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第25 课时 卫星变轨问题 双星模型
目标要求 1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。3.会应用万
有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。
考点一 卫星的变轨和对接问题
1.卫星发射模型
人造卫星的发射过程一般要经过多次 方可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，
有G Mm
r1
2 ＝mv
2
r1
。
(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G Mm
r1
2 <mv A
2
r1
，卫星做 进入
椭圆轨道Ⅱ。
(3)在椭圆轨道B 点( 点)，G Mm
r2
2 >mvB
2
r2
，将做近心运动，再次点火加速，使G Mm
r2
2 ＝mvB
' 2
r2
，进入
圆轨道Ⅲ。
若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？
2.变轨过程中几个物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别v1、v3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点速率分别为vA、
vB，在A 点加速，则vA v1，在B 点加速，则v3 vB，又因为v1 v3，故有
vA>v1>v3>vB。
(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到 作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的
加速度都 。同理，经过B 点加速度也 。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径为r1、r2(半长轴)、r3。由开普
勒第三定律r
3
T
2＝k，可知有T1 T2<T3。
(4)机械能：卫星在一个确定的圆(椭圆)轨道上运行时机械能 。若在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别
为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ、从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1 E2 E3。
1
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(5)引力势能：物体在万有引力场中具有的势能叫作引力势能，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，
一个质量为m 的质点距质量为M 的引力源中心为r 时，其引力势能为Ep＝－GMm
r
(G 为引力常量)。设卫
星在A 点、B 点的引力势能分别为EpA、EpB，则EpA EpB。
例1 (多选)2023 年10 月26 日，神舟十七号与神舟十六号航天员乘组成功“会师”。神舟十七号发
射的过程可简化为如图所示的过程，先将其发射至近地圆轨道，在近地圆轨道的A 点加速后进入椭圆
转移轨道，在椭圆转移轨道上的远地点B 加速后进入运行圆轨道。下列说法正确的是( )
A.神舟十七号在椭圆转移轨道经过B 点的速率小于经过A 点的速率
B.神舟十七号在椭圆转移轨道上的B 点时的加速度大于在运行圆轨道上经过B 点时的加速度
C.神舟十七号在运行圆轨道上运行的周期大于在椭圆转移轨道上运行的周期
D.神舟十七号在椭圆转移轨道上从B 点运动到A 点的过程中，它的机械能减小
例2 (2025·山东青岛市校考)北京时间2024 年4 月26 日神舟十八号载人飞船与在轨飞行的天和核心
舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5 小时。为实现神舟十八号载人飞船与空间
站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要
先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机
调控状态，下列说法正确的是( )
A.飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可
B.飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可
C.飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
D.飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
例3 2024 年6 月25 日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，实现世界首次月球背面采样返回。嫦
娥六号返回器从月球归来初入大气层时的速度可以接近第二宇宙速度，为避免高速带来的高温过载风
险，采用了“半弹道跳跃式返回”减速技术。如图所示，返回器从a 点第一次进入大气层，调整返回
器姿态，使其经b 点升高，再从c 点“跳”出大气层，在太空中潇洒地打个“水漂”，升高到距地面高
度为h 的d 点后，再次从e 点进入大气层返回地球。假设返回器从c 点到e 点的过程为无动力飞行。已
知地球表面重力加速度为g，地球的半径为R，引力常量为G。结合以上信息，下列说法正确的是(
)
A.从a 点到c 点的过程中，返回器机械能守恒
2
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B.在d 点，返回器的速度大于第一宇宙速度
C.在d 点，返回器的加速度大小为
g R
2
( R+h)
2
D.在e 点返回器处于超重状态
考点二 双星或多星模型
1.双星模型
(1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
G m1m2
L
2
＝m1ω1
2r1，
G m1m2
L
2
＝m2ω2
2r2。
②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r1+r2＝L。
(1)若两星运行的线速度大小分别为v1、v2，加速度大小分别为a1、a2，质量分别为m1、m2，则v、a 与轨道
半径r、两星质量的关系怎样？
(2)两星之间的距离L、周期T 与总质量(m1+m2)的关系怎样？
例4 (多选) (2024·山东青岛市期中) “双星系统”由相距较近的两颗恒星组成，每颗恒星的半径远小
于两颗恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在相互间的万有引力作用下绕某一点
做匀速圆周运动。某一双星系统如图所示，A 恒星的质量为m1，B 恒星的质量为m2，A 恒星的轨道半
径为r1，B 恒星的轨道半径为r2，A 恒星的线速度大小为v1，B 恒星的线速度大小为v2，它们中心之间
的距离为L，引力常量为G。则下列说法正确的是( )
A.A 恒星与B 恒星轨道半径大小之比为r1
r2
＝m1
m2
3
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B.双星系统的运行周期为2πL√
L
G(m1+m2)
C.A 恒星的轨道半径为m2
m1
L
D.A 恒星与B 恒星线速度大小之比为v1
v2
＝r1
r2
2.多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。
常见的多星模型及其规律：
常
见
的
三
星
模
型
①Gm
2
(2 R)
2+GMm
R
2
＝ma 向
②Gm
2
L
2 ×cos 30°×2＝ma 向
常
见
的
四
星
模
型
①G m
2
L
2 ×cos 45°×2+ Gm
2
(√2 L)
2＝ma 向
②G m
2
L
2 ×cos 30°×2+
GMm
( L
√3 )
2＝ma 向
例5 (多选)(2024·山东泰安市期中)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的
三星系统，通常可以忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成
形式(如图所示)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；
另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三
颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则( )
A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B.直线三星系统的运动周期T＝4πR√
R
5GM
4
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C.三角形三星系统中星体间的距离L＝
3√
12
5 R
D.三角形三星系统的线速度大小为1
2√
5GM
R
考点三 星球“瓦解”问题 黑洞问题
1.星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进
一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即GMm
R
2
＝
mω2R，得ω＝√
GM
R
3 。当ω>√
GM
R
3 时，星球瓦解，当ω<√
GM
R
3 时，星球稳定运行。
2.黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的
运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的√2倍)超过光速时，该天体就是
黑洞。
例6 2018 年2 月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T
＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T 稳定自
转的星体的密度最小值约为( )
A.5×109 kg/m3
B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3
D.5×1018 kg/m3
例7 科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的√2倍)大于光速时，该天体就
是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1，
光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于( )
A.2v1
2 R
k c
2
B.2k c
2 R
v1
2
C.k v1
2 R
2c
2
D.2k v1
2 R
c
2
5
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答案精析
考点一
1.变轨 (2)离心运动 (3)远地
讨论交流 使飞船先减速进入椭圆轨道Ⅱ，到达近地点时，使飞船再减速进入近地圆轨道Ⅰ，之后再减速
做近心运动着陆。
2.(1)> > > (2)万有引力 相同
相同 (3)< (4)守恒 < < (5)<
例1 AC [根据开普勒第二定律可知神舟十七号在椭圆转移轨道上经过B 点的速率小于经过A 点的速率，
A 正确；根据万有引力提供向心力有G Mm
r
2 =ma，可得a=G M
r
2 ，则神舟十七号在椭圆转移轨道上B 点时的
加速度等于在运行圆轨道上B 点时的加速度，B 错误；由于运行圆轨道的半径大于椭圆转移轨道的半长轴，
根据开普勒第三定律可知，神舟十七号在运行圆轨道上运行的周期大于在椭圆转移轨道上运行的周期，C
正确；神舟十七号在椭圆转移轨道上从B 点运动到A 点的过程中，只有万有引力做功，机械能不变，D 错
误。]
例2 D [根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方
的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向
运动，在合适的位置减速即可，故选D。]
例3 C [嫦娥六号返回器从a 点到c 点的过程中，空气阻力做功，机械能不守恒，A 错误；嫦娥六号返回
器经过d 点后做近心运动，有G
Mm
( R+h)
2>m v
2
R+h，即v<√
GM
R+h，又因为第一宇宙速度为v1＝√
GM
R ，故
v<v1，B 错误；在d 点，由牛顿第二定律有G
Mm
( R+h)
2＝ma，又GM＝gR2，联立可得a＝
g R
2
( R+h)
2，C 正确；
在e 点返回器加速度有向下的分量，故返回器处于失重状态，D 错误。]
考点二
讨论交流 (1)由v＝ωr，m1ω2r1＝m2ω2r2，得
v1
v2
＝r1
r2
＝m2
m1
，由a＝ω2r 及m1ω2r1＝m2ω2r2得
a1
a2
＝r1
r2
＝m2
m1
。
(2)由Gm1m2
L
2
＝m14 π
2
T
2 r1＝m24 π
2
T
2 r2及r1+r2＝L，得L
3
T
2 ＝G(m1+m2)
4 π
2
或m1+m2＝4 π
2 L
3
GT
2 。
例4 BD [对A、B 分别由牛顿第二定律得Gm1m2
L
2
＝m14 π
2
T
2 r1，Gm1m2
L
2
＝m24 π
2
T
2 r2，又L＝r1+r2，联立解
得
r1
r2
＝m2
m1
，T＝2πL√
L
G(m1+m2)，r1＝
m2
m1+m2
L，故选项A、C 错误，B 正确；根据v＝2π r
T
可得，A 恒
星与B 恒星线速度大小之比为
v1
v2
＝r1
r2
，故选项D 正确。]
6
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例5 BC [直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，A 错误；直线三星系统中，对甲星
(或丙星)有G M
2
R
2 +G M
2
(2 R)
2＝M4 π
2
T
2 R，解得T＝4πR√
R
5GM ，B 正确；对三角形三星系统，根据万有引力
定律和牛顿第二定律得2G M
2
L
2 cos 30°＝M4 π
2
T
2 ·
L
2cos30° ，联立解得L＝
3√
12
5 R，C 正确；三角形三星系统
的线速度大小为v＝2π r
T
＝
2π ·
L
2cos30°
T
，联立解得v＝√3
6 ·
3√
12
5 ·√
5GM
R
，D 错误。]
例6 C [毫秒脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有G Mm
r
2 ≥mr4 π
2
T
2 ，
又知M＝ρ·4
3 πr3，
整理得密度ρ≥3 π
GT
2＝
3×3.14
6.67×10
−11×(5.19×10
−3)
2 kg/m3
≈5.2×1015 kg/m3，故选C。]
例7 D [地球的第一宇宙速度为v1＝√
GM
R ，则黑洞的第一宇宙速度为v2＝√
GkM
r
，并且有√2v2>c，
联立解得r<2k v1
2 R
c
2
，所以D 正确，A、B、C 错误。]
7
