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07 万有引力与宇宙航行
[-考点-05-] 宇宙速度
第一宇宙速度
(环绕速度)
v1＝7.9 km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大环
绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度
第二宇宙速度
(逃逸速度)
v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度
v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由G＝m，得v＝＝ m/s≈7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝m 得
v＝＝ m/s≈7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行
周期最短，Tmin＝2π＝2π s≈5 075 s≈85 min.正是近地卫星的周期．
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
(2)7.9 km/s<v 发<11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆．
(3)11.2 km/s≤v 发＜16.7 km/s，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆．
(4)v 发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
典例(2023·湖北省联考)中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七
个多月，于2021 年2 月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火
星的轨道飞行．已知地球的质量约为火星质量的10 倍，地球半径约为火星半径的2 倍，下
列说法正确的是( )
A．若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9 km/s
B．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，小于11.2 km/s
C．火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
答案 C
解析 卫星在行星表面附近绕行的速度为该行星的第一宇宙速度，由G＝m，可得v＝，故
v 火∶v 地＝1∶，所以在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要v 火＝
km/s，故A 错误，C 正确；“天问一号”探测器挣脱了地球引力束缚，则它的发射速度大
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于等于11.2 km/s，故B 错误；g 地＝G，g 火＝G，联立可得g 地>g 火，故D 错误．
1.(多选)(2023·贵州·期末)物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动时的速度叫作第一宇宙速
度.关于第一宇宙速度，下列说法正确的是( )
A.第一宇宙速度大小约为11.2 km/s
B.第一宇宙速度是使人造卫星绕地球运动所需的最小发射速度
C.第一宇宙速度是人造卫星绕地球运动的最小运行速度
D.若已知地球的半径和地球表面的重力加速度，即可求出第一宇宙速度
答案 BD
解析 由万有引力提供向心力可知第一宇宙速度v1＝，根据万有引力等于重力得mg＝，联
立以上两式可得v1＝，将g＝9.8 m/s2，R＝6.4×106 m 代入得v1≈7.9 km/s，A 错误，D 正确；
由于第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，故B 正确；由v＝可得，当轨道半径越大时，
其运行速度越小，所以第一宇宙速度是卫星能绕地球做匀速圆周运动的最大速度，C 错误.
2.(多选)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是( )
A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道
上运行时的速度大于等于v1，小于v2
B．我国发射的火星探测器，其发射速度大于第三宇宙速度
C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行
星的最小发射速度
D．第一宇宙速度7.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
答案 CD
解析 根据v＝可知，卫星的轨道半径r 越大，即距离地面越远，卫星的绕行速度越小，v1
＝7.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，D 正确；实际上，由于人
造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇
宙速度，选项A 错误；我国发射的火星探测器，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三
宇宙速度，选项B 错误；第二宇宙速度是在地面附近使物体挣脱地球引力束缚而成为绕太
阳运行的人造行星的最小发射速度，选项C 正确．
3.(2020·北京卷·5)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球
质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
答案 A
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解析 火星探测器需要脱离地球的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，故A
正确，B 错误；由G＝m 得，v 火＝＝＝v 地，故火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速
度，故C 错误；由＝mg 得，
g 火＝G＝G＝0.4g 地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D 错误．
4.2021 年10 月16 日，我国在酒泉卫星发射中心成功发射神舟十三号载人飞船，约6 个半
小时后，飞船与天和核心舱顺利完成快速自主交会对接．飞船在近地点高度200 公里，远
地点高度356 公里的轨道上运行．若将神舟十三号绕地球的运动视作匀速圆周运动，则下
列关于神舟十三号载人飞船的分析正确的是( )
A．飞船发射速度大于11.2 km/s
B．飞船绕地球飞行速度大于7.9 km/s
C．飞船绕地球飞行周期小于24 h
D．飞船绕地飞行过程中宇航员不再受重力作用
答案 C
解析 第一宇宙速度7.9 km/s 是绕地球做圆周运动的卫星的最大绕行速度，也是最小的发
射速度，则飞船的发射速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s，飞船绕地球飞行速度一定小于
7.9 km/s，故A、B 错误；地球同步卫星的轨道高度大约为地球半径的6 倍，大于飞船的远
地点高度，因为“越高越慢”，飞船绕地球飞行的周期小于24 h，故C 正确；飞船飞行过
程中仍受地球引力作用，宇航员仍受重力作用，故D 错误．
5.某星球的半径为R，在其表面上方高度为aR 的位置，以初速度v0水平抛出一个金属小球，
水平位移为bR，a、b 均为数值极小的常数，不计阻力，忽略星球的自转，则这个星球的第
一宇宙速度为( )
A. v0 B. v0 C. v0 D. v0
答案 A
解析 设该星球表面的重力加速度为g，小球落地时间为t，抛出的金属小球做平抛运动，
根据平抛运动规律得aR＝gt2，bR＝v0t，联立以上两式解得g＝，第一宇宙速度即为该星球
表面卫星的线速度，在星球表面卫星的重力充当向心力，得mg＝m，所以第一宇宙速度v
＝＝＝ v0，故选A.
6.(2023·辽宁省模拟)火星是近些年来发现的最适宜人类居住生活的星球，我国成功地发射
“天问一号”标志着我国成功地迈出了探测火星的第一步．已知火星直径约为地球直径的
一半，火星质量约为地球质量的十分之一，航天器贴近地球表面飞行一周所用时间为T，
地球表面的重力加速度为g，若未来在火星表面发射一颗人造卫星，最小发射速度约为(
)
A.
B.
C.
D.
答案 B
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解析 由G＝m，得到星球的第一宇宙速度v＝，设地球的第一宇宙速度为v1，由g＝ωv1＝
v1，得v1＝，设火星的第一宇宙速度为v2，则＝·，代入数据解得v2＝v1＝，B 项正确．
7.金星的半径是地球半径的，质量是地球质量的，忽略金星、地球自转的影响，金星表面
的自由落体加速度与地球表面的自由落体加速度之比，金星的第一宇宙速度与地球的第一
宇宙速度之比分别是( )
A．5∶8 1∶2
B．5∶8 ∶2
C．1∶2 ∶2
D．1∶2 1∶2
答案 B
解析 根据万有引力提供向心力，有＝m，解得v＝，得＝.根据在天体表面的物体的重力
近似等于天体对物体的引力，有mg＝，解得g＝，所以＝，故选B.
8.我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的轨道是圆形的，且贴近
月球表面．已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球的第一宇
宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的最大速率约为( )
A．0.4 km/s
B．1.8 km/s
C．11 km/s
D．36 km/s
答案 B
解析 由G＝m 得，v＝,又＝，＝,故月球和地球的第一宇宙速度之比＝＝＝,故v 月＝7.9×
km/s≈1.8 km/s，即该探月卫星绕月运行的最大速率约为1.8 km/s，因此选B.
9.地球的近地卫星线速度大小约为8 km/s，已知月球质量约为地球质量的，地球半径约为
月球半径的4 倍，下列说法正确的是( )
A．在月球上发射卫星的最小速度约为8 km/s
B．月球卫星的环绕速度可能达到4 km/s
C．月球的第一宇宙速度约为1.8 km/s
D．“近月卫星”的线速度比“近地卫星”的线速度大
答案 C
解析 根据第一宇宙速度v＝，月球与地球的第一宇宙速度之比为＝＝＝，月球的第一宇
宙速度约为v2＝v1＝×8 km/s≈1.8 km/s，在月球上发射卫星的最小速度约为1.8 km/s，月球
卫星的环绕速度小于或等于1.8 km/s，“近月卫星”的速度为1.8 km/s，小于“近地卫星”
的速度，故C 正确．
10.星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度
v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1.已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球
表面重力加速度g 的.不计其他星球的影响．则该星球的第二宇宙速度为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 该星球的第一宇宙速度满足G＝m，在该星球表面处万有引力等于重力，则有G＝
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m，由以上两式得该星球的第一宇宙速度v1＝，则该星球的第二宇宙速度v2＝×＝，故A 正
确．
11.宇航员在一行星上以速度v0竖直上抛一质量为m 的物体，不计空气阻力，经2t 后落回
手中，已知该星球半径为R.求：
(1)该星球的第一宇宙速度的大小；
(2)该星球的第二宇宙速度的大小．已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为
r 时的引力势能Ep＝－G.(G 为引力常量)
答案 (1) (2)
解析 (1)由题意可知星球表面重力加速度为
g＝
由万有引力定律知mg＝m
解得v1＝＝.
(2)由星球表面万有引力等于物体重力知
＝mg
又Ep＝－G
解得Ep＝－
由机械能守恒定律有mv2
2－＝0
解得v2＝.
12.我国科学家自主研制的“墨子号”卫星的质量为m，轨道离地面的高度为h，绕地球运
行的周期为T，地球半径为R，引力常量为G.求：
(1)“墨子号”卫星所需的向心力大小；
(2)地球的质量；
(3)第一宇宙速度的大小．
答案 (1)m(R＋h) (2) (3)
解析 (1)“墨子号”卫星角速度ω＝，
“墨子号”卫星所需的向心力Fn＝m(R＋h)ω2＝m(R＋h)
(2)根据万有引力提供“墨子号”卫星所需的向心力，
有G＝Fn
解得地球的质量M＝
(3)根据万有引力提供物体绕地球表面做匀速圆周运动的向心力，有G＝m
解得第一宇宙速度v＝＝.
13.一个多世纪以前，爱因斯坦发表了广义相对论，而现代物理中的黑洞理论正是建立在该
理论的基础上.2019 年4 月10 日，人类首次捕捉到了黑洞的图像．物体逃逸地球的速度(第
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二宇宙速度)v2＝，其中G、M、R 分别是引力常量、地球的质量、地球的半径，已知G＝
6.67×10－11 N·m2/kg2，光速c＝3×108 m/s.已知逃逸速度大于真空中光速的天体叫作黑洞
设某一黑洞的质量m＝5×1031 kg，则它可能的最大半径约为( )
A．7.41×102 m
B．7.41×103 m
C．7.41×104 m
D．7.41×105 m
答案 C
解析 由题意可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度，其中M、R 为天体的质量和半
径．设该黑洞半径为R′，对于黑洞来说，其逃逸速度大于真空中的光速，即>c，所以
R′<，代入数据得R′<7.41×104 m，故选C.
14.(2021·重庆南开中学模拟)2020 年7 月23 日12 点41 分，我国火星探测器“天问一号”成
功发射，开启了我国首次行星探测之旅.火星的表面积相当于地球陆地面积，火星的自转周
期24.6 h，火星半径约是地球半径的0.53 倍，火星质量约是地球质量的0.11 倍.已知地球半
径约为6.4×106 m，地球表面的重力加速度g＝10 m/s2，逃逸速度为第一宇宙速度的倍.根
据以上信息请你估算火星的逃逸速度约为( )
A.3.0 km/s
B.4.0 km/s
C.5.0 km/s
D.6.0 km/s
答案 C
解析 根据万有引力提供向心力有＝m，解得地球的第一宇宙速度v1＝＝≈8.0 km/s，火星
的第一宇宙速度v2＝＝0.45v1≈3.6 km/s，所以火星的逃逸速度v＝v2≈5.0 km/s 选项C 正确，
A、B、D 错误.
15.(多选)A、B 两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离
Δr 随时间变化的关系如图所示．已知地球的半径为0.8r，引力常量为G，卫星A 的线速度
大于卫星B 的线速度，不考虑A、B 之间的万有引力，则下列说法正确的是( )
A．卫星A 的加速度大于卫星B 的加速度
B．卫星A 的发射速度可能大于第二宇宙速度
C．地球的质量为
D．地球的第一宇宙速度为
答案 ACD
解析 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设轨道半径为r，则有G＝，解
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得v＝，故半径越小，线速度越大，因为卫星A 的线速度大于卫星B 的线速度，故rA<rB；
由G＝ma，解得a＝G，因为rA<rB，所以aA>aB，A 正确．第二宇宙速度是卫星摆脱地球引
力束缚所必须具有的速度，故卫星发射速度大于第二宇宙速度时，卫星不能绕地球做匀速
圆周运动，B 错误．由题图可知rA＋rB＝5r，rB－rA＝3r，联立可得rA＝r，rB＝4r，由题图
可知每隔时间T 两卫星距离最近，设A、B 的周期分别为TA、TB，则有(－)T＝2π，由开普
勒第三定律有＝，联立可得TA＝T，TB＝7T，由G＝mBrB，故地球质量为M＝，C 正确．第
一宇宙速度是最大的运行速度，由G＝，可得v＝＝，D 正确．
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