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第15 讲 万有引力与航天
——划重点之精细讲义系列
考点一 天体质量和密度的估算
一．开普勒行星运动定律
定律
内容
图示
开普勒第一定律
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太
阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在
相等的时间内扫过相等的面积
开普勒第三定律
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的
公转周期的二次方的比值都相等.＝k
二．万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力
的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比．
2．公式：F＝G，其中G＝6.67×10－11N·m2/kg2.
3．适用条件
公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物
体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r 是球心间的距离；对一个均匀球体与球外一
个质点的万有引力的求解也适用，其中r 为球心到质点间的距离．
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝man＝m＝mω2r＝m
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g 表示天体
表面的重力加速度)．
2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，
天体密度ρ＝＝＝.
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
1
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②若已知天体半径R，则天体的平均密度
ρ＝＝＝；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半
径R，则天体密度ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中
心天体的密度．
【典例1】(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕
冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星
的质量．这两个物理量可以是( )
A．卫星的速度和角速度
B．卫星的质量和轨道半径
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的运行周期和轨道半径
【典例2】假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两
极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为
( )
A.·
B．·
C.
D.·
【典例3】过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51
peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运
动，周期约为4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量比
约为( )
A.
B．1
C．5
D．10
解决天体质量和密度的估算问题的两点注意
(1)卫星的轨道半径与中心天体的半径不要混淆，只有近地卫星的轨道半径才近似
等于天体半径．
(2)搞清“以谁为研究对象，谁是中心天体”、“受力特点”、“谁做圆周运动”
等，明确一般只能求解中心天体的质量和密度，不能求解环绕天体的质量和密度．
考点二 卫星的运行规律
1．卫星的运行规律
(1)卫星做匀速圆周运动．
2
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(2)万有引力提供向心力：即由G＝m＝mrω2＝mr＝man可推导出：
⇒当r 增大时
2．同步卫星的六个“一定”
3.三种宇宙速度
宇宙速度
数值(km/s)
意义
第一宇宙速度
(环绕速度)
7.9
是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球
卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度．
第二宇宙速度
(脱离速度)
11.2
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
第三宇宙速度
(逃逸速度)
16.7
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.
【典例1】(多选) 如图所示，P、Q 是质量均为m 的两个质点，分别置于地球表面
的不同纬度上，如果把地球看成一个均匀球体，P、Q 两质点随地球自转做匀速圆周运
动，则下列说法正确的是( )
A．P、Q 受地球引力大小相等
B．P、Q 做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q 做圆周运动的角速度大小相等
D．P 受地球引力大于Q 所受地球引力
3
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【典例2】如图，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a、b 到地心O
的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则( )
A.＝
B.＝
C.＝2
D.＝2
【典例3】国务院批复，自2016 年起将4 月24 日设立为“中国航天日”.1970 年4
月24 日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨
道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984 年4 月8 日成功发射的东
方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的
加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速
度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
A．a2＞a1＞a3
B．a3＞a2＞a1
C．a3＞a1＞a2
D．a1＞a2＞a3
【典例4】假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小
于火星到太阳的距离，那么( )
A．地球公转的周期大于火星公转的周期
B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度
【典例5】(多选)在圆轨道上运动的质量为m 的人造地球卫星，它到地面的距离等
于地球半径R，地面上的重力加速度为g，忽略地球自转影响，则( )
A．卫星运动的速度大小为
B．卫星运动的周期为4π
C．卫星运动的向心加速度大小为g
D．卫星轨道处的重力加速度为g
人造卫星问题的解题技巧
(1)卫星向心加速度的不同表述形式．
①G＝man.
②an＝＝rω2＝r.
4
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(2)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛
顿第二定律．
①卫星的an、v、ω、T 是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发
生变化．
②an、v、ω、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径r 和中心天体质量共同决定．
考点三 航天器的变轨问题
1．卫星轨道的渐变：当卫星由于某种原因速度逐渐改变时，万有引力不再等于向
心力，卫星将做变轨运行．
(1)当卫星的速度逐渐增加时，G＜m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离
心运动，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原
轨道时减小．
(2)当卫星的速度逐渐减小时，G＞m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做
近心运动，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比
原轨道时增大．
2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行
器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道．如图所示，发射同步
卫星时，可以分多过程完成：
(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ.
(2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，变轨时在P 点点火加速，短时间内将
速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ.
(3)卫星运行到远地点Q 时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将
速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动．
【典例1】(多选)我国已先后成功发射了“天宫一号”飞行器和“神舟八号”飞船，
并成功地进行了对接试验，若“天宫一号”能在离地面约300 km 高的圆轨道上正常运
行，则下列说法中正确的是( )
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A．“天宫一号”的发射速度应大于第二宇宙速度
B．对接前，“神舟八号”欲追上“天宫一号”，必须在同一轨道上点火加速
C．对接时，“神舟八号”与“天宫一号”的加速度大小相等
D．对接后，“天宫一号”的速度小于第一宇宙速度
【典例2】我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞
船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周
运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现
对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对
接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，
两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验
室，两者速度接近时实现对接
【典例2】(多选)如图为嫦娥三号登月轨迹示意图．图中M 点为环地球运行的近地
点，N 点为环月球运行的近月点．a 为环月球运行的圆轨道，b 为环月球运行的椭圆轨
道，下列说法中正确的是( )
A．嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度大于11.2 km/s
B．嫦娥三号在M 点进入地月转移轨道时应点火加速
C．设嫦娥三号在圆轨道a 上经过N 点时的加速度为a1，在椭圆轨道b 上经过N 点
时的加速度为a2，则a1>a2
D．嫦娥三号在圆轨道a 上的机械能小于在椭圆轨道b 上的机械能
【典例3】(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫
星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，
只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( )
A．卫星的动能逐渐减小
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B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
航天器变轨问题的三点注意事项
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定
在新轨道上的运行速度变化由v＝ 判断．
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．
(3)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的
速度．
考点四 天体运动中的“多星”问题
“多星”模型
1.双星系统
（1）双星做匀速圆周运动向心力的来源
双星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，其向心力由两颗星间的万有引力提供。
（2）双星做匀速圆周运动的运动参量关系
两星的运动周期和角速度是相等的，线速度与各自的轨道半径成正比。
（3）双星做圆周运动的动力学关系设双星相距L，质量分别为 M1和M2，线速度分
别为v1和v2 ，轨道半径分别为 r1和 r2，共同运动的周期为T、角速度为ω，如图所
示。对于这两星，由万有引力定律和向心力公式分别有
，
其中r1＋r2=L。
因此，在求解双星问题时，要注意弄清双星各自的轨道半径，切勿与两星之间的
距离相混淆。
（4）几个基本结论（建议自行推导）
①轨道半径∶
，
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②星体质量∶
，
④系统质量∶
④星体周期∶
2.三星系统
宇宙中存在一些离其他恒星较远（可忽略其他星体对它们的引力作用）的三颗星
组成的三星系统。已观测到稳定的三星系统主要有两种基本的构成形式∶一种是三颗
星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R1的圆轨道上运动;另一种是三
颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运动。如图 所示
（设每颗星体的质量均为m）。
（1）对第一种形式中A 而言，B、C 对A 的万有引力提供A 做圆周运动的向心力，
则有
（2）对第二种形式中A 而言，B、C 对A 的万有引力提供A 做圆周运动的向心力，
则有
这里
。
【典例1】经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由
两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系
统一般远离其他天体．两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线
上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为
m1∶m2＝3∶2.则可知( )
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A．m1、m2做圆周运动的角速度之比为2∶3
B．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2
C．m1做圆周运动的半径为L
D．m2做圆周运动的半径为L
【典例2】(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星
系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为
m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L 的正方形的四个顶点上，其中L 远大于R.
已知万有引力常量为G，忽略星体自转效应，则关于四星系统，下列说法正确的是(
)
A．四颗星做圆周运动的轨道半径均为
B．四颗星做圆周运动的线速度均为
C．四颗星做圆周运动的周期均为2π
D．四颗星表面的重力加速度均为G
1．下列说法正确的是( )
A．万有引力定律是开普勒发现的，而引力常量是伽利略测定的
B．F＝G 中的G 是一个比例常数，是没有单位的
C．万有引力定律适用于任意质点间的相互作用
D．万有引力定律不适用于地面上的物体
2．海王星有13 颗已知的天然卫星．现认为“海卫二”绕海王星沿圆轨道匀速运
转，已知海卫二的质量为2.0×1019 kg，轨道半径为5.5×106 km，运行的周期为360
天，万有引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2.则海王星的质量大约为( )
A．1.0×1017 kg
B．1.0×1026 kg
C．2.0×1011 kg
D．2.0×1019 kg
3．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
4．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电
通讯，目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6 倍．假设地球的自转周期变
小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h
B．4 h
C．8 h
D．16 h
5．北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由35 颗
卫星组成，卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中地球轨道和倾斜轨道．其中，同步
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轨道半径大约是中轨道半径的1.5 倍，那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为(
)
6．我国实施“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据．如果
该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心
连线扫过的角度是1 弧度，万有引力常量为G，根据以上数据估算月球的质量是( )
A.
B.
C.
D.
7．(多选)据悉，我国的火星探测计划将于2018 年展开.2018 年左右我国将进行第
一次火星探测，向火星发射轨道探测器和火星巡视器．已知火星的质量约为地球质量
的，火星的半径约为地球半径的.下列关于火星探测器的说法中正确的是( )
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度
8．宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完
全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为
R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0
B.
C.
D.
9．(多选)有一宇宙飞船到了某行星上(假设该行星没有自转运动)，以速度v 贴近
行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得( )
A．该行星的半径为
B．该行星的平均密度为
C．无法求出该行星的质量
D．该行星表面的重力加速度为
10．(多选)欧洲航天局的第一枚月球探测器——“智能1 号”环绕月球沿椭圆轨道
运动，用m 表示它的质量，h 表示它近月点的高度，ω 表示它在近月点的角速度，a 表
示它在近月点的加速度，R 表示月球的半径，g 表示月球表面处的重力加速度．忽略其
他星球对“智能1 号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于(
)
A．ma
B．m
C．m(R＋h)ω2
D．m
11．宇航员站在某一星球距离表面h 高度处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小
球，经过时间t 后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，则该星
10
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球的质量为( )
A.
B.
C.
D.
12. (多选)如图所示，两质量相等的卫星A、B 绕地球做匀速圆周运动，用R、T、
Ek、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．
下列关系式正确的有( )
A．TA＞TB
B．EkA＞EkB
C．SA＝SB
D.＝
13．宇航员在地球上的水平地面将一小球水平抛出，使小球产生一定的水平位移，
当他登陆一半径为地球半径2 倍的星球后，站在该星球水平地面上以和地球完全相同
的方式水平抛出小球，测得小球的水平位移大约是地球上平抛时的4 倍，由此宇航号
估算该星球的质量M 星约为(式中M 为地球的质量)( )
A．M 星＝M
B．M 星＝2M
C．M 星＝M
D．M 星＝4M
14．在发射卫星时，往往先将卫星发送到一个椭圆轨道上，再变轨到圆轨道。已
知某卫星运行的椭圆轨道的近地点M 距地面
，远地点N 距地面
，卫星进
入该轨道正常运行时，通过M 点和N 点时的速率分别为
和
，当某次卫星通过N 点
时，启动卫星上的发动机，使卫星在短时间内加速后进入离地面
的圆形轨道，
开始绕地球做匀速圆周运动，这时卫星的速率为
。比较卫星在M、N、P 三点正常运
行时（不包括启动发动机加速阶段）的速率
和加速度大小
，下列
结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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15．2019 年3 月10 日，长征三号乙运载火箭将“中星6C”通信卫星（记为卫星
Ⅰ）送入地球同步轨道上，主要为我国、东南亚、澳洲和南太平洋岛国等地区提供通
信与广播业务。在同平面内的圆轨道上有一颗中轨道卫星Ⅱ它运动的每个周期内都有
一段时间t（t 未知）无法直接接收到卫星Ⅰ发出的电磁波信号，因为其轨道上总有一
段区域没有被卫星Ⅰ发出的电磁波信号覆盖到，这段区域对应的圆心角为
。已知卫
星Ⅰ对地球的张角为
，地球自转周期为
，万有引力常量为G，则下列说法正确的
是（ ）
A．地球的平均密度为
B．卫星Ⅰ、Ⅱ的角速度之比为
C．卫星Ⅱ的周期为
D．题中时间t 不可能为
16．天文观测发现，天狼星A 与其伴星B 是一个双星系统。它们始终绕着O 点在
两个不同椭圆轨道上运动，如图所示，实线为天狼星A 的运行轨迹，虚线为其伴星B
的轨迹，则（ ）
A．A 的运行周期小于B 的运行周期
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B．A 的质量小于B 的质量
C．A 的加速度总是小于B 的加速度
D．A 与B 绕O 点的旋转方向可能相同，可能相反
17．如图所示为人类历史上第一张黑洞照片。黑洞是一种密度极大、引力极大的
天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接
研究黑洞。已知某黑洞的逃逸速度为v＝
，其中引力常量为G，M 是该黑洞的
质量，R 是该黑洞的半径。若天文学家观测到与该黑洞相距为r 的天体以周期T 绕该黑
洞做匀速圆周运动，则下列关于该黑洞的说法正确的是（ ）
A．该黑洞的质量为
B．该黑洞的质量为
C．该黑洞的最大半径为
D．该黑洞的最大半径为
18．（多选）两颗相距较远的行星A、B 的半径分别为RA、RB，距A、B 行星中心
r 处，各有一卫星分别围绕行星做匀速圆周运动，线速度的平方v2随半径r 变化的关系
如图甲所示，两图线左端的纵坐标相同；卫星做匀速圆周运动的周期为T，
的图像如图乙所示的两平行直线，它们的截距分别为bA、bB．已知两图像数据均采用国
际单位，
，行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球
的影响，下列说法正确的是（ ）
A．图乙中两条直线的斜率均为
B．行星A、B 的质量之比为1 3∶
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C．行星A、B 的密度之比为1 9∶
D．行星A、B 表面的重力加速度大小之比为3 1∶
19．（多选）人类设想在赤道平面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，又称
“太空电梯”如图甲所示。图乙中，图线A 表示地球引力对航天员产生的加速度大小
与航天员距地心的距离r 的关系，图线B 表示航天员相对地面静止时而产生的向心加
速度大小与r 的关系。图乙中R（地球半径），r0为已知量，地球自转的周期为T，引
力常量为G，下列说法正确的有（ ）
A．太空电梯停在r0处时，航天员对电梯舱的弹力为0
B．地球的质量为
C．地球的第一宇宙速度为
D．随着r 的增大，航天员对电梯舱的弹力逐渐减小
20．（多选）如图所示，
是一个半径为
，质量为
的密度均匀球体的球心，
现在其内以
为球心挖去一个半径为
的球，并在空心球内某点
放置一个质量为
的质点。若已知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，则
球剩余部分对该
质点的万有引力（ ）
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A．方向由
点指向
连线上某点
B．方向与
连线平行
C．大小为
D．大小为
21．（多选）中国科幻电影流浪地球讲述了地球逃离太阳系的故事，假设人们
在逃离过程中发现一种三星组成的孤立系统，三星的质量相等、半径均为
，稳定分
布在等边三角形的三个顶点上，三角形的边长为
，三星绕O 点做周期为
的匀速圆
周运动。已知万有引力常量为
，忽略星体的自转，下列说法正确的是（ ）
A．匀速圆周运动的半径为
B．每个星球的质量为
C．每个星球表面的重力加速度大小为
D．每个星球的第一宇宙速度大小为
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