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专题3：立体几何外接球问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：外接球和内切球概念及球的相关公式...................................2
考点二：常见几何体的外接球....................................................... 2
考点三：多边形外接圆半径.......................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：长方体的外接球............................................................. 3
题型二：直棱柱的外接球............................................................. 3
题型三：圆柱的外接球................................................................ 4
题型四：正棱锥的外接球............................................................. 5
题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球.........................................6
题型六：圆锥的外接球................................................................ 6
题型七：台体的外接球................................................................ 7
题型八：侧面垂直于底面外接球.................................................... 8
题型九：多面体外接球................................................................ 8
模块三：综合巩固....................................................................... 10
专题3：立体几何外接球问题
模块一：基础知识
考点一：外接球和内切球概念及球的相关公式
1、空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的内切球
2、空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球
3、球的表面积：S＝4πR
2
4、球的体积：V＝4
3
πR
3
考点二：常见几何体的外接球
1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，
则2R＝a
2＋b
2＋c
2
2、正方体的外接球：正方体的棱长为�，外接球半径为R，则2�=
3�
长方体的外接球
正方体的外接球
3.直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的中点
直棱柱的外接球（
2
2
2
2
r
h
R
，其中r 为底面外接圆的半径，h 为棱柱的高）
4、正棱锥的外接球：正棱锥顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上。
（1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长a，外接球的半径�=
6
4 �.
（2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为�，外接球半径�=
2
2 �
（3）侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（
2
2
2
2
r
PA
R
，其中r 为底面外接圆的半径，PA 为棱锥垂直
于底面的棱）
5、圆柱的外接球（
2
2
2
2
r
h
R
，其中r 为底面圆的半径，h 为圆柱的高）
考点三：多边形外接圆半径
1、正（长）方形：半径等于对角线的一半
2、等边三角形：半径等于三分之二高
3、直角三角形：半径等于斜边的一半
4、一般的三角形：正弦定理
2 (
sin
a
r
A
通用）
模块二：题型分类
题型一：长方体的外接球
1.若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（
）
A．
3 π
2
B．3π
4
C．3π
D．12π
2.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（
）
A．9π
2
B．3 3π
C．9
D．27π
3.已知长方体的顶点都在球O表面上，长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，4 则球O的表面
积是__________
4.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
2, 3, 6 ，这个长方体外接球的面积是（
）
A．6π
B．4π
C．12π
D．24π
5.已知球
1
O 与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球
2
O ，则球
1
O 与球
2
O 的表面积之比为（
）
A．2：3
B．3：2
C．
2 :
3
D．3 :
2
6.已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该长方体外接球的表面积为__________.
题型二：直棱柱的外接球
1．如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2,
90
AB
BC
AA
ABC
，则此直三棱柱的外接球的体积是
___________.
2.在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
4,
3,
12,
90
AC
AB
AA
BAC
，且三棱柱的所有顶点都在同一球面
上，则该球的表面积是（
）
A．125π
B．144π
C．169π
D．244π
3.设直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且
1,
120
AB
AC
AA
BAC
，
则该直三棱柱的体积是（
）
A．4 6
B．4 6
3
C．2 6
D．2 6
3
4.在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
2
AB
，
2 3
AC
，
2 6
BC
，
1
4
AA
，则该直三棱柱的外接球的表面
积为_________ .
5.一个正四棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且该四棱柱的底面面积为3，高为10 ，则球O的体积为
（
）
A．16π
B．32π
3
C．10
D．28π
3
6.如图，在矩形ABCD中，EF ∥AD ，GH ∥BC ，
2
BC
，
1
AF
FG
BG
，现分别沿EF ，GH 将
矩形折叠使得AD 与BC 重合，求折叠后的几何体的外接球的表面积．
题型三：圆柱的外接球
1.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A．π
B．3π
4
C．π
2
D．π
4
2.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发
现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面
和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的2
3 ，并且球的表面积也是圆柱表面积的2
3 ，则该圆柱
的体积与它的外接球的体积之比为___________.
3.已知圆柱的高为2，侧面积为4π ，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为
（
）
A．8 2π
3
B．8 3π
3
C．4 2π
D．4 3π
4.已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为________．
5.已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为20π 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．
题型四：正棱锥的外接球
1.已知正三棱锥
P
ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，其侧棱长为2 2 ，底面边长为4，则球O 的表面
积是（
）
A．32π
B．32 2π
C．24 2π
D．24π
2.已知底面为正三角形、侧棱都相等的三棱锥的体积为
3 ，高为2，其各顶点都在同一球面上．则该球的
表面积为__________________．
3.已知正四棱锥P
ABCD
的底面是边长为2 的正方形，其内切球的体积为π
6 ，则该正四棱锥的高为
___________，外接球的表面积为___________.
4.已知正三棱锥A
BCD
，各棱长均为
3 ，则其外接球的体积为（
）
A．9 3 π
8
B．81 2 π
16
C．9 2 π
8
D．9 3 π
16
5.已知正四面体S
ABC
的外接球表面积为6π ，则正四面体S
ABC
的棱长为（
）
A．1
B．
2
C．
3
D．2
6.如图所示，在正六棱锥S
ABCDEF
中，O 为底面中心，
8
SO
，
4
OB
．
（1）求该正六棱锥的体积和侧面积；
（2）若该正六棱锥的顶点都在球M 的表面上，求球M 的表面积和体积．
题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球
1．我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.现有一个“鳖臑”，
PA 底面ABC ，AC
BC
，且
3
PA ，
2
BC
，
3
AC
，则该四面体的外接球的表面积为__________．
2.已知A，B，C，D 在球O 的表面上，ABC
为等边三角形且其面积为3 3
4
，AD 平面ABC，AD＝2，
则球O 的表面积为（
）
A．π
B．2π
C．4π
D．8π
3.已知在三棱锥P－ABC 中，PA＝4，
2 6
BC
，PB＝PC＝3，PA 平面PBC，则三棱锥P－ABC 的外接
球的表面积是（
）
A．40π
B．43π
C．45π
D．48π
4.三棱锥
P
ABC 中，PA 平面ABC ，ABC
为直角三角形，AB
BC
，
1
AB
BC
，
2
PA
，则三棱
锥
P
ABC 的外接球的表面积为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
5．如图，在四棱锥P
ABCD
中，PD 平面ABCD，AB
DC
，AD
AB
，
2
DC
，
1
AD
AB
，直
线PA 与平面ABCD成45角.设四面体PBCD 外接球的圆心为O，则球的体积为__________.
题型六：圆锥的外接球
1.一个圆锥母线长为
6 ，侧面积3 2，则这个圆锥的外接球体积为______________．
2.已知圆锥的底面半径为R，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为3
4 R ，该圆柱的全面积为（
）
A．
2
2 R
B．
2
9
4
R
C．
2
8
3 R
D．
2
5
2
R
3.已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上.若该圆锥的底面半径为2 3 ，高为6，则球O的表面积为
（
）
A．32
B．48
C．64π
D．80
4.已知圆锥SO的母线长为2 6 ，侧面展开图的圆心角为2 3
3
，则该圆锥外接球的表面积为（
）
A．12 2
B．24
C．36
D．48
5.已知球O内有一圆锥，圆锥的顶点及底面圆周在球面上，且球的半径与圆锥底面圆的半径的比值为2 3
3
，
则球的体积与圆锥的体积的比值为（
）．
A．32
3
B．32
9
C．32
9 或32
3
D．16
9 或32
9e
题型七：台体的外接球
1.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 3和4 3 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积
为（
）
A．100π
B．128π
C．144π
D．192π
2.已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为100，则此圆台的体积为（
）
A．84
B．86
C．259
3
D．262
3
3.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10 的球面上，其上、下底面的半径分别为4 和5，则该圆台的体
积为（
）
A．61π
B．62π
C．63π
D．64π
4.已知某圆台的母线长为4，母线与轴所在直线的夹角是60，且上、下底面的面积之比为1：9，则该圆
台外接球的表面积为（
）
A．40π
B．48π
C．128π
D．208π
5.某正四棱台形状的模型，其上下底面的面积分别为
2
2cm ，
2
8cm ，若该模型的体积为
3
14cm ，则该模型的
外接球的表面积为（
）
A．
2
20πcm
B．
2
10πcm
C．
2
5πcm
D．
2
5π cm
2
6. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 3和4 3 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积
为__________．
题型八：侧面垂直于底面外接球
1.已知空间四边形ABCD的各边长及对角线BD 的长度均为6，平面ABD 平面CBD ，则空间四边形ABCD
外接球的表面积为______.
2.矩形ABCD中，
4
AB
，
3
BC ，沿AC 将ABCD矩形折起，使面BAC 面DAC ，则四面体A
BCD
的
外接球的体积为（
）
A．125
6
B．125
9
C．125
12
D．125
3
3.已知在三棱锥中，S
ABC
中，BA
BC
，
2
BA
BC
，
2 2
SA
SC
，二面角B
AC
S
的大小为5π
6 ，
则三棱锥S
ABC
的外接球的表面积为（
）
A．56π
3
B．58π
3
C．105π
4
D．124π
9
4.在三棱锥A
BCD
中，平面
ABC
平面BCD，ABC
与
BCD
△
都是边长为6 的正三角形，则该三棱锥
的外接球的体积为________.
题型九：多面体外接球
1.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.
二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体.它由八个正三角形和
六个正方形围成（如图所示），若它的棱长为2，则下列说法错误的是（
）
A．该二十四等边体的外接球的表面积为16
B．该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E，满足关系式
2
V
F
E
C．直线AH 与PN 的夹角为60°
D．QH 平面ABE
2.(多选)如图，已知正方体的棱长为1，
1
O ，
2
O 分别为正方体中上、下底面的中心，
3
O ，
4
O ，
5
O ，
6
O 分
别为四个侧面的中心，由这六个中心构成一个八面体的顶点，则（
）
A．直线
1
3
OO 与直线
2
4
O O 所成角为60
B．二面角
1
3
4
5
O
O O
O
的正切值为
3
C．这个八面体的表面积为
3
D．这个八面体外接球的体积为π
6
3.（多选）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小
棱锥所得的多面体.如图，将棱长为3 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1
的截角四面体，则（
）
A．DE 平面ABC
B．直线DE 与GH 所成的角为60°
C．该截角四面体的表面积为7 3
D．该截角四面体的外接球半径为
22
4
4．如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD是正方形，EF 平面
,
4
ABCD EF
，其余棱长都为2，则
这个几何体的外接球的体积为（
）
A．8 2π
3
B．16π
3
C．4 3π
D．32π
3
5．（多选）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两
平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛
四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图
乙所示，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列说法正确的是（
）
A．勒洛四面体ABCD被平面ABC 截得的截面面积是
8 π
3
B．勒洛四面体ABCD内切球的半径是4
6
C．勒洛四面体的截面面积的最大值为2π
2 3
D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
6
2
2
模块三：综合巩固
1．长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（
）
A．9
B．18
C．36
D．48
2.一个正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为
3 ，底面周长为3，那么这个球的体积是
_____．
3．若三棱柱
1
1
1
ABC A B C
﹣
的底面是以AB 为斜边的直角三角形，
1
AA ⊥平面ABC ，
2 2
AB
，
1
4
AA
，
则三棱锥
1A
ABC
的外接球的表面积为_____．.
4．已知直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2,
6
BB
BC
BAC
，则该三棱柱外接球的体积为__________.
6.正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．
7.在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，底面
1
1
1
1
A B C D 是边长为4 的正方形，其余各棱长均为2，设直线
1
AA 与
直线
1
BB 的交点为P，则四棱锥P
ABCD
的外接球的体积为___________.
8.已知正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影是底面三角形的中心）的体积为
3 ，其各顶点都在
同一球面上，则该球的表面积的最小值为_____________．
9.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）
A．81
4
B．16
C．9
D．27
4
10.正四面体S
ABC
内接于一个半径为R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（
）
A．
6
4
B．
3
3
C．2 6
3
D．
3
11.（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，
且3
3 3
l
，则该正四棱锥体积的取值范围是（
）
A．
81
18, 4
B．27 81
,
4
4
C．27 64
,
4
3
D．[18,27]
12．在三棱锥A
BCD
中，BD 平面ADC ，
2
BD ，
2 2
AB
，
2 2
AC
BC
，则三棱锥A
BCD
的
外接球的体积为__________．
13．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC
是正三角形，AD 平面ABC ，
2
AD
，
3
AB ，
则该球的表面积为______.
14.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32
3
，两个圆锥的高之比为1:3，
则这两个圆锥的体积之和为（
）
A．3
B．4
C．9
D．12
15.已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为
1
2
,
S S ，且
1
2
2
S
S
，对应圆锥外接球体积分别为
1
2
,
V V ，
则
1
2
V
V （
）
A．8
B．4 2
C．2 2
D．2
16．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知侧棱都相等的四棱锥P
ABCD
底面为矩形，且
3
AB ，
7
BC
，高为2，用一个与底面平行的平面截该四棱锥，截得一个高为1 的刍
童，该刍童的顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（
）．
A．16π
B．18π
C．20π
D．25π
17．在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
1
2
4
A B
AB
，
1
2
AA
，则该棱台外接球的半径为（
）
A．2 2
B．3
C．10
D．3 2
18．正四棱台高为2，上下底边长分别为2 2 和4 2 ，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．
19.已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3 的球面上,上、下底面正方形的外接圆半径分别为
1 和2,圆台的两底面在球心的同侧,则此正四棱台的体积为_____．
20．（多选）如图，在三棱锥
P
ABC 中，PA 平面ABC ，AB
BC
，
2
PA
AB
BC
，AM
PC
，M
为垂足，则下列命题正确的是（
）
A．三棱锥M
ABC
的外接球的表面积为8.
B．三棱锥M
ABC
的外接球的体积为4 2π
C．三棱锥P
MAB
的外接球的体积为4 3
D．三棱锥P
MAB
的外接球的表面积为16
