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突破八、天体物理
开普勒定律与万有引力定律的应用
【例题】中国北斗卫星导航系统已经向全球提供服务，在轨工作卫星共39 颗。若其中一颗卫星的质量为
m，这颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，已知地球的质量为M，引力常量为G，则地球对这颗
卫星的万有引力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据万有引力公式得地球对这颗卫星的万有引力大小
故选D。
【例题】关于开普勒行星运动定律，下列说法不正确的是（ ）
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
B．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点运行的速率相等
C．表达式
，k 与中心天体有关
D．表达式
，T 代表行星运动的公转周期
【答案】B
【详解】A．根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点
上，故A 正确；
1
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B．根据开普勒第二定律可知，地球绕太阳在椭圆轨道上运行，近日点运行的速率大于远日点运行的速
率，故B 错误；
CD．根据开普勒第三定律可知，表达式
，k 与中心天体有关，T 代表行星运动的公转周期，故CD
正确。
本题选错误的，故选B。
【总结归纳】
1．开普勒三定律
轨道定律
面积定律v1r1＝v2r2
周期定律＝k
所有行星绕太阳运动的轨道
都是椭圆，太阳处在椭圆的
一个焦点上。
对任意一个行星来说，它与
太阳的连线在相等的时间内
扫过相等的面积。
所有行星的轨道的半长轴的
三次方跟它的公转周期的二
次方的比值都相等。
2．三点说明
(1)行星、卫星和航天器的轨道一定是椭圆的，只是有时近似为圆轨道处理。
(2)同一个行星相等时间内扫过的面积相等，不同的行星相等时间内扫过的面积不等。
(3)＝k 中对围绕同一中心天体运行的星体k 值相同，对绕不同天体转动的星体系统k 值不同。
天体的质量和密度的计算
1．利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R
由于G＝mg，故天体质量m 天＝，天体密度ρ＝＝＝。
2．利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r
(1)由万有引力提供向心力，即G＝mr，得出中心天体质量m 天＝。
(2)若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝＝＝。
3．三个常见误区
(1)天体质量和密度的计算是指中心天体的质量和密度的估算，而非环绕天体的。
(2)注意区分轨道半径r 和中心天体的半径R。
(3)在考虑天体自转问题时，只有在天体的两极才有＝mg。
【例题】若已知行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力恒量为G，则由此可以求出
（ ）
2
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A．行星的质量
B．太阳的质量为
C．行星的密度为
D．太阳的密度为
【答案】B
【详解】依题意，根据牛顿第二定律，可得
可得太阳质量为
则太阳密度为
由于太阳的半径
未知，所以太阳的密度不能求出，由于行星的质量可以约掉，故也无法求出行星的质量
及密度。
故选B。
【例题】地球资源卫星“04 星”绕地球做匀速圆周运动周期为
，地球相对“04 星”的张角为
，引力常
量为
，地球表面的重力加速度为
，根据上述信息可推断地球质量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
3
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【详解】根据题意，设“04 星”绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为，地球的半径为
，由万有引力提
供向心力有
对地球表面的物体有
由几何关系有
联立解得
故选B。
【总结归纳】
天体质量和密度的计算
天体运动参量分析
1．两条思路
(1)万有引力提供向心力，即G＝ma＝m＝mω2r＝mr。
(2)天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即＝mg 或Gm 中＝gR2(R、g 分别是天体的半径、表面重
力加速度)，公式Gm 中＝gR2 应用广泛，被称为“黄金代换式”。
2．三点提醒
(1)a、v、ω、T、r 只要一个量发生变化，其他量也发生变化。
(2)a、v、ω、T 与环绕天体的质量无关。
(3)对于人造地球卫星，当r＝R 地时，v＝7.9 km/s 为第一宇宙速度。
4
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【例题】我国2021 年发射的试验十号卫星，轨道Ⅱ与I、Ⅲ相切于A、B 两点，如图所示。停泊轨道I 距地
面约200km，卫星沿轨道I 过A 点的速度、加速度分别为
、
；卫星沿转移椭圆轨道Ⅱ过A 点的速度、
加速度分别为
、
，过B 点的速度、加速度分别为
、
；同步轨道Ⅲ距地面约36000km，卫星沿轨道
Ⅲ过B 点的速度、加速度分别为
、
。关于试验十号卫星，下列说法正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【详解】AD．根据牛顿第二定律可得
可知加速度
AD 错误；
B．卫星沿转移椭圆轨道Ⅱ运行时A 点为近日点，B 点为远日点，故
v2>v3
B 错误；
C．卫星由转移椭圆轨道Ⅱ经B 点到轨道Ⅲ需要加速，故
v3<v4
C 正确。
故选C。
5
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卫星的变轨、对接、追及相遇问题
两类观点分析变轨问题
(1)力学的观点
①点火加速，v 突然增大，G<m，卫星将做离心运动。
②点火减速，v 突然减小，G>m，卫星将做近心运动。
(2)能量的观点
①同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
②卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
【例题】2023 年5 月30 日，神舟十六号载人飞船入轨后，成功对接于空间站天和核心舱径向端口。飞船
和空间站的变轨对接可简化为如图所示的过程，飞船变轨前稳定运行在I 轨道，其半径为
，运行速度为
；空间站运行在III 轨道，其半径为
，运行速度为
；椭圆轨道II 为飞船的转移轨道。轨道I 和II、II
和III 分别相切于P、Q 两点，
和
均为逆时针方向，关于变轨过程，下列说法正确的是（ ）
A．飞船在P 点点火加速后的加速度变大
B．飞船在椭圆轨道上经过P、Q 两点的速率之比为
C．从图示位置起，为了使飞船在Q 点实现与空间站首次对接，
角度为
D．飞船在P 点变轨后的速度一定大于
【答案】C
6
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【详解】A．根据牛顿第二定律可得
解得
可知飞船在P 点点火加速后瞬间的加速度不变，故A 错误；
B．船在椭圆轨道上经过P、Q 两点时，由开普勒第二定律可知
飞船在椭圆轨道上经过P、Q 两点的速率之比为
故B 错误；
C．从图示位置起，为了使飞船在Q 点实现与空间站首次对接，设椭圆轨道II 的周期为
，圆轨道III 的周
期为
，则有
根据开普勒第三定律可得
联立解得
故C 正确；
D．飞船在P 点变轨后的速度大于圆轨道I 的线速度，但不知道圆轨道I 是否近地圆轨道，所以不能确定飞
船在P 点变轨后的速度是否大于
，故D 错误。
故选C。
【例题】“天宫一号”与“神舟八号”交会对接成功，标志着我国在对接技术上迈出了重要一步。用M 代
表“神舟八号”，N 代表“天宫一号”，它们对接前做圆周运动的情形如图所示，则（ ）
7
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A．M 的发射速度大于第二宇宙速度
B．M 适度加速有可能与N 实现对接
C．对接前，M 的运行速度小于N 的运行速度
D．对接后，它们的运行速度大于第一宇宙速度
【答案】B
【详解】A．M 的发射速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度，故A 错误；
B．M 适度加速，则由于万有引力不足以提供向心力做离心运动，有可能与N 实现对接，故B 正确；
CD．根据万有引力提供向心力可得
解得
可知对接前，M 的运行速度大于N 的运行速度；对接后，它们的运行速度小于第一宇宙速度，故CD 错
误。
故选B。
双星和多星问题
【例题】如图所示，宇宙中一对年轻的双星，在距离地球16 万光年的蜘蛛星云之中。该双星系统由两颗炽
热又明亮的大质量恒星构成，二者围绕连接线上中间某个点旋转。通过观测发现，两颗恒星正在缓慢靠
近。不计其他天体的影响，且两颗恒星的质量不变。则以下说法中正确的是（ ）
A．双星之间引力变小
B．双星系统周期逐渐变大
8
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C．每颗星的加速度均变大
D．双星系统转动的角速度恒定
【答案】C
【详解】A．根据万有引力定律
两颗恒星缓慢靠近，可知双星之间引力变大，故A 错误；
B．双星系统的周期相等，根据万有引力提供向心力
解得
可知两颗恒星缓慢靠近，双星系统周期逐渐变小，故B 错误；
C．根据牛顿第二定律可得
可知两颗恒星缓慢靠近，每颗星的加速度均变大，故C 正确；
D．双星系统转动的角速度
可知两颗恒星缓慢靠近，双星系统转动的角速度变大，故D 错误。
故选C。
【例题】宇宙间存在一些离其它恒星较远的三星系统。其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为M 的
星位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗星的距离均为R。并绕其中心O 做匀速圆周运动。如果忽略其
它星体对它们的引力作用，引力常数为G。以下对该三星系统的说法中正确的是（ ）
9
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A．每颗星做圆周运动的角速度为
B．每颗星做圆周运动的向心加速度与三星的质量无关
C．若距离R 和每颗星的质量M 都变为原来的2 倍，则角速度变为原来的2 倍
D．若距离R 和每颗星的质量M 都变为原来的2 倍，则线速度大小不变
【答案】D
【详解】A．任意星之间所受万有引力为
则任意一星所受合力为
星运动的轨道半径
万有引力提供向心力
解得
故A 错误；
B．万有引力提供向心力
解得
10
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则每颗星做圆周运动的向心加速度与三星的质量有关，B 错误；
C．根据题意可知
故C 错误；
D．根据线速度与角速度的关系可知变化前线速度为
变化后为
故D 正确。
故选D。
【总结归纳】
双星系统模型规律及有用结论
模型图示
基本规律
或结论
各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，向心力大小是相等
的，则＝m1ωr1，＝m2ωr2
两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L
两颗星到圆心的距离r1、r2 与星体质量成反比，＝
双星的运动周期T＝2π
双星的总质量公式m1＋m2＝
一、单选题
1．如图所示，我国“夸父一号”卫星位于日地连线上，距离地球约150 万千米的日地系统第一拉格朗日
点，在该点几乎不消耗燃料就可以和地球一起以相同的角速度绕太阳做匀速圆周运动，则“夸父一号”（
11
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）
A．向心力由太阳的引力提供
B．角速度大于地球的角速度
C．线速度大于地球的线速度
D．向心加速度小于地球的向心加速度
【答案】D
【详解】AB．“夸父一号”和地球一起以相同的角速度绕太阳做匀速圆周运动，根据题意可知，“夸父一
号”角速度等于地球的角速度，向心力由太阳和地球的引力合力提供，故AB 错误；
C．根据
可知，地球轨道半径大，则“夸父一号”线速度小于地球的线速度，故C 错误；
D．根据
可知，地球轨道半径大，则“夸父一号”向心加速度小于地球的向心加速度，故D 正确；
故选D。
2．假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A 和B，半径分别为
和
。两颗行星周围卫星的轨道半径的三
次方（
）与运行周期的平方（
）的关系如图所示。若两颗行星自转可以忽略，则与行星A 相比，行
星B 的（ ）
A．密度大
B．表面重力加速度大
C．密度小
D．表面重力加速度小
【答案】B
【详解】AC．根据万有引力提供向心力得出
12
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得
根据图象可知，A 的
比较B 的大，所以行星A 的质量大于行星B 的质量，由图可知两行星周期相同，
又有
所以行星A 的密度等于行星B 的密度，故AC 错误；
BD．在星球表面有
解得
由于A 的半径大于B 的半径，故行星B 表面重力加速度大于行星A 表面重力加速度，故B 正确，D 错误。
故选B。
3．某国产科幻巨作对地球如何离开太阳系的思路中有一种是不断地在地球处于近日点时在地球上“点
火”。用核动力推动地球加速，使地球围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最后离开太阳系。如
图所示，假设“点火”后，地球处于“无动力”状态刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，其在近日点、远日点
的速度分别为
，
，近日点到日心的距离为r，太阳质量为M，引力常量为G。则下列说法正确的是
（ ）
A．
，
B．
，
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C．
，
D．
，
【答案】B
【详解】根据开普勒第二定律可知近日点的速度大于远日点的速度，即
地球离开近日点开始做离心运动，则由离心运动的条件可知
解得
故选B。
4．如图，A、B、C 分别是赤道表面的物体、近地卫星、地球同步卫星。已知A、B、C 的运动为绕地球做
匀速圆周运动且轨道位于同一平面，它们的运行速度分别为
、
、
，角速度分别为
、
、
，向
心加速度分别为
、
、
，机械能分别为
、
、
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】ABD．因A 和C 周期相同，角速度相同
则由
可得
由
可得
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对BC 由于
可得
可知
可得
根据
可知
可得
根据
可知
可得
选项A 正确，BD 错误；
C．因三个卫星的质量关系不确定，可知不能确定机械能关系，选项C 错误。
故选A。
5．如图所示，地球的三个卫星A、B、C 分别运行在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上，Ⅱ为椭圆轨道，其半长轴为a，
周期为T，Ⅰ、Ⅲ为圆轨道，且Ⅲ的半径与Ⅱ的半长轴相等，Ⅲ与Ⅱ相交于M 点，Ⅰ与Ⅱ相切于N 点，P
点为Ⅱ的远地点。已知引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
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A．卫星C 的运行周期等于T
B．由题中条件不能求出地球的质量
C．卫星B、C 经M 点的加速度相同，速度也相同
D．卫星A 经N 点的速度等于卫星B 经N 点的速度
【答案】A
【详解】AB．椭圆轨道II 的半长轴为
，周期为
，I、III 为圆轨道，由于轨道III 的半径与轨道II 的半长
轴相等，由开普勒第三定律可知卫星C 的周期为
，则
解得地球的质量
故A 正确，B 错误；
C．由
解得
所以卫星B、C 在
点的加速度大小相等，由于卫星B 做椭圆运动，卫星B 的速度与卫星C 的速度不相
等，故C 错误；
D．由C 选项分析可知卫星A、B 在
点的加速度大小相等，卫星从轨道Ⅰ从N 点进入轨道Ⅱ要加速，则
两星在AB 两点的速度大小不相等，故D 错误。
故选A。
6．2022 年1 月17 日10 时35 分，我国在太原卫星发射中心用长征二号丁运载火箭，成功将“试验十三号
卫星”发射升空，卫星顺利进入预定轨道，已知“试验十三号卫星”环绕地球的轨道半径为
、环绕周期
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为
；地球环绕太阳的轨道半径为
、环绕周期为
，引力常量为
。则下列说法正确的是（ ）
A．可求地球与太阳之间的万有引力大小
B．可求“试验十三号卫星”与地球之间的万有引力大小
C．可求地球的平均密度
D．
【答案】A
【详解】B．设地球质量
，“试验十三号卫星”的质量
，“试验十三号卫星”绕地球做圆周运动
则地球质量为
由于无法求出“试验十三号卫星”的质量，所以不能求“试验十三号卫星”与地球之间的万有引力大小，
故B 错误；
C．又由于地球的半径未知，所以也无法求地球密度，故C 错误；
A．地球环绕太阳做圆周运动时，太阳对地球的引力提供地球做圆周运动的向心力
由以上可解得地球与太阳之间万有引力的大小为
故A 正确；
D．开普勒第三定律适用于围绕同一中心天体做圆周运动的卫星，对地球和“试验十三号卫星”不适用，
故D 错误。
故选A。
7．两人造地球卫星在同一平面内绕地球同方向做匀速圆周运动，其中一个卫星在地面附近绕地球做匀速
圆周运动的周期为
，某时刻两卫星相距最近，间距为
（
为地球半径），则从两卫星相距最近开始计
时到下次相距最近至少经过的时间为（ ）
17
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】ABCD.由题意可知，两卫星的半径之比为
，由开普勒第三定律得另一个卫星的周期为
；设
从两卫星相距最近到下次相距最近至少需要时间，则近地卫星刚好比另一个卫星多转一圈：
可解出
故选项A 正确，选项BCD 错误。
故选A。
8．如图所示，质量相同的人造地球卫星M、N 在同一平面内绕地心O 做匀速圆周运动。已知M、N 连线与
M、O 连线间的夹角最大为
，则关于M、N 两卫星的运动正确的说法是（ ）
A．N 卫星与M 卫星的轨道半径之比为
B．N 卫星与M 卫星的万有引力之比为
C．N 卫星与M 卫星的角速度之比为
D．N 卫星与M 卫星的速度之比为
【答案】B
【详解】A．M、N 连线与M、O 连线间的夹角最大为
，根据几何知识可知此时
，故可知N
卫星与M 卫星的轨道半径之比为
故A 错误；
B．两卫星质量相同，根据万有引力公式
可得N 卫星与M 卫星的万有引力之比为
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故B 正确；
CD．根据公式
可得N 卫星与M 卫星的角速度之比为
N 卫星与M 卫星的速度之比为
故CD 错误；
故选B。
9．开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测数据，发表了开普勒定律。通常认为，太阳保持静止不
动，行星绕太阳做匀速圆周运动，则开普勒第三定律中常量
（R 为行星轨道半径，T 为运行周
期）。但太阳并非保持静止不动，太阳和行星的运动可看作绕二者连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运
动，如图所示，则开普勒第三定律中常量
（L 为太阳和行星间距离，T 为运行周期）。已知太阳质
量为M、行星质量为m、引力常量为G，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】行星绕太阳做匀速圆周运动由万有引力提供向心力，所以根据牛顿第二定律有
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解得
太阳和行星的运动可看作绕二者连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动时，设行星做匀速圆周运动的轨
道半径为r，太阳做匀速圆周运动的轨道半径为R，则有
行星做匀速圆周运动由万有引力提供向心力，所以根据牛顿第二定律有
太阳做匀速圆周运动由万有引力提供向心力，所以根据牛顿第二定律有
将以上两式相加可得
解得
故AC。
10．卫星是人类的“千里眼”、“顺风耳”，如图所示三颗静止通信卫星就能实现全球通信，已知卫星之
间的距离均为L，地球自转的周期为T，地球的第一宇宙速度为
，引力常量为G，下列说法正确的是（
）
A．三颗通信卫星受到的万有引力大小相等
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B．其中一颗质量为m 的通信卫星的动能为
C．地球的质量为
D．地球的第一宇宙速度与通信卫星的速度之比为
【答案】B
【详解】A．根据
可知三颗通信卫星的质量不一定相等，则所受的万有引力的大小不一定相等，故A 错误；
B．卫星线速度和周期的关系可知
动能为
由几何关系可得卫星的轨道半径为
综合可得
故B 正确；
C．由
综合解得
故C 错误；
D．通信卫星的速度为
1
2
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地球的第一宇宙速度与通信卫星的速度之比
故D 错误。
故选B。
11．如图是我国空间站建设情况的情景图，核心舱——天和前后对接了载人飞船——神舟A 和货运飞船
——天舟，两侧翼为实验舱Ⅰ——问天和实验舱Ⅱ——梦天，下方是载人飞船——神舟B。已知空间站组
合体在轨高度约为440km，同步卫星轨道高度约为36000km，地球半径约为6400km。我国空间站内大多
数航天器都是从酒泉航天发射塔发射升空的，假设发射塔中现有准备发射的卫星C。下列说法正确的是（
）
A．空间站组合体的线速度大于地球的第一宇宙速度
B．空间站组合体的周期小于地球自转的周期
C．空间站组合体与同步卫星向心加速度大小之比约为6：1
D．卫星C 的向心加速度大于空间站组合体向心加速度
【答案】B
【详解】A．空间站组合体的线速度小于地球的第一宇宙速度。故A 错误；
B．根据
解得
空间站组合体的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以空间站组合体的运行周期小于同步卫星，即小于
地球自转周期。故B 正确；
C．同步卫星与空间站组合体运行的轨道半径之比为
22
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根据万有引力提供向心力
可知空间站组合体与同步卫星的向心加速度大小之比约为38：1。故C 错误；
D．卫星C 随地球自转，且自转角速度等于同步卫星运行的角速度，根据
可知卫星C 的向心加速度小于同步卫星的向心加速度，进而推知小于空间站组合体向心加速度。故D 错
误。
故选B。
12．2022 年10 月31 日15 时37 分我国长征五号B 遥四运载火箭将“梦天实验舱”成功发射，11 月1 日4
时27 分已与空间站天和核心舱顺利实现交会对接。由梦天实验舱、问天实验舱、天和核心舱形成新的空间
站“T”字基本构型组合体。已知组合体的运行轨道距地面高度为h（约为400km），地球视为理想球体且
半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转。则（ ）
A．航天员漂浮在组合体中，处于平衡状态
B．地球的平均密度可表示为
C．组合体轨道处的重力加速度为
D．组合体的运行速度介于7.9km/s 和11.2km/s 之间
【答案】C
【详解】A．航天员漂浮在组合体中，航天员绕地球做匀速圆周运动，航天员受到地球的万有引力提供所
需的向心力，航天员不是处于平衡状态，故A 错误；
B．物体在地球表面受到的万有引力等于重力，则有
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联立解得地球的平均密度为
故B 错误；
C．设组合体轨道处的重力加速度为gʹ，则有
解得
故C 正确；
D．卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力
解得
卫星在地面表面轨道绕地球做匀速圆周运动时的线速度最大，为地球第一宇宙速度7.9km/s，故组合体的运
行速度小于7.9km/s，故D 错误。
故选C。
二、解答题
13．“嫦娥一号”卫星开始绕地球做椭圆轨道运动，经过变轨、制动后，成为一颗绕月球做圆轨道运动的
卫星。设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为r，做匀速圆周运动的周期为T。已知月球半径为R，引力常
量为G。（球的体积公式
，其中R 为球的半径）求：
（1）月球的质量M；
（2）月球表面的重力加速度g；
（3）月球的密度
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）卫星绕月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得
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解得月球的质量为
（2）根据物体在月球表面受到的万有引力等于重力可得
解得月球表面的重力加速度为
（3）根据
解得月球的密度为
14．利用金星凌日可以较准确测定日地间的距离。当出现金星凌日时（金星出现在地球与太阳之间的连线
上），从地面向金星发射一束电磁波，经时间t 后地面接收到回波。若金星与地球公转轨道均看作圆轨道
且位于同一平面，已知金星公转周期为地球公转周期的n 倍，光速为c，求：
（1）金星轨道与地球轨道间距d；
（2）日地距离r。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）金星轨道与地球轨道间距
（2）由开普勒第三定律可得
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则
又
解得
15．双星系统是宇宙中相对独立的系统，它由两颗彼此环绕的恒星构成。已知某双星系统的两颗天体的总
质量为
，这两颗天体间的距离为L，由于L 远大于天体自身的半径，两天体都可看成质点。引力常量为
G。求：
（1）双星系统的角速度大小。
（2）双星系统两天体的线速度大小之和。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设两颗天体的轨道半径分别是
、
，由万有引力提供向心力得
又
联立可得
解得
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（2）由线速度与角速度的关系
可得
解得双星系统两天体的线速度大小之和为
16．如图甲所示，假设某星球表面上有一倾角为θ=30°的固定斜面，一质量为m 的小物块从斜面底端沿斜
面向上运动，其速度—时间图像如图乙所示。已知小物块与斜面间的动摩擦因数为μ=
，该星球半径为
R=6×104 km，引力常量G=6.67×10－11 N·m2/kg2，π 取3.14，求：
（1）该星球的第一宇宙速度v1；
（2）该星球的质量M。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设物块在斜面上上滑时的加速度大小为
，下滑时的加速度大小为
，该星球的重力加速
度为
，则由图乙可得
而由牛顿第二定律有
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解得
设该星球的质量为
，一质量为
的物体环绕该星球表面做圆周运动，则有
而在星球表面有
联立可得该星球的第一宇宙速度为
（2）根据
代入数据解得
17．当某一地外行星（火星、木星、土星、天王星、海王星）于绕日公转过程中运行到与地球、太阳成一
直线的状态，且地球恰好位于太阳和外行星之间的这种天文现象叫“冲日”，冲日前后是观测地外行星的
好时机。如图所示是土星冲日示意图，已知地球质量为
，半径为
，公转周期是1 年，公转半径为，
土星质量是地球的95 倍，土星半径是地球的9.5 倍，土星的公转半径是地球的9.5 倍。求：
（1）地球和太阳间的万有引力是土星和太阳间的几倍？
（2）土星的第一宇宙速度是地球的几倍？
（3）土星冲日平均多长时间出现一次？
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【答案】（1）0.95；（2）
；（3）1.04 年
【详解】（1）由万有引力公式
地球和太阳间的万有引力是土星和太阳间的n 倍，有
（2）设行星的第一宇宙速度为v，有
得
土星的第一宇宙速度是地球的n 倍，有
（3）设行星周期为T，有
得
所以土星的周期为
由题设每经t 年出现土星冲日，有
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得
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