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第2 课时 匀变速直线运动的规律
目标要求 1.理解匀变速直线运动的特点，掌握匀变速直线运动的公式，并理解公式中各物理量的含义。2.
会灵活应用运动学公式及推论解题。
考点一 匀变速直线运动的基本规律及应用
1.匀变速直线运动
沿着一条直线且加速度不变的运动。如图所示，v－t 图线是一条倾斜的直线。
2.匀变速直线运动的基本规律
(1)速度与时间的关系式：v＝v0＋
at 。
(2)位移与时间的关系式：x＝v0t ＋
1
2at 2 。
由以上两式联立可得速度与位移的关系式：v 2 －
v0
2＝
2 ax
。
3.公式选用原则
以上三个公式共涉及五个物理量，每个公式有四个物理量。选用原则如下：
不涉及位移，选用v＝v0＋at
不涉及末速度，选用x＝v0t＋1
2at2
不涉及时间，选用v2－v0
2＝2ax
4.正方向的选取
以上三式均为矢量式，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，通常以初速度v0的方向为正方向；当v0
＝0 时，一般以加速度a 的方向为正方向。速度、加速度、位移的方向与正方向相同时取正，相反时取负。
1.匀变速直线运动是加速度均匀变化的直线运动。( × )
2.匀变速直线运动是加速度不变而速度均匀变化的直线运动。( √ )
3.匀加速直线运动的位移随时间均匀增大。( × )
4.匀变速直线运动中，经过相同的时间，速度变化量相同。( √ )
例1 在女子单向直线400 m 比赛中某段时间内，某同学从静止开始做匀加速直线运动，经t1＝4 s 后速
度大小达到8 m/s，然后匀速运动了t2＝10 s，接着经t3＝5 s 匀减速直线运动速度大小达到6 m/s(该同学可
以看作质点)。求：
(1)该同学在匀加速运动阶段的加速度大小；
1
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(2)该同学在第16 s 末的速度大小；
(3)该同学这段时间内的位移大小。
答案 (1)2 m/s2 (2)7.2 m/s (3)131 m
解析 (1)设匀加速运动阶段的加速度为a1，
则v1＝a1t1
解得a1＝2 m/s2。
(2)设匀减速运动阶段的加速度为a2，
因为v2＝v1＋a2t3
所以a2＝－0.4 m/s2
当t＝16 s 时，该同学已减速运动了t4＝2 s，
此时该同学的速度为v3＝v1＋a2t4＝7.2 m/s。
(3)匀加速直线运动的位移x1＝1
2a1t1
2＝16 m
匀速直线运动的位移x2＝v1t2＝80 m
匀减速直线运动的位移x3＝v1t3＋1
2a2t3
2＝35 m
则总位移x＝x1＋x2＋x3＝131 m。
例2 (2025·山东淄博市沂源第一中学月考)具有“主动刹车系统”的汽车遇到紧急情况时，会立即启动
主动刹车。某汽车以72 km/h 的速度匀速行驶时，前方45 m 处突然出现一群羚羊横穿公路，“主动刹车
系统”立即启动，汽车开始做匀减速直线运动，恰好在羚羊通过道路前5 m 处停车。求：
(1)汽车在刹车后2 s 内和刹车后5 s 内的位移大小；
(2)汽车开始“主动刹车”后第4 s 内通过的位移大小。
答案 (1)30 m 40 m (2)2.5 m
解析 (1)依题意，汽车做匀减速直线运动，其位移为x＝45 m－5 m＝40 m，初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，
设加速度大小为a，则有0－v0
2＝－2ax，解得a＝5 m/s2，汽车的刹车时间为t 刹＝v0
a ＝4 s，刹车后5 s 汽车
已停止，故刹车后5 s 内的位移大小等于刹车位移40 m，刹车后2 s 内位移x＝v0t－1
2at2＝30 m
(2)由“逆向思维”可知汽车开始“主动刹车”后第4 s 内通过的位移大小为反方向做匀加速直线运动第1 s
内的位移大小，即x'＝1
2at'2＝2.5 m。
逆向思维在匀减速直线运动中的应用
当物体做匀减速直线运动时，若末速度已知，利用逆向思维，可看作初速度已知的匀加速直线运动，例如匀
减速直线运动速度减到零，利用逆向思维看作初速度为零的匀加速直线运动。
2
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例3 (多选)(2024·山东青岛市校考)图，在足够长的光滑固定斜面上，有一物体以大小为10 m/s 的初速度
v0沿斜面向上运动，物体的加速度大小始终为5 m/s2、方向沿斜面向下，当物体的位移大小为7.5 m 时，
下列说法正确的是( )
A.物体运动时间可能为1 s
B.物体运动时间可能为3 s
C.物体运动时间可能为(2＋√7) s
D.物体此时的速度大小一定为5 m/s
答案 ABC
解析 以沿斜面向上为正方向，则a＝－5 m/s2，当物体的位移为沿斜面向上7.5 m 时，x＝7.5 m，由运动学
公式x＝v0t＋1
2at2，解得t1＝3 s 或t2＝1 s，故A、B 正确；当物体的位移为沿斜面向下7.5 m 时，x＝－7.5
m，由x＝v0t＋1
2at2，解得t3＝(2＋√7) s 或t4＝(2－√7) s(舍去)，故C 正确；由速度时间公式v＝v0＋at，解得
v1＝－5 m/s、v2＝5 m/s、v3＝－5√7 m/s，故D 错误。
拓展 在例3 中，若不求运动时间，如何求出物体此时的速度？
答案 以沿斜面向上为正方向，则a＝－5 m/s2，v0＝10 m/s，当物体的位移沿斜面向上7.5 m 时，x＝7.5 m，
由v2－v0
2＝2ax，解得v1＝5 m/s 或v2＝－5 m/s；当物体的位移沿斜面向下7.5 m 时，x＝－7.5 m，由v2－v0
2
＝2ax，解得v3＝－5√7 m/s 或v4＝5√7 m/s(舍去)。
思考 (1)刹车类问题有什么特点，解题时首先应该注意什么？
(2)双向可逆类匀减速直线运动有什么特点，解题时应该注意什么？
答案 (1)刹车类问题的特点：物体匀减速到速度为零后停止运动。解题时，判断在所求问题的时间内，物体
是否已经停止。
(2)如沿光滑固定斜面上滑的小球，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变。
解题时可分过程列式，也可对全过程列式，但必须注意x、v、a 等矢量的正负号及物理意义，物体的运动可
能出现多解。
考点二 匀变速直线运动的推论及应用
1.匀变速直线运动的常用推论
(1)平均速度公式：做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间内初、末时刻速度矢量和
的一半，还等于中间时刻的瞬时速度。即：v ＝v0＋v
2
＝v t
2
。此公式可以求某时刻的瞬时速度。
(2)位移差公式：连续相等的相邻时间间隔T 内的位移差相等。
即：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2。
不相邻相等的时间间隔T 内的位移差xm－xn＝(m－n)aT2，此公式可以求加速度。
2.初速度为零的匀加速直线运动的四个重要比例式
3
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(1)T 末、2T 末、3T 末、…、nT 末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)前T 内、前2T 内、前3T 内、…、前nT 内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶4∶9∶…∶n2。
(3)第1 个T 内、第2 个T 内、第3 个T 内、…、第n 个T 内的位移之比为x Ⅰ∶x Ⅱ∶x Ⅲ∶…∶xN＝
1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(√2－1)∶(√3－√2)∶…∶(
√n－√n−1)。
例4 (多选)( 2023·山东济南市期中)物体沿一直线做匀加速直线运动，已知它在第2 s 内的位移为4 m，
第3 s 内的位移为6 m，则下列判断中正确的是( )
A.它的加速度大小是2 m/s2
B.它在第2 s 末的速度为4 m/s
C.它的初速度为零
D.它在前7 s 内的位移是56 m
答案 AD
解析 根据匀变速直线运动相邻相等时间间隔内位移差的关系x3－x2＝aT2，解得加速度大小是a＝2 m/s2，故
A 正确；第2 s 末的速度等于第2 s 初至第3 s 末的平均速度，即v2＝v ＝4＋6
2
m/s＝5 m/s，v2＝v0＋at2，
则v0＝v2－at2＝5 m/s－2×2 m/s＝1 m/s，故B、C 错误；在前7 s 内的位移是x＝v0t7＋1
2at7
2＝1×7 m＋1
2
×2×72 m＝56 m，故D 正确。
拓展 在例4 中，求解加速度时，可用平均速度法、位移差公式、基本公式法，请尝试用另外两种方法
解加速度。
答案 基本公式法：设第1 s 末的速度为v1，第2 s 内位移为x1，第3 s 内位移为x2，则有x1＝v1t＋1
2at2，x2＝
(v1＋at)t＋1
2at2，联立解得a＝2 m/s2，v1＝3 m/s
平均速度法：1.5 s 末的速度v1.5＝x1
t ，2.5 s 末的速度，v2.5＝x2
t ，a＝v2.5−v1.5
t2−t1
＝2 m/s2。
例5 (2024·山东卷·3)如图所示，固定的光滑斜面上有一木板，其下端与斜面上A 点距离为L。木板由静
止释放，若木板长度L，通过A 点的时间间隔为Δt1；若木板长度为2L，通过A 点的时间间隔为Δt2。
Δt2∶Δt1为( )
A.(√3－1)∶(√2－1)
B.(√3－√2)∶(√2－1)
C.(√3＋1)∶(√2＋1)
D.(√3＋√2)∶(√2＋1)
4
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答案 A
解析 方法一 基本公式法
木板在斜面上运动时，木板的加速度不变，设加速度为a，木板从静止释放到下端到达A 点的过程，根据运
动学公式有L＝1
2at0
2
木板从静止释放到上端到达A 点的过程，当木板长度为L 时，有2L＝1
2at1
2
当木板长度为2L 时，有3L＝1
2at2
2
又Δt1＝t1－t0，Δt2＝t2－t0
联立解得Δt2∶Δt1＝(√3－1)∶(√2－1)
故选A。
方法二 比例式法
设木板从静止释放到下端到达A 点的时间为t0，木板经过A 点时间为Δt1
若木板长度为L，
则t0∶Δt1＝1∶(√2－1) ①
若木板长度为2L，设木板经过A 点时间为Δt2
t0∶Δt2＝1∶[(√2－1)＋(√3－√2)]＝1∶(√3－1)
②
联立①②得Δt2∶Δt1＝(√3－1)∶(√2－1)
1.应用匀变速直线运动规律解题的基本思路
画过程示意图→判断运动性质→选取正方向→选用公式列方程→解方程并加以讨论
2.匀变速直线运动问题常用的解题方法
课时精练 (分值：100 分)
5
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1~7 题每小题8 分，共56 分
1.(2024·山东济南市期末)某地发生地震灾害后，无人机迅速驰援救灾现场，通过航空科技助力抢险救灾。某
次运送救援物资时，救援人员控制无人机由静止开始竖直向上做匀加速直线运动，达到一定速度后再做匀减
速直线运动减速到零。已知无人机做匀加速直线运动的时间为匀减速直线运动时间的2 倍，下列说法正确的
是( )
A.无人机做匀加速直线运动的位移为做匀减速直线运动位移的√2倍
B.无人机做匀加速直线运动的位移为做匀减速直线运动位移的2 倍
C.无人机做匀加速直线运动的加速度为做匀减速直线运动加速度的√2倍
D.无人机做匀加速直线运动的加速度为做匀减速直线运动加速度的2 倍
答案 B
解析 设无人机做匀减速直线运动的时间为t，则做匀加速直线运动的时间为2t，加速时有a1= v
2t ，x1=1
2
a1(2t)2，减速时由逆向思维可知a2=v
t ，x2=1
2a2t2，整理得x1=2x2，a1=1
2a2，B 正确。
2.在交通事故分析中，刹车线的长度是很重要的依据。刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动
时留下的痕迹。在某次交通事故中，汽车的刹车线长度是40 m，假设汽车刹车时的速度大小为20 m/s，刹车
过程可看作匀减速直线运动，则汽车刹车时的加速度大小为( )
A.2 m/s2
B.5 m/s2
C.4 m/s2
D.6 m/s2
答案 B
解析 以汽车刹车时的速度方向为正方向，由0－v0
2＝2ax 得a＝−v0
2
2 x
＝－5 m/s2，负号表示加速度方向与速
度方向相反，故选B。
3.(2024·山东潍坊市测试)一物体做匀加速直线运动，连续经过B、C、D 三点，B、C 间的距离为4.5 m，C、D
间的距离为9.5 m，物体通过BC 与CD 的时间相同，则该物体经过B 点与C 点的速度之比为( )
A.3∶5
B.2∶7
C.9∶19 D.5∶7
答案 B
解析 设该物体通过BC 与CD 的时间均为t，则由匀变速直线运动的推论有该物体经过C 点时的速度vC=vBD
= xBC + xCD
2t
=7m
t ，经过BC 段中间时刻的速度v 中=vBC= xBC
t
=4.5m
t
=vB+ vC
2
，联立可得vB=2m
t ，则
vB∶vC=2∶7，B 正确。
4.做匀加速直线运动的质点，在第6 s 内和前5 s 内的平均速度之差是3 m/s，则此质点运动的加速度大小为(
)
A.1 m/s2
B.2 m/s2
C.3 m/s2
D.6 m/s2
6
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答案 A
解析 根据匀变速直线运动规律：某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段的平均速度，则第6 s 内的平均速
度等于5.5 s 时刻的瞬时速度，前5 s 内的平均速度等于2.5 s 时刻的瞬时速度，依题意由加速度定义式可得
a＝Δv
Δt ＝v5.5−v2.5
5.5−2.5 m/s2＝1 m/s2，故选A。
5.(2024·山东泰安市检测)如图所示，某物体自O 点由静止开始做匀加速直线运动，A、B、C、D 为其运动轨
迹上的四个点，测得xAB＝2 m，xBC＝3 m，且该物体通过AB、BC、CD 所用时间相等，则下列说法正确的是(
)
A.可以求出该物体加速度的大小
B.可以求得xCD＝5 m
C.可求得OA 之间的距离为1.125 m
D.可求得OA 之间的距离为1.5 m
答案 C
解析 设物体加速度为a，该物体通过AB、BC、CD 所用时间均为T，由Δx＝aT2，Δx＝xBC－xAB＝xCD－xBC＝
1 m，可以求得aT2＝1 m，xCD＝4 m，而B 点的瞬时速度vB＝x AC
2T ，则OB 之间的距离xOB＝vB
2
2a
＝3.125 m，
OA 之间的距离为xOA＝xOB－xAB＝1.125 m，C 选项正确。
6.(多选)四个水球可以挡住一颗子弹！如图所示，相同的4 个装满水的薄皮气球水平固定排列，子弹射入水球
中并沿水平线做匀变速直线运动，恰好能穿出第4 个水球，气球薄皮对子弹的阻力忽略不计，子弹重力忽略
不计。以下说法正确的是( )
A.子弹在每个水球中的速度变化量相同
B.子弹依次穿过每个水球所用的时间之比为(2－√3)∶(√3－√2)∶(√2－1)∶1
C.子弹依次进入每个水球时的速度之比为2∶√3∶√2∶1
D.子弹穿出第3 个水球的瞬时速度与全程的平均速度相等
答案 BCD
解析 子弹做匀减速直线运动，通过相同位移的时间逐渐增大，所以子弹在每个水球中运动的时间不同，而
加速度相同，由Δv＝at 知，子弹在每个水球中的速度变化量不同，故A 错误；子弹的运动可看作反向的初速
度为0 的匀加速直线运动，对于初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等位移的时间之比为1∶(√2－
1)∶(√3－√2)∶(2－√3)，则子弹依次穿过每个水球所用的时间之比为(2－√3)∶(√3－√2)∶(√2－1)∶1，故
B 正确；子弹的运动可看作反向的初速度为0 的匀加速直线运动，根据x＝1
2at2可得从静止开始连续通过相等
的位移所用时间之比为1∶√2∶√3∶2，根据v＝at 可知逆向子弹依次进入每个水球时的速度之比为1∶√2∶
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√3∶2，则子弹依次进入每个水球时的速度之比为2∶√3∶√2∶1，故C 正确；子弹恰好能穿出第4 个水球，
则根据B 项分析知子弹穿过第4 个水球的时间与子弹穿过前3 个水球所用的时间相同，则子弹穿出第3 个水
球时的瞬时速度即为中间时刻的速度，与全程的平均速度相等，故D 正确。
7. (2023·山东泰安市质检)一质点做匀加速直线运动先后经过A、B、C 三点。已知从A 到B 和从B 到C 速度
的增加量均为6 m/s，AB 间的距离为3 m，BC 间的距离为13 m，则物体的加速度为( )
A.3.6 m/s2
B.4 m/s2
C.4.2 m/s2
D.4.8 m/s2
答案 A
解析 根据加速度定义式有a＝Δv
Δt ，由于从A 到B 和从B 到C 速度的增加量均为6 m/s，则这两过程所用时
间相等，均为Δt＝Δv
a ，根据相邻相等时间内的位移差规律有xBC－xAB＝a(Δt)2，解得a＝3.6 m/s2，故选A。
8、9 题每小题9 分，10 题15 分，共33 分
8.(来自教材改编) (2025·山东滕州市第一中学月考)子弹以初速度v0垂直射入叠在一起的相同木板，穿过第20
块木板后的速度变为0，可以把子弹视为质点，已知木板的长、厚度均为d，认为子弹在各块木板中运动的加
速度大小都相同，则下列说法正确的是( )
A.子弹穿过前15 块木板所用的时间为40d
v0
B.子弹穿过第15 块木板所用的时间为(4√30−20)d
v0
C.子弹穿过第15 块木板时速度为v0
3
D.子弹穿过前15 块木板的平均速度为3
8v0
答案 B
解析 子弹做匀减速直线运动，根据v0
2＝2a·20d，可得子弹的加速度大小为a＝v0
2
40d
，将子弹的运动看作反
向的初速度为0 的匀加速直线运动， 根据v15
2＝2a·5d，可得穿过第15 块木板后的速度v15＝v0
2 ，C 错误；子
弹穿过前15 块木板所用的时间为t＝
v0−v15
a
＝20d
v0
，A 错误；将子弹的运动看作反向的初速度为0 的匀加速
直线运动，根据d＝v15t'＋1
2at'2，可知子弹穿过第15 块木块所用的时间t'＝(4√30−20)
v0
d，B 正确；子弹穿过
前15 块木板的平均速度v ＝v0＋v15
2
＝3 v0
4 ，D 错误。
8
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9.(2023·山东卷·6)如图所示，电动公交车做匀减速直线运动进站，连续经过R、S、T 三点，已知ST 间的距离
是RS 的两倍，RS 段的平均速度是10 m/s，ST 段的平均速度是5 m/s，则公交车经过T 点时的瞬时速度为(
)
A.3 m/s
B.2 m/s
C.1 m/s
D.0.5 m/s
答案 C
解析 由题知，电动公交车做匀减速直线运动，设RS 间的距离为x，则根据题意有v RS＝x
t1
＝v R＋vS
2
，
vST ＝2 x
t2
＝vS＋vT
2
，
联立解得t2＝4t1，vT＝vR－10，
再根据匀变速直线运动速度与时间的关系有
vT＝vR－a·5t1，则at1＝2 m/s，
又有v RS＝vR－a·t1
2 ＝10 m/s，则vR＝11 m/s，
联立解得vT＝1 m/s，故选C。
10.(15 分)(2024·广西卷·13)如图，轮滑训练场沿直线等间距地摆放着若干个定位锥筒，锥筒间距d＝0.9 m，某
同学穿着轮滑鞋向右匀减速滑行。现测出他从1 号锥筒运动到2 号锥筒用时t1＝0.4 s，从2 号锥筒运动到3 号
锥筒用时t2＝0.5 s。求该同学
(1)(7 分)滑行的加速度大小；
(2)(8 分)最远能经过几号锥筒。
答案 (1)1 m/s2 (2)4
解析 (1)根据匀变速直线运动规律，某段内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，可知在1、2 间中间时刻的
速度为v1＝d
t1
＝2.25 m/s
2、3 间中间时刻的速度为v2＝d
t2
＝1.8 m/s
故可得加速度大小为
a＝
Δv
Δt ＝v1−v2
t1
2 ＋t2
2
＝1 m/s2
(2)设到达1 号锥筒时的速度为v0，
根据匀变速直线运动规律得v1＝v0－at1
2
9
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代入数据解得v0＝2.45 m/s
从1 号开始到停止时通过的位移大小为
x＝v0
2
2a
＝3.001 25 m≈3.33d
故可知最远能经过4 号锥筒。
(11 分)
11. (2024·山东烟台市莱州市质检)一质点做匀变速直线运动，已知初速度大小为v，经过一段时间速度大小变
为2v，加速度大小为a，这段时间内的路程与位移之比为5∶3，则下列说法正确的是( )
A.这段时间内质点运动方向不变
B.这段时间为3 v
a
C.这段时间质点运动的路程为3 v
2
2a
D.再经过相同时间，质点速度大小为3v
答案 B
解析 由题意知，质点先做匀减速直线运动，速度减小到零后，再反向做匀加速直线运动，即在这段时间内
运动方向改变，如图所示，
选项A 错误；由v＝v0＋at 得－2v＝v－at，可得时间t＝3 v
a ，选项B 正确；由v2－v0
2＝2ax 得，从初速度为v
减速到零所通过的路程x1＝v
2
2a，然后反向加速到2v 所通过的路程x2＝(2v)
2
2a ＝2v
2
a ，总路程为x＝x1＋x2＝
5 v
2
2a ，选项C 错误；再经过相同时间，质点速度为v'＝v－a·2t＝－5v，即速度大小为5v，选项D 错误。
10
