文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
第24 讲 万有引力定律及应用
核心考点
考点一 开普勒定律........................................................................................................................1
考点二 万有引力定律....................................................................................................................7
考点三 天体质量和密度的计算..................................................................................................12
考点一 开普勒定律
1.开普勒三大定律
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都
是椭圆，太阳处在椭圆的一个
焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太
阳的连线在相等的时间内扫过
的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星轨道的半长轴的三次
方跟它的公转周期的二次方的
比都相等
a
3
T
2＝k，k 是一个与
行星无关的常量
注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，例如月球、卫星绕地球的运动。此时k
是一个与中心天体有关的常量。
【例1】（2025·陕西西安·三模）如图所示，O 处为地心，卫星1 环绕地球做匀速圆周运动，
卫星2 环绕地球运行的轨道为椭圆，两轨道不在同一平面内。已知圆轨道的直径等于椭圆轨
道的长轴，且地球位于椭圆轨道的一个焦点上，引力常量为G，地球的质量为M，卫星1 的
基础过关
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
轨道半径为R，卫星1 的运转速度为v0，关系为
。下列说法正确的是（ ）
A．卫星1 的运行周期大于卫星2 的运行周期
B．如果卫星1 的加速度为a，卫星2 在P 点的加速度为
，则
C．卫星2 在Q 点的速度
D．卫星2 在P、Q 点的速度大小关系为
【答案】D
【详解】A．题意可知卫星2 的轨道半长轴为R，根据开普勒第三定律
由于卫星1 的半径等于卫星2 的半长轴，所以卫星1 的运行周期等于卫星2 的运行周期，故A
错误；
B．设卫星质量为m，则有
解得
由于P 点距离中心天体较近，所以
故B 错误；
C．若卫星2 在OQ 为半径的轨道上做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
解得
由于卫星在椭圆轨道的Q 点要做近心运动，所以
故C 错误；
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
D．若卫星在P 点做半径为R 的圆周运动，根据
易知卫星在P 点做半径为R 的圆周运动的速度
大于
（
），由于卫星在圆轨道的P
点要做离心运动，则有
同理，若卫星在Q 点做半径为1.5R 的圆周运动，根据
易知卫星在Q 点做半径为1.5R 的圆周运动的速度
小于
（
），由于卫星在圆轨道
的Q 点要做近心运动，则有
综合以上可知
故D 正确。
故选D。
【例2】（2025·陕西渭南·三模）近年来，我国航天事业取得了显著的成就和发展，如载人航
天工程、月球探测、火星探测等。如图是火星探测任务中天问一号探测器实施近火制动中的
停泊轨道，该停泊轨道可看作是椭圆轨道，a、b、c、d 是该轨道上的四个点，其中d 点为近
火点，b 点为远火点，则天问一号在经过这四个位置中动能最大的是（ ）
A．a 点
B．b 点
C．c 点
D．d 点
【答案】D
【详解】根据开普勒第二定律可知，当卫星经过近火点d 时速度最大，动能最大。
故选D。
【例3】（2025·山东·模拟预测）在地球的南极和北极近地处以相同速率（大于
同时
发射两枚火箭，发射方向相反且均与地表相切。经过一段时间t₀ 后，两枚火箭间的距离第一
次达到最大值。已知地球半径为R，地表重力加速度为g，自转不计。求两枚火箭之间距离的
最大值。
【答案】4
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】卫星发射后做椭圆运动，t0两枚火箭间的距离第一次达到最大值，即运动到远地点，
得T=2t0，根据开普勒第三定律
又根据
解得
根据忽略地球自转，有
联立得
根据几何关系最大距离为
【例4】（2025·浙江绍兴·模拟预测）中国计划于2028 年前实施天问三号火星探测任务。假
设天问三号火星探测器从地球发射后，由图（a)所示的A 点沿地火转移轨道到C 点，再依次
进入图（b）所示的调相轨道和停泊轨道。已知地球、火星绕太阳做圆周运动的轨道半径分别
为R1、R2，图（b）中阴影部分面积为探测器在不同轨道上运行时与火星中心连线在相同时间
扫过的面积。则（ ）
A．图（b）中两阴影部分的面积相等
B．探测器从调相轨道变到停泊轨道需要在P 点加速
C．探测器从A 点转移到C 点的时间为
年
D．探测器在地火转移轨道上的速度均大于地球绕太阳的速度
【答案】C
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】A．相同时间内扫过的面积相等，是指绕同一中心天体运动且在同一轨道上的卫星，
图（b）中阴影部分的面积为探测器在不同轨道上时相同时间扫过的面积，不相等，故A 错
误；
B．探测器从调相轨道变到停泊轨道需要在P 点减速，故B 错误；
C．由开普勒第三定律可得
探测器从A 点转移到C 点的时间
，故C 正确。
D．在C 点探测器需要加速才能进入火星所在轨道，则探测器在转移轨道上C 点的速度小于
火星绕太阳的速度，地球、火星都绕太阳做匀速圆周运动，由
可知地球绕太阳的速度大于火星绕太阳的速度，所以地球绕太阳的速度大于探测器在地火转
移轨道上C 点的速度，故D 错误。
故选C。
【例5】（2025·山东威海·三模）2025 年“天问二号”探测器将踏上前往近地小行星
2016HO3 的征程。“天问二号”从地球发射后进入绕太阳运行的椭圆轨道，其近日点到太阳
的距离为
，远日点到太阳的距离为
，太阳的质量为
，引力常量为
。关于“天问二
号”，下列说法正确的是（ ）
A．在近日点的速度为
B．在椭圆轨道上运行的周期为
C．在近日点和远日点的速度之比为
D．在近日点和远日点的加速度之比为
【答案】BD
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】A．若探测器在过近日点的圆轨道绕太阳做匀速圆周运动，则有
解得
由于探测器从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，则“天问二号”在近日点的速度
大于
，故A 错误；
B．椭圆轨道的半长轴为
假设一圆轨道半径等于椭圆轨道的半长轴，即有
则有
可得该圆轨道的周期为
根据开普勒第三定律可知，“天问二号”在椭圆轨道上运行的周期为
，故B 正
确；
C．根据开普勒第二定律可得
可得“天问二号”在近日点和远日点的速度之比为
故C 错误；
D．根据牛顿第二定律可得
可得“天问二号” 在近日点和远日点的加速度之比为
故D 正确。
故选BD。
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2．由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到
太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。
3．开普勒第三定律＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同。该
定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
考点二 万有引力定律
1.万有引力定律
(1)内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量
m1 和
m 2的乘积成正比、与它们之间距离
r 的二次方
成反比。即F＝G
m1m2
r
2
，G 为引力常量，
通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定。
(2)适用条件
①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视
为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝G Mm
R
2 ，得g＝GM
R
2 。
(2)地球上空的重力加速度大小g'
地球上空距离地球中心r＝R＋h 处由mg'＝GMm
( R＋h)
2，得g'＝
GM
( R＋h)
2。
【例6】（2025·广西·三模）我国发射的嫦娥四号成功在月球背面软着陆，实现了人类历史上
首次月球背面软着陆与探测，为人类开发月球迈出坚实一步。太空船返回地球的过程中，一
旦通过地球、月球对其引力的合力为零的位置后，该合力将有助于太空船返回地球，已知地
球质量约为月球的81 倍，则该位置距地心的距离和距月球中心的距离之比为（ ）
A．81：1
B．10： 9
C．9：1
D．9：10
【答案】C
【详解】设太空舱质量为m，月球质量为m0，引力合力为零的位置到地心的距离为r1，地球
质量为81m0，引力合力为零的位置到月球中心的距离为r2，由万有引力定律和力的平衡有：
精讲考点
基础过关
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
可得
故选C。
【例7】（2025·四川·模拟预测）如图甲所示，一颗地球的卫星绕以地球为焦点的椭圆轨道运
行，轨道远地点为M，近地点为N，卫星受到地球的万有引力大小F 随时间t 的变化情况如图
乙所示。下列说法中正确的是（ ）
A．卫星运动周期是
B．卫星运动周期是
C．地球与M 点间距离是地球与N 点间距离的2 倍
D．地球与M 点间距离是地球与N 点间距离的4 倍
【答案】AC
【详解】AB．从图乙可知，卫星从近地点
到远地点
再回到近地点
，万有引力
完
成一个周期性变化，这个过程所用时间为
，而卫星运动的周期是完成一次完整的椭圆轨道
运动的时间，所以卫星运动周期为
，故A 正确，B 错误；
CD．根据万有引力定律
设地球与近地点
间的距离为
，与远地点
再间的距离为
则在点
在点
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
将两式相比可得
即
所以地球与
点间距离是地球与
点间距离的
倍，故C 正确，D 错误。
故选 AC。
【例8】（2025·陕西渭南·一模）海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降
低。太阳、月球对某一区域海水引力的周期性变化，就引起了潮汐现象。已知太阳质量约为
月球质量的3×107倍，太阳到地球与地球到月球距离的比值约为400。对同一片海水来说，太
阳对海水的引力与月球对海水的引力的比值大约为（ ）
A．1 180
∶
B．180 1∶
C．75000 1∶
D．1 75000
∶
【答案】B
【详解】设月球质量为M，则太阳质量为
，地球到月球的距离为r，则太阳到地球
的距离为400r，设海水的质量为m，则月球对海水的引力
则太阳对海水的引力
则
故选B。
【例9】（2024·湖北·模拟预测）半径为R、质量分布均匀且为M 的两个相同的球固定在水平
面上，两个球球心之间的距离为4R，它们间的万有引力大小为 F。现在两球心的连线外侧各
挖掉一个直径为 R 的小球，剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力
大小为（ ）
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设小球对另一个大球的万有引力大小为
，大球剩余部分对另一个大球的万有引力
大小为
，小球对小球的万有引力大小为
，小球对另一个大球剩余部分的万有引力大小为
，大球剩余部分对另一个大球剩余部分的万有引力大小为
。由题可知，挖掉小球的质量
所以
故选D。
【例10】（22-23 高一下·四川成都·阶段练习）如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度
均匀的大球体，从中挖去一个半径为
的小球体，并在空腔中心放置一质量为m 的质点，则
大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力
为零）（ ）
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．
B．
C．
D．0
【答案】C
【详解】若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m 的吸引力等于完整大球体对m
的吸引力与挖去小球体对m 的吸引力之差，挖去的小球体球心与m 重合，对m 的万有引力为
零，则剩余部分对m 的万有引力等于完整大球体对m 的万有引力；以大球体球心为中心分离
出半径为
的球，易知其质量为
M，则剩余均匀球壳对m 的万有引力为零，故剩余部分对
m 的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律
故选C。
1．万有引力与重力的关系
(1)地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的
向心力F 向，如图所示。
(2)万有引力与重力的定量关系：
①在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
②在两极上：G＝mg0。
③由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
精讲考点
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
2．不同位置处重力加速度的比较
地面
地下
天上
两极
(或不计自转)
赤道
g＝＝
(R－h)
g＝
＝
g＝
g＝－Rω
3．万有引力的“两个推论”
推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F 引
＝0。
推论 2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心
球体(M')对其的万有引力，即F＝G M ' m
r
2
。
考点三 天体质量和密度的计算
1.利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R。
(1)由G Mm
R
2 ＝mg，得天体质量M＝g R
2
G 。
(2)天体密度ρ＝
M
V ＝
M
4
3 π R
3 ＝
3 g
4 π GR。
2.利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T。
(1)由G Mm
r
2 ＝m4 π
2
T
2 r，得M＝4 π
2r
3
GT
2 。
基础过关
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝
M
V ＝
M
4
3 π R
3 ＝3 π r
3
GT
2 R
3。
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r 等于天体半径R，则天体密度ρ＝3 π
GT
2，故只要
测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
【例11】（2025·山东济宁·模拟预测）在地球上，可通过天文观测估算太阳的密度。如图，
地球上观测太阳的视角θ 极小，与观测者眼睛相距为D、视角为θ 的物体宽度为d。已知地球
公转周期为T，万有引力常量为G，θ 极小时
。则太阳密度ρ 可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设太阳质量为M，地球质量为m，地球绕太阳公转，有
因为太阳密度
由几何关系
联立可得
故选D。
【例12】（2025·河北保定·三模）某星球的半径约为地球半径的10 倍，同一物体在该星球表
面的重力约为在地球表面重力的3 倍，不考虑自转的影响，则该星球质量约为地球质量的（
）
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．10 倍
B．30 倍
C．100 倍
D．300 倍
【答案】D
【详解】设中心天体质量
，在星球表面，万有引力近似等于重力，则有
解得
由于该星球表面重力加速度是地球表面重力加速度的3 倍，星球的半径约为地球半径的10 倍，
则有
即该星球质量约为地球质量的300 倍。
故选D。
【例13】（2025·广东广州·三模）某科技兴趣小组同学在地球表面测量某一单摆（摆长可以
调整）周期T 和摆长L 的关系，将此关系画在如图所示
图像中，如图线A 所示。图中
图线B 是某宇航员将此单摆移到密度与地球相同的另一行星X 表面重做实验而获得的，则与
地球相比较，该行星X 的（忽略星球自转对地球和行星X 带来的影响）（ ）
A．半径为地球的
倍
B．体积为地球的64 倍
C．质量为地球的4 倍
D．第一宇宙速度为地球的4 倍
【答案】BD
【详解】A．根据单摆的周期公式
结合图线可得
根据万有引力与重力的关系
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
密度为
所以
由于行星的密度与地球密度相等，所以半径为地球的4 倍，故A 错误；
B．由于行星的半径为地球半径的4 倍，根据
可知，体积为地球的64 倍，故B 正
确；
C．根据
可知，质量为地球的64 倍，故C 错误；
D．根据万有引力提供向心力有
所以
行星表面的重力加速度为地球的4 倍，行星的半径为地球半径的4 倍，所以第一宇宙速度为
地球的4 倍，故D 正确。
故选BD。
【例14】（2025·江西·二模）太阳系外有一颗行星，它的体积是地球的5 倍，质量是地球的
18 倍。已知近地卫星的周期是84 分钟，引力常量
，由此可估算
该行星的平均密度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，可得
可得地球的质量为
地球体积为
联立可得
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
则该行星的平均密度约为
故选A。
【例15】（2025·天津·二模）2030 年中国计划实现载人登月，到时我国宇航员可以在月球上
进行一系列的物理实验。例如：在月球表面附近以初速度v₀ 竖直向上抛出一小球，测得其上
升的最大高度为h，已知月球半径为R，引力常量为G，不考虑月球自转影响和其他星体对其
影响，忽略一切阻力，下列说法不正确的是（ ）
A．月球表面重力加速度的大小为
B．月球的质量为
C．在月球上发射卫星的最小发射速度大小为
D．若一颗卫星在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的周期为T，则月球的密度为
【答案】B
【详解】A．根据
可得月球表面重力加速度的大小为
选项A 正确，不符合题意；
B．根据
月球的质量为
选项B 错误，符合题意；
C．根据
可得在月球上发射卫星的最小发射速度大小为
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
选项C 正确，不符合题意；
D．若一颗卫星在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的周期为T，则根据
，
可得月球的密度为
选项D 正确，不符合题意。
故选B。
1．天体质量和密度的计算
使用方法
已知量
利用公式
表达式
质
量
的
计
算
利用运行天体
r、T
G＝mr
M＝
r、v
G＝m
M＝
v、T
G＝m
G＝mr
M＝
利用天体表面
重力加速度
g、R
mg＝
M＝
密
度
的
计
算
利用运行天体
r、T、R
G＝mr
M＝ρ·πR3
ρ＝
当r＝R 时
ρ＝
利用天体表面
重力加速度
g、R
mg＝
M＝ρ·πR3
ρ＝
精讲考点
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
18
