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第15 讲 万有引力与航天
——划重点之精细讲义系列
考点一 天体质量和密度的估算
一．开普勒行星运动定律
定律
内容
图示
开普勒第一定律
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太
阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在
相等的时间内扫过相等的面积
开普勒第三定律
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的
公转周期的二次方的比值都相等.＝k
二．万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力
的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比．
2．公式：F＝G，其中G＝6.67×10－11N·m2/kg2.
3．适用条件
公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物
体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r 是球心间的距离；对一个均匀球体与球外一
个质点的万有引力的求解也适用，其中r 为球心到质点间的距离．
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝man＝m＝mω2r＝m
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g 表示天体
表面的重力加速度)．
2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，
天体密度ρ＝＝＝.
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
1
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②若已知天体半径R，则天体的平均密度
ρ＝＝＝；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半
径R，则天体密度ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中
心天体的密度．
【典例1】(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕
冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星
的质量．这两个物理量可以是( )
A．卫星的速度和角速度
B．卫星的质量和轨道半径
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的运行周期和轨道半径
解析：选AD.由v＝ωr 可求出r，根据G＝m 或G＝mω2r 可求出冥王星的质量，A
正确．根据G＝mr 可求出冥王星的质量，D 正确．B 和C 中都由于已知量不足，无法
求出冥王星的质量．
【典例2】假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两
极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为
( )
A.·
B．·
C.
D.·
解析：选B.设地球半径为R.质量为m 的物体在两极点时，有mg0＝G，在赤道时，
有G－mg＝mR2，又地球的密度ρ＝，由各式联立得ρ＝，选项B 正确．
【典例3】过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51
peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运
动，周期约为4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量比
约为( )
A.
B．1
C．5
D．10
解析：选B.行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二
定律得G＝mr，则＝3·2＝3×2≈1.选项B 正确．
解决天体质量和密度的估算问题的两点注意
(1)卫星的轨道半径与中心天体的半径不要混淆，只有近地卫星的轨道半径才近似
等于天体半径．
2
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(2)搞清“以谁为研究对象，谁是中心天体”、“受力特点”、“谁做圆周运动”
等，明确一般只能求解中心天体的质量和密度，不能求解环绕天体的质量和密度．
考点二 卫星的运行规律
1．卫星的运行规律
(1)卫星做匀速圆周运动．
(2)万有引力提供向心力：即由G＝m＝mrω2＝mr＝man可推导出：
⇒当r 增大时
2．同步卫星的六个“一定”
3.三种宇宙速度
宇宙速度
数值(km/s)
意义
第一宇宙速度
(环绕速度)
7.9
是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球
卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度．
第二宇宙速度
(脱离速度)
11.2
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
第三宇宙速度
(逃逸速度)
16.7
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.
【典例1】(多选) 如图所示，P、Q 是质量均为m 的两个质点，分别置于地球表面
的不同纬度上，如果把地球看成一个均匀球体，P、Q 两质点随地球自转做匀速圆周运
动，则下列说法正确的是( )
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A．P、Q 受地球引力大小相等
B．P、Q 做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q 做圆周运动的角速度大小相等
D．P 受地球引力大于Q 所受地球引力
解析：选AC.计算均匀球体与质点间的万有引力时，r 为球心到质点的距离，因为
P、Q 到地球球心的距离相同，根据F＝知，P、Q 受地球引力大小相等，P、Q 随地球
自转，角速度相同，但轨道半径不同，根据Fn＝mRω2，P、Q 做圆周运动的向心力大
小不同，A、C 正确，B、D 错误．
【典例2】如图，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a、b 到地心O
的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则( )
A.＝
B.＝
C.＝2
D.＝2
解析：选A.对人造卫星，根据万有引力提供向心力＝m，可得v＝ ，所以对于
a、b 两颗人造卫星有＝，故选项A 正确．
【典例3】国务院批复，自2016 年起将4 月24 日设立为“中国航天日”.1970 年4
月24 日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨
道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984 年4 月8 日成功发射的东
方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的
加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速
度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
A．a2＞a1＞a3
B．a3＞a2＞a1
C．a3＞a1＞a2
D．a1＞a2＞a3
解析：选D.由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度
相等，可得：a＝ω2r，由于r2＞r3，则可以得出：a2＞a3；又由万有引力定律有：G＝
ma，且r1＜r2，则得出a2＜a1.故选项D 正确．
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【典例4】假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小
于火星到太阳的距离，那么( )
A．地球公转的周期大于火星公转的周期
B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度
解析：选D.根据G＝m2r＝m＝man＝mω2r 得，公转周期T＝2π ，故地球公转的周
期较小，选项A 错误；公转线速度v＝ ，故地球公转的线速度较大，选项B 错误；公
转加速度an＝，故地球公转的加速度较大，选项C 错误；公转角速度ω＝ ，故地球公
转的角速度较大，选项D 正确．
【典例5】(多选)在圆轨道上运动的质量为m 的人造地球卫星，它到地面的距离等
于地球半径R，地面上的重力加速度为g，忽略地球自转影响，则( )
A．卫星运动的速度大小为
B．卫星运动的周期为4π
C．卫星运动的向心加速度大小为g
D．卫星轨道处的重力加速度为g
解析：选BD.地面上万有引力等于重力，即G＝mg，该卫星到地面的距离等于地
球半径R，则其轨道半径r＝2R，其做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，根据牛
顿第二定律G＝m＝mr＝ma＝mg′，可求得卫星运动的速度大小v＝ ，周期T＝4π ，
向心加速度大小a＝g′＝g，选项A、C 错误，B、D 正确．
人造卫星问题的解题技巧
(1)卫星向心加速度的不同表述形式．
①G＝man.
②an＝＝rω2＝r.
(2)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛
顿第二定律．
①卫星的an、v、ω、T 是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发
生变化．
②an、v、ω、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径r 和中心天体质量共同决定．
考点三 航天器的变轨问题
1．卫星轨道的渐变：当卫星由于某种原因速度逐渐改变时，万有引力不再等于向
心力，卫星将做变轨运行．
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(1)当卫星的速度逐渐增加时，G＜m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离
心运动，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原
轨道时减小．
(2)当卫星的速度逐渐减小时，G＞m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做
近心运动，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比
原轨道时增大．
2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行
器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道．如图所示，发射同步
卫星时，可以分多过程完成：
(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ.
(2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，变轨时在P 点点火加速，短时间内将
速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ.
(3)卫星运行到远地点Q 时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将
速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动．
【典例1】(多选)我国已先后成功发射了“天宫一号”飞行器和“神舟八号”飞船，
并成功地进行了对接试验，若“天宫一号”能在离地面约300 km 高的圆轨道上正常运
行，则下列说法中正确的是( )
A．“天宫一号”的发射速度应大于第二宇宙速度
B．对接前，“神舟八号”欲追上“天宫一号”，必须在同一轨道上点火加速
C．对接时，“神舟八号”与“天宫一号”的加速度大小相等
D．对接后，“天宫一号”的速度小于第一宇宙速度
解析：选CD.地球卫星的发射速度都大于第一宇宙速度，且小于第二宇宙速度，A
错误；若“神舟八号”在与“天宫一号”同一轨道上点火加速，那么“神舟八号”的
万有引力小于向心力，其将做离心运动，不可能实现对接，B 错误；对接时，“神舟
八号”与“天宫一号”必须在同一轨道上，根据a＝G 可知，它们的加速度大小相等，
C 正确；第一宇宙速度是地球卫星的最大运行速度，所以对接后，“天宫一号”的速
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度仍然要小于第一宇宙速度，D 正确．
【典例2】我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞
船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周
运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现
对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对
接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，
两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验
室，两者速度接近时实现对接
解析：选C. 若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，则飞船加速后，万有引
力不足以提供向心力，飞船将远离原来的轨道，不能实现对接，A 错误；若使飞船与
空间实验室在同一轨道上运行，则空间实验室减速将会使空间实验室进入低轨道，也
不能实现对接，故B 错误；实现对接的方法是使飞船在比空间实验室低的轨道上加速，
然后飞船进入较高的空间实验室轨道后实现对接，C 正确；若使飞船在比空间实验室
低的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道上去运行，无法实现对接，D 错误．
【典例2】(多选)如图为嫦娥三号登月轨迹示意图．图中M 点为环地球运行的近地
点，N 点为环月球运行的近月点．a 为环月球运行的圆轨道，b 为环月球运行的椭圆轨
道，下列说法中正确的是( )
A．嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度大于11.2 km/s
B．嫦娥三号在M 点进入地月转移轨道时应点火加速
C．设嫦娥三号在圆轨道a 上经过N 点时的加速度为a1，在椭圆轨道b 上经过N 点
时的加速度为a2，则a1>a2
D．嫦娥三号在圆轨道a 上的机械能小于在椭圆轨道b 上的机械能
解析：选BD.嫦娥三号在环地球轨道上运行速度v 满足7.9 km/s≤v<11.2 km/s，A
错误．嫦娥三号要脱离地球需在M 点点火加速让其进入地月转移轨道，B 正确．由F
＝＝ma，知嫦娥三号在经过圆轨道a 上的N 点和在椭圆轨道b 上的N 点时的加速度相
等，C 错误．嫦娥三号要从b 轨道转移到a 轨道需要减速，机械能减小，D 正确．
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【典例3】(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫
星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，
只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( )
A．卫星的动能逐渐减小
B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
解析：选BD.当卫星的半径减小时，由v＝ 可知，其动能增大；由于引力做正功，
故引力势能一定减小，选项A 错误，B 正确．气体阻力做功，使系统的机械能减小，
且有Wf＝ΔE，由于动能增加，故引力势能的减小量大于机械能的减小量，选项C 错误，
D 正确．
航天器变轨问题的三点注意事项
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定
在新轨道上的运行速度变化由v＝ 判断．
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．
(3)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的
速度．
考点四 天体运动中的“多星”问题
“多星”模型
1.双星系统
（1）双星做匀速圆周运动向心力的来源
双星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，其向心力由两颗星间的万有引力提供。
（2）双星做匀速圆周运动的运动参量关系
两星的运动周期和角速度是相等的，线速度与各自的轨道半径成正比。
（3）双星做圆周运动的动力学关系设双星相距L，质量分别为 M1和M2，线速度分
别为v1和v2 ，轨道半径分别为 r1和 r2，共同运动的周期为T、角速度为ω，如图所
示。对于这两星，由万有引力定律和向心力公式分别有
，
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其中r1＋r2=L。
因此，在求解双星问题时，要注意弄清双星各自的轨道半径，切勿与两星之间的
距离相混淆。
（4）几个基本结论（建议自行推导）
①轨道半径∶
，
②星体质量∶
，
④系统质量∶
④星体周期∶
2.三星系统
宇宙中存在一些离其他恒星较远（可忽略其他星体对它们的引力作用）的三颗星
组成的三星系统。已观测到稳定的三星系统主要有两种基本的构成形式∶一种是三颗
星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R1的圆轨道上运动;另一种是三
颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运动。如图 所示
（设每颗星体的质量均为m）。
（1）对第一种形式中A 而言，B、C 对A 的万有引力提供A 做圆周运动的向心力，
则有
（2）对第二种形式中A 而言，B、C 对A 的万有引力提供A 做圆周运动的向心力，
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则有
这里
。
【典例1】经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由
两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系
统一般远离其他天体．两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线
上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为
m1∶m2＝3∶2.则可知( )
A．m1、m2做圆周运动的角速度之比为2∶3
B．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2
C．m1做圆周运动的半径为L
D．m2做圆周运动的半径为L
解析：选C.双星系统在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同
的匀速圆周运动，角速度相同，选项A 错误；由G＝m1ω2r1＝m2ω2r2得r1∶r2＝m2∶m1＝
2∶3，由v＝ωr 得m1、m2做圆周运动的线速度之比为v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3，选项B 错
误；m1做圆周运动的半径为L，m2做圆周运动的半径为L，选项C 正确，D 错误．
【典例2】(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星
系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为
m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L 的正方形的四个顶点上，其中L 远大于R.
已知万有引力常量为G，忽略星体自转效应，则关于四星系统，下列说法正确的是(
)
A．四颗星做圆周运动的轨道半径均为
B．四颗星做圆周运动的线速度均为
C．四颗星做圆周运动的周期均为2π
D．四颗星表面的重力加速度均为G
解析：选CD. 如图所示，四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨
道半径r＝L.取任一顶点上的星体为研究对象，它受到其他三个星体的万有引力的合力
为F 合＝G＋G.由F 合＝F 向＝m＝m，可解得v＝，
T＝2π，
故A、B 项错误，C 项正确；对于星体表面质量为m0的物体，受到的重力等于万
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有引力，则有m0g＝G，故g＝G，D 项正确．
1．下列说法正确的是( )
A．万有引力定律是开普勒发现的，而引力常量是伽利略测定的
B．F＝G 中的G 是一个比例常数，是没有单位的
C．万有引力定律适用于任意质点间的相互作用
D．万有引力定律不适用于地面上的物体
解析：选C.牛顿深入思考了月球受到的引力与地面物体受到的引力的关系，发现
了万有引力定律，A 错误；而英国物理学家卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万
有引力的测量，得出了G 的数值，G 是一个比例常数，其单位是，B 错误；万有引力
定律适用于任意质点间的相互作用，C 正确，D 错误．
2．海王星有13 颗已知的天然卫星．现认为“海卫二”绕海王星沿圆轨道匀速运
转，已知海卫二的质量为2.0×1019 kg，轨道半径为5.5×106 km，运行的周期为360
天，万有引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2.则海王星的质量大约为( )
A．1.0×1017 kg
B．1.0×1026 kg
C．2.0×1011 kg
D．2.0×1019 kg
解析：选B.万有引力提供向心力，因已知周期，且F 万＝F 向，故可知＝mr，解得
M＝，代入数据得M＝1.0×1026 kg，B 正确．
3．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
解析：选B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，牛顿在
开普勒研究基础上结合自己发现的牛顿运动定律，发现了万有引力定律，指出了行星
按照这些规律运动的原因，选项B 正确．
4．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电
通讯，目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6 倍．假设地球的自转周期变
小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h
B．4 h
C．8 h
D．16 h
解析：选B.当一地球卫星的信号刚好覆盖赤道120°的圆周时，卫星的轨道半径r
＝＝2R；对同步卫星，分别有＝m2·6.6R 和＝m2·2R，即2＝3，解得T＝4 h，选项B 正
确．
5．北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由35 颗
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卫星组成，卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中地球轨道和倾斜轨道．其中，同步
轨道半径大约是中轨道半径的1.5 倍，那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为(
)
6．我国实施“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据．如果
该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心
连线扫过的角度是1 弧度，万有引力常量为G，根据以上数据估算月球的质量是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B.由s＝rθ，θ＝1 弧度，可得r＝s，由s＝vt 可得v＝，由＝m，解得M
＝，B 正确．
7．(多选)据悉，我国的火星探测计划将于2018 年展开.2018 年左右我国将进行第
一次火星探测，向火星发射轨道探测器和火星巡视器．已知火星的质量约为地球质量
的，火星的半径约为地球半径的.下列关于火星探测器的说法中正确的是( )
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度
D．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的
解析：选CD.要将火星探测器发射到火星上去，必须脱离地球引力，即发射速度
要大于第二宇宙速度；火星探测器仍在太阳系内运转，因此从地球上发射时，发射速
度要小于第三宇宙速度，选项A、B 错误，C 正确；由第一宇宙速度的概念，得G＝
m，得v1＝ ，故火星探测器环绕火星运行的最大速度与地球的第一宇宙速度的比值约
为＝，选项D 正确．
8．宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完
全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为
R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0
B.
C.
D.
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解析：选B.飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即G＝mg，得g＝，选项
B 正确．
9．(多选)有一宇宙飞船到了某行星上(假设该行星没有自转运动)，以速度v 贴近
行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得( )
A．该行星的半径为
B．该行星的平均密度为
C．无法求出该行星的质量
D．该行星表面的重力加速度为
解析：选AB. 由T＝，可得R＝，A 正确；由＝m、R＝，可得M＝，C 错误；由
M＝πR3ρ 及＝mR，得ρ＝，B 正确；由＝mg、M＝及R＝，得g＝，D 错误．
10．(多选)欧洲航天局的第一枚月球探测器——“智能1 号”环绕月球沿椭圆轨道
运动，用m 表示它的质量，h 表示它近月点的高度，ω 表示它在近月点的角速度，a 表
示它在近月点的加速度，R 表示月球的半径，g 表示月球表面处的重力加速度．忽略其
他星球对“智能1 号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于(
)
A．ma
B．m
C．m(R＋h)ω2
D．m
解析：选AB.“智能1 号”在近月点所受月球对它的万有引力，即为它所受的合
力，由牛顿第二定律得F＝ma，A 正确；由万有引力定律得F＝G，又月球表面上，G
＝mg，解得F＝m，B 正确；由于“智能1 号”环绕月球沿椭圆轨道运动，曲率圆半径
不是R＋h，C、D 错误．
11．宇航员站在某一星球距离表面h 高度处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小
球，经过时间t 后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，则该星
球的质量为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A.设该星球表面的重力加速度g，小球在星球表面做平抛运动，h＝gt2.
设该星球的质量为M，在星球表面有mg＝.由以上两式得，该星球的质量为M＝，A 正
确．
12. (多选)如图所示，两质量相等的卫星A、B 绕地球做匀速圆周运动，用R、T、
Ek、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．
下列关系式正确的有( )
A．TA＞TB
B．EkA＞EkB
C．SA＝SB
D.＝
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解析：选AD.卫星绕地球做匀速圆周运动时其向心力由万有引力提供，若地球质
量为M，卫星质量为m，则有G＝m＝m，由此可得v＝和T＝2π，这里RA＞RB，则vA
＜vB，TA＞TB，而动能Ek＝mv2，故EkA＜EkB，选项A 正确，选项B 错误；卫星在单位
时间t 内通过的圆弧长l＝vt，扇形面积S＝＝＝＝·，这里RA＞RB，则SA＞SB，选项C
错误；由开普勒第三定律可知，选项D 正确．
13．宇航员在地球上的水平地面将一小球水平抛出，使小球产生一定的水平位移，
当他登陆一半径为地球半径2 倍的星球后，站在该星球水平地面上以和地球完全相同
的方式水平抛出小球，测得小球的水平位移大约是地球上平抛时的4 倍，由此宇航号
估算该星球的质量M 星约为(式中M 为地球的质量)( )
A．M 星＝M
B．M 星＝2M
C．M 星＝M
D．M 星＝4M
解析：选C.根据平抛规律可计算星球表面加速度，竖直方向h＝gt2，水平方向x＝
vt，可得g 星＝g 地，再有星球表面万有引力公式G＝mg 星，R 星＝2R 地，可得M 星＝，C
正确．
14．在发射卫星时，往往先将卫星发送到一个椭圆轨道上，再变轨到圆轨道。已
知某卫星运行的椭圆轨道的近地点M 距地面
，远地点N 距地面
，卫星进
入该轨道正常运行时，通过M 点和N 点时的速率分别为
和
，当某次卫星通过N 点
时，启动卫星上的发动机，使卫星在短时间内加速后进入离地面
的圆形轨道，
开始绕地球做匀速圆周运动，这时卫星的速率为
。比较卫星在M、N、P 三点正常运
行时（不包括启动发动机加速阶段）的速率
和加速度大小
，下列
结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据万有引力提供向心力
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得
由题可知
，所以
，当某次飞船通过N 点，地面指挥部发出指令，
点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km 的圆形轨道绕地球
做匀速圆周运动，所以
；假设飞船在半径为
的圆轨道上做匀速圆周运动，经
过M 点时的速率为
，根据
得
又因为
，所以
，飞船在圆轨道M 点时需加速才能进入椭圆轨道，则
，故
。
故选D。
15．2019 年3 月10 日，长征三号乙运载火箭将“中星6C”通信卫星（记为卫星
Ⅰ）送入地球同步轨道上，主要为我国、东南亚、澳洲和南太平洋岛国等地区提供通
信与广播业务。在同平面内的圆轨道上有一颗中轨道卫星Ⅱ它运动的每个周期内都有
一段时间t（t 未知）无法直接接收到卫星Ⅰ发出的电磁波信号，因为其轨道上总有一
段区域没有被卫星Ⅰ发出的电磁波信号覆盖到，这段区域对应的圆心角为
。已知卫
星Ⅰ对地球的张角为
，地球自转周期为
，万有引力常量为G，则下列说法正确的
是（ ）
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A．地球的平均密度为
B．卫星Ⅰ、Ⅱ的角速度之比为
C．卫星Ⅱ的周期为
D．题中时间t 不可能为
【答案】D
【详解】A．设卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径分别为R1 和R2，因卫星Ⅰ为同步卫星，则有
且有
其中R 为地球的半径，联立解得
故A 错误；
B．设卫星Ⅰ、Ⅱ的角速度分别为
和
，如图所示
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在三角形AOB 中，有
即
根据
可得
故有
联立以上各式，有
故B 错误；
C．根据
可得
因卫星Ⅰ为同步卫星，则其周期为T0，设卫星Ⅱ的周期为T2，则有
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整理得
故C 错误；
D．若卫星Ⅰ和卫星Ⅱ均不运动，卫星Ⅱ对应为圆心角为2α，则有
但卫星之间是有相对运动的，所以时间不可能为
，故D 错误。
故选D。
16．天文观测发现，天狼星A 与其伴星B 是一个双星系统。它们始终绕着O 点在
两个不同椭圆轨道上运动，如图所示，实线为天狼星A 的运行轨迹，虚线为其伴星B
的轨迹，则（ ）
A．A 的运行周期小于B 的运行周期
B．A 的质量小于B 的质量
C．A 的加速度总是小于B 的加速度
D．A 与B 绕O 点的旋转方向可能相同，可能相反
【答案】C
【详解】A．天狼星A 与其伴星B 是一个双星系统，它们始终绕着O 点在两个不同椭圆
轨道上运动，可知天狼星A 与其伴星B 始终在O 点的两侧，且两星与O 点始终在一条
直线上，因此可知天狼星A 与其伴星B 运行的角速度相同，周期相同，故A 错误
B．近似认为A、B 在做圆周运动，设A 的质量为
、轨道半径为
，B 的质量为
、
轨道半径为
，两星之间的距离为，两星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心
力，则有
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，
其中
解得
显然，B 星的轨道半径大于A 星的轨道半径，因此可知A 星的质量大于B 星的质量，故
B 错误；
C．根据万有引力产生加速度可得
，
而
可知
故C 正确；
D．由于天狼星A 与其伴星B 是一个双星系统，而双星系统由彼此之间的万有引力提供
合外力，二者角速度一样，且绕行方向必定相同，公共圆心必须在质心连线上，两星
才能稳定运行，故D 错误。
故选C。
17．如图所示为人类历史上第一张黑洞照片。黑洞是一种密度极大、引力极大的
天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接
研究黑洞。已知某黑洞的逃逸速度为v＝
，其中引力常量为G，M 是该黑洞的
质量，R 是该黑洞的半径。若天文学家观测到与该黑洞相距为r 的天体以周期T 绕该黑
洞做匀速圆周运动，则下列关于该黑洞的说法正确的是（ ）
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A．该黑洞的质量为
B．该黑洞的质量为
C．该黑洞的最大半径为
D．该黑洞的最大半径为
【答案】D
【详解】AB．天体绕黑洞运动时，有
＝m
2r
解得
M＝
选项A、B 错误；
CD．黑洞的逃逸速度不小于光速，则有
≥c
解得
R≤
＝
选项C 错误，D 正确。
故选D。
18．（多选）两颗相距较远的行星A、B 的半径分别为RA、RB，距A、B 行星中心
r 处，各有一卫星分别围绕行星做匀速圆周运动，线速度的平方v2随半径r 变化的关系
如图甲所示，两图线左端的纵坐标相同；卫星做匀速圆周运动的周期为T，
的图像如图乙所示的两平行直线，它们的截距分别为bA、bB．已知两图像数据均采用国
际单位，
，行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球
的影响，下列说法正确的是（ ）
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A．图乙中两条直线的斜率均为
B．行星A、B 的质量之比为1 3∶
C．行星A、B 的密度之比为1 9∶
D．行星A、B 表面的重力加速度大小之比为3 1∶
【答案】AC
【详解】A．根据万有引力提供向心力有
整理得
两边取对数得
整理可得
题图乙中两条直线的斜率均为
，选项A 正确；
B．根据已知条件有
解得
选项B 错误；
C．由题图甲可知，两行星的第一宇宙速度相等，有
解得
两行星的密度满足
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解得
选项C 正确；
D．在星球表面
解得
选项D 错误。
故选AC。
19．（多选）人类设想在赤道平面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，又称
“太空电梯”如图甲所示。图乙中，图线A 表示地球引力对航天员产生的加速度大小
与航天员距地心的距离r 的关系，图线B 表示航天员相对地面静止时而产生的向心加
速度大小与r 的关系。图乙中R（地球半径），r0为已知量，地球自转的周期为T，引
力常量为G，下列说法正确的有（ ）
A．太空电梯停在r0处时，航天员对电梯舱的弹力为0
B．地球的质量为
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C．地球的第一宇宙速度为
D．随着r 的增大，航天员对电梯舱的弹力逐渐减小
【答案】AB
【详解】A．由图乙可知，太空电梯在r0 时，航天员所受地球的引力完全提供其随地
球自转所需的向心力，此时，航天员与电梯舱间的弹力为0，故A 正确；
BC．太空电梯在r0 时，由于航天员的引力完全提供其所需的向心力，设地球的质量为
M，航天员的质量为m，则
解得
由第一宇宙速度的表达式得
故B 正确，C 错误；
D．随着r 的增加，航天员所需的向心力
逐渐增加，在
时，引力完全提供向心力，此时航天员与电梯舱的弹力为0，当
时，电梯舱对航天员的弹力表现为支持力，根据
解得
FN 随着r 的增大而减小，当
时，电梯舱对航天员的弹力表现为指向地心的压力，
此时
FN 随着r 的增大而增大，故D 错误。
故选AB。
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20．（多选）如图所示，
是一个半径为
，质量为
的密度均匀球体的球心，
现在其内以
为球心挖去一个半径为
的球，并在空心球内某点
放置一个质量为
的质点。若已知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，则
球剩余部分对该
质点的万有引力（ ）
A．方向由
点指向
连线上某点
B．方向与
连线平行
C．大小为
D．大小为
【答案】BC
【详解】AB．设球的密度为
，则实心大球质量可表示为
由题意可知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，故实心大球对P 点的引力
等于以
为半径的实心小球对质点P 的引力。以
为半径的实心小球的质量为
故以
为半径的实心小球对P 点的引力为
同理，以
为半径的实心小球的质量为
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则以
为半径的实心小球对P 点的引力为
受力情况如图
由几何关系可知
故
A 错误，B 正确；
CD．由上述分析可知
解得
C 正确，D 错误。
故选BC。
21．（多选）中国科幻电影流浪地球讲述了地球逃离太阳系的故事，假设人们
在逃离过程中发现一种三星组成的孤立系统，三星的质量相等、半径均为
，稳定分
布在等边三角形的三个顶点上，三角形的边长为
，三星绕O 点做周期为
的匀速圆
周运动。已知万有引力常量为
，忽略星体的自转，下列说法正确的是（ ）
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A．匀速圆周运动的半径为
B．每个星球的质量为
C．每个星球表面的重力加速度大小为
D．每个星球的第一宇宙速度大小为
【答案】BD
【详解】A．如图所示，三星均围绕边长为d 的等边三角形的中心
做匀速圆周运动，
由几何关系，匀速圆周运动的半径
故A 错误；
B．设星球的质量为
，星球间的万有引力
，如下图所示
星球做匀速圆周运动的向心力
由牛顿第二定律
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综合可得
故B 正确；
C．星球表面重力近似等于万有引力
结合
可得星球表面的重力加速度
故C 错误；
D．由
结合
可得星球的第一宇宙速度
故D 正确。
故选BD。
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