绕火航天器，所需最小抛射速度的比值约为( )
A. 9:2
B. 3:2
C. 3:√2 D. √3:√2
【答案】C
【解析】要抛射航天器，所需要的最小速度为中心天体的第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力
G Mm
R
2 =m v
2
R ，可得天体的第一宇宙速度v =√
GM
R
，则地球和火星的第一宇宙速度之比3:√2，即所需最
小抛射速度的比值约为3:√2，C 正确．
5. （单选）我国计划在2030年前实现载人登月。已知地球与月球的密度之比为5:3，近地卫星的环绕周
期为T，月球的半径为R，则月球的第一宇宙速度为( )
A. √
3
5 ⋅2πR
T
B. 3
5 ⋅2πR
T
C. 9
25 ⋅2πR
T
D. 27
125 ⋅2πR
T
【答案】A
【解析】设地球质量为M，地球半径为r，则G Mm
r
2 =mr( 2π
T )
2，又ρ=
M
4
3 π r
3，解得ρ= 3 π
GT
2，同理，飞
船贴着月球表面环月飞行时3
5 ρ= 3 π
GT
' 2，解得T ' =√
5
3 T，月球的第一宇宙速度v = 2πR
T ' =√
3
5
．2πR
T
，故
A 正确。
2
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6. （多选）嫦娥六号探测器在落到月球表面过程中先悬停，利用激光三维扫描技术选定好着陆点，然后开
始缓慢竖直下降，距月面h高度时发动机关闭，以自由落体方式到达月面，测得探测器下落时间为t，已知
月球半径为R，万有引力常量为G，忽略关闭发动机时探测器的速度，则( )
A. 月球表面重力加速度为g= 2h
t
2
B. 月球质量为M = 2 Rh
Gt
2
C. 月球表面的第一宇宙速度为v =√
2hR
t
2
D. 月球绕地球周期为T =2π√
Rt
2
2h
【答案】AC
【解析】A.根据h= 1
2 gt
2，解得g= 2h
t
2 ，A 正确；
B.根据黄金代换式mg=G Mm
R
2 ，解得M = 2 R
2h
Gt
2 ，B 错误；
C.根据牛顿第二定律得mg=m v
2
R
，解得v =√
2hR
t
2 ，C 正确；
D.无法求出月球绕地球周期，D 错误。
故选AC。
考点二 卫星运行参量分析
题组1：不同轨道卫星状态参量的比较
1. （单选）中国航天事业成就斐然，堪称一部波澜壮阔的奋斗史诗，在一次航天发射任务中，“远征三号”
将7颗卫星送入不同轨道。假设在太空中有两颗被该火箭送入轨道的卫星A和卫星B，它们在各自轨道上绕
地球做匀速圆周运动，已知卫星A的轨道半径小于卫星B的轨道半径，且两颗卫星的质量相等。根据以上
信息，下列说法正确的是
A. 卫星A的运行周期小于卫星B的运行周期
B. 卫星A的线速度小于卫星B的线速度
C. 卫星A受到地球的引力小于卫星B受到地球的引力
D. 卫星A和卫星B的角速度大小相等
【答案】A
【解析】卫星的线速度公式为v =√
GM
r
，轨道半径r越小，线速度越大。由于卫星A的轨道半径更小，其
线速度应大于卫星B的线速度;根据开普勒第二定律T
2∝r
3，轨道半径越大，周期越长。卫星A的轨道半径
更小，因此其运行周期小于卫星B；地球对卫星的引力为F = GMm
r
2
。两卫星质量相等，但卫星A的轨道半
径更小，因此其受到的引力更大；角速度公式为ω=√
GM
r
3 ，轨道半径不同导致角速度不同。卫星A的角速
度更大。故A 正确，BCD 错误。
2. （单选）如图所示，两质量相等的人造卫星A、B均绕地球做匀速圆周运动，用a、Ek、T、S分别表示
卫星的加速度、动能、周期、与地心连线在单位时间内扫过的面积.下列关系式正确的是( )
3
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A. aA>aB
B. EkA> EkB C. T A>T B
D. S A = SB
【答案】C
【解析】A.两质量相等的人造卫星A、B，半径大的A所受的万有引力小即向心力小，所以A的向心加速度
小，故A 错误。
C.则开普勒第三定律可知周期的二次方与半径的三次方成正比，A的半径大，则其周期长即T A>T B，则C
正确；
BD .由开普勒第二定可知绕同一天体运动的天体与中心天体连线在同一时间内扫过的面积相等，AB不的
同一轨道，则面积不同，单位时间内扫过的面积为S = 1
2 vr = 1
2 r√
GM
r
= 1
2 √GMr，所以A扫过的面积大，
故D 错误；轨道半径大的速度小，则A的速度小于B的速度，又质量相等，则A的动能小于B的动能，则
B 错误；
故选C。
3. （单选）若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1，加速度大小为a1，机械能为
E1;在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，加速度大小为a2，机械能为E2。地球公转周期为
T 1，哈雷彗星公转周期为T 2，下列说法正确的是( )
A. v1
v2
= r2
r1
B. a1
a2
= r1
r2
C. E1
E2
= r1
r2
D. T 1
T 2
=√
(r1+r2)
3
r1
3
【答案】A
【解析】A、根据开普勒第二定律，行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。设相等时间为△t，
在近日点扫过的面积S1= 1
2 v1△t ⋅r1，在远日点扫过的面积S2= 1
2 v2△t ⋅r2，因为S1= S2，所以
1
2 v1△t ⋅r1= 1
2 v2△t ⋅r2，化简可得v1
v2
= r2
r1
，A 正确；
B、根据万有引力定律F =G Mm
r
2 ，牛顿第二定律F =ma，可得a= GM
r
2 ，那么a1
a2
= r2
2
r1
2，B 错误；
4
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C、哈雷彗星在运动过程中只有万有引力做功，机械能守恒，即E1= E2，E1
E2
=1， C 错误；
D、地球的轨道半径可近似认为是r1(这里假设地球轨道接近圆，且半径与哈雷彗星近日点到太阳距离关联
)，根据开普勒第三定律a
3
T
2 =k(a为半长轴)，哈雷彗星轨道的半长轴a= r1+r2
2
，地球轨道半径为r1，则
T 1
2
T 2
2 =
r1
3
( r1+r 2
2
)
3，T 1
T 2
=√
8r1
3
(r1+r2)
3，D 错误。
题组2：卫星与同步卫星及赤道上物体运行参量比较
4. （单选）某颗北斗导航卫星属于地球静止轨道卫星(即卫星相对于地面静止)，则此卫星的( )
A. 线速度大于第一宇宙速度
B. 周期小于同步卫星的周期
C. 角速度大于月球绕地球运行的角速度D. 向心加速度大于地面的重力加速度
【答案】C
【解析】A.第一宇宙速度是所有绕地球运行的卫星的最大速度，则此卫星的线速度小于第一宇宙速度，A
错误；
B.卫星属于地球静止轨道卫星，即为地球的同步卫星，B 错误；
C.根据ω=√
GM
r
3 ，卫星的轨道半径远小于月球绕地球运行的半径，故角速度大于月球绕地球运行的角速
度，C 正确；
D.根据a= GM
r
2 ，卫星的轨道半径大于地球半径，故向心加速度小于地面的重力加速度，D 错误．
故选C。
5. （单选） 2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心成功发射北斗系统第54颗导航卫星，北斗导航工
程实现2020年“开门红”。北斗卫星导航系统由地球同步静止轨道卫星、与同步静止轨道卫星具有相同周期
的地球同步倾斜轨道卫星，以及比它们轨道低一些的中轨道卫星组成。它们均为圆轨道卫星，轨道分布情
况如图所示，则( )
A. 地球同步倾斜轨道卫星可相对静止在北京上空
B. 地球同步倾斜轨道卫星的轨道高度大于同步静止轨道卫星的轨道高度
C. 所有同步卫星绕地球运动的速率都一定小于中轨道卫星绕地球运动的速率
D. 质量相等的中轨道卫星与同步轨道卫星相比，中轨道卫星所具有的机械能较大
【答案】C
【解析】解：A、地球同步倾斜轨道卫星绕地球做匀速圆周运动，以地心为圆心，可以经过北京的上空，
由于地球自转方向与地球同步倾斜轨道卫星的运行方向不一致，故地球同步倾斜轨道卫星不可以相对静止
在北京上空，故A 错误；
5
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B、根据万有引力提供向心力，GMm
r
2
=m 4 π
2
T
2 r，解得：r =
3√
GM T
2
4 π
2 ，因为地球同步倾斜轨道卫星与静
止轨道同步卫星的周期相同，则它们的轨道半径也是相等的，故B 错误；
C、根据万有引力提供向心力，GMm
r
2
=m v
2
r ，解得：v =√
GM
r
，因为中轨卫星的高度低于静止同步卫星，
即r小，故所有同步卫星绕地球运动的速率都一定小于中轨道卫星绕地球运动的速率，故C 正确；
D、中轨道卫星的半径小，处于低轨道，故它的能量小，由中轨道到同步轨道需要加速，故质量相等的中
轨道卫星与同步轨道卫星相比，中轨道卫星所具有的机械能较小，故D 错误。
故选：C。
6. （单选）如图所示，a为地球赤道上的物体，随地球表面一起转动，b为近地轨道卫星，c为同步轨道卫
星，d为高空探测卫星。若a、b、c、d绕地球转动的方向相同，且均可视为匀速圆周运动。则( )
A. a、b、c、d中，a的加速度最大B. a、b、c、d中，b的线速度最大
C. a、b、c、d中，c的周期最大
D. a、b、c、d中，d的角速度最大
【答案】B
【解答】A.同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据
a=ω
2r知，c的向心加速度大。
对bcd，根据万有引力提供向心力有：GMm
r
2
=ma，得a= GM
r
2 ，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，
故b的加速度最大。故A 错误；
B.对bcd，由GMm
r
2
=m v
2
r ，解得v =√
GM
r
，可知半径小的线速度大，所以b的线速度最大，根据v =rω可
知c的线速度大于a的线速度，故B 正确
CD .对bcd，由开普勒第三定律r
3
T
2 =k知，卫星的半径越大，周期越大，所以d的运动周期大于c的周期
24 h，而a与c的周期都是24 h，所以d的周期最大。由于w = 2π
T ，即角速度与周期成反比，则d的角速度
小，故CD 错误。
故选：B。
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