文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
第47 课时 专题强化：带电粒子在电场中的偏转
目标要求 1.掌握带电粒子在电场中偏转的规律。2.掌握带电粒子在电场和重力场的叠加场中的运动规律。
考点一 带电粒子在匀强电场中的偏转
1.运动规律
(1)沿初速度方向做匀速直线运动，t＝l
v0
(如图)。
(2)沿静电力方向做匀加速直线运动
①加速度：a＝F
m ＝qE
m ＝qU
md ；
②离开电场时的偏移量：y＝1
2at2＝qU l
2
2md v0
2；
③离开电场时的偏转角：tan θ＝
v y
v0
＝qUl
md v0
2。
2.功能关系
当讨论带电粒子的末速度v 时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝1
2mv2－1
2mv0
2，其中Uy＝U
d y，指初、
末位置间的电势差。
3.粒子经电场偏转后射出时，速度的反向延长线与初速度延长线的交点O 为粒子水平位移的中点。
(来自教材)让一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子的混合物由静止开始经过同一加速电场加速，然后在
同一偏转电场里偏转，它们是否会分离成三股粒子束？试通过计算说明。
答案 由qU0＝1
2mv0
2
y＝1
2at2＝1
2·qU 1
md ·( l
v0
)2
tan θ＝
v y
v0
＝qU 1l
md v0
2
得y＝U 1l
2
4U 0d ，tan θ＝U 1l
2U 0d ，
y、θ 均与m、q 无关。所以它们的偏移量和偏转角总是相同的，轨迹是重合的。
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故它们不会分离成三股粒子束。
例1 (多选)如图所示，水平平行板电容器间距为d，电源电压恒定。闭合开关S，板间电场稳定后，
一电子以初速度v 从平行板左端水平射入，经过时间t 离开平行板间电场时速度与水平方向夹角为θ，
静电力对电子做功为W，电子在屏上所产生光点的竖直偏移量为y；若保持开关S 闭合，将两板间距调
整为2d，电子仍然以初速度v 水平射入，不计电子重力，则( )
A.电子通过平行板电容器的时间是t
B.平行板间电场对电子做功是1
2W
C.电子离开平行板间电场时速度与水平方向夹角是1
2θ
D.电子在屏上所产生的光点的竖直偏移量是1
2y
答案 AD
解析 水平方向是匀速直线运动，电子通过平行板电容器的时间是t，故A 正确；电子在平行板电容器间
竖直偏移量y1＝1
2at2＝1
2×qU
md t2
平行板间静电力对电子做功是W＝qEy1＝qU
d ×1
2×qU
md t2＝q
2U
2t
2
2md
2
将两板间距调整为2d，则W'＝1
4 W，故B 错误；
电子离开平行板间电场时速度与水平方向夹角正切值是tan θ＝v y
v ＝at
v ＝qU
mdv t，将两板间距调整为2d，
则tan θ'＝1
2tan θ，故C 错误；
电子在屏上所产生的光点的竖直偏移量是y＝y1＋y2＝qU t
2
2md ＋Dtan θ
将两板间距调整为2d，则y'＝1
2y，故D 正确。
计算粒子打到屏上的位置离屏中心距离的方法
(1)y＝y1＋Dtan θ(D 为屏到偏转电场右边缘的水平距离)。
(2)y＝( L
2 ＋D)tan θ(L 为极板长度)。
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(3)根据三角形相似y
y1
＝
L
2 ＋D
L
2
＝L＋2 D
L
。
例2 如图，两金属板P、Q 水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的金属网G，P、Q、
G 的尺寸相同。G 接地，P、Q 的电势均为φ(φ>0)。质量为m，电荷量为q(q>0)的粒子自G 的左端上方
距离G 为h 的位置，以速度v0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。
(1)求粒子第一次穿过G 时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；
(2)若粒子恰好从G 的下方距离G 也为h 的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？
答案 (1)1
2mv0
2＋2φ
d qh v0√
mdh
qφ
(2)2v0√
mdh
qφ
解析 (1)P、G 与Q、G 间电场强度大小相等，均为E，粒子在P、G 间所受静电力F 的方向竖直向下，设
粒子的加速度大小为a，有E＝2φ
d
①
F＝qE＝ma
②
设粒子第一次到达G 时动能为Ek，由动能定理有qEh＝Ek－1
2mv0
2
③
设粒子第一次到达G 时所用的时间为t，粒子在水平方向的位移为l，则有h＝1
2at2 ④
l＝v0t
⑤
联立①②③④⑤式解得Ek＝1
2mv0
2＋2φ
d qh，
l＝v0√
mdh
qφ
(2)若粒子穿过G 一次就从电场的右侧飞出，则金属板的长度最短。由对称性知，此时金属板的长度为L＝
2l＝2v0√
mdh
qφ 。
[变式] 在例2 中，若两金属板间距为3d。在P 板下方2d 处有一水平放置的金属网G，G 接地。带电
粒子自G 的左端上方距离G 为d 的位置，以速度v0平行于纸面水平射入电场，粒子穿越金属网过程中
与金属网不接触，其他条件不变。求：
(1)粒子第一次到达G 所需的时间t；
(2)粒子穿过G 后距Q 板的最近距离y；
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(3)若粒子恰好沿水平方向飞离电场，求金属板的长度L。
答案 (1)2d√
m
qφ (2)1
2d (3)3nv0d√
m
qφ ，n＝1、2、3…
解析 (1)粒子在竖直方向做匀加速直线运动，第一次到达G 所需的时间为t，则有
d＝1
2at2，a＝qφ
2dm，
联立解得t＝2d√
m
qφ 。
(2)粒子穿过G 板时的竖直方向的速度为v＝at
粒子穿过G 后，粒子的加速度为a'＝qφ
dm＝2a
则粒子穿过G 后，粒子在竖直方向做匀减速直线运动，竖直方向的速度减为0 所用的时间为
t'＝v
a
' ＝v
2a ＝1
2t，
因为d＝v
2t，则d'＝v
2t'＝1
2d
所以粒子穿过G 后距Q 板的最近距离y＝d－1
2d＝1
2d。
(3)若粒子恰好沿水平方向飞离电场，即粒子在竖直方向速度为0，粒子在竖直方向先做匀加速直线运动t
加速到v，后做匀减速直线运动1
2t 减速到0，再接着反向匀加速直线运动1
2t 加速到v，然后匀减速直线运
动t 减速到0，竖直方向做周期性运动，水平方向一直做匀速直线运动，则粒子恰好沿水平方向飞离电场的
时间为t 总＝n(t＋1
2t)，n＝1、2、3…
金属板的长度为L＝v0t 总＝3nv0d√
m
qφ ，n＝1、2、3…。
考点二 带电粒子在重力场和电场叠加场中的偏转
例3 空间存在一竖直向下的匀强电场，O、P 是电场中的两点。从O 点沿水平方向以不同速度先后
发射两个质量均为m 的小球A、B。A 不带电，B 的电荷量为q(q>0)。A 从O 点发射时的速度大小为
v0，到达P 点所用时间为t；B 从O 点到达P 点所用时间为t
2。重力加速度为g，求：
(1)O 点与P 点的高度差；
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(2)B 小球的加速度大小和电场强度的大小；
(3)B 运动到P 点时的动能。
答案 (1)1
2gt2 (2)4g 3mg
q
(3)2m(v0
2＋g2t2)
解析 (1)小球A 在竖直方向做自由落体运动，因此高度差为h＝1
2gt2
(2)设电场强度的大小为E，小球B 运动的加速度为a。根据牛顿第二定律、运动学公式和题给条件，
有mg＋qE＝ma
1
2a( t
2)2＝1
2gt2
解得a＝4g，E＝3mg
q
(3)设B 从O 点发射时的速度为v1，到达P 点时的动能为Ek，O、P 两点的高度差为h，根据动能定理有
Ek－1
2mv1
2＝mgh＋qEh
且有v1 t
2＝v0t
h＝1
2gt2
联立得Ek＝2m(v0
2＋g2t2)。
例4 如图所示，A、B、C、D、E、F、G、H 是一正方体的8 个顶点，正方体棱长为d，AE 边竖直向
下。空间有一沿AB 方向的匀强电场，从A 点沿AD 方向水平抛出一质量为m、带电荷量为＋q 的小球，
小球恰好落到G 点，重力加速度为g，则( )
A.电场强度大小为E＝2mg
q
B.小球抛出的速度大小为v0＝√gd
C.小球从A 点运动到G 点的时间为t＝√
d
g
D.小球运动到G 点时速度方向与水平面的夹角θ，满足tan θ＝2√5
5
答案 D
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
解析 小球恰好落到G 点，因此小球在正方体内的运动可分解为沿AB、AD、AE 三个方向的运动；沿AE
方向受重力，做自由落体运动，则有d＝1
2gt2，解得t＝√
2d
g ，沿AB 方向受静电力，则有d＝1
2at2，a＝qE
m
，解得E＝mg
q ，沿AD 方向做匀速直线运动，则有d＝v0t，解得v0＝√
gd
2 ，故A、B、C 错误；小球运动到
G 点时，竖直方向分速度为vy＝√2 gd，沿电场方向的分速度为vx1＝√2ad ＝√2gd，则小球运动到G 点时，
水平方向分速度为vx＝√v0
2＋v x1
2＝√
5
2 gd，小球运动到G 点时速度方向与水平面的夹角满足tan θ＝
v y
v x
＝2√5
5
，故D 正确。
课时精练
(分值：60 分)
1~6 题每小题4 分，共24 分
1.(多选)(2025·山东泰安市开学考)如图所示，在竖直向上的匀强电场中，A 球位于B 球的正上方，质量相等
的两个小球以相同初速度水平抛出，它们最后落在水平面上同一点，其中只有一个小球带电，不计空气阻
力，下列判断正确的是( )
A.如果A 球带电，则A 球一定带负电
B.如果A 球带电，则A 球的电势能一定增加
C.如果B 球带电，则B 球一定带负电
D.如果B 球带电，则B 球的电势能一定增加
答案 AD
解析 平抛时的初速度相同，在水平方向通过的位移相同，故下落时间相同，A 在上方，竖直位移较大，
由h＝1
2at2可知，A 下落的加速度较大，所受合外力较大，如果A 球带电，则A 受到向下的静电力，一定
带负电，静电力做正功，电势能减小，故A 正确，B 错误；如果B 球带电，由于B 的竖直位移较小，加速
度较小，所受合外力较小，则B 所受静电力向上，应带正电，静电力对B 做负功，电势能增加，故C 错误，
D 正确。
2.如图所示，在真空中，将一个质量为m、带电荷量为＋q 的粒子从A 点以初速度v0竖直向上射入水平向
右的匀强电场中，粒子通过电场中B 点时，速度vB＝2v0，方向与电场的方向一致，则A、B 两点的电势差
为( )
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A.m v0
2
2q
B.3m v0
2
q
C.2m v0
2
q
D.3m v0
2
2q
答案 C
解析 粒子在竖直方向做匀减速直线运动，则有2gh＝v0
2，静电力做正功，重力做负功，使粒子的动能由
1
2mv0
2变为2mv0
2，则根据动能定理有Uq－mgh＝2mv0
2－1
2mv0
2，解得A、B 两点电势差应为U＝2m v0
2
q
，故选项C 正确。
3.(2024·山东德州市一模)示波管原理图如图甲所示。它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，管内抽成真空。
如果在偏转电极XX'和YY'之间都没有加电压，电子束从电子枪射出后沿直线运动，打在荧光屏中心，产
生一个亮斑如图乙所示。若板间电势差UXX'和UYY'随时间变化关系图像如丙、丁所示，则荧光屏上的图像
可能为( )
答案 A
解析 UXX'和UYY'均为正值，两偏转电极的电场强度方向分别由X 指向X'，由Y 指向Y'，电子带负电，所
受静电力方向与电场强度方向相反，所以分别向X、Y 方向偏转，可知A 正确。
4.如图所示，质量相同、带等量异种电荷的甲、乙两粒子，先后从S 点沿SO 方向垂直射入匀强电场中，分
别经过圆周上的P、Q 两点，不计粒子间的相互作用及重力，则两粒子在圆形区域内运动过程中，下列说
法正确的是( )
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A.甲粒子的入射速度小于乙粒子
B.静电力对甲粒子做的功大于对乙粒子做的功
C.甲粒子在P 点的速度方向可能沿OP 方向
D.甲粒子所受静电力的冲量小于乙粒子
答案 D
解析 甲、乙两粒子在电场中均做类平抛运动，则垂直电场方向的位移为y＝v0t，沿电场方向的位移为x＝
1
2at2＝1
2·qE
m t2，联立可得v0＝y√
qE
2mx ，由于yP>yQ，xP<xQ，可知甲粒子的入射速度大于乙粒子的入射速度，
故A 错误；根据W＝qEx，xP<xQ，可知静电力对甲粒子做的功小于对乙粒子做的功，故B 错误；粒子在电
场中做类平抛运动，可知速度反向延长线交于竖直位移的中点，甲粒子在P 点的速度反向延长线应交SO
于O 点下方，故C 错误；根据沿电场方向的位移为x＝1
2at2＝1
2·qE
m t2，由xP<xQ，可知tP<tQ，根据I 电＝
qEt，可知甲粒子所受静电力的冲量小于乙粒子所受静电力的冲量，故D 正确。
5.(多选)如图所示，长为L 的平行金属板水平放置，两极板带等量的异种电荷，板间形成匀强电场，一个电
荷量为＋q、质量为m 的带电粒子以初速度v0紧贴上板垂直于电场线的方向进入该电场，而后刚好从下板
边缘射出，射出时其末速度恰与下板的夹角θ＝30°，不计粒子重力，下列说法正确的是( )
A.粒子做非匀变速运动
B.粒子的末速度大小为2√3 v0
3
C.匀强电场的电场强度大小为√3mv0
2
3qL
D.两板间的距离为√3 L
12
答案 BC
解析 因为在匀强电场中，静电力是恒力，因此会产生恒定的加速度，所以粒子做匀变速运动，A 错误；
粒子离开电场时，合速度与水平方向夹角为30°，由速度关系得合速度为v＝
v0
cos30° ＝2√3 v0
3
，B 正确；
粒子在匀强电场中做类平抛运动，在水平方向上L＝v0t，在竖直方向上vy＝at，vy＝v0tan 30°＝√3 v0
3
，由牛
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
顿第二定律得qE＝ma，解得E＝√3mv0
2
3qL
，方向竖直向下，C 正确；粒子做类平抛运动，在竖直方向上d
＝1
2at2，解得d＝√3
6 L，D 错误。
6.如图所示，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从MN 连线上的P 点水平向右射入大小为E、方
向竖直向下的匀强电场中。已知MN 与水平方向成45°角，粒子的重力可以忽略，则粒子到达MN 连线上
的某点时( )
A.所用时间为m v0
qE
B.速度大小为3v0
C.与P 点的距离为2√2mv0
2
qE
D.速度方向与竖直方向的夹角为30°
答案 C
解析 粒子在电场中只受静电力，F＝qE，方向向下，如图所示。
粒子的运动为类平抛运动。水平方向做匀速直线运动，有x＝v0t，竖直方向做初速度为0 的匀加速直线运
动，有y＝1
2at2＝1
2·qE
m t2，y
x ＝tan 45°，
联立解得t＝2m v0
qE ，故A 错误；
vy＝at＝qE
m ·2m v0
qE ＝2v0，则速度大小v＝√v0
2＋v y
2＝√5v0，tan θ＝v0
v y
＝1
2，则速度方向与竖直方向夹角
θ≠30°，故B、D 错误；
x＝v0t＝2mv0
2
qE
，与P 点的距离
s＝
x
cos 45° ＝2√2mv0
2
qE
，故C 正确。
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
7 题6 分，8 题14 分，9 题16 分，共36 分
7.(2024·浙江1 月选考·11)如图所示，金属极板M 受到紫外线照射会逸出光电子，最大速率为vm。正对M
放置一金属网N，在M、N 之间加恒定电压U。已知M、N 间距为d(远小于板长)，电子的质量为m，电荷
量为e，则( )
A.M、N 间距离增大时电子到达N 的动能也增大
B.只有沿x 方向逸出的电子到达N 时才有最大动能(1
2mvm
2＋eU)
C.电子从M 到N 过程中y 方向位移大小最大为vmd√
2m
eU
D.M、N 间加反向电压mvm
2
4 e
时电流表示数恰好为零
答案 C
解析 根据动能定理，从金属板M 上逸出的光电子到达N 时，有eU＝Ekm－1
2mvm
2，则到达N 时的最大动
能为Ekm＝eU＋1
2mvm
2，与M、N 间距无关，与电子从金属板中逸出的方向无关，选项A、B 错误；金属
极板M 射出的电子到达N 时在y 方向的位移最大，则电子从M 到N 过程中y 方向最大位移为y＝vmt，d＝
1
2×eU
dm t2，解得y＝vmd√
2m
eU ，选项C 正确；M、N 间加反向电压电流表示数恰好为零时，则eUc＝1
2mvm
2
，解得Uc＝m vm
2
2e
，选项D 错误。
8.(14 分)如图所示，三条竖直虚线A、B、C 相互平行，A、B 间距为L，B、C 间距为2L。在A、B 间有平
行于虚线向下的匀强电场Ⅰ，电场强度大小为E1；在B、C 间有平行于虚线向下的匀强电场Ⅱ，垂直于虚
线的直线分别交A、C 于P、Q 点。在P 点与PQ 成60°斜向右上射出一个质量为m、电荷量为q 的带正电
粒子，粒子恰好垂直虚线B 进入电场Ⅱ，经电场Ⅱ偏转恰好到达Q 点，不计粒子的重力，求：
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)(4 分)粒子在电场Ⅰ中运动的时间；
(2)(5 分)电场Ⅱ的电场强度大小；
(3)(5 分)粒子运动到Q 点时静电力做功的瞬时功率。
答案 (1)√
√3mL
q E1
(2)1
4 E1 (3)q E1
8 √
√3q E1 L
m
解析 (1)设粒子在电场Ⅰ中运动的时间为t1，初速度为v0，则
L＝v0cos 60°·t1
v0sin 60°＝a1t1
根据牛顿第二定律qE1＝ma1
解得t1＝√
√3mL
q E1
(2)由题意知，粒子在Ⅰ、Ⅱ两个电场中运动的时间之比为
t1
t2
＝1
2
设粒子经过B 时的位置离PQ 连线的距离为d，则
d＝1
2×q E1
m t1
2
又d＝1
2×q E2
m t2
2
解得E2＝1
4 E1
(3)粒子到达Q 点时，设沿电场方向的速度为v，
则v2＝2×q E2
m d
解得v＝√
√3q E1 L
4 m
则粒子到Q 点时，静电力做功的瞬时功率
P＝qE2v＝q E1
8 √
√3q E1 L
m
。
9.(16 分)(2023·北京卷·20)某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物(视为小球)组
成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度v0保持
不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d，不考虑重力
影响和颗粒间相互作用。
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)(6 分)若不计空气阻力，质量为m、电荷量为－q 的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压U1；
(2)(10 分)若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v 方向相反，大小为f＝krv，其中r 为颗粒
的半径，k 为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
a.半径为R、电荷量为－q 的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压U2；
b.已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为10 μm 和2.5 μm 的
两种颗粒，若10 μm 的颗粒恰好100%被收集，求2.5 μm 的颗粒被收集的百分比。
答案 (1)2d
2mv0
2
q L
2
(2)a.d
2kR v0
qL
b.25%
解析 (1)只要紧靠上极板的颗粒能够落到金属板下极板最右侧，颗粒就能够全部被收集，
水平方向有L＝v0t
竖直方向有d＝1
2at2
根据牛顿第二定律有qE＝ma
又E＝U 1
d
解得U1＝2d
2m v0
2
q L
2
(2)a.颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，根据题意有F 电＝f，即qU 2
d
＝kRv，且d
v ＝L
v0
联立解得U2＝d
2kR v0
qL
b.10 μm 的带电荷量q 的颗粒恰好100%被收集，颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力
等于静电力，则有kRvmax＝qU 2
d
在竖直方向上颗粒匀速下落，则有d＝vmaxt
2.5 μm 的颗粒带电荷量为q'＝q
16
颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于静电力，则有1
4 kRvmax'＝q
'U 2
d
设距下极板为d'的颗粒恰好被收集，在竖直方向颗粒匀速下落，则有d'＝vmax't
解得d'＝d
4
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故2.5 μm 的颗粒被收集的百分比为
d
'
d ×100%＝25%。
13
