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第59 课时 专题强化：带电粒子在有界匀强磁场中的运动
目标要求 1.学会处理带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界、多边形边界或角形区域磁场中运动
的问题。2.会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题。
考点一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2.平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
3.圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。
(2)不沿径向射入时，如图乙所示。
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。
例1 (多选)如图所示，MN 上方存在匀强磁场，同种粒子a、b 从O 点射入匀强磁场中，两粒子的入
射方向与磁场边界MN 的夹角分别为30°和60°，且均由P 点射出磁场，不计粒子重力及粒子间的相互
作用，则a、b 两粒子( )
A.运动半径之比为√3∶1
B.初速率之比为1∶√3
C.运动时间之比为5∶2
1
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D.运动时间之比为6∶5
答案 AC
解析 设OP＝2d，则由几何关系可知ra＝
d
sin30° ＝2d，rb＝
d
sin 60° ＝2d
√3 ，可知a、b 的运动半径之比为
√3∶1，选项A 正确；根据qvB＝mv
2
r ，可得v＝qBr
m ∝r，初速率之比为√3∶1，选项B 错误；根据T＝
2π m
qB ，t＝θ
2π T∝θ，a、b 两粒子转过的角度之比为300°∶120°＝5∶2，则运动时间之比为5∶2，选项C
正确，D 错误。
例2 (多选)如图所示，在直角坐标系的y 轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场
的宽度为d，磁场方向垂直于xOy 平面向里。一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子，从原点O
射入磁场，速度方向与x 轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y 轴上的某点
离开磁场。忽略粒子重力，关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是( )
A.它的轨道半径为2
3d
B.它进入磁场时的速度为2qBd
3m
C.它在磁场中运动的时间为2π m
3qB
D.它的运动轨迹与y 轴交点的纵坐标为√3d
答案 AB
解析 粒子运动轨迹如图所示，
2
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r＋rsin 30°＝d，可得粒子运动轨道半径为r＝2
3d，故A 正确；由qvB＝mv
2
r ，r＝2
3d，可得粒子进入磁场时
的速度为v＝qBr
m ＝2qBd
3m ，故B 正确；T＝2π r
v
＝2π m
qB ，由几何关系知t＝2
3T，可得粒子在磁场中运动
的时间为t＝4 π m
3qB ，故C 错误；粒子运动轨迹与y 轴交点的纵坐标为y＝－2rcos 30°＝－2√3
3
d，故D 错误。
拓展 若仅将电荷量变为＋q(q>0)，粒子仍恰好不从右边界射出，其余条件不变，则它的轨道半径为
；它进入磁场时的速度为 ；它在磁场中运动的时间为 ；它的运动轨迹与y 轴交点的
纵坐标为 。
答案 2d 2qBd
m
2π m
3qB 2√3d
解析 粒子运动轨迹如图所示，r－rsin 30°＝d，可得粒子运动轨道半径为r＝2d；由qvB＝mv
2
r ，r＝2d，
可得粒子进入磁场时的速度为v＝2qBd
m
；T＝2π r
v
＝2π m
qB ，由几何关系知t＝1
3T，可得粒子在磁场中运
动的时间为t＝2π m
3qB ；粒子运动轨迹与y 轴交点的纵坐标为y＝2rcos 30°＝2√3d。
例3 如图所示，直角三角形MNP 区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。
∠M＝30°，NP＝L，C 为MP 的中点，D 为NP 的中点，在C 点有一粒子源可沿平行PN 方向射入速度
大小不同的正、负电子。电子的质量为m、电荷量为e，不考虑电子间的相互作用，不计正、负电子的
重力。下列说法正确的是( )
A.可能有正电子从M 点射出磁场
B.负电子从D 点离开磁场时的速度大小为eBL
2m
C.从MN 边射出的正电子在磁场中运动的最长时间为2π m
3eB
D.正电子在磁场中运动的最长时间为π m
3eB
3
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答案 C
解析 正电子恰好从MN 边界射出的轨迹如图所示，
根据正电子的运动的轨迹可知，其不可能从M 点射出磁场，选项A 错误；负电子从D 点离开磁场的轨迹
如图，负电子从D 点离开磁场时，由几何关系知( L
2 )2＋(√3 L
2
－r)2＝r2，解得r＝√3
3 L，则负电子的速度大
小为v＝Ber
m ＝eBL
√3m，选项B 错误；当从MN 边射出的正电子运动的轨迹与MN 相切时在磁场中运动时间
最长，由几何关系可知圆心角为120°，则最长时间tm＝120°
360° ×2π m
eB ＝2π m
3eB ，选项C 正确；正电子从
C、M 之间射出时在磁场中运动时间最长，则在磁场中运动的最长时间为tm'＝T
2 ＝π m
eB ，选项D 错误。
例4 (多选)(2023·全国甲卷·20)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P 点开有一个
小孔，过P 的横截面是以O 为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P 点沿PO 射入，然后与筒壁发生
碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向
的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是( )
A.粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B.最少经2 次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C.射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D.每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O 的连线
答案 BD
解析 假设粒子带负电，第一次从A 点和筒壁发生碰撞如图甲所示，
O1为圆周运动的圆心，由题可知粒子沿半径方向射入圆形磁场，出射时也沿半径方向，即粒子此时的速度
方向为OA，说明粒子在和筒壁碰撞时速度会反向，由圆的对称性得粒子在其他点撞击同理，D 正确； 假
4
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设粒子运动过程过O 点，粒子从P 点进入磁场中速度发生偏转，则过P 点的速度的垂线和OP 连线的中垂
线是平行的，不能交于一点确定圆心；
撞击筒壁A 点的速度垂线和AO 连线的中垂线依旧平行不能确定圆心，则粒子不可能过O 点，A 错误；由
题意可知粒子射入磁场以后的每次偏转轨迹圆心连线组成的多边形应为以筒壁为内接圆的多边形，这个多
边形最少应为三角形，如图乙所示，
即撞击两次，B 正确；速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数可能增多，故粒子运动时间不一定
减少， C 错误。
考点二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
多解分类
多解原因
示意图
带电粒子电性不确定
带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁
场中的运动轨迹不同
磁场方向不确定
题目只告诉了磁感应强度的大小及方向垂直纸
面，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑
磁感应强度方向有两种情况
临界状态不唯一或速
度大小不确定
带电粒子在穿过有界磁场时，可能直接穿过去，
也可能从入射界面反向射出
运动的往复性
带电粒子在空间运动时，往往具有往复性
例5 (多选)如图所示，A 点的离子源沿纸面垂直于OQ 方向向上射出一束负离子，离子所受的重力及
离子间的相互作用忽略不计。为把这束负离子约束在OP 之下的区域，可加垂直于纸面的匀强磁场。已
知O、A 两点间的距离为s，负离子的比荷为q
m，速率为v，OP 与OQ 间的夹角为30°，则所加匀强磁
场的磁感应强度B 的取值范围和方向可能是( )
5
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A.B> mv
3qs，垂直于纸面向里
B.B>mv
qs ，垂直于纸面向里
C.B>mv
qs ，垂直于纸面向外
D.B>3mv
qs ，垂直于纸面向外
答案 BD
解析 当磁场方向垂直于纸面向里时，离子运动的临界轨迹是恰好与OP 相切，如图甲所示，切点为M，
设轨迹半径为r1，由几何关系得sin 30°＝
r1
s＋r1
，解得r1＝s，由r1＝mv
B1q ，可得B1＝mv
qs ，此种磁场方向
要求B>mv
qs ；当磁场方向垂直于纸面向外时，离子运动的临界轨迹是恰好与OP 相切，如图乙所示，切点
为N，设轨迹半径为r2，由几何关系得s＝
r2
sin30° ＋r2，解得r2＝s
3，由r2＝mv
q B2
可得B2＝3mv
qs ，此种磁场
方向要求B>3mv
qs ，B、D 正确，A、C 错误。
例6 (多选)(2022·湖北卷·8)在如图所示的平面内，分界线SP 将宽度为L 的矩形区域分成两部分，一
部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强
度大小均为B，SP 与磁场左右边界垂直。离子源从S 处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与
磁场方向垂直且与SP 成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P 点射出，设出射方向与入射
方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ 角的可能组合为( )
A.1
3kBL，0°
B.1
2kBL，0°
C.kBL，60°
D.2kBL，60°
6
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答案 BC
解析 若离子通过下部分磁场直接到达P 点，如图甲所示，
根据几何关系则有R＝L，由qvB＝mv
2
R ，可得v＝qBL
m ＝kBL，根据对称性可知出射速度与SP 成30°角斜
向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°。当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，
因为两个磁场的磁感应强度大小均为B，
则根据对称性有R＝1
2L，
根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝mv
2
R ，可得v＝qBL
2m ＝1
2kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射
方向与入射方向的夹角为θ＝0°。通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足v＝
qBL
(2n−1)m ＝
1
2n−1kBL(n＝1，2，3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当离子从上部分磁
场射出时，需满足v＝qBL
2nm ＝1
2nkBL(n＝1，2，3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°，故B、C
正确，A、D 错误。
处理多解问题的解题技巧
1.分析题目特点，确定题目多解形成的原因。
2.作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能)。
3.若为周期性的多解问题，注意寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。
课时精练
(分值：60 分)
7
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1~6 题每小题4 分，共24 分
1.(多选)如图所示，虚线MN 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B。一群电子以不同速率从边界MN 上
的P 点以相同的入射方向射入磁场。其中某一速率为v 的电子从Q 点射出边界。已知电子入射方向与边界
MN 的夹角为θ，则( )
A.该匀强磁场的方向垂直纸面向里
B.所有电子在磁场中的轨迹半径相等
C.速率越大的电子在磁场中运动时间越长
D.在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ
答案 AD
解析 由左手定则可判断，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，A 正确；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m
v
2
r ，整理得r＝mv
qB ，电子的轨迹半径与速度大小有关，速率不同，半径不同，B 错误；由周期公式T＝
2π r
v
＝2π m
qB 可知，电子在磁场中的运动周期相同，由几何关系可知，在此过程中每个电子的速度方向都
改变2θ，即轨迹圆心角为2θ，电子在磁场中的运动时间t＝2θ
2π T，故不同速率的电子在磁场中的运动时间
都相同，C 错误，D 正确。
2.如图所示，有界匀强磁场的宽度为d，一带电荷量为q、质量为m 的带负电粒子以速度v0垂直边界射入磁
场，离开磁场时的速度偏转角为30°，不计粒子受到的重力，下列说法正确的是( )
A.带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为3d
B.带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为v0
2d
C.带电粒子在匀强磁场中运动的时间为π d
2v0
D.匀强磁场的磁感应强度大小为m v0
dq
答案 B
8
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解析 由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为r＝
d
sin30° ＝2d，选项A 错误；
带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为ω＝v0
r ＝v0
2d ，选项B 正确；带电粒子在匀强磁场中运动的
时间为t＝30°
360° ×2π r
v0
＝π d
3 v0
，选项C 错误；根据qv0B＝mv0
2
r
，解得匀强磁场的磁感应强度大小为B＝
mv0
2dq ，选项D 错误。
3.(2024·山东临沂市检测)如图，边长为l 的正方形abcd 内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直
于纸面(abcd 所在平面)向外。ab 边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab 边的方向发射电子。已
知电子的比荷为k，不考虑电子间的相互作用及重力。则从a、d 两点射出的电子的速度大小分别为( )
A.1
4 kBl，√5
4 kBl
B.1
4 kBl，5
4 kBl
C.1
2kBl，√5
4 kBl
D.1
2kBl，5
4 kBl
答案 B
解析 电子从a 点射出时，其运动轨迹如图线①，轨迹半径为ra＝l
4 ，由洛伦兹力提供向心力，有evaB＝m
va
2
ra
，又e
m＝k，解得va＝kBl
4 ；电子从d 点射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有rd
2＝l2＋(rd－l
2)2，
解得：rd＝5l
4 ，由洛伦兹力提供向心力，有evdB＝mvd
2
rd
，又e
m＝k，解得vd＝5kBl
4
，选项B 正确。
4.如图所示，半径为R 的圆形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。质量为
m、电荷量为q 的带正电粒子由M 点沿与过该点的直径成30°角的方向射入磁场，经过圆心O，最后离开磁
场。不计粒子重力，则( )
9
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A.粒子的运动速度大小为2qBR
3m
B.粒子在磁场中运动的时间为π m
3qB
C.若仅改变粒子的入射方向，粒子离开磁场时的速度方向不变
D.若仅增大粒子的入射速度，则粒子在磁场中的运动时间变长
答案 C
解析 根据题意作出粒子运动轨迹图，
根据几何关系可知半径为r＝R，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv
2
r ，解得v＝qBR
m ，故A 错误；根据
几何关系可知圆心角为120°，则运动时间为t＝120°
360° T＝2π m
3qB ，故B 错误；只改变粒子的速度方向，不改
变粒子的速度大小，则粒子轨迹圆的半径保持不变；则粒子轨迹圆的圆心、磁场区域圆的圆心、两个圆的
交点构成菱形，故粒子出磁场时速度方向不变，故C 正确；若增大粒子的运动速度，则半径增大，轨迹如
图，
根据几何关系可知圆心角减小，则粒子在磁场中的运动时间变小，故D 错误。
5.如图所示，正六边形abcdef 区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，一带正电的粒子从f 点沿fd 方向射入
磁场区域，当入射速度大小为vb时，从b 点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb；当入射速度大小为vc时，
从c 点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力，则( )
A.vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1
B.vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2
C.vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1
D.vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2
答案 A
10
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解析 设正六边形的边长为L，一带正电的粒子从f 点沿fd 方向射入磁场区域，当入射速度大小为vb时，
从b 点离开磁场，由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径rb＝L，粒子在磁场中做圆周运动的轨
迹所对应的圆心角为120°，由洛伦兹力提供向心力有Bqvb＝mvb
2
L
，得vb＝qBL
m ，tb＝1
3·2π m
qB ；当入射速
度大小为vc时，从c 点离开磁场，由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对应的圆心角为2θ
＝60°，粒子在磁场中做圆周运动的半径rc＝L＋
1
2 L
sinθ
＝2L，同理有vc＝2qBL
m
，tc＝1
6·2π m
qB ，解得vb∶vc
＝1∶2，tb∶tc＝2∶1，A 正确。
6.(多选)半径为R 的半圆形区域内有方向垂直于纸面向外的匀强磁场。不计重力的a、b 两粒子从圆周上的
P 点沿着半径方向射入磁场，分别从A、B 两点离开磁场，运动轨迹如图所示。已知a、b 两粒子进入磁场
时的速率之比为1∶2，AOB 为直径，∠AOP＝60°。忽略粒子间相互作用。下列说法正确的是( )
A.a 粒子带正电，b 粒子带负电
B.a、b 两粒子的比荷之比为3∶2
C.a、b 两粒子在磁场中运动时间之比为2∶1
D.a、b 两粒子的轨道半径之比为1∶3
答案 BD
解析 根据粒子的运动轨迹，由左手定则可知，a 粒子带负电，b 粒子带正电，A 错误；由几何关系可知，
a、b 两粒子的半径之比为r1∶r2＝1∶3，D 正确；由r＝mv
qB 可知，a、b 两粒子的比荷之比为3∶2，B 正确；
粒子在磁场中运动时间t＝l
v ＝θr
v ，θ 为轨迹所对应的圆心角，代入数据可知，a、b 两粒子在磁场中运动
时间之比为4∶3，C 错误。
7 题6 分，8 题14 分，9 题16 分，共36 分
7.如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B 的匀强磁场被边长为L 的等边三角形ABC 边界分开，三
角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A 处有一质子源，能沿∠BAC 的角平分线发射速度不同的质子
11
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(质子重力不计)，所有质子均能通过C 点，质子比荷q
m ＝1
k ，忽略质子重力和质子间的相互作用，则质子
的速度不可能为( )
A.BL
k
B.BL
2k
C.2BL
3k
D.BL
8k
答案 C
解析 质子带正电，且经过C 点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，根据几何关系
可知，质子运动半径为r＝L
n (n＝1，2，3，…)，质子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得
qvB＝mv
2
r ，联立解得v＝qBr
m ＝BL
nk (n＝1，2，3，…)，可知质子的速度不可能为2BL
3k ，故选C。
8.(16 分)如图所示，半径为R 的圆形区域内存在着磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一
带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v 正对圆心射入磁场，通过磁场区域后速度方向偏转了60°。
(1)(8 分)求粒子的比荷q
m及粒子在磁场中的运动时间t；
(2)(6 分)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子
的入射点沿圆弧向上平移的距离d 为多少？
答案 (1) √3 v
3 BR √3 π R
3 v
(2)√3
3 R
解析 (1)粒子的轨迹半径r＝
R
tan30°
①
粒子所受洛伦兹力提供向心力，有qvB＝mv
2
r ②
12
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由①②两式得粒子的比荷q
m ＝√3 v
3 BR
③
粒子的运动周期T＝2π r
v
④
粒子在磁场中的运动时间t＝1
6T
⑤
由①④⑤式得t＝√3 π R
3 v
。
⑥
(2)由几何关系可知，当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大。
由图可知sin θ＝R
r
⑦
平移距离d＝Rsin θ
⑧
由①⑦⑧式得d＝√3
3 R。
9.(16 分)如图所示，在平面直角坐标系xOy 内，有一个质量不计、带正电的粒子从y 轴上的P 点以沿x 轴正
向的速度进入匀强磁场(磁场区域未画出，P 点在磁场的边界上)。已知粒子的比荷q
m＝108 C/kg，速度大小
v0＝106 m/s，P 点的坐标为(0，1 m)。
(1)(4 分)若磁场方向垂直于纸面向外，且为半径R＝1 m 的圆形区域，其圆心位于(1 m，1 m)处，粒子恰能
够垂直于x 轴离开圆形磁场区域，求磁感应强度B 的大小；
(2)(5 分)若磁场方向垂直于纸面向外，且充满第一象限，粒子经过Q(√3 m，0)点离开第一象限，求粒子在
磁场中运动的时间t；
(3)(7 分)若磁场为一矩形区域，粒子沿与y 轴平行的方向向上离开磁场区域，已知磁场区域面积的最小值为
S＝2√2m2，求粒子做圆周运动的半径(结果可用根号表示)。
答案 (1)0.01 T (2)2π
3 ×10－6 s (3)√2√2−2 m 或√2√2＋4 m
解析 (1)根据几何关系可知，轨迹圆半径R＝1 m，根据洛伦兹力提供向心力有qv0B＝mv0
2
R
，解得B＝0.01
T。
13
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(2)作出粒子的运动轨迹，如图所示，
根据几何关系有r2＝x2＋(r－L)2，sin θ＝x
r ，根据圆周运动的规律，时间t＝θr
v0
，解得t＝2π
3 ×10－6 s。
(3)由于磁场方向未知，因此要分两种情况讨论，如图甲、乙所示，假设甲图的轨迹圆半径为R1，乙图轨迹
圆半径为R2。
甲图中，最小矩形磁场区域面积S＝2R1·R1＋2R1·√2
2 R1＝(2＋√2)R1
2，乙图中，最小矩形磁场区域面积S＝
(R2－√2
2 R2)·√2R2＝(√2－1)R2
2，分别解得R1＝√2√2−2 m，R2＝√2√2＋4 m。
14
