专题5：几何体内切球问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：正方体的内切球............................................................. 2
考点二：直棱柱的内切球............................................................. 2
考点三：多面体的内切球半径....................................................... 2
考点四：轴截面法求内切圆半径.................................................... 2
考点五：旋转体内切球问题.......................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：棱柱的内切球................................................................ 3
题型二：棱锥的内切球................................................................ 5
题型三：圆柱的内切球.............................................................. 12
题型四：圆锥的内切球.............................................................. 15
题型五：台体的内切球.............................................................. 21
题型六：球与球的相切.............................................................. 25
题型七：其他组合体内切球........................................................ 27
模块三：综合巩固....................................................................... 30
专题5：几何体内切球问题
模块一：基础知识
考点一：正方体的内切球
正方体的内切球球心位于其对角线中点处，
对于变成为�的正方体，其内切球半径为�=
�
2.
考点二：直棱柱的内切球
以直三棱柱为例：直三棱柱内切球在底面投影为底面三角形的内切圆，
故直三棱柱内切球半径�等于底面三角形内切圆半径�，
又因为内切球到上下底面距离相等且都为�，
故仅有满足ℎ= 2�的直三棱柱有内切球，其中ℎ为直三棱柱的高
考点三：多面体的内切球半径
例如：在四棱锥P
ABCD
中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下：
P ABCD
O ABCD
O PBC
O PCD
O PAD
O PAB
V
V
V
V
V
V
即：
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
P ABCD
ABCD
PBC
PCD
PAD
PAB
V
S
r
S
r
S
r
S
r
S
r
，可求出r .所以�=
3�
�
【注意】三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球。
考点四：轴截面法求内切圆半径
对于正四、六、八棱锥，通过底面对边中点的轴截面的内切圆为棱锥内切球的大圆，该内切圆的半径为内
切球的半径。
以正四棱锥为例推导：
设�、�分别为棱��、��的中点，
则∆���的内切圆即为该正四棱锥�−����的内切球的大圆，
该内切圆的半径为内切球的半径：�= �=
2�∆���
�∆���（等面积法可得）
考点五：旋转体内切球问题
1.独立轴截面法+等面积法求半径
等腰ABC
绕中线AF 旋转一周形成圆锥，其内切球为球O ，其轴截面如图，则内切球半径r 可用等面积
法求解：
1 (
)
2
ABC
S
AB
AC
BC r
.
2.圆柱的内切球
不是所有的圆柱独有内切球，
只有当圆柱的高ℎ与圆柱的底面半径�满足ℎ= 2�，
即圆柱的轴截面为正方形时，才有内切球，
此时内切球的半径为圆柱的底面半径�.
3.圆锥的内切球
圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆为内切球的大圆，
内切圆的半径即为内切球的半径，
设圆锥底面半径为�，高为ℎ，
则�∆���=
1
2 × 2�× ℎ= �ℎ，�∆���= 2�+ 2 ℎ2 + �2，
所以�=
2�∆���
�∆���=
�ℎ
�+ ℎ2+�2
模块二：题型分类
题型一：棱柱的内切球
1.正方体的内切球和外接球的体积之比为（
）
A．1:3 3
B．1:9
C．1:3
D．1: 3
【答案】A
【分析】本题可设正方体的棱长为a ，然后求出内切球的体积
1V ，最后求出外接球的体积
2
V ，即可得出结
果.
【详解】设正方体的棱长为a ，
因为正方体的内切球的直径即正方体的棱长，
所以内切球的半径1
2
a
r
，体积
6
2
3
4
3
3
1
a
a
V
，
因为正方体的外接球的直径即正方体的体对角线，
所以外接球的半径
2
2
2
2
3
2
2
a
a
a
r
a
+
+
=
=
，体积
2
3
2
3
3
4
3
3
2
a
a
V
，
则内切球和外接球的体积之比为
3
3
π
3π
:
1:3 3
6
2
a
a =
，
故选：A.
2.记一正三棱柱的内切球体积为
1V ，外接球体积为
2
V ，则
1
2
V
V ____________．
【答案】
5
25
【分析】分析正三棱柱有内切球的条件是：正三棱柱高的一半等于其底面正三角形的内切圆半径，由此得
到
2 3
a
r
，再根据外接球得到
5
R
r
计算得答案.
【详解】如图所示,
设正三棱柱的侧棱长为h ，底面正三角形边长为a ，
因为正三棱柱有内切球，可得内切球半径
1
3
2
3
2
h
r
a
，
所以
2 3
a
r
，
记正三棱柱上下底面中心连线的中点为O，其外接球球心即为点O，
则外接球半径R 为点O到任一顶点的距离，
所以
2
2
2
2
2
3
2
5
3
2
R
r
a
r
r
r
所以
3
3
1
2
1
5
25
5
V
r
V
R
.
故答案为：
5
25
.
3.长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，棱
1
AD ，且其外接球的体积为36π ，则此长方体体积的最大值为（
）
A．35
6
B．35
2
C．8
D．4
【答案】B
【解析】设AB
a
=
，
1
AA
b
，长方体外接球半径为R ，
长方体外接球体积为36π ，
3
4 π
36π
3 R
，解得：
3
R
，
2
2
1
1
3
2
R
a
b
，解得：
2
2
35
a
b
，
长方体体积
2
2
35
2
2
a
b
V
ab
（当且仅当a
b
时取等号），
长方体体积的最大值为35
2 .故选：B.
4.已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是32
3 ，则该正方体的表面积为（
）
A．16
B．36
C．96
D．216
【答案】C
【解析】正方体性质知：内切球的直径等于棱长l ，
∴由题意，
3
4
32
( )
3
2
3
l
，得
4
l =
，
∴正方体表面积
2
6
96
S
l
.故选：C.
5.正方体的外接球体积与内切球体积的比为（
）
A．3
B．3 3
C．
3
D．2
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为a ，则其外接球的半径为
3
2 a ，内切球的半径为1
2 a，
所以正方体的外接球与内切球的体积之比是
3
3
4
3
3
2
4
1
3
2
a
a
3 3
.故选：B
6.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为32
3 ，那么这个三棱柱的
侧面积为________，体积为______．
【答案】48 3 ；48 3
【解析】设球的半径为r，则
3
4
32
π
π
3
3
r
，得r＝2，
所以正三棱柱的高为2r＝4．
又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，
设底面边长为a，则
1
3
2= 3
2 a
，解得=4 3
a
，
所以底面正三角形的边长为4 3 ，
所以正三棱柱的侧面积
3 4 4 3
48 3
S
侧
，
体积
2
3
4 3
4
48 3
4
V
．
题型二：棱锥的内切球
1.我们知道，在ABC
中，
,
,
AB
c AC
b BC
a
，若I 为内切圆的圆心，则由
IAB
IBC
ICA
ABC
S
S
S
S
得
到，ABC
内切圆的半径
2
ABC
S
r
a
b
c
△
.将此结论类比到空间，得到：在三棱锥D
ABC
中，
ABC
D
S
S
，
,
,
BCD
A
CDA
B
DAB
C
S
S
S
S
S
S
，则三棱锥D
ABC
内切球的半径R ___________.
【答案】
3
D ABC
A
B
C
D
V
S
S
S
S
【分析】三棱锥可分割为以内切球球心为顶点的四个小三棱锥，且棱锥的高为球半径，利用体积相等求解
即可.
【详解】设三棱锥D
ABC
内切球的圆心为O，半径为R ，
则
O ABC
O BCD
O CDA
O DAB
D ABC
V
V
V
V
V
（O为内切球的球心），
因为球与棱锥各个面相切，所以O到各个面的距离为R ，
故1
1
1
1
3
3
3
3
D ABC
D
A
B
C
RS
RS
RS
RS
V
,
所以
3
D ABC
A
B
C
D
V
R
S
S
S
S
.
故答案为：
3
D ABC
A
B
C
D
V
S
S
S
S
.
2.与棱长为2 的正四面体的所有棱都相切的球的直径为（
）
A．
2
2
B．
2
C．2 2
D．3 2
【答案】B
【分析】把正四面体补成正方体，转化为正方体的内切球求解即可.
【详解】如图，棱长为2 的正四面体ABCD的6 条棱为正方体的面对角线，
因为球与正四面体的所有棱都相切，所以球与正方体的所有面都相切，
所以所求的球为正方体的内切球，设正方体棱长为a ，
则
2
2
2
2
a
a
，所以
2
a
，则内切球的直径为
2
a
，
故选:B.
3.已知正四棱锥的侧棱长为5 ，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（
）
A．4 3
3
B．4 3π
27
C．4π
3
D．4 3
【答案】B
【解析】如图，设O 为正四棱锥的底面中心，E 为BC 的中点，连接,PO,OE,PE,
则PO 为四棱锥的高，PE 为侧面三角形PBC 的高，
因为
2,
5
BC
PB
,故
5 1
2
PE
,则
4 1
3
PO
，
设该四棱锥的内切球的半径为r，
则1
1(
4
)
3
3
ABCD
ABCD
PBC
S
PO
S
S
r
，
即1
1
1
4
3
(4
4
2 2)
3
3
2
r
，解得
3
3
r
，
故内切球的体积为
3
4
3
π (
)
3
3
4 3π
27
V
,
故选：B
4.已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形.设等腰四面体的三组对棱
长分别为a，b，c，则该四面体的体积计算公式为
2
2
2
2
2
2
1
3
V
u
a
u
b
u
c
，其中
2
2
2
2
1
2
u
a
b
c
，
在等腰四面体A
BCD
中，
4
AB
，
5
BC
，
1
cos
8
ABC
，则该四面体的体积为___________；该四面
体的内切球表面积为___________.
【答案】
15 6
4
【解析】AB
c
，BC
a
，AC
b
，则由余弦定理，
2
2
2
2
cos
36
b
a
c
ac
ABC
，即
6
b
，又
4
c
，
5
a
，代入公式可得
2
2
2
2
2
2
1
15 6
3
4
V
u
a
u
b
u
c
；
由海伦公式可得
15 7
4
ABC
S
p p
a
p
b
p
c
△
，由于该四面体的四个面全等，所以
1
4
3
ABC
V
S
r
△
，解得
3
3 6
4
4 7
ABC
V
r
S
△
，所以内切球表面积为
2
27
4
14
r
.
故答案为：15 6
4
；27
14
5.2022 年2 月，女足亚洲杯决赛在印度打响，中国女足在落后两球的不利局面下，连入三球，以3: 2 的比
分击败韩国队第9 次捧起亚洲版冠军奖杯.同年10 月，在澳大利亚举行的女篮世界杯上，中国姑娘们表现
神勇，在半决赛中一举击溃东道主澳大利亚队获得银牌，追平了28 年前的历史最佳战绩.已知一个足球的
直径约为20cm，一个篮球的直径约为22cm ，现将3 个足球放在地面上彼此相切，再将一个篮球放在它
们的上方，此时这个模型的最高点离地面的距离是______cm.
【答案】
2769 +21
3
##
2769
21+
3
【分析】先将4 个球的问题转化为正三棱锥的问题，求出高，再转化为最高点离地面的距离．
【详解】解：四个球心构成底面是边长为20 的正三角形，侧棱长为21 的正三棱锥，
设点为A，B，C，D，设等边三角形BCD 的中心为O，连接OA，OD，
则AO 平面BCD，易知
20 3
3
OD
，在
AOD
△
中，
2
2
20 3
923
2769
21
=
=
3
3
3
AO
所以模型的最高点距地面的距离为
2769
3
+10+11=
2769
3
+21( cm)
故答案为：
2769 +21
3
6.在四棱锥P
ABCD
中，四边形ABCD为正方形，PA 平面ABCD，且
6,
8
PA
AB
，则四棱锥P
ABCD
的外接球与内切球的表面积之比为（
）
A．
41
2
B．41
4
C．3
D．11
2
【答案】B
【分析】根据几何体内切圆半径公式
3V
r
S
（V 为几何体的体积，S为几何体的表面积），由
,
,
PA AB AD 两
两垂直，四棱锥可补形为长方体，可得外接圆的半径公式，可得答案.
【详解】设四棱锥P
ABCD
的外接球与内切球的半径分别为
,
R r .
因为
2
1 8
6
128
3
P ABCD
V
四棱锥
，
四棱锥P
ABCD
的表面积
2
1
1
8
6 8 2
8 10 2
192
2
2
S
，
所以
-
3
2
P ABCD
V
r
S
四棱锥
，
因为
,
,
PA AB AD 两两垂直，四棱锥可补形为长方体，所以
2
2
2
1
8
8
6
41
2
R
，
所以四棱锥P
ABCD
的外接球与内切球的表面积之比为
2
2
4
41
4
4
R
r
.
故选：B.
7.正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面投影是底面中心）的高为1，底面边长为2 6 ，正三棱锥内有
一个球与其四个面相切，则此球表面积是________.
【答案】
40 16 6
【解析】如示意图，正三棱锥P-ABC，点O 为内切球球心，
1
PO 底面ABC，D 为BC 的中点，球O 与底面ABC，侧面PBC 分别切于
1
2
,
O O ，
于是
1
1
1
1
3
3
3
3
P ABC
ABC
ABC
PBC
ABC
ABC
PBC
V
S
PO
S
r
S
r
S
PO
S
S
r
.
因为正三角形ABC 边长为2 6 ，所以
3
1
2 6
3 2,
2 6
3 2
6 3,
2
2
ABC
AD
S
易知
1
O 为正三角形ABC 的重心，所以
1
1
2,
3
O D
AD
所以
2
2
1
1
3
PD
PO
O D
,
所以
1
1
2 6
3
3 2
2
2
PBC
S
BC
PD
.
所以
6 3 1
6 3
9 2
6
2
r
r
，
所以球O 的表面积为：
2
4π
6
2
40 16 6 π
.
故答案为：
40 16 6 π
.
8.在正四棱锥P
ABCD
中，
=5
PA
，
=6
AB
，则该四棱锥内切球的表面积是________．
【答案】36
7
【解析】过点P 作PO 平面ABCD，则O为正方形ABCD的中心，连接
,
AC BD ，
易知AC
BD
O
．
因为
=6
AB
，所以
3 2
OA
，所以
2
2
25 18
7
OP
PA
OA
，
则四棱锥P
ABCD
的体积
2
2
1
1
6
7
12 7
3
3
V
AB
OP
，
四棱锥P
ABCD
的表面
2
2
2
1
1
1
4
6 6
6
25
9
4
84
2
2
2
S
AB
BC
PB
BC
．
设四棱锥P
ABCD
内切球的半径为r ，
则
1
3
V
S r
，即
1
12 7
84
3
r
，解得
3 7
7
r
，
故四棱锥P
ABCD
内切球的表面积是
2
36
4
7
．
故答案为：36
7
9.在正四棱锥P
ABCD
中，
5,
6
PA
AB
，则该四棱锥内切球的表面积是（
）
A．4π
7
B．24π
7
C．36π
7
D．72π
7
【答案】C
【解析】过点P 作PO 平面ABCD，则O为正方形ABCD的中心，连接OA ，如图，
因为
6
AB
，所以
3 2
OA
，所以
2
2
25 18
7
OP
PA
OA
，
则四棱锥P
ABCD
的体积
2
1
6
7
12 7
3
V
，
四棱锥P
ABCD
的表面积
1
6 6
6
25
9
4
84
2
S
.
设四棱锥P
ABCD
内切球的半径为r ，内切球的球心为O，
由
O
ABP
O
BCP
O
CDP
O
ADP
O
ABCD
V
V
V
V
V
V
，
可得
1
3
V
S r
，即
1
12 7
84
3
r
，解得
3 7
7
r
，
故四棱锥P
ABCD
内切球的表面积是
2
36π
4π
7
r
.故选：C
10.已知四面体ABCD 的所有棱长都相等，其外接球的体积等于
6π，则下列结论错误的是（
）
A．四面体ABCD 的棱长均为2
B．异面直线AC 与BD 的距离为
2
C．异面直线AC 与BD 所成角为60
D．四面体ABCD 的内切球的体积等于
6π
27
【答案】C
【解析】如图示，设该四面体的棱长为a，底面三角形BCD 的重心为G,该四面体的外接球球心为O，半
径为R，连接AG,GB,OB,AG 为四面体的高，O 在高AG 上，
在Rt
AGB
△
中，
2
2
2
3
3
3
6
,
(
)
3
2
3
3
3
BG
a
a AG
a
a
a
,
在Rt
OGB
△
中，
2
2
2
6
3
(
)
(
)
3
3
R
a
R
a
，解得
6
4
R
a
，
由于外接球的体积等于
6π，即
3
4 π
6π
3 R
,故
3
3 6
4
R
，
故
3
8,
2
a
a
，故A 正确；
分别取BD,AC 的中点为E,F,连接EF,
正四面体ABCD 中，AE=EC,故EF
AC
,同理EF
BD
,
即EF 为AC,BD 的公垂线，而
3
2
3
2
CE
,
则
2
2
2
2
( 3)
1
2
EF
CE
CF
,故B 正确；
由于
,
AE
BD CE
BD
, AE
CE
，
平面ACE,故BD 平面ACE,
又AC 平面ACE,所以BD
AC
，
即异面直线AC 与BD 所成角为90，故C 错误；
设四面体内切球的半径为r,而
2 6
3
AG
,故
1
1
4
3
3
BCD
BCD
S
r
S
AG
，
故
6
4
6
AG
r
a
，
所以四面体ABCD 的内切球的体积等于
3
3
4
4
6
6
6
π
π(
)
π
3
3
27
r
a
，故D 正确，
故选：C
11.三棱锥A
BCD
中，AB 平面BCD，BC
CD
，且
4
AB
CD
，
3
BC ，则该三棱锥内切球的表面
积为（
）
A．9 π
16
B．9 π
4
C．16 π
9
D．4 π
3
【答案】B
【解析】
由AB 平面BCD，CD 平面BCD，得AB
CD
．又BC
CD
，且
,
AB BC 平面ABC ，AB
BC
B
，
所以CD 平面ABC ，
又AC 平面ABC ，所以CD
AC
．由
4
AB
CD
，
3
BC ，得
5
AC
BD
，所以三棱锥A
BCD
的表
面积
1
1
2
3 4
2
4 5
32
2
2
S
，三棱锥A
BCD
的体积
1
1
3 4 4
8
3
2
V
．设三棱锥内切球球心为O，
半径为r ，
由
1
3
O ABC
O ABD
O ACD
O BCD
V
V
V
V
V
Sr
，得
3
3
4
V
r
S
，所以该三棱锥内切球的表面积
2
9
9
4π
4π
π
16
4
S
r
球
.
故选：B．
题型三：圆柱的内切球
1.圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为16π ，则球O的体积为
（
）
A．32π
3
B．64π
3
C．16π
D．12π
【答案】A
【解析】设球O的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，
所以
2
π
2
16π
R
R
，解得：
2
R
，
则球O的体积为
3
4
32
π
π
3
3
R
故选：A
2.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的
高相等.由于这个“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现，于是他留下遗言：他死后，墓碑上要刻上
一个“圆柱容球”的几何图形.如图，在底面半径为1 的圆柱
1
2
O O 内的球O 与圆柱
1
2
O O 的上、下底面及母线
均相切，设A，B 分别为圆柱
1
2
O O 的上、下底面圆周上一点，且
1
O A与
2
O B 所成的角为90，则AB 与圆柱
1
2
O O 的底面所成角的正切值为__________；直线AB 与球O 的球面交于两点M，N，则MN 的值为_______.
【答案】
2
2
解：设过A 的圆柱
1
2
O O 的母线在底面的端点为
1A ，则
1
2
1
//
O A O A ，则
1
ABA
就是AB 与圆柱
1
2
O O 的底面所
成的角，
由
1
2
O A
O B
，得
2
1
2
O A
O B
，则
1
2
A B
；
在直角三角形
1
ABA 中，
1
2
AA
，
1
1
1
tan
2
AA
ABA
A B
，所以AB 与圆柱
1
2
O O 的底面所成角的正切值为
2 ；
连接
,
OA OB ，由
1
2
OAO
OBO
≌
，得OA
OB
，取AB 的中点为G，则OG
AB
；
因为
2
2
2
1
1
2
OA
O O
O A
，
2
2
1
1
6
AB
AA
A B
，所以
2
2
2
6
2
2
2
2
OG
OA
AG
；
由OM
ON
及OG
AB
，得G 也是MN 的中点，所以
2
2
2
2
2
2 1
2
2
MN
OM
OG
.
故答案为：
2 ；
2 .
3.著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个
圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的
内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（
）．
A．
1
2
B．1
3
C．3
4
D．2
3
【答案】D
【解析】设圆柱的母线长为l，内切球的半径为r，如图所示，
则其轴截面如图所示，
则
2
l
r
，所以圆柱的内切球体积为
3
1
4 π
3
V
r
，
圆柱体积为
2
2
3
2
π
π
2
2π
V
sh
r l
r
r
r
，
所以圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为
3
1
3
2
4 π
2
3
2π
3
r
V
V
r
.故选：D.
4.阿基米德（Archimedes，公元前287 年-公元前212 年）是古希腊伟大的数学家，物理学家和天文学家，
他推导出的结论“圆柱内球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”
是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，该
球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径．如图所示，若球的体积为12，
则圆柱的体积为（
）
A．8
B．12
C．18
D．24
【答案】C
【解析】设球半径为R，依题意，
3
4
12
3 R
，解得
3
9
R
，
显然，圆柱的底面圆半径为R，高
2
h
R
，
所以圆柱的体积为
2
3
2
18
R h
R
.故选：C
题型四：圆锥的内切球
1.若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥
体积与其内切球体积比为（
）
A．8：3
B．6：1 C．3：1 D．2：1
【考点】内切球．
【分析】等体积法：�内接球=
��
�表
截面法：�内接球=
��截面∆
�截面∆、相似
【解答】解：设圆锥的高为�，底面半径为�，
则当圆锥体积最小时，如图，
由△���∽△���可得：
�
�=
(�−�)�−��
�
，即�=
�
��−��，
∴圆锥的体积�=
�
�����=
���
�(�−�) =
�
�[（�﹣2）+
�
�−�+4]≥
��
�．
当且仅当�﹣2＝2，即�＝4 时取等号．
∴该圆锥体积的最小值为
��
�．
内切球体积为
��
�．
该圆锥体积与其内切球体积比2：1．
故选：�．
2.如图为一个圆锥形的金属配件，重75.06 克，其轴截面是一个等边三角形，现将其打磨成一个体积最大
的球形配件，则该球形配件的重量约为______克.
【答案】33.36
【分析】分别求出圆锥的体积和内切球的体积，然后利用体积比，计算得到该内切球的重量.
【详解】设圆锥形的体积为：
1V ，底面半径为r ；内切球的体积为：
2
V ，
2
1
1
3 2
3
2
V
r
r
，
3
2
4
3
1
2
3
2
3
V
r
，
1
2
9
75.06
9
33.36
4
4
V
m
V
m
.
故答案为：33.36
3.在一次手工劳动课上，需要把一个高为3，体积为π 的木质实心圆锥模型削成一个实心球模型，则球的
表面积的最大值为__________.
【答案】44
8 10 π
9
【解析】由题得当球为圆锥的内切球时，球的表面积最大.如图为圆锥AD 的轴截面，
由题意知
2
1 π
3
CD
AD
2
1 π
3
π
3
CD
，解得
1
CD ，
所以
2
2
3
1
10
AC
.
设内切球O的半径为R ，则
3
AO
R
，
由平面几何知识可知AOE
ACD
∽
，所以OE
AO
CD
AC
，
所以
3
1
10
R
R
，解得
10
1
3
R
，
此时球的表面积为
2
4 R
2
10
1
44
8 10
4π
π
3
9
.
故答案为：44
8 10 π
9
.
4.如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放一个球状物体完全浸没于杯中，球面与
圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出溶液的体积为（
）
A．8 3
27
B．8 3
9
C．16 3
27
D．32 3
27
【答案】D
【解析】由题意，设球的半径为r，作出球和圆锥的空间图形的轴截面，
可得一个半径为r 的圆内切于一个边长为4 的等边三角形，
此等边三角形的高
2 3
h
．
根据中心（重心）的性质可得，球的半径
1
2 3
3
3
r
h
，
所以球的体积
3
3
4
4
2 3
32 3
3
3
3
27
V
r
．
即溢出溶液的体积为32 3
27 .故选：D．
5.已知某圆锥的内切球的体积为32π
3 ，则该圆锥的表面积的最小值为__________．
【答案】32π
【解析】设圆锥的内切球半径为r ，则
3
4
32π
π
3
3
r
，解得
2
r
，
设圆锥顶点为A ，底面圆周上一点为B ，底面圆心为C ，
内切球球心为D ，内切球切母线AB 于E ，
底面半径
2,
BC
R
BDC
，则tan
2
R
，又
π
2
ADE
，
由已知
,
BDE
BDC
为直角三角形，
又DC
DE
，BD
BD
，所以BDE
BDC
，
所以
,
BE
BC
R
BDE
BDC
，所以
π
2
ADE
，
故
2tan π
2
2tan2
AB
BE
AE
R
R
，
又
2
2
2
2tan
4
tan2
1 tan
4
1
4
R
R
R
R
，
故
2
2
2
4
8
4
4
R R
R
AB
R
R
R
，
故该圆锥的表面积为
2
2
4
2
2
2
π
4
2π
π
4
4
R
R
R
S
R
R
R
，
令
2
4
0,
t
R
则
2
2π(
4)
16
16
2π
8
2π 2
8
32π
t
S
t
t
t
t
t
，
当且仅当
16
t
t
，即
4,
2 2
t
R
时取等号．
6.已知圆锥的底面圆半径为r ，圆锥内部放有半径为1的球，球与圆锥的侧面和底面都相切，若
5
6
2
r
，
则圆锥体积的取值范围是（
）
A．8
24
,
3
5
B．25
,16
6
C．8
25
,
3
6
D．
16 ,25
【答案】A
【解析】作圆锥的轴截面，如图，截球得大圆为圆锥轴截面等腰ABC
的内切圆，
圆心O在高AD 中，E 是腰上的切点，
1
OE ，设圆锥高为h ，
由Rt
Rt
AOE
ACD
△
△
得OE
AO
CD
AC
，
即
2
2
1
1
h
r
h
r
，
2
2
2
1
r
h
r
，
4
2
2
1
2
3
3
1
r
V
r h
r
，
4
4
2
2
2
2
1 1
1
1
1
1
1
r
r
r
r
r
r
，
令
2
1
t
r
，
5
1
6
5
2
4
r
t
，
4
4
2
2
2
2
1 1
1
1
1
2
1
1
1
r
r
r
t
r
r
r
t
，
由勾形函数性质知
1
y
t
t
在1
[ ,1
4 ）上单调递减，在(1,5]上单调递增，
所以
1
t 时，
1
2
t
t
取得最小值4，
又
1
4
t
时，
1
17
4
t
t
，
5
t
时，
1
26
5
t
t
，因此
1
2
t
t
的最大值是36
5 ，
所以8
24
3
5
V
．故选：A．
7.已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中错误的是（
）
A．圆锥的体积为2 2
3
B．圆锥的表面积为2 2
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为
2的扇形D．圆锥的内切球表面积为(24 16 2)
【答案】B
【解析】由题设，底面直径2
2 2
R
，故半径为
2
R
，体高为
2 ，
所以圆锥的体积为
2
1
2 2
2
( 2)
3
3
，A 正确；
圆锥的表面积为
2
1
2 2 2
( 2)
2( 2
1)
2
，B 错误；
底面周长为2 2，侧面展开扇形半径为2，故圆心角为2 2
2
2
，C 正确；
由轴截面是腰长为2 的等腰直角三角形，圆锥的内切球最大截面为其内切圆，
所以内切球半径为
4
2
2
2
2
2 2
，故球体表面积为
2
4
(2
2)
(24 16 2)
，D 正确.
故选：B
8.一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（
）
A．2:3
B．3: 2
C．1: 2
D．3: 4
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，圆锥的高为h ，内切球的半径为R ，其轴截面如图所示，设
O为内切球球心，
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，
所以
2
l
r
，得
2
l
r
，即
2
PA
PB
r
，
所以
2
2
2
2
4
3
PD
PB
BD
r
r
r
，
所以
3
PO
PD
OD
r
R
，
因为
POE
△
∽
PBD
△
，所以PO
OE
PB
BD
,
所以
3
2
r
R
R
r
r
，得
3
3
R
r
，
所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为
2
2
2
1
4
:
4
: 2
2 :3
3
R
rl
r
r
，
故选：A
9.（多选）如图，已知圆锥顶点为
P ，其轴截面
PAB
△
是边长为6 的为正三角形，
1
O
为底面的圆
心，EF 为圆
1
O
的一条直径，球O 内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），点Q 是球O 与
圆锥侧面的交线上一动点，则（
）
A．圆锥的表面积是45π
B．球O的体积是4 3π
C．四棱锥Q
AEBF
体积的最大值为9 3
D．QE
QF
的最大值为6 2
【答案】BCD
【解析】依题意，动点Q 的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为
2
O ，连接
1
PO ，如图，
正
PAB
△
内切圆即为球O 的截面大圆，球心O、截面圆圆心
2
O 都在线段
1
PO 上，连
2
,
OQ O Q ，
1
3 3
PO
，则球O 的半径
1
3
OO
，显然
2
,
OQ
PQ O Q
PO
，
60
POQ
，
2
2
1
3
3
3
,
2
2
2
2
OO
OQ
O Q
OQ
，
1
2
3 3
2
O O
，
对于A，圆锥的表面积是
2
2
1
1
π
π
π
3
π
3 6
27π
S
O A
O A PA
，A 错误；
对于B，球O 的体积是
3
3
1
4π
4π
( 3)
4 3π
3
3
V
OO
，B 正确；
对于C，因Q 到平面AEBF 的距离与截面圆圆心
2
O 到平面的距离相等，均为3 3
2
，
则当四边形AEBF 的面积最大时，四棱锥Q
AEBF
的体积最大，
1
1
sin
18
2
AEBF
S
AB EF
AO E
，当且仅当
1
90
AO E
，即EF
AB
时取“=”，
则四棱锥Q
AEBF
体积的最大值为1
3 3
18
9 3
3
2
，C 正确；
对于D，因
2
2
2
1
2
1
2
9
QO
QO
O O
，则有
1
1
1
3
QO
EO
FO
，即QE
QF
，因此
2
2
2
36
QE
QF
EF
，
由均值不等式得：
2
2
3 2
2
2
QE
QF
QE
QF
，即
6 2
QE
QF
，当且仅当QE
QF
时取“=”，D 正
确.
故选：BCD
题型五：台体的内切球
1.已知一个圆台的母线长5，且它的内切球的表面积为16π ，则该圆台的体积为（
）
A．25π
B．64π
3
C．28π
D．36π
【答案】C
【分析】画出圆台内切球的轴截面图，由题意结合图象求出圆台上下底面的半径与高，再由圆台的体积公
式即可求解
【详解】圆台内切球的轴截面如图所示，
由题意易知ABCD为等腰梯形，且
5
AD ，
取
,
AB CD 的中点
1
2
,
O O
，连接
1
2
O O ，
则易知球心O为
1
2
O O 的中点，
因为圆台的内切球的表面积为16π ，
所以圆台的内切球的半径为2 ，即
1
2
4
O O
，
过点O作OE
AD
，交AD 与E ，连接OE ，
设
1
2
,
O A
R O D
r
，则由圆的切线性质可知
1
2
,
AO
AE
R DO
DE
r
，
所以
5
AE
ED
R
r
AD
，
过点C 作CF
AB
，交AB 与F ，
则
1
2
4,
,
5
O O
CF
FB
R
r CB
AD
R
r
,
由
2
2
2
CF
FB
CB
得
2
2
2
4
R
r
R
r
，解得
4
R r
，
由
4
5
R r
R
r
，解得
4
1
R
r
，
所以圆台的体积为
2
2
2
2
1
1
π
π
4 4
4 1 1
28π
3
3
V
h R
R r
r
，
故选：C
2.已知圆台
1
2
O O 的下底面半径是上底面半径的2 倍，其内切球的半径为
2 ，则该圆台的体积为（
）
A．7 2π
3
B．14 2
3
π
C．24 2π
3
D．25 2π
3
【答案】B
【解析】取圆台的轴截面如下图所示：
设上底面半径
1
O B
r
，则下底面半径
2
2
O A
r
，C 为轴截面的切点，
易知
1
BC
O B
r
，
2
2
AC
O A
r
，所以
3
AB
r
，圆台高
1
2
2 2
h
O O
，
作
2
BD
O A
，垂足为D ，则AD
r
，
2 2
BD
h
，
在Rt△ABD 中，
2
2
2
AD
BD
AB
，即
2
2
8
9
r
r
，解得
1
r ；
所以圆台上底面面积
2
1
π
π
S
r
，下底面面积
2
2
π 2
4π
S
r
；
所以圆台体积为
1
2
1
2
1
14 2 π
3
3
V
S
S
S S
h
.故选：B
3.如图，在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
4
AB
，
1
1
2
A B
，若半径为r 的球O与该正四棱台的各个面均
相切，该球的表面积S （
）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【解析】如图，作该正棱台的轴截面.
其中E，F，M，N 分别是AB，CD，
1
1
C D ，
1
1
A B 的中点，
H，K 是MN，EF 的中点，G 是内切球的球心，
H，K 是内切球和上、下底面的切点，
Q 是内切球和侧面
1
1
CDD C 的切点，内切球的半径为r ，
由正棱台的结构可以得到，
1
HM ，
2
KF
，HG
KG
QG
r
，
易得
1
MQ
HM
，
2
FQ
FK
，
3
MF
，
2
2
2
1
MG
r
，
2
2
2
2
FG
r
，且
90
MGF
，
所以
2
2
2
MG
FG
MF
，即
2
2
1
4
9
r
r
，解得
2
r
，
从而可知该球的表面积
2
4
8
S
r
.故选：C.
4.已知一个圆台内部的球与圆台的上、下底面以及每条母线均相切，设球与圆台的表面积分别为
1S ，
2
S ，
体积分别为
1V ，
2
V ，若
1
2
4
7
S
S
，则
1
2
V
V ____．
【答案】4
7
【解析】第一步：找到球半径与圆台上、下底面半径之间的关系
设圆台的母线长为l ，高为h，上、下底面圆心分别为
1
O ，
2
O ，
半径分别为1r ，
2
1
2
r r
r
，球的球心为O，半径为R ，
作出该组合体的轴截面如图所示，连接
1
2
O O ，易知点O为
1
2
O O 的中点，
则
1
2
2
OO
h
R
．设D 为球O与圆台侧面的一个切点，连接OD，
根据切线长定理可得
1
2
l
r
r
，
（切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等）
所以
2
2
2
2
1
1
2
2R
r
r
r
r
（勾股定理的应用）所以
2
1 2
R
rr
，
第二步：用1r ，2r 表示出圆台和球的表面积
则
2
1
1 2
4π
4π
S
R
rr
，
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1 2
2
π
π
π
2π
S
r
r l
r
r
r
rr
r
，（圆台的表面积公式）
第三步：根据
1
2
4
7
S
S
得到1r ，2r 之间的关系
故
1
1 2
1 2
2
2
2
2
2
1
1 2
2
1
1 2
2
4π
2
4
7
2π
S
rr
rr
S
r
rr
r
r
rr
r
，
第四步：求出
1
2
V
V
所以
3
3
1
1 2
2
2
2
2
2
2
2
1
1 2
2
1
1 2
2
1
1 2
2
4 π
2
4
4
3
1
7
2
π
3
R
V
rr
R
V
r
rr
r
R r
rr
r
r
rr
r
h
．
故答案为：4
7 .
5.已知一个装满水的圆台容器的上底面半径为5，下底面半径为1，高为8 2 ，若将一个铁球放入该容器
中，使得铁球完全没入水中，则可放入铁球的表面积的最大值为（
）
A．32π
B．36π
C．48π
D．50π
【答案】D
【解析】依题意，铁球的表面积最大时，该球与圆台上底面和侧面相切，
显然铁球球心O在圆台的轴线上，
过圆台的轴作平面截面圆台得等腰梯形ABCD，
截球得球的大圆O，圆O与
,
,
AB BC AD 都相切，如图，
令AB 的中点为
1
O ，过点
1
O 的圆O的直径另一端点为
2
O ，
过
2
O 作圆O的切线交
,
BC AD 分别于
,
E F ，
则
/ /
EF
AB ，即圆O是等腰梯形ABEF 的内切圆，
过
,
D F 作AB 的垂线，垂足分别为
,
M N ，
令圆O切AD 于G ，于是
1
1
5,
1
O A
O M
,
4
AM
，令圆O的半径为R ，
2
O F
r
，
显然
1
2
5
AF
AG
GF
AO
FO
r
，
又
/ /
FN
DM ，则有
4
8 2
AN
AM
FN
DM
，而
2
FN
R
，
因此
2
2
AN
R
，又
1
1
2
AO
AN
NO
AN
FO
，即
2
2
5
2
r
FO
R
，
Rt
AFN
△
中，
2
2
2
AF
AN
FN
，于是
2
2
2
2
2
(10
)
(
)
(2 )
2
2
R
R
R
，解得
5 2
2
R
，
所以可放入铁球的表面积的最大值
2
5 2
4π
4π
(
)
50π
2
R
.故选：D
题型六：球与球的相切
1.半球内放三个半径为
3 的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的
半径是（
）
A．1
3
B．3
5
C．
5
7
D．3
7
【答案】D
【解析】三个小球的球心
1
O 、
2
O 、
3
O 构成边长为2 3 的正三角形，则其外接圆半径为2 ．
设半球的球心为O，小球
1
O 与半球底面切于点A ．
如图，经过点O、
1
O 、A 作半球的截面，
半圆
O
的半径OC
OA
，
1
O B
OC
于点B ．
则
1
2
OA
O B
．
在
1
RtOAO 中，由
2
2
2
3
2
( 3)
3
7
R
R
．故选：D
2.水平桌面上放置了三个半径为6 的球，这三个球两两相切，在三个球共同的下方再放置一个小球，小球
与原来的三个球以及桌面都相切，则小球的半径为__________．
【答案】2
【解析】设三个半径为6 的球球心分别为
1
2
3
,
,
O O O ，与桌面的三个切点分别为
,
,
A B C ，
则三棱柱
1
2
3
OO O
ABC
是一个底面边长为12，高为6 的正三棱柱，
小球球心O在平面ABC 上的投影必为ABC
的中心H ，
在平面
1
2
3
O O O 上的投影必为
1
2
3
O O O
的中心K ，连接
1
O K 并延长交
2
3
O O 于D ，
则D 为
2
3
O O 中点，设小球半径为r ，
在
1
OOK
中，由小球与原来的三个球以及桌面都相切可得
1
6
O O
r
，OH
r
，
则
6
OK
r
，
2
2
1
1
2
2
12
6
4 3
3
3
O K
O D
，
则
2
2
2
1
1
OO
OK
KO
，即
2
2
2
(6
)
(6
)
4 3
r
r
，解得
2
r
.
故答案为：2.
3.如图，已知圆锥PO 的底面半径OA 的长度为1，母线PA 的长度为2，半径为
1R 的球
1
O 与的圆锥侧面相切，
并与底面相切于点O，若球
2
O 与球
1
O 、圆锥的底面和侧面均相切，则球
2
O 的表面积为______．
【答案】4
27
【解析】由题意得PAB
为边长为2 的等边三角形，故
1
1
3
3
3
3
R
，
则
1
2 3
3
AO
，而
1
2
2
1
AO
AO
O O
，即
2
2
2 3
3
2
3
3
R
R
，
解得
2
3
9
R
，球
2
O 的表面积
2
2
4
4
27
S
R
．
故答案为：4
27
4.四个半径为2 的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球
的表面积为（
）
A．(168
48 6)
B．(168
42 6)
C．(188
48 6)
D．(168
32 6)
【答案】A
【解析】如图1 所示，正四面体ABCD 中，AH⊥底面BCD，
E、F、G、K 为四个球的球心，M 为CD 中点，
连接BM，AM，易知B、H、M 三点共线，
直线AH 交平面EFG 于点
1
H ，连接
1
EH ，交GF 于点N，则N 为GF 的中点，
因为内切球半径为2，故EF=4，画出截面ABM 如图2 所示，
正四棱锥EFGK 外接球球心设为O，
则正四面体ABCD 的外接球球心与正四面体EFGK 外接球球心重合，
设正四面体ABCD 的外接球半径为R，正四面体EFGK 外接球半径为r，
在图2 中，EK=4，
2 3
EN
，
1
2
4 3
3
3
EH
EN
，
1
4 6
3
KH
，所以
1
4 6
3
OH
r
由
2
2
2
1
1
OE
OH
EH
，即
2
2
2
4 6
4 3
3
3
r
r
，解得：
6
r
所以
1
4 6
6
3
3
OH
r
过点E 作EP⊥BM 于点P，则EP=2，则△BEP∽△
1
OEH
∴
1
OH
OE
BE
EP
，
6
6
3
2
BE
，解得：
6
BE
∴
6
6
R
OB
BE
OE
∴正四面体ABCD 的外接球表面积
2
4
168
48 3
S
R
故选：A
题型七：其他组合体内切球
1.六氟化硫，化学式为
6
SF ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电
器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），
如图所示．若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为__________．
【答案】8π
3 ## 8 π
3
【分析】根据正八面体的特征可知内切球的球心为O，进而根据等体积法即可求解半径.
【详解】设正八面体内切球半径R，给正八面体标出字母如图所示，
连接AC 和BD 交于点O，
因为EA
EC
，ED
EB
，所以EO
AC
，EO
BD
，
又AC 和BD 交于点O，
,
AC BD 平面ABCD，所以EO 平面ABCD，
所以O 为正八面体的中心，所以O 到八个面的距离相等，
距离即为内切球半径，设内切球与平面EBC 切于点H，
所以OH 平面EBC，所以OH 即为正八面体内切球半径，所以R
OH
，
因为正八面体的棱长为2，
所以
2
EB
EC
BC
，
2
OB
OC
，
2
2
2
EO
EB
OB
，
所以
3
EBC
S△
，
1
OBC
S
△
，
因为
E OBC
O EBC
V
V
，1
1
3
3
OBC
EBC
S
EO
S
OH
△
△
，所以
6
3
OH
，
即
6
3
R
，所以正八面体内切球的表面积为：
2
8π
4π
3
R
．
故答案为：8π
3
2．在ABC
中，
3
AB
AC
，
30
ABC
，现以BC 为旋转轴旋转360°得到一个旋转体，则该旋转体的
内切球的体积为（
）
A．27 3π
16
B．27 3π
48
C．27π
16
D．27π
48
【答案】A
【分析】作出旋转体的轴截面，利用几何关系求出内切球的半径
3 3
= 4
r
，即可求出内切球的体积.
【详解】如图所示，旋转体的轴截面是边长为3 的菱形，设O为内切球的球心，
因为
=
=3,
=30
AB AC
ABC
，所以
=
=30 ,
=120
ACB
ABC
BAC
，
所以
3
sin30
2
AO
AC
，
3 3
cos30
2
CO
AC
，
设内切球的半径为r ，所以
1
1
2
2
AOC
S
AO OC
AC r
，
所以
3
3 3
1
3 3
=
=
2
2
3
4
r
，
故内切球的体积
3
4
3 3
27 3
3
4
16
V
，
故选：A
3.连接正方体的每个面的中心构成一个正八面体（如图所示），该正八面体内切球与原正方体内切球的表面
积之比为__________.
【答案】1
3
【解析】不妨设正方体边长为2，则正方体内切球半径
1
R ，
正八面体边长为
2 ，它的内切球球心为正方体中心O，记正八面体内切球半径为r ，
将正八面体分为8 个以O为顶点的三棱锥，
故
2
2
1
3
2
1
8
2
2
1
3
4
3
r
，
解得
3
3
r
，
所以该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为
2
2
1
3
r
R
.
故答案为：1
3
4.已知ABC
中，
4
AB
，
3
BC ，
5
AC
，以AC 为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球
的表面积为（
）
A．49
36
B．576
49
C．576
25
D．345
25
【答案】B
【解析】旋转体的轴截面如图所示，其中O为内切球的球心，
过O作
,
AB BC 的垂线，垂足分别为
,
E F ，则OE
OF
r
（r 为内切球的半径），
故
5
sin
3
r
AO
r
BAC
，
5
sin
4
r
CO
r
BCA
，
故
5
5
5
3
4
AO
OC
r
r
，故
5
5
5
3
4
AO
OC
r
r
，故
12
7
r
，
故旋转体的内切球的表面积为
2
12
576
4
7
49
，
故选：B
模块三：综合巩固
1.若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（
）
A．2:1
B．3: 2
C．7:3
D．7: 4
【答案】C
【解析】如图：
1
2
,
O O 分别为底面中心，O为
1
2
O O 的中点，D 为AB 的中点
设正六棱柱的底面边长为2
若正六棱柱有内切球，则
1
1
3
OO
O D
，即内切球的半径
3
r
2
2
2
1
1
7
OA
OO
O A
，即外接球的半径
7
R
则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为
2
2
2
2
4π
: 4π
:
7:3
R
r
R
r
故选：C．
2．已知正三棱锥V
ABC
中，侧面与底面所成角的正切值为
2 ，
6
AB
，这个三棱锥的内切球和外接球
的半径之比为（
）
A．
2
3
1
3
B．
3
1
3
C．2
3
D．1
3
【答案】B
【分析】根据正三棱锥底面边长为6，且侧面与底面所成角的正切值为
2 ，求出三棱锥的高和侧高，利
用勾股定理求出外接球半径，再利用等体积法求出内切圆半径即可.
【详解】因为三棱锥V
ABC
为正三棱锥，底面边长为6，
且侧面与底面所成角的正切值为
2 ，所以可得正三棱锥的高
6
h
，侧面的高3；
设正三棱锥底面中心为D ，其外接球的半径为R ，内切球半径为r ，
则有
2
2
2
OD
DA
R
，也即
2
2
6
) +12=
R
R
（
，解得：
3 6
2
R
，
正三棱锥的体积
1
1
1
1
3
6 3
3
3
2
3
ABC
ABC
V
S
h
r
S
r
，
也即1
9 3
6
9
3 3
3
r
r
，解得：
9 2
3 2
6
2
9
3 3
r
，
所以
3 2
6
3
1
3
3 6
r
R
，
故选：B.
【点睛】内切球的球心到各面的距离是相等的，球心和各面可以组成四个等高的三棱锥，那么内切球的半
径乘以正三棱锥的表面积就等于体积，通常用等体积法求解内切球的半径.
3．在封闭的直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
内，有一体积为V 的球，若
1
,
3,
4,
5
AB
BC AB
BC
AA
，当球的体
积V 取得最大值时，球的内接正四面体的棱长为___________．
【答案】2 6
3
【分析】由题知ABC
的内切圆半径为1，进而得球的体积最大时
1
R ，再将其转化为球中内接正方体的，
求正方体的面对角线长即可.
【详解】解：因为
,
3,
4
AB
BC AB
BC
，所以ABC
为直角三角形，
所以ABC
的内切圆半径为
(
)
1
3 4
2
1
1
3 4 5
2
=
´
+ +
因为要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切，设球的半径为R ，
所以
1
R ，又2
5
R
，所以
1
R ，
所以，
3
max
4
4
1
3
3
V
，
1
R
所以，该球的内接正方体的体对角线的长为2
2
R
，
所以，该球的内接正方体的边长为2 3
3
，
所以，该球的内接正方体的面对角线的长为2 6
3
，即球的内接正四面体的棱长为2 6
3
.
故答案为：2 6
3
4．在四棱锥P
ABCD
中，平面PAB 平面ABCD，PAB
为边长为1 的等边三角形，底面ABCD为矩形.
若四棱锥P
ABCD
存在一个内切球（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这
个球是这个多面体的内切球），则内切球的表面积为（
）
A．4π
B．π
C．4π
3
D．π
3
【答案】D
【分析】根据内切球在等边三角形PAB 内的“正投影”求得内切球的半径，进而求得内切球的表面积.
【详解】由于平面PAB 平面ABCD，PAB
为边长为1 的等边三角形，底面ABCD为矩形，
所以四棱锥P
ABCD
的内切球在等边三角形PAB
的“正投影”是等边三角形PAB
的内切圆，
设等边三角形PAB
的内切圆半径为r ，
则
1
1
π
1 1 1
1 1 sin
2
2
3
PAB
S
r
，解得
3
6
r
，
所以内切球的半径为
3
6
，其表面积为
2
3
π
4π
6
3
.
故选：D
5.已知正三棱锥S
ABC
的底面是边长为8 3 的等边三角形，若一个半径为4
3 的球与此三棱锥所有面都相
切，则该三棱锥的侧面积为_____.
【答案】60 3
【解析】如图1，正三棱锥S
ABC
中，M 是底面中心，D 是AB 中点，
则
,
,
C D M 共线，
,
SD
AB CD
AB
，
此三棱锥的内切圆圆心O在SM 上，作截面SDC ，截面截内切球得大圆O，
与SCD
的边
,
SD CD 相切，M 是切点，设SD 上切点为E ，如图2，
OE
SD
，SM
CD
，
由已知
3
8 3
12
2
CD
，
4,
8
DM
CM
，
4
3
OE
OM
，
设SO
d
，
由
,
ESO
MSD
SEO
SMD
得Rt SEO
Rt SMD
!
!
，所以OE
SO
DM
SD
，
所以
2
2
4
3
4
4
(
)
4
3
d
d
，解得
5
3
d
（
4
3
d
舍去），
所以
2
2
5
4
(
)
4
5
3
3
SD
，
S 侧＝
1
3
3
8 3
5
60 3
2
2
SD
AB
．
故答案为：60 3 ．
图1
图2
6．正三棱锥P﹣ABC 的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（
）
A．1：3
B．1：
3
3
C．
3
1 3
：
D．
3
1 3
：
【答案】D
【分析】设侧棱长为a ，用补形法求得外接球的半径，用体积法求得内切球的半径后即可得．
【详解】三棱锥扩展为长方体（本题实质上是正方体），它的对角线的长度，就是球的直径，
设侧棱长为a，则它的对角线的长度为
3 a，外接球的半径为
3
2
a ，
再设正三棱锥内切球的半径为r，正三棱锥底面边长为
2a ，设O是内切球球心，则O到棱锥四个面的距
离都等于r ，
根据三棱锥的体积的两种求法，得
2
2
2
1
1
1
1
3
[
3
( 2 ) ]
3
2
3
2
4
a
a
a
a
r
，
3
3
6
r
a
，
∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为
3
3
3 1
6
3
3
2
a
a
．
故选：D．
7.正四棱锥P
ABCD
的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为______．
【答案】
8
4 3
【解析】设底面的中心为E ，连接
,
CE PE ，则
2,
2
CE
PE
，
设四棱锥的内切球的半径为r ，连接
,
,
,
,
OA OB OC OD OP ，得到四个三棱锥和一个四棱锥，它们的高均为r ，
∴
P ABCD
O ABCD
O PAB
O PBC
O PCD
O PAD
V
V
V
V
V
V
，
即1
1
1
2 2
2
2 2
4
3
3
3
3
r
r
，
解得
2
3
1
2
r
，
∴该四棱锥的内切球的表面积为
2
4
8
4 3
r
.
故答案为：
8
4 3
.
8.球O 是棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的内切球，球
1
O 与面ABCD、面
1
1
AA B B 、面
1
1
AA D D、球O 都
相切，则球
1
O 的表面积是_______________．
【答案】
7
4 3 π
【解析】设球
1
O 的半径为r ，依题可知，
1
1
AO
O O
AO
，即
1
1
3
3
2
2
r
r
，解得
3
1
2
3
2
2
3
1
r
，
所以球
1
O 的表面积是
2
7
4 3
4π
4π
7
4 3 π
4
S
r
．
故答案为：
7
4 3 π
．
9.已知三棱锥A
BCD
中，
2
AB
CD
，
3
AD
AC
BC
BD
，则该三棱锥内切球的表面积为
____________．
【答案】7
8
【解析】如图，在长方体AHDG
EBFC
中，设EC
c
EB
b
EA
a
，
，
，
则
2
2
2
2
2
2
4
9
9
a
b
c
b
a
c
，
，
，
所以
2
7
a
b
c
，
，
故四面体ABCD的体积
1
1
2 7
4
3
2
3
V
abc
abc
，
四面体ABCD的表面积
2
2
1
4
4
2
3
1
8 2
2
ABC
S
S
，
设三棱锥内切球的半径为r ，
由等体积可得2 7
1 8 2
3
3
r
，解得
7
4 2
r
，
所以三棱锥内切球的表面积为
2
7
7
4
(
)
8
4 2
.
故答案为：7
8
.
10.在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑ABCD中，AB 平
面BCD，
1
AB
BC
CD
，BC
CD
，则鳖臑ABCD内切球的表面积为（
）
A．3
B．(3
2 2)
C．12
D．(3
2 2)
【答案】B
【解析】因为四面体ABCD四个面都为直角三角形，AB 平面BCD，BC
CD
，所以AB
BD
，AB
BC
，
BC
CD
，AC
CD
，设四面体ABCD内切球的球心为O，则
1
3
ABCD
O ABC
O ABD
O ACD
O BCD
ABC
ABD
ACD
BCD
V
V
V
V
V
r
S
S
S
S
△
△
△
△
内
，
所以
3
ABCD
V
r
S
内
，
因为四面体ABCD的表面积为
1
2
ABCD
ABC
ABD
ACD
BCD
S
S
S
S
S
△
△
△
△
，
又因为四面体ABCD的体积
1
6
ABCD
V
，
所以
3
2
1
2
V
r
S
内
，所以
2
4
(3
2 2)
S
r
球
，
故选：B
11.（多选）已知四面体ABCD 的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD 是边长为2 2 的菱形，B，
C 分别为AE，FD 的中点，
2 2
BD
，则在该四面体中（
）
A．BE
CD
B．BE 与平面DCE 所成角的余弦值为
210
15
C．四面体ABCD 的内切球半径为
105
30
D．四面体ABCD 的外接球表面积为9
【答案】ACD
【解析】由题意得，展开图拼成的几何体如下图所示，
2
AB
CD
，
2 2
AD
BD
BC
AC
，
取AB 中点M，CD 中点N，MN 中点O，连MN、OA，
过O 作OH
CM
于H，
则OH 是内切球的半径，OA 是外接球的半径.
所以
1
2
2
2
AM
CN
AB
，
2
2
2
2
2
30
2 2
2
2
CM
AN
AC
CN
2
2
2
2
30
2
7
2
2
MN
CM
CN
对于A：
AN
CD
，BN
CD
，AN
BN
N
，故CD 平面ABN，而BE 平面ABN ，所以BE
CD
，故
A 正确；
对于B：
由于CD 平面ACD，故平面ABN 平面ACD，故
BAN
∠
是BE 与平面DCE 所成角，
故
2
2
15
cos
2
15
30
AM
BAN
AN
，故B 错误；
对于C：
1
2
2
1
105
7
2
2
2
30
30
CN
OH
MN
CM
，故C 正确；
对于D：
2
2
2
2
2
1
2
7
9
2
2
2
4
OA
AM
MN
所以外接球的表面积为9
，故D 正确.
故选：ACD
12.如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的
体积为__________．
【答案】54π
【解析】设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ．
由条件有：
3
R
r
，圆柱的高为2R ，
所以圆柱的体积为
2
3
π
2
2π
54π
r
R
r
．故答案为：54π
