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第45 课时 电容器 带电粒子在电场中的直线运动
目标要求 1.知道电容器的基本构造，了解电容器的充电、放电过程。2.理解电容的定义及动态变化规律。
3.掌握带电粒子在电场中做直线运动的规律。
考点一 电容器 电容
1.电容器
(1)组成：由两个彼此绝缘又相距很近的导体组成。
(2)带电荷量：一个极板所带电荷量的绝对值。
(3)电容器的充、放电：
①充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能。
②放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能。
2.电容
定义
电容器所带的电荷量
Q 与电容器两极板之间的电势差
U 之比
定义式
C＝Q
U
单位
法拉(F)、微法(μF)、皮法(pF)。1 F＝10
6 μF＝1012 pF
意义
表示电容器容纳电荷本领的高低
决定因素
由电容器本身物理条件(大小、形状、极板相对位置及电介质)决定，与电容器
是否带电及两极板间是否存在电压无关
1.电容器的电荷量等于两个极板所带电荷量绝对值的和。( × )
2.电容器的电容与电容器所带电荷量成正比，与电压成反比。( × )
3.放电后电容器的电荷量为零，电容也为零。( × )
例1 (2024·甘肃卷·7)一平行板电容器充放电电路如图所示。开关S 接1，电源E 给电容器C 充电；开
关S 接2，电容器C 对电阻R 放电。下列说法正确的是( )
A.充电过程中，电容器两极板间电势差增加，充电电流增加
B.充电过程中，电容器的上极板带正电荷、流过电阻R 的电流由M 点流向N 点
1
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C.放电过程中，电容器两极板间电势差减小，放电电流减小
D.放电过程中，电容器的上极板带负电荷，流过电阻R 的电流由N 点流向M 点
答案 C
解析 充电过程中，电容器的上极板带正电荷、流过电阻R 的电流由N 点流向M 点，随着电容器带电荷量
的增加，电容器两极板间电势差增加，充电电流在减小，故A、B 错误；
放电过程中，电容器的上极板带正电荷，流过电阻R 的电流由M 点流向N 点，电容器两极板间电势差减小，
放电电流在减小，故C 正确，D 错误。
考点二 平行板电容器的动态分析
1.平行板电容器的电容
(1)决定因素：两极板的正对面积、电介质的相对介电常数、两板间的距离。
(2)决定式：C＝εr S
4 π kd 。
2.电容器两类典型动态问题
(1)电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U 保持不变。
(2)电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q 保持不变。
例2 (2024·浙江6 月选考·6)图示是“研究电容器两极板间距对电容大小的影响”实验，保持电荷量
不变，当极板间距增大时，静电计指针张角增大，则( )
A.极板间电势差减小
B.电容器的电容增大
C.极板间电场强度增大
D.电容器储存能量增大
答案 D
解析 根据Q＝CU，C＝εr S
4 π kd 可得当极板间距增大时电容减小，由于电容器的电荷量不变，故极板间电
势差增大，故A、B 错误；根据E＝U
d 得E＝4 π kQ
εr S
，故极板间电场强度不变，故C 错误；移动极板的过
程中要克服静电力做功，故电容器储存能量增大，故D 正确。
两类典型动态分析思路比较
2
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例3 (多选)在如图所示的电路中，开关S 闭合时，平行板电容器M、N 间有一带电小球刚好静止，此
时两板之间的距离为d，已知小球的比荷为k，重力加速度为g。则下列说法正确的是( )
A.两极板之间的电压为kgd
B.仅将下板向下移动d，小球以加速度g 向下加速运动
C.断开开关S，仅将下板向下移动d，小球的电势能减小
D.断开开关S，仅将下板向下移动d，小球仍然静止不动
答案 CD
解析 设两极板之间的电压为U，则两极板之间的电场强度为E＝U
d ，带电小球刚好静止，则mg＝qE，解
得U＝mgd
q
＝gd
k ，故A 错误；仅将下板向下移动d，两极板的电压不变，两极板间电场强度为E'＝
U
2d ＝1
2E，由牛顿第二定律得mg－qE'＝ma，解得a＝1
2g，故B 错误；断开开关S，两极板带电荷量不变，
由C＝Q
U ，C＝εr S
4 π kd ，E＝U
d ，可得两极板间电场强度E＝4 π kQ
εr S
，仅将下板向下移动d，电场强度不变，
仍为E，则小球所受静电力不变，小球仍然静止不动。小球与下极板的电压U'＝Ed'，将下板向下移动，小
球与下极板的电压增大；又下极板接地，则下极板的电势为0，由U'＝φ－0，可知小球所在处的电势升高；
由小球所受静电力向上可知小球带负电，由Ep＝ qφ 可知小球的电势能减小，故C、D 正确。
考点三 带电粒子(带电体)在电场中的直线运动
1.对带电粒子进行受力分析时应注意的问题
3
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(1)要掌握静电力的特点。静电力的大小和方向不仅跟电场强度的大小和方向有关，还跟带电粒子的电性和
电荷量有关。
(2)是否考虑重力依据情况而定。
基本粒子：如电子、质子、α 粒子、离子等除有特殊说明或明确的暗示外，一般不考虑重力(但不能忽略质
量)。
带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有特殊说明或明确的暗示外，一般都不能忽略重力。
2.做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F 合＝0，粒子静止或做匀速直线运动。
(2)粒子所受合外力F 合≠0 且与初速度共线，带电粒子将做加速直线运动或减速直线运动。
3.用动力学观点分析
a＝qE
m ，E＝U
d ，v2－v0
2＝2ad
4.用功能观点分析
匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝1
2mv2－1
2mv0
2
非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1
例4 (2025·湖南长沙市校考)如图所示，一带正电的小球在匀强电场中，受到的静电力与小球的重力
大小相等，以初速度v0沿ON 方向做加速度不为零的匀变速直线运动，ON 与水平面的夹角为30°。不
计空气阻力，重力加速度为g。则( )
A.静电力方向可能水平向左
B.小球可能做匀加速直线运动
C.小球的加速度大小一定小于g
D.经过时间v0
g ，小球的速度方向发生改变
答案 D
解析 小球做匀变速直线运动，合力方向一定和速度方向在同一直线上，即在ON 直线上，因为mg＝qE，
所以静电力qE 与重力关于ON 对称，根据几何关系可知静电力qE 与水平方向夹角为30°，受力情况如图
所示，
4
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合力沿ON 向下，大小为mg，所以加速度为g，方向沿ON 向下，与速度方向相反，小球做匀减速直线运
动，故A、B、C 错误；设小球减速到零所用时间为t，则t＝v0
a ＝v0
g ，故经过时间v0
g ，小球速度刚好减为
零，然后反向加速，即经过时间v0
g ，小球的速度方向发生改变，故D 正确。
例5 (2022·北京卷·18)如图所示，真空中平行金属板M、N 之间距离为d，两板所加的电压为U。一
质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从M 板由静止释放。不计带电粒子的重力。
(1)求带电粒子所受的静电力的大小F；
(2)求带电粒子到达N 板时的速度大小v；
(3)若在带电粒子运动d
2距离时撤去所加电压，求该粒子从M 板运动到N 板经历的时间t。
答案 (1)qU
d (2)√
2qU
m (3)3d
2 √
m
qU
解析 (1)两极板间的电场强度E＝U
d ，带电粒子所受的静电力F＝qE＝qU
d
(2)带电粒子从静止开始运动到N 板的过程，根据功能关系有qU＝1
2mv2
解得v＝√
2qU
m
(3)设带电粒子运动d
2 距离时的速度大小为v'，
根据功能关系有qU
2 ＝1
2mv'2
带电粒子在前d
2 距离做匀加速直线运动，后d
2 距离做匀速运动，设用时分别为t1、t2，有
d
2 ＝v '
2 t1，d
2 ＝v't2
则该粒子从M 板运动到N 板经历的时间t＝t1＋t2＝3d
2 √
m
qU 。
拓展 若将N 板向右平移d
2，求：
(1)带电粒子到达N 板的速度大小v″；
(2)粒子在板间运动的时间t'。
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答案 (1)√
2qU
m (2)3d√
m
2qU
解析 (1)电压U 不变，由qU＝1
2mv″2
解得v″＝√
2qU
m
(2)由3
2d＝v
″
2 t'
解得t'＝3d√
m
2qU 。
例6 (来自教材改编)(2025·山东菏泽市开学考)如图甲为直线加速器原理图，由多个横截面积相同的
金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上。序号为奇数的圆筒和交流电源的一个极相连，序号为
偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交流电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。已知电子的质
量为m、元电荷为e、电压的绝对值为u，周期为T，电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计。在t＝0
时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时位于和偶数圆筒相连的金属圆板(序号为0)中央有一
个初速度为零的电子。下列说法正确的是( )
A.电子在圆筒中做匀加速直线运动
B.本装置可采用直流电进行加速
C.进入第2 个金属圆筒时的速度为2√
eU
m
D.第8 个金属圆筒的长度为4T√
eU
m
答案 C
解析 由于金属圆筒处于静电平衡状态，圆筒内部电场强度为零，则电子在金属圆筒中做匀速直线运动，
故A 错误；根据加速器原理可知，本装置应采用交流电进行加速，故B 错误；从序号为0 的金属圆板到进
入第2 个金属圆筒的过程中，由动能定理得2eU＝1
2mv2，解得v＝2√
eU
m ，故C 正确；结合C 选项分析可
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知进入第8 个金属圆筒时的速度满足8eU＝1
2mv'2，因为电子在圆筒中做匀速直线运动，所以第8 个圆筒长
度为L＝v'·T
2 ＝2T√
eU
m ，故D 错误。
拓展 保持加速器筒长、加速电压不变，若要加速比荷更大的粒子，则要怎样调整交流电压的周期？
答案 设粒子进入第n 个圆筒时的速度为v，由动能定理有neU＝1
2mvn
2
而粒子在圆筒内做匀速直线运动，由此可得第n 个圆筒的长度为Ln＝vn·T
2
解得Ln＝√
2neU
m
·T
2
分析可知，保持加速器筒长、加速电压不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调小交流电压的周期。
课时精练
(分值：100 分)
1~7 题每小题8 分，共56 分
1.(多选)(来自教材改编)(2025·山东省模拟)如图所示，四个图像描述了对给定的电容器充电时，电容器带电
荷量Q、电压U 和电容C 三者的关系，正确的图像有( )
答案 CD
解析 电容器的电容是由电容器本身的结构决定的，与两极板间的电压以及带电荷量无关，故A、B 错误，
D 正确；根据Q＝CU 可知，Q－U 图像是过原点的直线，故C 正确。
2.(多选)如图所示为“质子治疗仪”，质子先被加速到较高的能量，然后被引向并轰击肿瘤，杀死细胞，
达到治疗效果。若质子由静止经过电场被匀加速到速度v 的过程中，通过的位移大小为x，已知质子的质
量为m，电荷量为e，由以上信息可以推算出( )
A.该加速电场的电压
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B.该加速电场的电场强度
C.质子加速后的电势能
D.运动过程中静电力对质子所做的功
答案 ABD
解析 根据Ue＝1
2mv2可求解该加速电场的电压U，以及静电力做功，选项A、D 正确；根据E＝U
x 可求解
该加速电场的电场强度，选项B 正确；因零电势能点不确定，则不能确定质子加速后的电势能，选项C 错
误。
3.(2024·山东枣庄市期末)如图所示，一平行板电容器充电后与电源断开，负极板(M 板)接地，在两板间的P
点固定一个带负电的试探电荷。若正极板N 保持不动，将负极板M 缓慢向右平移一小段距离(M 板仍在P
点左边)，下列说法正确的是( )
A.P 点电势升高
B.两板间电压增大
C.试探电荷的电势能增大
D.试探电荷受到的静电力增大
答案 C
解析 由C＝Q
U ，C＝εr S
4 π kd ，E＝U
d ，可得U＝4 π kdQ
εr S
，E＝4 π kQ
εr S
，因为电容器与电源断开，电荷量
保持不变，两板间的距离d 减小，所以两板间电压减小，两板间电场强度不变，试探电荷受到的静电力不
变，故B、D 错误；因φ＝Ed'，d'为P 点与负极板之间的距离，d'减小，所以P 点电势降低，因沿电场线方
向电势降低，M 板电势为零，所以P 点电势为正，P 点固定的试探电荷为负电荷，电势降低，电势能增大，
故C 正确，A 错误。
4.(2022·北京卷·9)利用如图所示电路观察电容器的充、放电现象，其中E 为电源，R 为定值电阻，C 为电容
器，A 为电流表，V 为电压表。下列说法正确的是( )
A.充电过程中，电流表的示数逐渐增大后趋于稳定
B.充电过程中，电压表的示数迅速增大后趋于稳定
C.放电过程中，电流表的示数均匀减小至零
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D.放电过程中，电压表的示数均匀减小至零
答案 B
解析 充电过程中，随着电容器C 两极板电荷量的积累，电路中的电流逐渐减小，电容器充电结束后，电
流表示数为零，A 错误；充电过程中，随着电容器C 两极板电荷量的积累，电压表测量电容器两端的电压，
电容器两端的电压迅速增大，电容器充电结束后，最后趋于稳定，B 正确；电容器放电的I－t 图像如图所
示，可知电流表和电压表的示数都不是均匀减小至零的，C、D 错误。
5.(2022·重庆卷·2)如图为某同学采用平行板电容器测量材料竖直方向尺度随温度变化的装置示意图，电容
器上极板固定，下极板可随材料尺度的变化上下移动，两极板间电压不变。若材料温度降低时，极板上所
带电荷量变少，则( )
A.材料竖直方向尺度减小
B.极板间电场强度不变
C.极板间电场强度变大
D.电容器电容变大
答案 A
解析 根据题意可知极板之间电压U 不变，极板上所带电荷量Q 变少，根据电容定义式C＝Q
U 可知，电容
器的电容C 减小，D 错误；根据电容的决定式C＝εr S
4 π kd 可知，极板间距d 增大，极板之间形成匀强电场，
根据E＝U
d 可知，极板间电场强度E 减小，B、C 错误；极板间距d 增大，材料竖直方向尺度减小，A 正确。
6.(2024·黑吉辽·5)某种不导电溶液的相对介电常数εr与浓度cm的关系曲线如图(a)所示，将平行板电容器的
两极板全部插入该溶液中，并与恒压电源，电流表等构成如图(b)所示的电路，闭合开关S 后，若降低溶液
浓度，则( )
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A.电容器的电容减小
B.电容器所带的电荷量增大
C.电容器两极板之间的电势差增大
D.溶液浓度降低过程中电流方向为M→N
答案 B
解析 降低溶液浓度，不导电溶液的相对介电常数εr增大，根据电容器的决定式C＝εr S
4 π kd 可知，电容器
的电容增大，故A 错误；溶液不导电没有形成闭合回路，电容器两端的电压不变，根据Q＝CU 结合A 选
项分析可知，电容器所带的电荷量增大，故B 正确，C 错误；根据B 选项分析可知电容器所带的电荷量增
大，则电容器充电，结合题图可知电路中电流方向为N→M，故D 错误。
7.如图所示，两平行金属板带有等量异种电荷，极板与外电路断开，一电子从O 点沿垂直极板方向射出，
最远能达到A 点，然后返回。不计电子的重力，若电子从O 点射出的初速度不变，将右极板向右平移一小
段距离，则( )
A.电子最远能达到A 点右侧某点
B.电子最远不可能再达到A 点
C.电子返回O 点所用时间不变
D.电子返回O 点时速度会变小
答案 C
解析 根据E＝U
d 、C＝Q
U 、C＝εr S
4 π kd ，可得两极板间电场强度E＝4 π kQ
εr S
，在与外电路断开的情况下，
移动右极板，Q 不变，所以电场强度E 不变，电子的受力不变，运动情况与之前相同。故选C。
8、9 题每小题9 分，10 题16 分，共34 分
8.如图所示，倾斜放置的平行板电容器两极板与水平面夹角为θ，极板间距为d，带负电的微粒质量为m、
带电荷量大小为q，从极板M 的左边缘A 处以初速度v0水平射入，沿直线运动并从极板N 的右边缘B 处射
出，重力加速度为g，则( )
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A.微粒到达B 点时动能为1
2mv0
2
B.微粒的加速度大小等于gsin θ
C.两极板的电势差UMN＝mgd
qcosθ
D.微粒从A 点到B 点的过程，电势能减少mgd
cosθ
答案 C
解析 微粒仅受静电力和重力，静电力方向垂直于极板，重力的方向竖直向下，微粒做直线运动，合力方
向沿水平方向，由此可知，静电力方向垂直于极板斜向左上方，合力方向水平向左，微粒做减速运动，微
粒到达B 点时动能小于1
2mv0
2，选项A 错误；根据qEsin θ＝ma，qEcos θ＝mg，解得E＝
mg
qcosθ，a＝gtan
θ，选项B 错误；两极板的电势差UMN＝Ed＝mgd
qcosθ ，选项C 正确；微粒从A 点到B 点的过程，静电力做
负功，电势能增加，电势能增加量为qUMN＝mgd
cosθ ，选项D 错误。
9.(2025·山东枣庄市联考)某多级直线加速器由n 个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一
直线上，如图甲所示，各金属圆筒依次接在交变电源的两极M、N 上，序号为0 的金属圆板中央有一个质
子源，质子逸出的速度不计，M、N 两极加上如图乙所示的电压UMN，一段时间后加速器稳定输出质子流。
已知质子质量为m、电荷量为e，不计质子间的相互作用，质子通过圆筒间隙的时间不计，且忽略相对论
效应，则( )
A.质子在各圆筒中做匀加速直线运动
B.质子进入第n 个圆筒瞬间速度为2(n−1)eU 0
m
C.各金属圆筒的长度之比为1∶√2∶√3∶…
D.质子在各圆筒中的运动时间之比为1∶√2∶√3∶…
答案 C
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解析 金属圆筒中电场为零，质子不受静电力，在每个圆筒中做匀速直线运动，故A 错误；质子进入第n
个圆筒时，经过n 次加速，根据动能定理neU0＝1
2mvn
2－0，解得vn＝√
2neU 0
m
，故B 错误；根据直线加速
器的原理，质子在每个圆筒中匀速运动时间相等，当只有质子在每个圆筒中匀速运动的时间为T
2 时，才能
保证每次在间隙中被电场加速，则第n 个圆筒长度为Ln＝vn·T
2 ＝T
2 √
2neU 0
m
，所以各金属圆筒的长度之比
为1∶√2∶√3∶…，故C 正确，D 错误。
10.(16 分)(2023·新课标卷·25)密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，
可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴
a、b 在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、v0
4 ；两板间加上电压后(上板为正极)，
这两个油滴很快达到相同的速率v0
2 ，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半
径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
(1)(7 分)求油滴a 和油滴b 的质量之比；
(2)(9 分)判断油滴a 和油滴b 所带电荷的正负，并求a、b 所带电荷量的绝对值之比。
答案 (1)8∶1 (2)a 带负电 b 带正电 4∶1
解析 (1)由题意，设空气阻力为f，f＝krv，则无电压时，有：
油滴a：mag＝krav0，
油滴b：mbg＝krb·v0
4 ，
又m＝ρ·4
3 πr3，
可得：
ra
rb
＝2∶1，
ma
mb
＝8∶1
(2)由题可知加电压后，油滴a 做减速运动，油滴b 做加速运动，直到两者共速，
所以油滴a 受到向上的静电力，油滴b 受到向下的静电力，
故油滴a 带负电，油滴b 带正电。
油滴a：mag＝kra·v0
2 ＋qaE
油滴b：mbg＋qbE＝krb·v0
2 ，
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可得：qa
qb
＝4∶1。
(10 分)
11.(多选)如图所示，平行板电容器两极板A、B 与直流电源E、理想二极管连接，电源负极接地。初始时
电容器不带电，闭合开关稳定后，一带电油滴在电容器中的P 点恰好能处于静止状态。下列说法正确的是(
)
A.将极板A 向下平移后，油滴在P 点的电势能Ep增大
B.将极板B 向下平移后，油滴在P 点的电势能Ep增大
C.将极板B 向下平移后，带电油滴静止不动
D.将极板B 向左平移一小段距离后，P 点的电势升高
答案 CD
解析 由C＝εr S
4 π kd ，极板A 向下平移，d 减小，C 增大，电容器充电，极板间电势差不变，由E＝U
d ，电
场强度增大，由φP＝E|PB|，P 点电势升高，油滴带负电，则在P 点的电势能Ep减小，故A 错误；同理，
将极板B 向下平移后，d 增大，C 减小，电容器放电，但由于与二极管相连，此时二极管不导通，所以极
板间电荷量不变，由C＝εr S
4 π kd ，Q＝CU，E＝U
d ，得E＝4 π kQ
εr S
，可知电场强度不变，油滴受到向上的
静电力不变，所以油滴还是静止不动；PB 距离增大，由φP＝E|PB|可知P 点电势升高，油滴带负电，则在
P 点的电势能Ep减小，故B 错误，C 正确；将极板B 向左平移一小段距离后，正对面积减小，电容减小，
电容器放电，但由于与二极管相连，此时二极管不导通，所以极板间电荷量不变，由E＝4 π kQ
εr S
可知电场
强度增大，P 点的电势升高，故D 正确。
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