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专题5：几何体内切球问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：正方体的内切球............................................................. 2
考点二：直棱柱的内切球............................................................. 2
考点三：多面体的内切球半径....................................................... 2
考点四：轴截面法求内切圆半径.................................................... 2
考点五：旋转体内切球问题.......................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：棱柱的内切球................................................................ 3
题型二：棱锥的内切球................................................................ 3
题型三：圆柱的内切球................................................................ 5
题型四：圆锥的内切球................................................................ 6
题型五：台体的内切球................................................................ 7
题型六：球与球的相切................................................................ 8
题型七：其他组合体内切球.......................................................... 8
模块三：综合巩固.........................................................................9
专题5：几何体内切球问题
模块一：基础知识
考点一：正方体的内切球
正方体的内切球球心位于其对角线中点处，
对于变成为�的正方体，其内切球半径为�=
�
2.
考点二：直棱柱的内切球
以直三棱柱为例：直三棱柱内切球在底面投影为底面三角形的内切圆，
故直三棱柱内切球半径�等于底面三角形内切圆半径�，
又因为内切球到上下底面距离相等且都为�，
故仅有满足ℎ= 2�的直三棱柱有内切球，其中ℎ为直三棱柱的高
考点三：多面体的内切球半径
例如：在四棱锥P
ABCD
中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下：
P ABCD
O ABCD
O PBC
O PCD
O PAD
O PAB
V
V
V
V
V
V
即：
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
P ABCD
ABCD
PBC
PCD
PAD
PAB
V
S
r
S
r
S
r
S
r
S
r
，可求出r .所以�=
3�
�
【注意】三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球。
考点四：轴截面法求内切圆半径
对于正四、六、八棱锥，通过底面对边中点的轴截面的内切圆为棱锥内切球的大圆，该内切圆的半径为内
切球的半径。
以正四棱锥为例推导：
设�、�分别为棱��、��的中点，
则∆���的内切圆即为该正四棱锥�−����的内切球的大圆，
该内切圆的半径为内切球的半径：�= �=
2�∆���
�∆���（等面积法可得）
考点五：旋转体内切球问题
1.独立轴截面法+等面积法求半径
等腰ABC
绕中线AF 旋转一周形成圆锥，其内切球为球O ，其轴截面如图，则内切球半径r 可用等面积
法求解：
1 (
)
2
ABC
S
AB
AC
BC r
.
2.圆柱的内切球
不是所有的圆柱独有内切球，
只有当圆柱的高ℎ与圆柱的底面半径�满足ℎ= 2�，
即圆柱的轴截面为正方形时，才有内切球，
此时内切球的半径为圆柱的底面半径�.
3.圆锥的内切球
圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆为内切球的大圆，
内切圆的半径即为内切球的半径，
设圆锥底面半径为�，高为ℎ，
则�∆���=
1
2 × 2�× ℎ= �ℎ，�∆���= 2�+ 2 ℎ2 + �2，
所以�=
2�∆���
�∆���=
�ℎ
�+ ℎ2+�2
模块二：题型分类
题型一：棱柱的内切球
1.正方体的内切球和外接球的体积之比为（
）
A．1:3 3
B．1:9
C．1:3
D．1: 3
2.记一正三棱柱的内切球体积为
1V ，外接球体积为
2
V ，则
1
2
V
V ____________．
3.长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，棱
1
AD ，且其外接球的体积为36π ，则此长方体体积的最大值为（
）
A．35
6
B．35
2
C．8
D．4
4.已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是32
3 ，则该正方体的表面积为（
）
A．16
B．36
C．96
D．216
5.正方体的外接球体积与内切球体积的比为（
）
A．3
B．3 3
C．
3
D．2
6.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为32
3 ，那么这个三棱柱的
侧面积为________，体积为______．
题型二：棱锥的内切球
1.我们知道，在ABC
中，
,
,
AB
c AC
b BC
a
，若I 为内切圆的圆心，则由
IAB
IBC
ICA
ABC
S
S
S
S
得
到，ABC
内切圆的半径
2
ABC
S
r
a
b
c
△
.将此结论类比到空间，得到：在三棱锥D
ABC
中，
ABC
D
S
S
，
,
,
BCD
A
CDA
B
DAB
C
S
S
S
S
S
S
，则三棱锥D
ABC
内切球的半径R ___________.
2.与棱长为2 的正四面体的所有棱都相切的球的直径为（
）
A．
2
2
B．
2
C．2 2
D．3 2
3.已知正四棱锥的侧棱长为5 ，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（
）
A．4 3
3
B．4 3π
27
C．4π
3
D．4 3
4.已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形.设等腰四面体的三组对棱
长分别为a，b，c，则该四面体的体积计算公式为
2
2
2
2
2
2
1
3
V
u
a
u
b
u
c
，其中
2
2
2
2
1
2
u
a
b
c
，
在等腰四面体A
BCD
中，
4
AB
，
5
BC
，
1
cos
8
ABC
，则该四面体的体积为___________；该四面
体的内切球表面积为___________.
5.2022 年2 月，女足亚洲杯决赛在印度打响，中国女足在落后两球的不利局面下，连入三球，以3: 2 的比
分击败韩国队第9 次捧起亚洲版冠军奖杯.同年10 月，在澳大利亚举行的女篮世界杯上，中国姑娘们表现
神勇，在半决赛中一举击溃东道主澳大利亚队获得银牌，追平了28 年前的历史最佳战绩.已知一个足球的
直径约为20cm，一个篮球的直径约为22cm ，现将3 个足球放在地面上彼此相切，再将一个篮球放在它
们的上方，此时这个模型的最高点离地面的距离是______cm.
6.在四棱锥P
ABCD
中，四边形ABCD为正方形，PA 平面ABCD，且
6,
8
PA
AB
，则四棱锥P
ABCD
的外接球与内切球的表面积之比为（
）
A．
41
2
B．41
4
C．3
D．11
2
7.正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面投影是底面中心）的高为1，底面边长为2 6 ，正三棱锥内有
一个球与其四个面相切，则此球表面积是________.
8.在正四棱锥P
ABCD
中，
=5
PA
，
=6
AB
，则该四棱锥内切球的表面积是________．
9.在正四棱锥P
ABCD
中，
5,
6
PA
AB
，则该四棱锥内切球的表面积是（
）
A．4π
7
B．24π
7
C．36π
7
D．72π
7
10.已知四面体ABCD 的所有棱长都相等，其外接球的体积等于
6π，则下列结论错误的是（
）
A．四面体ABCD 的棱长均为2
B．异面直线AC 与BD 的距离为
2
C．异面直线AC 与BD 所成角为60
D．四面体ABCD 的内切球的体积等于
6π
27
11.三棱锥A
BCD
中，AB 平面BCD，BC
CD
，且
4
AB
CD
，
3
BC ，则该三棱锥内切球的表面
积为（
）
A．9 π
16
B．9 π
4
C．16 π
9
D．4 π
3
题型三：圆柱的内切球
1.圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为16π ，则球O的体积为
（
）
A．32π
3
B．64π
3
C．16π
D．12π
2.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的
高相等.由于这个“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现，于是他留下遗言：他死后，墓碑上要刻上
一个“圆柱容球”的几何图形.如图，在底面半径为1 的圆柱
1
2
O O 内的球O 与圆柱
1
2
O O 的上、下底面及母线
均相切，设A，B 分别为圆柱
1
2
O O 的上、下底面圆周上一点，且
1
O A与
2
O B 所成的角为90，则AB 与圆柱
1
2
O O 的底面所成角的正切值为__________；直线AB 与球O 的球面交于两点M，N，则MN 的值为_______.
3.著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个
圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的
内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（
）．
A．1
2
B．1
3
C．3
4
D．2
3
4.阿基米德（Archimedes，公元前287 年-公元前212 年）是古希腊伟大的数学家，物理学家和天文学家，
他推导出的结论“圆柱内球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”
是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，该
球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径．如图所示，若球的体积为12，
则圆柱的体积为（
）
A．8
B．12
C．18
D．24
题型四：圆锥的内切球
1.若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥
体积与其内切球体积比为（
）
A．8：3
B．6：1 C．3：1 D．2：1
2.如图为一个圆锥形的金属配件，重75.06 克，其轴截面是一个等边三角形，现将其打磨成一个体积最大
的球形配件，则该球形配件的重量约为______克.
3.在一次手工劳动课上，需要把一个高为3，体积为π 的木质实心圆锥模型削成一个实心球模型，则球的
表面积的最大值为__________.
4.如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放一个球状物体完全浸没于杯中，球面与
圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出溶液的体积为（
）
A．8 3
27
B．8 3
9
C．16 3
27
D．32 3
27
5.已知某圆锥的内切球的体积为32π
3 ，则该圆锥的表面积的最小值为__________．
6.已知圆锥的底面圆半径为r ，圆锥内部放有半径为1的球，球与圆锥的侧面和底面都相切，若
5
6
2
r
，
则圆锥体积的取值范围是（
）
A．8
24
,
3
5
B．25
,16
6
C．8
25
,
3
6
D．
16 ,25
7.已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中错误的是（
）
A．圆锥的体积为2 2
3
B．圆锥的表面积为2 2
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为
2的扇形D．圆锥的内切球表面积为(24 16 2)
8.一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（
）
A．2:3
B．3: 2
C．1: 2
D．3: 4
9.（多选）如图，已知圆锥顶点为
P ，其轴截面
PAB
△
是边长为6 的为正三角形，
1
O
为底面的圆
心，EF 为圆
1
O
的一条直径，球O 内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），点Q 是球O 与
圆锥侧面的交线上一动点，则（
）
A．圆锥的表面积是45π
B．球O的体积是4 3π
C．四棱锥Q
AEBF
体积的最大值为9 3
D．QE
QF
的最大值为6 2
题型五：台体的内切球
1.已知一个圆台的母线长5，且它的内切球的表面积为16π ，则该圆台的体积为（
）
A．25π
B．64π
3
C．28π
D．36π
2.已知圆台
1
2
O O 的下底面半径是上底面半径的2 倍，其内切球的半径为
2 ，则该圆台的体积为（
）
A．7 2π
3
B．14 2
3
π
C．24 2π
3
D．25 2π
3
3.如图，在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
4
AB
，
1
1
2
A B
，若半径为r 的球O与该正四棱台的各个面均
相切，该球的表面积S （
）
A．4
B．6
C．8
D．10
4.已知一个圆台内部的球与圆台的上、下底面以及每条母线均相切，设球与圆台的表面积分别为
1S ，
2
S ，
体积分别为
1V ，
2
V ，若
1
2
4
7
S
S
，则
1
2
V
V ____．
5.已知一个装满水的圆台容器的上底面半径为5，下底面半径为1，高为8 2 ，若将一个铁球放入该容器
中，使得铁球完全没入水中，则可放入铁球的表面积的最大值为（
）
A．32π
B．36π
C．48π
D．50π
题型六：球与球的相切
1.半球内放三个半径为
3 的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的
半径是（
）
A．1
3
B．3
5
C．
5
7
D．3
7
2.水平桌面上放置了三个半径为6 的球，这三个球两两相切，在三个球共同的下方再放置一个小球，小球
与原来的三个球以及桌面都相切，则小球的半径为__________．
3.如图，已知圆锥PO 的底面半径OA 的长度为1，母线PA 的长度为2，半径为
1R 的球
1
O 与的圆锥侧面相切，
并与底面相切于点O，若球
2
O 与球
1
O 、圆锥的底面和侧面均相切，则球
2
O 的表面积为______．
4.四个半径为2 的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球
的表面积为（
）
A．(168
48 6)
B．(168
42 6)
C．(188
48 6)
D．(168
32 6)
题型七：其他组合体内切球
1.六氟化硫，化学式为
6
SF ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电
器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），
如图所示．若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为__________．
2．在ABC
中，
3
AB
AC
，
30
ABC
，现以BC 为旋转轴旋转360°得到一个旋转体，则该旋转体的
内切球的体积为（
）
A．27 3π
16
B．27 3π
48
C．27π
16
D．27π
48
3.连接正方体的每个面的中心构成一个正八面体（如图所示），该正八面体内切球与原正方体内切球的表面
积之比为__________.
4.已知ABC
中，
4
AB
，
3
BC ，
5
AC
，以AC 为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球
的表面积为（
）
A．49
36
B．576
49
C．576
25
D．345
25
模块三：综合巩固
1.若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（
）
A．2:1
B．3: 2
C．7:3
D．7: 4
2．已知正三棱锥V
ABC
中，侧面与底面所成角的正切值为
2 ，
6
AB
，这个三棱锥的内切球和外接球
的半径之比为（
）
A．
2
3
1
3
B．
3
1
3
C．2
3
D．1
3
3．在封闭的直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
内，有一体积为V 的球，若
1
,
3,
4,
5
AB
BC AB
BC
AA
，当球的体
积V 取得最大值时，球的内接正四面体的棱长为___________．
4．在四棱锥P
ABCD
中，平面PAB 平面ABCD，PAB
为边长为1 的等边三角形，底面ABCD为矩形.
若四棱锥P
ABCD
存在一个内切球（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这
个球是这个多面体的内切球），则内切球的表面积为（
）
A．4π
B．π
C．4π
3
D．π
3
5.已知正三棱锥S
ABC
的底面是边长为8 3 的等边三角形，若一个半径为4
3 的球与此三棱锥所有面都相
切，则该三棱锥的侧面积为_____.
6．正三棱锥P﹣ABC 的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（
）
A．1：3
B．1：
3
3
C．
3
1 3
：
D．
3
1 3
：
7.正四棱锥P
ABCD
的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为______．
8.球O 是棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的内切球，球
1
O 与面ABCD、面
1
1
AA B B 、面
1
1
AA D D、球O 都
相切，则球
1
O 的表面积是_______________．
9.已知三棱锥A
BCD
中，
2
AB
CD
，
3
AD
AC
BC
BD
，则该三棱锥内切球的表面积为
____________．
10.在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑ABCD中，AB 平
面BCD，
1
AB
BC
CD
，BC
CD
，则鳖臑ABCD内切球的表面积为（
）
A．3
B．(3
2 2)
C．12
D．(3
2 2)
11.（多选）已知四面体ABCD 的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD 是边长为2 2 的菱形，B，
C 分别为AE，FD 的中点，
2 2
BD
，则在该四面体中（
）
A．BE
CD
B．BE 与平面DCE 所成角的余弦值为
210
15
C．四面体ABCD 的内切球半径为
105
30
D．四面体ABCD 的外接球表面积为9
12.如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的
体积为__________．
