7.3 复数的加减运算及其几何意义
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：复数的加法运算及其几何意义............................................2
考点二：复数的减法运算及其几何意义............................................2
考点三：|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义............................................2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：复数的加、减运算.......................................................... 3
题型二：复数加减运算求参数....................................................... 4
题型三：复数加减法的几何意义.................................................... 5
题型四：复数的加减与模的几何意义综合应用...................................9
题型五：复数的加减与复数的特征................................................11
模块三：综合巩固....................................................................... 13
7.3 复数的加减运算及其几何意义
模块一：基础知识
考点一：复数的加法运算及其几何意义
1.复数的加法法则
设
=a+bi，
=c+di(a,b,c,d
R)是任意两个复数，那么
+
=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
2.复数的加法满足的运算律
对任意
,
,
∈C，有
①交换律：
+
=
+
；
②结合律：(
+
)+
=
+(
+
).
3.复数加法的几何意义
在复平面内，设
=a+bi，
=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为
，
，则
=(a,b)，
=(c,d).
以
，
对应的线段为邻边作平行四边形
(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得
=
+
=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ 对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i
对应的向量.
考点二：复数的减法运算及其几何意义
1.复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi 的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
2.复数减法的几何意义
两个复数
=a+bi，
=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是
，
，那么这两个复数的差
-
对应的向量是
-
，即向量
.
如果作
=
，那么点Z 对应的复数就是
-
(如图所示).这说明两个向量
与
的差
就是与
复数(a-c)+(b-d)i 对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
考点三：|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义
设复数
=a+bi，
=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是
(a,b)，
(c,d)，则|
|=
，又复数
-
=(a-c)+(b-d)i，则|
-
|=
.
故|
|=|
-
|，即|
-
|表示复数
，
在复平面内对应的点之间的距离.
模块二：题型分类
题型一：复数的加、减运算
1．计算：
(1)
3
4i
5
3i
；
(2)
1 5i
2
3i
；
(3)
2
3i
6
5i
；
(4)
7
i
3
2i
．
【答案】(1) 2
i
(2)3
2i
(3) 4
2i
(4)10
3i
【分析】根据复数的加减运算逐一计算即可得出（1）~（4）的答案；
【解析】（1）
3
4i
5
3i
3
5
4i
3i
2
i
（2）
1 5i
2
3i
1
2
5i
3i
3
2i
（3）
2
3i
6
5i
2
6
3i
5i
4
2i
（4）
7
i
3
2i
7
3
i
2i
10
3i
2.设复数
1
2
2
3 ,
1
2
z
i z
i
，则复数
1
2
z
z
在复平面内对应的点所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【详解】根据复数运算可知：
1
2
3
z
z
i
，在复平面对应的点的坐标为( 3,1)
，
位于第二象限.
故选：B
3.已知复数
1
3
4i
z
，
2
3
4
z
i
，则
1
2
z
z
．
【答案】8i
【详解】因为复数
1
3
4i
z
，
2
3
4
z
i
，则
1
2
3
4i
3
4i
8i
z
z
.
故答案为：8i .
4.已知复数
1
2
2
i,
3
2i
z
z
，则复数
1
2
z
z
在复平面内对应的点位于第
象限.
【答案】三
【详解】因为
1
2
2
i,
3
2i
z
z
，
所以
1
2
2
i
3
2i
5
i
z
z
，
所以复数
1
2
z
z
在复平面内对应的点为
5, 1
，位于第三象限，
故答案为：三
5.设�的共轭复数为�ത，若2�−3�ത= 2 −5i，则�=（
）
A．−2 −i
B．2 −i
C．1 −2i
D．1 + 2i
【解题思路】设�= �+ ��，�，�∈�，则由��−��ത= �−��，可得−�+ ���= �−��，后由两复数相等
可得答案.
【解答过程】设�= �+ ��，�，�∈�，则�= �−��.
因为��−��ത= �−��，所以−�+ ���= �−��，
则−�= �
��=−�，解得�=−�，�=−�，则�=−�−�．
故选：A.
题型二：复数加减运算求参数
1．设z1=2+bi ，z2=a+i ，当z1+z2=0 时，复数a+bi 为（
）
A．1+i
B．2+i
C．3
D．2
i
【答案】D
【解析】因为z1+z2=(2+bi )+(a+i )=(2+a)+(b+1)i =0，
所以
2
0
1
0
a
b
，
，于是
2
1
a
b
，
，
故
i
2
i
a
b
，故选：D.
2．若
2
z
z
，则
2
z
z
的实部可能是（
）
A．3
B．1
C．3i
D．i
【答案】A
【解析】设
i( ,
R)
z
a
b a b
，
因为
2
z
z
，
所以
i
i
2
a
b
a
b
，得
1
a ，所以
1
i(
R)
z
b b
，
所以
2
2
1
2(1
i)
( 1
2 i
2
2)
z
b
b
b
b
z
，
则
2
z
z
的实部
2
1
2
3
b
，故选：A
3．复数
1
2
4i,
3
i
z
a
z
b
，其中,a b 为实数，若
1
2
z
z
为实数，
1
2
z
z
为纯虚数，则a
b
（
）
A．6
B．6
C．7
D．7
【答案】C
【解析】复数
1
2
4i,
3
i
z
a
z
b
，,a b 为实数，则
1
2
(
3)
(
4)i
z
z
a
b
，
由
1
2
z
z
为实数，得
4
0
b
，解得
4
b ，又
1
2
(
3)
(4
)i
z
z
a
b
，
显然4
0
b
，由
1
2
z
z
为纯虚数，得
3
0
a
，解得
3
a ，
所以
7
a
b
，故选：C
4．若复数z 满足
2
+3
2
3i
z
z
z
z
，则z =（
）
A．1
1 i
2
2
B．1
1 i
2
2
C．2
2i
D．2
2i
【答案】A
【解析】设
i
,
R
z
a
b a b
，则
i
z
a
b
，
所以
i
i
2
z
z
a
b
a
b
a
，
i
i
2 i
z
z
a
b
a
b
b
，
所以
2
+3
4
6 i=2
3i
z
z
z
z
a
b
，
所以
1
1
1
1
,
,
i
2
2
2
2
a
b
z
，故选：A
5．已知复数z 的共轭复数是z ，若
2
2
3i
z
z
，则z （
）
A．2
i
B．1 2i
C．2
i
D．1 2i
【答案】C
【解析】设
i
,
z
a
b
a b
R ，则
i
z
a
b
，
所以
i
2
i
2
3i
a
b
a
b
，即
3 i
2
3i
a
b
，
所以
2
3
3
a
b
，解得
2
1
a
b
，
因此
2 i
z
，故选：C．
题型三：复数加减法的几何意义
1.如图所示,平行四边形OABC 的顶点O,A,C 对应的复数分别为0,3
2i
, 2
4i
,其中i 为虚数单位由复数的
几何意义,知OA
与OC
对应的复数分别为3
2i
, 2
4i
.
(1)求AO
对应的复数.
(2)求CA
对应的复数.
(3)求OB
对应的复数.
【答案】(1) 3
2i
.(2)5
2i
.(3)1
6i
【详解】解：(1)因为AO
OA
,所以AO
表示的复数为3
2i
.
(2)因为CA
OA
OC
,所以CA
表示的复数为(3
2 )
( 2
4 )
5
2
i
i
i
.
(3)OB
OA
OC
,所以OB
对应的复数为(3
2 )
( 2
4 )
1
6
i
i
i
.
2．设向量
1
OZ
及
2
OZ
在复平面内分别与复数z1＝5＋3i 及复数z2＝4＋i 对应，试计算z1－z2，并在复平面
内表示出来
【答案】z1－z2＝1＋2i，作图见解析.
【分析】先计算z1－z2，表示点
1
2
,
Z Z 和向量
2
1
Z Z
，再描点作图即可.
【解析】解: z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i，
1
2
5,3 ,
4,1
Z
Z
，则
2
1
1,2
Z Z
即为z1－
z2 所对应的向量，如图所示，
根据复数减法的几何意义：复数z1－z2 是连接向量
1
OZ
,
2
OZ
的终点，并指向被减数的向量
2
1
Z Z
所对应的复
数.
3.如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1 + 2�, −2 + �, 0，那么这个正方形的第四个
顶点对应的复数为（
）．
A．3 + �
B．3 −�
C．1 −3�
D．−1 + 3�
【解题思路】利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出．
【解答过程】∵��റ
ሬሬሬሬ＝��റ
ሬሬሬሬ+ ��റ
ሬሬሬሬ
，
∴��റ
ሬሬሬሬ对应的复数为：�+ ��−�+ �=−�+ ��，
∴点�对应的复数为−�+ ��．
故选D．
4.复数6
5i
与3
4i
分别表示向量OA
与OB
，则表示向量BA
的复数为（
）
A．3
9i
B．2
8i
C．9
i
D．9
i
【答案】D
【详解】复数6
5i
与3
4i
分别表示向量OA
与OB
，
因为BA
OA
OB
，所以表示向量BA
的复数为(6
5i)
( 3
4i)
9
i
.
故选：D.
5.若复数
1
4
3
z
i
，
2
4
3
z
i
（其中i 为虚数单位）所对应的向量分别为
1
OZ
与
2
OZ
，则
1
2
OZ Z 的周长
为
.
【答案】16
【详解】因为
1
4, 3
OZ
，
2
4,3
OZ
，
1
2
2
1
0,6
Z Z
OZ
OZ
，
所以
2
2
1
4
3
5
OZ
，
2
2
2
4
3
5
OZ
，
2
2
1
2
0
6
6
Z Z
.
所以
1
2
OZ Z 的周长为5
5
6
16
.
故答案为：16
6.复平面上有A、B、C 三点，点A 对应的复数为2
i
，BA
对应的复数为1
2i
，BC
对应的复数为3 i
，
则点C 的坐标为
．
【答案】
4, 2
【详解】因为BA
对应的复数是1
2i
，BC
对应的复数为3 i
，又AC
BC
BA
，
所以AC
对应的复数为
3 i
1 2i
2
3i
，又OC
OA
AC
，
所以点C 对应的复数为
2
i
2
3i
4
2i
，
所以点C 的坐标为
4, 2
．
故答案为：
4, 2
．
7.若向量��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬ分别表示复数�1 = 2 −i, �2 = 3 + i，则��Ԧ
ሬሬሬሬ=（
）
A．5
B．5
C．2 5
D．2 2
【解题思路】根据复数减法的几何意义求得��Ԧ
ሬሬሬሬ，再根据模长公式即可求解.
【解答过程】因为��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ，又向量��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ分别表示复数��= �−i, ��= �+ i，
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ表示复数��−��= �+ �i，
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ
= �+ �i =
�.
故选：B.
8.如图，设向量��Ԧ
ሬሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ，��Ԧ
ሬሬሬሬ所对应的复数为z1，z2，z3，那么（）
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
【解题思路】由向量��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，结合向量减法运算得��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，再由复数的几何意义即可
求解.
【解答过程】由题图可知，��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，∴��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬሬ−��Ԧ
ሬሬሬሬ= �Ԧሬ，
∴z1＋z2－z3＝0.
故选：D.
9.在复平面内，O 为原点，四边形OABC 是复平面内的平行四边形，且A，B，C 三点对应的复数分别为z1，
z2，z3，若�1 = 1, �3 =−2 + i，则z2=（
）
A．1+i
B．1－i
C．－1+i
D．－1－i
【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.
【解答过程】因为O 为原点，四边形OABC 是复平面内的平行四边形，
又因为��= �, ��=−�+ i，
所以由复数加法的几何意义可得，
��= ��+ ��= �−�+ i =−�+ i.
故选：C.
10．根据复数加法的几何意义，证明：
1
2
1
2
1
2
z
z
z
z
z
z
．
【答案】证明见解析.
【分析】设复数
1z 所对应的向量是
1
OZ
,复数
2z 所对应的向量是
2
OZ
,分复数
1z ，2z 有一个为0，或者均为0，
向量
1
OZ
，
2
OZ
不是零向量且共线以及向量
1
OZ
，
2
OZ
不是零向量且不共线三种情况分类讨论即可证出结
论.
【解析】设复数
1z 所对应的向量是
1
OZ
,复数
2z 所对应的向量是
2
OZ
,
若复数
1z ，
2z 有一个为0，或者均为0，不等式
1
2
1
2
1
2
z
z
z
z
z
z
显然成立；
若向量
1
OZ
，
2
OZ
不是零向量且共线时，显然
1
2
1
2
1
2
z
z
z
z
z
z
成立，
不等式左侧在两向量共线反向时等号成立，不等式右侧在两向量共线同向时等号成立；
若向量
1
OZ
，
2
OZ
不是零向量且不共线时，如图：
由三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得
1
2
1
2
1
2
z
z
z
z
z
z
成立.
综上：
1
2
1
2
1
2
z
z
z
z
z
z
.
题型四：复数的加减与模的几何意义综合应用
1.若复数z 满足|z﹣2i|＝1（i 为虚数单位），则|z|的最小值为
.
【答案】1
【详解】设
i,
,
z
x
y
x y
R ，
∵
2i
1
z
＝，
∴
2 i
1
x
y
＝，
∴
2
2
2
1
x
y
，
∴
2
2
1
2
1,3
x
y
y
.
则
2
2
2
2
1
2
4
3
4
3
1
z
x
y
y
y
y
.
当
1
y 时取等号.
故答案为：1.
2．设z 是复数且
1 2i
1
z
，则z 的最小值为（
）
A．1
B．3 1
C．5 1
D．5
【答案】C
【解析】根据复数模的几何意义可知，
1 2i
1
z
表示复平面内以(
)
1, 2
-
为圆心，1 为半径的圆，
而z 表示复数z 到原点的距离，
由图可知，
2
2
min
1
2
1
5
1
z
，故选：C
3.已知复数z 满足
i
z
z
，则z 的最小值为（
）
A．1
4
B．
1
2
C．3
4
D．1
【答案】B
【详解】设
i
,
z
x
y
x y
R ，
由
i
z
z
得：
1 i
i
x
y
x
y
，
2
2
2
2
1
x
y
x
y
，
整理可得：
1
2
y
，
1 i
2
z
x
，
2
1
1
4
2
z
x
（当且仅当
0
x
时取等号），
z
的最小值为
1
2 .
故选：B.
4.已知i 是虚数单位，复数
i
z
a
b
，aR ，bR ，且
i
2
i
z
z
，则
3
3i
z
的最小值为（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【详解】因为
i
,
z
a
b a b
R ，则
i
1 i
z
a
b
，
2
i
2
1 i
z
a
b
，
由
i
2
i
z
z
可得
2
2
2
2
1
2
1
a
b
a
b
，解得
1
a ，则
1
i
z
b
，
所以，
3
3i
4
3 i
z
b
，
因此，
2
2
3
3i
4
3
4
z
b
，当且仅当
3
b
时，等号成立，
故
3
3i
z
的最小值为4 .
故选：B.
5.若
cos
sin
z
i
(
R
i
，是虚数单位),则
2
2
z
i
的最小值是（
）
A．2 2
B．
2
C．2 2
1
D．2 2
1
【答案】D
【详解】解：由复数的几何意义可知：
cos
sin
z
i
表示的点在单位圆上，
而|z−2−2i|表示该单位圆上的点到复数2
2i
表示的点Z 的距离，
由图象可知：
2
2
z
i
的最小值应为点A 到Z 的距离，
而
2
2
2
2
2 2
OZ
，圆的半径为1，
故
2
2
z
i
的最小值为2 2
1
，
故选D．
6.复数z 满足1
2
i
3
z
，则z 的范围是（
）
A．
5
1, 5
3
B．
10,2 6
C．
0, 5
3
D．
10,
26
【答案】D
【详解】设
i
,
R
z
a
b a b
，则
2
i
2
1 i
z
a
b
，
由题意可得：
1
2
3
1
0
a
b
，解得
3
5
1
a
b
，
则
2
2
2
1
10,
26
z
a
b
a
.
故选：D.
7.若i 为虚数单位，复数z 满足
1
z ，则
(1 i)
z
的最大值为（
）
A．
2
1
B．
2
C．
2
1
D．2 2
【答案】C
【详解】
1
z 表示的几何意义是复数z 对应的点到原点的距离小于等于1，
1
i
z
表示的几何意义是复数z 对应的点与点
1,1 连线段的长度，
故的
(1 i)
z
最大值为
2
2
0 1
0 1
1
1
2
，
故选：C.
8．已知复数z 满足
2
4i
1
z
，当z 的虚部取最小值时，z （
）
A．2
3i
B．2
3i
C．3
5i
D．3
3i
【答案】A
【解析】设
i
,
z
x
y
x y
R ，则
2
4i
2
4 i
z
x
y
，
所以，
2
2
2
4i
2
4
1
z
x
y
，即
2
2
2
4
1
x
y
，
所以，
2
4
1
y
，可得1
4
1
y
，解得3
5
y
，
当z 的虚部取最小值时，即当
3
y 时，
则
2
2
2
3
4
1
x
，解得
2
x
，故
2
3i
z
，故选：A.
题型五：复数的加减与复数的特征
1.复数(1
2i)
(3
4i)
对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【详解】由复数(1
2i)
(3
4i)
2
6i
，可得复数在复平面内对应的点(
)
2,6
位于第二象限.
故选：B.
2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数
2i
z
a
（其中
R
a
）为“等部
复数”，则复数
2 i
z
a
在复平面内对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【详解】因为复数
2i
z
a
（其中
R
a
）为“等部复数，可得
2
a ，
即
2
2i
z
，可得
2
2i
z
，
则
2 i
2
2i
4i
2
2i
z
a
在复平面内对应的点为
2,2
Z
位于第一象限.
故选：A.
3.设复数
1z ，2z 满足
1
2
2
z
z
，1
2
3
i
z
z
，复数
2
1
2
1
,
, z
z
z
z
在复平面内所对应的点分别为A，B，C，
则三角形ABC 的面积为（
）
A．3
B．2 3
C．2
D．
3
【答案】D
【详解】设
1
i
z
a
b
，
2
i
z
c
d
，
则
1
2
i
3
i
z
z
a
c
b
d
，
所以
2
2
4
a
b
，
2
2
4
c
d
，
3
a
c
，
1
b
d
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
4
a
c
b
d
a
b
c
d
bd
ac
，
即2
2
4
bd
ac
，
所以
2
2
2
2
2
2
1
2
i
2
2
12
2 3
AB
z
z
a
c
b
d
a
c
b
d
a
b
c
d
bd
ac
，
又
1
2
BC
z
，
2
2
AC
z
，
在ABC
中，过C 作CD
AB
，垂足为D ，
则D 为AB 中点，即
1
3
2
AD
DB
AB
，
所以
2
2
4
3
1
CD
AC
AD
，
所以
1
1
2 3 1
3
2
2
ABC
S
AB
CD
.
故选：D.
4.实数
1
m
时，复数
3
i
2
i
m
在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【详解】
3
i
2
i
(3
2)
(
1)i,
m
m
m
又
1
m
，故3
2
1
0,
1
0,
m
m
故该复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：A.
5.已知关于x 的实系数一元二次方程
2
3
0
x
kx
有两个虚根
1
x 和
2
x ，且
1
2
2 2
x
x
，则k 的值为（
）
A．2
B．2
C．2
D．2 3
【答案】C
【详解】因为方程
2
3
0
x
kx
有两个虚根
1
x 和
2
x ，
所以
2
4 3
0
k
D =
- ´ < ，则2 3
2 3
k
，
又由求根公式知两虚根为
2
12
i
2
k
k
，
1
2
2 2
x
x
，
所以
1
2
2
2
12
2
i
x
x
k
，则
2
12
2 2
k
，解得
2
k ，满足要求，
所以
2
k .
故选：C.
6.已知复数
1z ，2z 满足
1
1
z ，
2
2
z
，3
1
2
z
z
z
，则
3z 在复平面所对应的点组成的图形的面积为
．
【答案】8
【详解】
1
1
z
，
1z
是以复平面内点
0,0 为圆心，以1为半径的圆，
3
1
2
z
z
z
，
2
1
3
z
z
z
2
1
3
2
z
z
z
，
1
3
1
3
2,
2
z
z
z
z
，即
3
1
3
z
，
复数
3z 以复平面内点
0,0 为圆心，半径为1 和3的两圆构成的圆弧，
则
3z 在复平面所对应的点组成的图形的面积为：
2
2
3
1
8
S
故答案为：8.
模块三：综合巩固
1．设z1=2+bi ，z2=a+i ，当z1+z2=0 时，复数a+bi 为（
）
A．1+i
B．2+i
C．3
D．2
i
【答案】D
【分析】由已知可得(2+a)+(b+1)i =0，即可求,a b ，写出复数a＋bi 即可.
【解析】因为z1+z2=(2+bi )+(a+i )=(2+a)+(b+1)i =0，
所以
2
0
1
0
a
b
，
，于是
2
1
a
b
，
，
故
i
2
i
a
b
.
故选：D.
2．若|z|+z=3+i，则z=（
）
A．1－4
3 i
B．1+ 4
3 i
C．4
3 +i
D．－4
3 +i
【答案】C
【分析】设复数z=x+yi(x，y∈R)，代入方程得：
2
2
x
y
+ x+yi=3+i，从而求出答案.
【解析】设复数z=x+yi(x，y∈R)，
依题意有
2
2
x
y
+x+yi=3+i，
因此
2
2
3
1
x
y
x
y
，
，
解得
4
3
1
x
y
，
，
故z= 4
3 +i.
故选：C.
3.已知复数
2
i
z
，且
0
az
z
b
，其中a，b 为实数，则（
）
A．
1
a ，
4
b
B．
1
a ，
4
b
C．
1
a ，
4
b
D．
1
a ，
4
b
【答案】B
【详解】因为
2
i
z
，所以
2
i
2
i
2
2
1 i
az
z
b
a
b
a
b
a
，
由
0
az
z
b
，得
2
2
0
1
0
a
b
a
，即
1
4
a
b
；
故选：B.
4.
2
i
1 2i
等于（
）
A．3
i
B．4
3i
C．4i
D．1 3i
【答案】D
【详解】
2
i
1
2i
2
i
1
2i=1 3i
.
故选：D.
5.已知复数
2
i 1
i
a
a
为纯虚数，则实数a 的值为（
）
A．1
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【详解】因为
2
i 1
i
2
1
i
a
a
a
a
为纯虚数，
所以
2
0
1
0
a
a
，解得
2
a
.
故选：D．
6.已知复数
1
12
3i
z
，
2
9
i
z ，则
1
2
z
z
的实部与虚部分别为（
）
A．3，2
B．3 ，2i
C．2 ，3
D．2 ，3i
【答案】A
【分析】应用复数加法求
1
2
z
z
，根据实部、虚部定义得答案.
【详解】因为
1
12
3i
z
，
2
9
i
z ，所以
1
2
3
2i
z
z
，其实部与虚部分别为3 ，2
.
故选：A
7.在复平面内，复数z 对应的点Z 的坐标为
2sin120 , 2cos120
，则
2 3
z
（
）
A．2
B．2 3
C．3 3
D．1
3
【答案】A
【分析】利用特殊角的三角函数值，结合复数的运算即可得解.
【详解】因为
2sin120 , 2cos120
可化为(
3,1)
，
所以点Z 的坐标为(
3,1)
，则
3
i
z
，
所以
2 3
3
i
2 3
3
i
z
，
所以
2
2
2 3
( 3)
1
2
z
．
故选：A．
8.复数2
3
4
i +2i +3i 在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的运算可得2
3
4
i
2i
3i
2
2i
，结合复数的几何意义分析判断.
【详解】由题意可得：2
3
4
i
2i
3i
1
2i
3
2
2i
，
所以该复数对应的点为
2, 2
，该点在第四象限.
故选：D.
9.在复平面内，O为原点，i 为虚数单位，复数z 对应的向量
1,2
OZ
，则
i
z
（
）
A．3
B．
3
C．2
D．
2
【答案】D
【分析】由复数的几何意义可得
1
2i
z
，再根据题意计算复数的模即可.
【详解】因为复数z 对应的向量
1,2
OZ
，所以
1
2i
z
，
所以
2
2
i
1 2i
i
1 i
1
1
2
z
.
故选：D .
10.已知复数z 满足
2
4i
1
z
，当z 的虚部取最小值时，z （
）
A．2
3i
B．2
3i
C．3
5i
D．3
3i
【答案】A
【分析】设
i
,
z
x
y
x y
R ，利用复数的模长公式可得出
2
2
2
4
1
x
y
，求出y 的取值范围，可
得出y 的最小值，进而可得出x 的值，由此可得出复数z 的值.
【详解】设
i
,
z
x
y
x y
R ，则
2
4i
2
4 i
z
x
y
，
所以，
2
2
2
4i
2
4
1
z
x
y
，即
2
2
2
4
1
x
y
，
所以，
2
4
1
y
，可得1
4
1
y
，解得3
5
y
，
当z 的虚部取最小值时，即当
3
y 时，则
2
2
2
3
4
1
x
，解得
2
x
，
故
2
3i
z
，
故选：A.
11.（多选）已知
1z ，
2z 为复数，则下列说法正确的是（
）
A．若
1z R ，则
1
1
z
z
B．若
1
2
z
z ，则
1
2
z
z
C．若
1
2
z
z
，则
1
2
z
z
D．若
1
2
1
z
z
z
，则
1
0
z
或
2
1
2
z
z
【答案】AC
【分析】根据共轭复数的定义、复数模的运算公式，结合复数减法的运算法则逐一判断即可.
【详解】A：根据共轭复数的定义，本选项正确；
B：取
1
1
z ，
2
i
z ，满足
1
2
z
z ，但
1
2
z
z
，故本选项错误；
C：设
1
i
z
a
b
，2
i
z
c
d
，, , ,
a b c d R ，由
1
2
z
z
，得
i
i
a
b
c
d
，即a
c
，b
d
，所以
2
2
2
2
a
b
c
d ，
即
1
2
z
z ，故本选项正确；
D：取
1
2
z
，
2
1
3i
z
，则
1
2
1
3i
z
z
，
1
2
1
2
z
z
z
，此时
1
0
z
且
2
1
2
z
z
，故D 不正确．
故选：AC
12.（多选）设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，则下列命题正确的是（
）
A．z
z
R
B．z
z
是纯虚数
C．若
3
cos
isin
5
5
z
，则
1
z
D．若
i
1
z
，则z 的最大值为2
【答案】AD
【分析】利用复数的运算法则判断A 的正误；复数的解法判断复数是实数，判断B；利用复数的模的运算
法则判断C；利用复数模的几何意义判断D．
【详解】解：因为复数z 与其共轭复数为z 的实部相等，虚部互为相反数，所以z
z
R
，A 正确；
当z 为实数时，z 也为实数，则z
z
是实数，B 错误；
若
3
cos
isin
5
5
z
，则
2
2 3
|
|
cos
sin
1
5
5
z
，C 错误；
若|
| 1
z
i
，设
i( ,
)
z
x
y x y
R ，即
2
2
(
1)
1
y
x
，则|
|
z 表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，
D 正确，
故选：AD．
13.复数
1
4i
z
a
，2
3
i
z
b
（a、
R
b
），若它们的和
1
2
z
z
为实数，差
1
2
z
z
为纯虚数，则
i
a
b
．
【答案】5
【分析】应用复数的加减运算求
1
2
z
z
、1
2
z
z
，根据实数、纯虚数定义求参数，进而求目标复数的模即可.
【详解】由题设
1
2
4i
3
i
i
(
3)
(
4)
z
z
a
a
b
b
为实数，故
4
b ，
1
2
(
3)
(4
)i
z
z
a
b
，故
3
a
，
所以
2
2
i
3
4i
3
( 4)
5
a
b
.
故答案为：5
14.已知复数z 满足
2i
z
z
，写出一个满足条件的复数z
．
【答案】1 i
（答案不唯一，虚部为1
即可）
【分析】设复数z ，代入复数的模的公式求解即可.
【详解】设
i
z
a
b
，（a ，bR ），
则
2
2
2i
i
2i
2 i
2
z
a
b
a
b
a
b
，
2
2
i
z
a
b
a
b
，
∵
2i
z
z
，∴
2
2
2
2
2
a
b
a
b
，
∴
2
2
2
2
2
a
b
a
b
，化简得4
4
0
b
，解得
1
b = - .
∴满足条件的一个复数
1 i
z （答案不唯一，虚部为1
即可）.
故答案为：1 i
（答案不唯一，虚部为1
即可）.
15.计算：
(1)
1 2i
7 11i
5
6i
；
(2)
5i
6
8i
1
3i
；
(3)
i
2
3 i
3i
R
a
b
a
b
a
b
，
.
【答案】(1)3 15i
；
(2)-7
(3)
4
3 i
R
a
b
a
b
，
.
【分析】根据复数的加减运算法则即可求解
【详解】（1）
1 2i
7 11i
5
6i
1 7
5
2 11 6 i
3 15i
；
（2）
5i
6
8i
1
3i
5i
7
5i
7
；
（3）
i
2
3 i
3i
2
3
3 i
4
3 i
R
a
b
a
b
a
a
b
b
a
b
a
b
，
.
16.已知复数
2
1
6 i
z
a
a
，
2
2
2
3
i
z
a
a
，a R ．
(1)若
1
2
z
z
是纯虚数，求a ；
(2)若
1
2
0
z
z
，求
1z ．
【答案】(1)
1
a
(2) 4 2
【分析】（1）先计算
1
2
z
z
，然后由其为纯虚数，可得实部为零，虚部不为零，从而可求出a 的值；
（2）由
1
2
0
z
z
可复数
1
2
z
z
为实数，则虚部为零，实部大于零，求出a 的值，从而可求出复数
1z ，进而
可求得
1z .
【详解】（1）由题意得
2
2
1
2
2
3
6 i
z
z
a
a
a
a
，
因为
1
2
z
z
是纯虚数，所以
2
2
2
3
0
6
0
a
a
a
a
，得
1
a ．
（2）因为
1
2
0
z
z
，所以
2
2
2
3
0
6
0
a
a
a
a
，得
2
a
．
故
1
4
4i
4 2
z
．
17.已知复数z 满足
2
|
|
2
2i
0
z
z
．
(1)求z ；
(2)比较
3i
z
z
与2
3i
z
的大小．
【答案】(1)
1 i
z
(2)
3i
2
3i
z
z
z
【详解】（1）设
i
,
z
a
b
a b
R ，
则由
2
|
|
2
2i
0
z
z
，得
2
2
2
i
2i
0
a
b
a
b
，
即
2
2
2
2
2 i
0
a
b
a
b
，所以
2
2
2
0,
2
2
0,
a
b
a
b
解得
1,
1
a
b
，
所以
1 i
z ．
（2）
3i
1
i
1
4i
2
17
z
z
，
2
3i
2
5i
29
z
，
因为
2
2
( 2
17)
( 29)
19
2 34
29
136
10
0
，
所以
2
17
29
，
所以
3i
2
3i
z
z
z
．
18.（1）设z
C
，在复平面内z 对应的点为Z ，那么求满足条件：2
3
z
的点Z 的集合的图形面积；
（2）已知复数
2
1
4
i
z
m
m
mR ，
2
2
i
z
x
x
,
R
x
，且
1
2
0
z
z
，求的范围.
【答案】（1）5π ；（2）
5,
.
【详解】（1）由复数的几何意义知：满足条件2
3
z
的点Z 的集合的图形为圆环，
其中大圆半径为3，小圆半径为2 ，
故所求面积为
2
2
π 3
π 2
5π
.
（2）因为
2
1
4
i
z
m
m
mR ，
2
2
i
z
x
x
,
R
x
，且
1
2
0
z
z
，
所以
2
4
2
i
0
x
m
m
x
，所以m
x
且
2
0
4
2
m
x
，
故
2
2
2
2
4
2
4
1
5
m
x
x
x
x
，
因为
R
m
，xR ，
所以当
1
x 时，有最小值为5
，
所以范围为
5,
.
19.已知复数
1
2
cos
isin ,
cos
isin , ,
z
z
均为锐角，且
1
2
2 5
5
z
z
.
(1)求
cos
的值；
(2)若
4
cos
5
，求cos的值.
【答案】(1) 3
5
(2) 24
25
【详解】（1）因为复数
1
2
cos
isin ,
cos
isin
z
z
，所以
1
2
cos
cos
i sin
sin
z
z
.
所以
2
2
1
2
cos
cos
sin
sin
z
z
2
2 cos cos
sin sin
2
2cos
因为
1
2
2 5
5
z
z
，所以
2 5
2
2cos
5
，解得：
3
cos
5
.
（2）因为,
均为锐角，所以0
，所以
2
2
3
4
sin
1 cos
1
5
5
.
因为为锐角，
4
cos
5
，所以
2
2
4
sin
1 cos
1
5
3
5
.
所以
cos
cos
+
cos
+
cos
sin
+
sin
4
3
3
4
5
5
5
5
24
25
.
