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07 万有引力与宇宙航行
[-考点-03-] 天体质量和密度的计算
1．利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R.
(1)由G＝mg，得天体质量M＝.
(2)天体密度ρ＝＝＝.
2．利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T.
(1)由G＝mr，得M＝.
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r 等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测
出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
典例1 (利用“重力加速度法”计算天体质量和密度)设在地球上和在某未知天体上，以相
同的初速度竖直上抛一物体，物体上升的最大高度比为k(均不计阻力)，且已知地球和该天
体的半径比也为k，则地球质量与该天体的质量比为( )
A．1 B．k C．k2 D.
答案 B
解析 在地球和天体的表面附近，物体的重力近似等于物体受到的万有引力，故mg＝G，
竖直上抛时上升的最大高度H＝，联立解得M＝，则M 地∶M 天＝()2·＝k，故选B.
典例2 (利用“环绕法”计算天体质量和密度)(多选)(2021·东北师大附中高一月考)已知月球
半径为R，地心与月球中心之间的距离为r，月球绕地球公转周期为T1，嫦娥四号探测器绕
月球表面的运行周期为T2，引力常量为G，由以上条件可知( )
A．地球质量为
B．月球质量为
C．地球的密度为
D．月球的密度为
答案 AD
解析 月球绕地球公转，由万有引力提供向心力得G＝mr，解得地球的质量M＝，A 正
确，B 错误；地球的半径未知，所以无法求解地球的密度，C 错误；探测器绕月球表面运
行，由万有引力提供向心力得G＝m0R，解得月球的质量m＝，则月球的密度ρ＝＝＝，D
正确．
1.已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离r 和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三
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个数据，可以估算出的物理量有( )
A.月球的质量
B.地球的质量 C.地球的半径
D.地球的密度
答案 B
解析 由G＝mr 可得，地球质量M＝，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项
B 正确.
2.(多选)(2023·黑龙江省鹤岗一中高三检测)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，
轨道半径为r，速度大小为v.已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响．下
列选项正确的是( )
A．月球平均密度为
B．月球平均密度为
C．月球表面重力加速度大小为
D．月球表面重力加速度大小为
答案 BD
解析 由万有引力提供向心力，可得G＝m，解得M＝，月球体积V＝πR3 ，所以月球平均
密度为ρ＝＝ ，故A 错误，B 正确；在月球表面，有G＝mg，解得月球表面重力加速度大
小为g＝＝，故C 错误，D 正确．
3.(2023·天津·期末)如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7 年的“艰苦”旅行，
进入绕土星飞行的轨道.若“卡西尼”号探测器在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆
形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M
和平均密度ρ 的表达式正确的是( )
A.M＝，ρ＝
B.M＝，ρ＝
C.M＝，ρ＝
D.M＝，ρ＝
答案 D
解析 设“卡西尼”号的质量为m，它围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有
引力提供，G＝m(R＋h)()2，其中T＝，解得M＝；又土星体积V＝πR3，所以ρ＝＝，故D
正确.
4.(2023·绍兴·期中)2019 年1 月3 日，我国探月工程“嫦娥四号”探测器成功着陆月球背面
的预选着陆区．在着陆之前，“嫦娥四号”探测器在距月球表面高度约为262 km 的圆形
停泊轨道上，绕月飞行一周的时间约为8 000 s，已知月球半径约为1 738 km，引力常量G
＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由此可计算出月球的质量约为( )
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A．7.4×1022 kg
B．6×1024 kg
C．6.4×1023 kg
D．2×1030 kg
答案 A
解析 根据G＝m(R＋h)，解得M＝，代入数据解得M≈7.4×1022 kg，故选A.
5.一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星运行，若认为行星是密度均匀的球体，引力
常量已知，那么要确定该行星的密度，只需要测量( )
A.飞船的轨道半径
B.飞船的运行速度
C.飞船的运行周期
D.行星的质量
答案 C
解析 根据密度公式得ρ＝＝，这里的R 为该行星的半径，若仅已知飞船的轨道半径或行
星的质量，无法求出行星的密度，A、D 错误；已知飞船的运行速度，根据万有引力提供
向心力得G＝m，解得M＝，代入密度公式后，无法求出行星的密度，故B 错误；根据万
有引力提供向心力得G＝mR，解得M＝，代入密度公式得ρ＝，C 正确.
6．(2023·重庆市模拟)2021 年5 月15 日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦
平原，中国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功．如果着陆前着陆器近火星绕行的周
期为100 min.已知地球平均密度为5.5×103 kg/m3，地球近地卫星的周期为85 min.估算火
星的平均密度约为( )
A．3.8×103 kg/m3
B．4.0×103 kg/m3
C．4.2×103 kg/m3
D．4.5×103 kg/m3
答案 B
解析 卫星在行星表面绕行星做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力可得＝mR，设
行星密度为ρ，则有M＝ρ·R3，联立可得ρ＝∝，则有＝，解得火星的平均密度约为ρ 火＝ρ
地＝×5.5×103 kg/m3≈4.0×103 kg/m3，B 正确，A、C、D 错误．
7．(2022·松原市模拟)2021 年2 月，我国首个火星探测器“天问一号”实现了对火星的环
绕．若“天问一号”绕火星做匀速圆周运动的线速度大小为v，周期为T，引力常量为G，
则火星的质量为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 “天问一号”绕火星做匀速圆周运动的线速度大小为v，周期为T，则有T＝，根据
万有引力提供向心力有G＝m，联立解得火星的质量M＝，故选A.
8.(2023·广州·期末)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51
peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，
周期约为4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量的比值约为(
)
A. B.1 C.5 D.10
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答案 B
解析 由G＝mr 得M∝，已知＝，＝，则＝()3×()2≈1，B 项正确.
9.1789 年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球
质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上
一个昼夜的时间为T1(地球自转周期)，一年的时间为T2(地球公转周期)，地球中心到月球中
心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。下列说法正确的是( )
A.地球的质量m 地＝
B.太阳的质量m 太＝
C.月球的质量m 月＝
D.由题中数据可求月球的密度
答案 B
解析 若不考虑地球自转，根据地球表面物体所受的万有引力等于重力，有G＝mg，则m
地＝，故A 错误；根据太阳对地球的万有引力提供向心力，有G＝m 地L2，则m 太＝，故B
正确；由题中数据无法求出月球的质量，也无法求出月球的密度，故C、D 错误.
10．地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为
( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg＝G，则M＝，又V＝πR3，可
得地球的平均密度ρ＝＝，故选A.
11.(2023·甘肃·期末)若有一星球密度与地球密度相同，它表面的重力加速度是地球表面重力
加速度的3 倍，则该星球质量是地球质量的( )
A.27 倍 B.3 倍 C.0.5 倍 D.9 倍
答案 A
解析 物体在地球表面的重力近似等于地球与物体间的万有引力，即G＝mg，解得g＝，
质量M＝ρ·πR3，联立解得g＝πGρR，星球的密度跟地球密度相同，星球表面的重力加速度
是地球表面重力加速度的3 倍，所以星球的半径是地球半径的3 倍，由M＝ρ·πR3可知，星
球质量是地球质量的27 倍，故A 正确.
12.(2023·合肥·联考)若贴近太阳系内某个行星表面运行的卫星的周期用T 表示，该行星的平
均密度是ρ，到太阳的距离是r，已知引力常量G，则下列说法正确的是( )
A.可以求出该行星的质量 B.可以求出太阳的质量
C.ρT2是定值
D.是定值
答案 C
解析 设该行星的质量为M，卫星的质量为m，该行星的半径为R，根据G＝m 得M＝，
则ρ＝＝＝，故ρT2＝是定值，选项C 正确；因无法求解该行星的半径R，则无法求解该行
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星的质量，选项A 错误；只知道该行星到太阳的距离无法求解太阳的质量，选项B 错误；
因为T 不是该行星绕太阳的转动周期，则不是定值，选项D 错误.
13.将一质量为m 的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物
体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为
R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出( )
A．g0小于g
B．地球的质量为
C．地球自转的角速度为ω＝
D．地球的平均密度为
答案 C
解析 设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的
角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上受到的重力和物体随地球自转所需的向心
力是万有引力的分力，有G－mg＝mω2R，物体在两极受到的重力等于万有引力，即G＝
mg0，所以g0＞g，故A 错误；在两极有mg0＝G，解得M＝，故B 错误；由G－mg＝
mω2R，mg0＝G，解得ω＝，故C 正确；地球的平均密度ρ＝＝＝，故D 错误．
14．2018 年2 月，我国500 m 口径球面射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋
0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为
6.67×10－11 N·m2/
kg2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3
B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3
D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 脉冲星自转，边缘物体m 恰对星体无压力时万有引力提供向心力，此时G＝mr，
又知M＝ρ·πr3
整理得密度ρ＝
＝ kg/m3
≈5×1015 kg/m3，故选C.
15.(多选)(2021·福建卷·8)两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而
获得了2020 年诺贝尔物理学奖．他们对一颗靠近银河系中心的恒星S2的位置变化进行了持
续观测，记录到的S2的椭圆轨道如图所示．图中O 为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率(离心
率)约为0.87.P、Q 分别为轨道的远银心点和近银心点，Q 与O 的距离约为120 AU(太阳到
地球的距离为1 AU)，S2的运行周期约为16 年．假设S2的运动轨迹主要受银河系中心致密
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天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出( )
A．S2与银河系中心致密天体的质量之比
B．银河系中心致密天体与太阳的质量之比
C．S2在P 点与Q 点的速度大小之比
D．S2在P 点与Q 点的加速度大小之比
答案 BCD
解析 设银河系中心超大质量的致密天体质量为M，恒星S2绕银河系中心(银心)做椭圆轨
道运动的椭圆半长轴为a，半焦距为c，根据题述Q 与O 的距离约为120 AU，可得a－c＝
120 AU，又有椭圆偏心率(离心率)约为＝0.87，联立可以解得a 和c，设想恒星S2绕银心做
半径为a 的匀速圆周运动，由开普勒第三定律可知周期也为TS2，因此G＝mS2a()2，对地球
围绕太阳运动，有G＝m 地r()2，而a＝120r，TS2＝16T1，联立可解得银河系中心致密天体与
太阳的质量之比，不能得出S2与银河系中心致密天体的质量之比，选项A 错误，B 正确；
由开普勒第二定律有vP(a＋c)＝vQ(a－c)，可解得S2在P 点与Q 点的速度大小之比为＝，选
项C 正确；在远银心点和近银心点，由万有引力定律和牛顿第二定律，分别有G＝mS2aP，
G＝mS2aQ，联立可解得S2在P 点与Q 点的加速度大小之比为＝，选项D 正确．
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