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7.7 复数题型归纳精讲精练
模块一：题型分类........................................................................................................................2
题型一：复数的基础概念...................................................................................................2
题型二：复数的分类.............................................................................................................3
题型三：复数的几何意义...................................................................................................5
题型四：复数相等及应用...................................................................................................7
题型五：复数的模.................................................................................................................7
题型六：复数代数形式的四则运算..............................................................................10
题型七：共轭复数...............................................................................................................12
题型八：复数的乘方运算.................................................................................................13
题型九：复数范围内解方程............................................................................................14
题型十：求辅角主值..........................................................................................................15
题型十一：复数的代数形式与三角形式的互化.......................................................16
题型十二：三角形式下的复数的乘、除运算...........................................................19
题型十三：复数的最值问题............................................................................................21
题型十四：复数的综合问题............................................................................................24
模块二：综合巩固......................................................................................................................26
7.7 复数题型归纳精讲精练
模块一：题型分类
题型一：复数的基础概念
1.下列四种说法正确的是（ ）
A．如果实数a=b，那么a−b+(a+b)i是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果a=0，那么z =a+bi是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
【解题思路】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A 中，若a=b=0，那么a−b+(a+b)i=0∈R，所以A 错误；
对于B 中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B 正确；
对于C 中，若a=0且b=0时，复数z =a+bi=0∈R，所以C 不正确；
对于D 中，由虚数单位i
2=−1，可得D 错误.
故选：B.
2.在复数1−2i，2+√3，1
2 i，−5+√2i，0，7+(√5−2)i中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚
数？其中虚数的实部与虚部分别是什么？
【解题思路】根据复数的分类，以及实部、虚部的定义即得解
【解答过程】由复数的分类，对于复数z =a+bi
当b=0时，z为实数；
当b≠0时，z为虚数；当a=0,b≠0时，z为纯虚数.
故在上述复数中，0，2+√3为实数；1−2i，1
2 i，−5+√2i，7+(√5−2)i为虚数；1
2 i为纯虚数
对于1−2i，实部为1，虚部为-2；
对于1
2 i，实部为0，虚部为1
2；
对于−5+√2i，实部为−5，虚部为√2；
对于7+(√5−2)i，实部为7，虚部为√5−2.
3．设
，则“
”是“复数
为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据复数
为纯虚数得到
或-1，然后判断即可.
【详解】若复数
为纯虚数，则
，解得
或-1，
所以“
”是“复数
为纯虚数”的充分不必要条件.
故选：A.
4.在复平面内，复数
所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】先利用虚数单位的性质化简
，再利用复数的四则运算法则，化简式子，从而得到该复数相对
应的点，由此得解.
【详解】因为
，
所以
，
所以所对应的点为
，位于第二象限.
故选：B.
5.已知a 为实数，若复数
为纯虚数，则
（ ）
A．i
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】由给定复数为纯虚数求出
，再利用复数的乘方运算及除法运算求解作答.
【详解】因为复数
为纯虚数，则
，解得
，
所以
.
故选：B
题型二：复数的分类
1.已知复数z =m
2+m−6+(m
2+5m+6)i（i 为虚数单位），求适合下列条件的实数m 的值；
(1)z 为实数；
(2)z 为虚数；
(3)z 为纯虚数.
【解题思路】根据复数的有关概念依次求解即可.
【解答过程】（1）当z为实数时，m
2+5m+6=0，解得m=−3或m=−2；
（2）当z为虚数时，m
2+5m+6≠0，解得m≠−3且m≠−2；
（3）当z为纯虚数时，¿，解得m=2.
2.已知复数z 为纯虚数，且满足
，则实数m 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合复数运算公式化简求，根据纯虚数定义列方程求
.
【详解】由题意得，
，
因为复数z 为纯虚数，
所以
，解得
，
故选：A.
3.已知
为虚数单位，则“复数
是纯虚数”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先根据复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的定义及充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】
，
因为复数
是纯虚数
所以
，即
，故
不同时为，
所以
，
当
时，
不是纯虚数，
所以“复数
是纯虚数”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
题型三：复数的几何意义
1．已知复数z =2+i，则z在复平面内对应第（ ）象限
A．一
B．二
C．三
D．四
【解题思路】利用复数的几何意义可得出结论.
【解答过程】复数z =2+i在复平面内对应的点的坐标为(2,1)，该点位于第一象限.
故选：A.
2.在复平面内，复数
对应的向量为
，复数
对应的向量为
，那么向量
对应的复
数是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义判断即可.
【详解】由题意得
，
，
，
则
对应复数1.
故选：A．
3.已知复数满足
（为虚数单位），其中
为的共轭复数，则复数在复平面上的对应
点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】设
，由向量相等列出方程组，求出
，得到复数在复平面上的对应点坐标，求出答
案.
【详解】设复数
（
，
），则
，
由题得
，即
，
∴
，解得
，
，
则复数在复平面上的对应点为
，位于第一象限.
故选：A．
4.已知复数
，
为z 的共轭复数，则
在复平面表示的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】首先利用除法运算化简复数，并求
和
，再根据复数的几何意义，即可求解.
【详解】
，
，
，
所以
，对应的点为
，在第四象限.
故选：D
5.已知复数z =(m
2+2m)+(m
2−m−6)i,m∈R ,i是虚数单位.
(1)若复数z在复平面内对应的点在直线y =−1
2 x上，求m的值；
(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围.
【解题思路】（1）根据复数对应点所在直线，将对应点坐标代入直线求参数值即可；
（2）根据复数对应点所在象限的特征列不等式组求参数范围.
【解答过程】（1）由题设，复数z的对应点为(m
2+2m,m
2−m−6)，
所以m
2−m−6=−1
2 (m
2+2m)，整理得3m
2−12=0，解得m=±2.
（2）由题意¿，解得0<m<3.
6.已知复数z =(m
2−1)+(m
2−m−2)i，m∈R．
(1)若z 是纯虚数，求m 的值；
(2)若z 在复平面内对应的点在直线x−y +1=0上，求m 的值；
(3)若z 在复平面内对应的点在第四象限，求m 的取值范围．
【解题思路】（1）由复数的类型得到方程和不等式，得到m 的值；
（2）由题意得到方程，求出m 的值；
（3）由复数对应的点所在象限得到不等式组，求出m 的取值范围.
【解答过程】（1）若z 是纯虚数，则¿，
∴m=1，则m 的值为1；
（2）若z 在复平面内对应的点在直线x−y +1=0上，
则m
2−1−(m
2−m−2)+1=0，解得m=−2
（3）若z 在复平面内对应的点在第四象限，则¿，
∴1<m<2，则m 的取值范围为(1,2)．
题型
四：
复数相等及应用
1.已知为虚数单位，
为实数，若
，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由题意
，
所以
，解得
，所以
.故选：D.
2.适合
的实数x、y 的值为（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
【答案】A
【解析】根据复数相等的定义可得，
，解得
.故选：A．
3.已知
，i 为虚数单位，且
，则
.
【答案】2
【解析】由
可得
，解得
，故
.
4.已知复数
，
，若
，求实数的
取值范围 .
【答案】
【解析】
，
，令
，
根据对勾函数单调性可知函数
在
上严格单调递减，
，所以的范围为
.
题型
五
：复数的模
1．设复数z =3−4i，则z的共轭复数的模为（ ）
A．7
B．1
C．5
D．25
【解题思路】根据共轭复数的定义得出z的共轭复数，即可根据复数的模的求法得出答案.
【解答过程】复数z =3−4i的共轭复数为z =3+ 4i，
则其模|z|=√3
2+ 4
2=5，
故选：C.
2.已知复数满足
，则
（ ）
A．3
B．2
C．
D．1
【答案】B
【分析】先求出复数的代数形式，再求
即可.
【详解】由
，得
，
所以
，
所以
.
故选：B.
3.已知是复数，
是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A．
B．若
，则
的最大值为
C．若
，则复平面内
对应的点位于第一象限
D．若
是关于
的方程
的一个根，则
【答案】B
【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数
判断C；利用复数相
等求出
判断D.
【详解】对于A，设
，则
，
，A 错误；
对于B，由
知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，
可看作该单位圆上的点到点
的距离，因为圆心到
的距离为
，
则该单位圆上的点到点
的距离最大值为
，B 正确；
对于C，
，则复平面内
对应的点位于第二象限，C 错误；
对于D，依题意，
，整理得
，
而
，因此
，解得
，D 错误．
故选：B.
4.在复平面内，复数对应的点
的坐标为
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用特殊角的三角函数值，结合复数的运算即可得解.
【详解】因为
可化为
，
所以点
的坐标为
，则
，
所以
，
所以
．
故选：A．
5.已知
，
，
，则
．
【答案】
【解析】设
，
，
，
，
，
，
，解得：
，
，
.
6.（多选）已知复数
对应的向量为
，复数
对应的向量为
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
或
B．若
，
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】CD
【解析】当
时，满足
，故A 错误；
，B 错误；
设
，
，
若
，则
，
化简得：
，故
，所以
，C 正确；
设
，
，
则
，
，
若
，则
，
所以
，则
，D 正确.故选：CD
7 已知复数z =m
2+m−2+(m−1)i(m∈R).
(1)若z为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z在复平面内对应的点在直线y = 1
3 x上，求|z|.
【解题思路】（1）根据纯虚数的概念列出方程或不等式，即可求得答案.
（2）根据z在复平面内对应的点在直线y = 1
3 x上列出m 满足的方程，求得z，即可求得答案.
【解答过程】（1）若z为纯虚数，则¿，解得m=−2.
（2）由题意可得m−1= 1
3 (m
2+m−2)，
解得m=1，
所以z =0，所以|z|=0.
8.已知复数z =(m
2+m−6)+(m
2+m−2)i(m∈R)在复平面内所对应的点为A.
(1)若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围；
(2)求| z|的最小值及此时实数m 的值.
【解题思路】（1）由点A 在第二象限，列出不等式组求解即可；
（2）由模的公式得| z|
2=(m
2+m−6)
2+(m
2+m−2)
2，令m
2+m−2=t，利用二次函数的性质求出最小
值.
【解答过程】（1）由¿，解得−3<m<−2或1<m<2.
（2）| z|
2=(m
2+m−6)
2+(m
2+m−2)
2，
令m
2+m−2=t，∵t =(m+ 1
2)
2
−9
4 ，∴t ∈[−9
4 ,+∞)，
则| z|
2=2t
2−8t +16=2(t −2)
2+8，
所以当t =2，即m= −1±√17
2
时，有最小值2√2.
题型
六
：
复数代数形式的四则运算
1.已知复数z在复平面内对应的点为(1,−2)，则z−2 z =（ ）
A．−1−6i
B．−1+6i
C．1−6i
D．1+6i
【解题思路】由复数的坐标表示，共轭复数定义可得答案.
【解答过程】由题意知z =1−2i，z =1+2i，则z−2 z =1−2i−2(1+2i)=−1−6i.
故选：A.
2.化简下列复数
（1）(6−5i)+(3+2i)
（2）(5−6i)+(−2−i)−(3+ 4i)
【解题思路】利用复数的加减运算法则求解.
【解答过程】（1）(6−5i)+(3+2i)，
=(6+3)+(2−5)i，
=9−3i.
（2）(5−6i)+(−2−i)−(3+ 4i)，
=(5−2−3)+(−6−1−4)i，
=−11i.
3.若
是关于
的实系数方程
的一个复数根，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据一元二次方程复数根的特点及韦达定理即可求出
、
，再由复数的运算和共轭复数可得结
果．
【分析】若
是关于
的实系数方程
的一个复数根，
则另一个复数根为
，
由韦达定理可得得
，解得
，
则
，所以
，
故有
.
故选：A．
4.已知复数
，
，i 为虚数单位．
(1)若
，求z 的共轭复数；
(2)若复数
在复平面上对应的点在第四象限，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
．
【分析】（1）由复数除法运算求得，再由共轭复数定义得结论；
（2）求出
，再根据第四象限点的特征列不等式组求解．
【详解】（1）
，所以
；
（2）
，对应点坐标为
，
由题意
，解得
．
题型
七
：共轭复数
1.已知复数满足
，
为的共轭复数，
等于（ ）
A．2i
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】根据共轭复数的概念及复数加减运算法则计算即得.
【详解】
，故
，则
.
故选：B
2.已知i 为虚数单位，复数
，
为z 的共轭复数，则
（ ）
A．5
B．4
C．
D．
【答案】C
【分析】根据复数的乘法求出z，即得
以及
，再根据复数的模的计算公式，即可求得答案.
【详解】由题意得
，故
，则
故
，
故选：C
3.已知为虚数单位，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】B
【分析】由复数的运算及共轭复数的定义即可求出结果.
【详解】因为
，所以
，
.
故选：B.
题型
八：
复数的
乘方运算
1.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题,
，则
．故选：D．
2.
．
【答案】
【解析】∵
，∴
，
则
，
故原式
．
3.复数
的虚部为
“ ”是虚数单位
【答案】0
【解析】
，
，
复数
.
其虚部为
4.计算：
（1）
；
（2）
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）
（2）因为
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
题型
九：
复数范围内解方程
1.在复数范围内方程
的根为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．2 D．1
【答案】B
【解析】由
得
，解得
或
，
若
，则
；若
，则
；
综上所述：
.故选：B．
2.若复数
为方程
(
，
)的一个根，则该方程的另一个复数根是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为两根互为共轭复数，所以另一根为
.故选：A.
3.已知关于
的方程
，其中a，b 为实数．
（1）设
（是虚数单位）是方程的根，求a，b 的值；
（2）证明：当
，且
时，该方程无实数根．
【答案】（1）
，
；（2）证明见解析
【解析】（1）∵
是方程的根，∴
也是方程的根，
由一元二次方程根与系数的关系得
，
得
，解得
，
；
（2）∵
，∴
，∴
，即
，
∴
，∴原方程无实数根．
4.已知关于
的二次方程
．
（1）当
为何值时，这个方程有一个实根？
（2）是否存在
，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出
的值；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）
；（2）不存在，理由见解析
【解析】（1）设
是方程的一个实根，
则
即
根据复数相等的意义知
解得：
．
所以，当
时，原方程有一实根
．
（2）假定方程有纯虚数根
（
，且
），
代入原方程得
即
由复数相等意义知
但方程
即
无实数解，即实数
不存在．
所以，对任何实数
，原方程不可能有纯虚数根．
题型十：
求辅角主值
1．z =1−√3i（i 是虚数单位），则z 的辐角主值arg(z)=（ ）
A．5
3 π
B．11
6 π
C．−π
3
D．−π
6
【解题思路】复数可以写成z =r (cosθ+isinθ) (0≤θ<2π)的形式，即可求得复数的辐角主值.
【解答过程】z =1−√3i=2(
1
2 −√3
2 i)=2(cos5π
3 +isin5π
3 )，所以复数z =1−√3i的辐角主值
arg(z)= 5
3 π.
故选：A.
2．任意复数z =a+bi（a、b∈R，i为虚数单位）都可以写成z =r (cosθ+isinθ)的形式，其中
r =√a
2+b
2(0≤θ<2π )该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数z = √3
2 + 1
2 i，则z的
辐角主值为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5 π
6
【解题思路】将复数写成三角形式，可得结果.
【解答过程】复数z = √3
2 + 1
2 i=cos π
6 +isin π
6 ，因此，复数z = √3
2 + 1
2 i的辐角主值为π
6 .
故选：A.
3．求下列复数的模与辐角主值：
(1)−1+i
(2)−√2
(3)1
2 −√3
2 i
(4)−√2
2 + √2
2 i
【解题思路】（1）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值；
（2）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值；
（3）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值；
（4）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值.
【解答过程】（1）|−1+i|=√(−1)
2+1
2=√2，其对应的点为(−1,1)，辐角主值为3 π
4
（2）|−√2|=√2，其对应的点为(−√2,0)，辐角主值为π
（3）|
1
2 −√3
2 i|=√(
1
2)
2
+(−√3
2 )
2
=1，其对应的点为(
1
2 ,−√3
2 )，辐角主值为5 π
3
（4）|−√2
2 + √2
2 i|=√(−√2
2 )
2
+(
√2
2 )
2
=1，其对应的点为(−√2
2 , √2
2 )，其辐角主值为3 π
4 .
4．已知复数z 满足( z +1)( z +1)=| z|
2，且z−1
z +1 是纯虚数．
(1)求z；
(2)求z 的辐角主值．
【解题思路】(1)设z = x + y i，x , y ∈R，由条件列方程求x , y即可，(2)根据辐角主值的定义求解.
【解答过程】（1）设z = x + y i，x , y ∈R，因为( z +1)( z +1)=| z|
2，所以
(x + y i+1)(x−y i+1)=|x + y i|
2，所以(x +1)
2+ y
2= x
2+ y
2，故x =−1
2，
所以z−1
z +1 =
−3
2 + y i
1
2 + y i
=(−3
2 + y i)(
1
2 −y i)
(
1
2 + y i)(
1
2 −y i)
=
−3
4 + y
2+2 y i
1
4 + y
2
，
又z−1
z +1 是纯虚数， 所以−3
4 + y
2=0，所以y =± √3
2 ，
所以z =−1
2 ± √3
2 i
（2）设复数z的辐角主值为θ，则θ∈[0,2π)，
当z =−1
2 + √3
2 i时，|z|=1，所以cosθ =−1
2，sinθ = √3
2 ，θ∈[0,2π)，所以θ = 2π
3 ，故复数z的辐角
主值为2π
3 ；
当z =−1
2 −√3
2 i时，|z|=1，所以cosθ =−1
2，sinθ =−√3
2 ，θ∈[0,2π)，所以θ =4π
3 ，故复数z的辐
角主值为4π
3 .
题型十一：
复数的代数形式与三角形式的互化
1.复数−1
2 + √3
2 i的三角形式是（ ）
A．cos60
∘+isin60
∘
B．−cos60
∘+isin60
∘
C．cos120
∘+isin60
∘
D．cos120
∘+isin120
∘
【解题思路】利用复数的三角形式即可得解.
【解答过程】依题意，令z =−1
2 + √3
2 i=r (cosθ+isinθ)(r >0,0
°≤θ<360
°)，
则r =| z|=1，所以¿，
因为0
°≤θ<360
°，所以θ =120
°，
所以−1
2 + √3
2 i的三角形式是cos120
°+isin120
°.
故选：D.
2．以下不满足复数1
2 −√3
2 i的三角形式的是（ ）．
A．cos(−π
3 )+isin(−π
3 )；
B．cos(
5π
3 )+isin(
5π
3 )；
C．cos(
π
3 )+isin(
π
3 )；
D．cos(
11π
3 )+isin(
11π
3 )．
【解题思路】逐一计算每个选项即可得答案.
【解答过程】对于A：cos(−π
3 )+isin(−π
3 )= 1
2 −√3
2 i，符合；
对于B：cos(
5π
3 )+isin(
5π
3 )= 1
2 −√3
2 i，符合；
对于C：cos(
π
3 )+isin(
π
3 )= 1
2 + √3
2 i，不符合；
对于D：cos(
11π
3 )+isin(
11π
3 )= 1
2 −√3
2 i，符合
故选：C.
3．分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．
（1）4(cos π
6 +isin π
6 )；
（2）2(cos π
3 −isin π
3 )
【解题思路】（1）复数4(cos π
6 +isin π
6 )为复数的三角形式，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为
a+bi(a,b∈R)的形式；
（2）先把复数2(cos π
3 −isin π
3)，转化为三角形式2[cos 5 π
3 +isin 5 π
3 ]，再写出其模和辐角的主值，
然后再转化为a+bi(a,b∈R)的形式；
【解答过程】（1）复数4(cos π
6 +isin π
6 )模r＝4，辐角的主值为θ＝π
6 .
4(cos π
6 +isin π
6 ) = 4 cos π
6 + 4isin π
6 = 4× √3
2 + 4× 1
2 i =2√3+2i.
（2）2(cos π
3 −isin π
3) =2[cos(2π −π
3)+isin(2π −π
3)] =2[cos 5 π
3 +isin 5 π
3 ]，
复数的模为2，辐角的主值为θ＝5 π
3 ，
2(cos π
3 −isin π
3) =2cos 5 π
3 +2isin 5 π
3 =2× 1
2 +2×(−√3
2 )i =1−√3i.
4．把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．
(1)6； (2)1+i；
(3)1−√3i (4)−√3
2 + 1
2 i．
【解题思路】对（1）（2）（3）（4）中的复数，先画出图像，结合图像求得辐角主值和模，从而求得
其三角形式.
【解答过程】（1）设复数的模为r，辐角主值为θ．6 对应的向量如下图中⃗O Z1，∵r =6，cosθ =1，
sinθ =0，又θ∈[0,2π)，∴θ =0，∴6=6(cos0+isin0)．
（2）设复数的模为r，辐角主值为θ．1+i对应的向量如下图中⃗O Z2，
∵r =√2，cosθ = √2
2 ，sinθ = √2
2 ，又θ∈[0,2π)，∴θ =π
4 ，∴1+i=√2(cos π
4 +isin π
4 )．
（3）设复数的模为r，辐角主值为θ．1−√3i对应的向量如下图中⃗O Z3，
∵r =√1+3=2，cosθ = 1
2，sinθ =−√3
2 ，又θ∈[0,2π)，∴θ = 5π
3 ，∴
1−√3i=2(cos 5 π
3 +isin 5 π
3 )．
（4）设复数的模为r，辐角主值为θ．−√3
2 + 1
2 i对应的向量如下图中⃗O Z4，
∵r =1，cosθ =−√3
2 ，sinθ = 1
2，又θ∈[0,2π)，∴θ = 5π
6 ，∴−√3
2 + 1
2 i=cos 5 π
6 +isin 5 π
6 ．
题型十二：
三角形式下的复数的乘、除运算
1.计算2(cos75°+isin75°)⋅(
1
2 −1
2 i)的值是（ ）
A．−√6
2 + √2
2 i
B．√6
2 + √2
2 i
C．√2
2 −√6
2 i
D．√2
2 + √6
2 i
【解题思路】根据复数的三角运算公式运算即可.
【解答过程】因为1
2 −1
2 i= √2
2 (
√2
2 −√2
2 i)= √2
2 (cos315
∘+isin315
∘)
所以2(cos75°+isin75°)⋅(
1
2 −1
2 i)=2(cos75°+isin75°)⋅√2
2 (cos315
∘+isin315
∘)，
所以2(cos75°+isin75°)⋅(
1
2 −1
2 i)=√2(cos390°+isin390°)= √6
2 + √2
2 i，
故选：B.
2：4 (cos π +isinπ )÷2(cos π
3 +isin π
3)=（ ）
A．1+√3i
B．1−√3i
C．−1+√3i
D．−1−√3i
【解题思路】根据复数三角形式的除法法则，进行计算即可.
【解答过程】4(cos π +isinπ )÷2(cos π
3 +isin π
3)
=2[cos(π −π
3)+isin(π −π
3)]
=2(cos 2π
3 +isin 2π
3 )
=−1+√3i
故选：C.
3．计算：
(1)8(cos π
6 +isin π
6)⋅2(cos π
12 +isin π
12)；
(2)8(cos240°+isin240°)÷2(cos150°−isin150°)．
【解题思路】(1)利用复数三角形式的乘法法则直接进行计算作答.
(2)利用复数三角形式的除法法则直接进行计算作答.
【解答过程】（1）
8(cos π
6 +isin π
6 )⋅2(cos π
12 +isin π
12 )=16(cos π
4 +isin π
4 )=16( √2
2 + √2
2 i)=8√2+8√2i.
（2）8(cos240°+isin240°)÷2(cos150°−isin150°)=
4(cos240°+isin240°)
cos(−150°)+isin(−150°)
= 4(cos390°+isin390°)= 4(cos30°+isin30°)=2√3+2i.
4．计算：
(1)3(cosπ
6 +isinπ
6 )×2(cosπ
6 −isinπ
6 )
(2)[√6(cosπ
3 +isinπ
3 )]÷[√3(cosπ
6 −isinπ
6 )]
(3)(−1
2 + √3
2 i)×(cosπ
6 −isinπ
6 )
(4)(1−i)÷(cosπ
6 +isinπ
6 )
【解题思路】（1）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.
（2）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.
（3）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.
（4）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.
【解答过程】（1）
3(cosπ
6 +isinπ
6 )×2(cosπ
6 −isinπ
6 )=6(cosπ
6 +isinπ
6 )×(cos(−π
6 )+isin(−π
6 ))
=6(cos(
π
6 −π
6 )+isin(
π
6 −π
6 ))=6
（2）[√6(cosπ
3 +isinπ
3 )]÷[√3(cosπ
6 −isinπ
6 )]
=√2(cosπ
3 +isinπ
3 )÷(cos(−π
6 )+isin(−π
6 ))=√2(cosπ
2 +isinπ
2 )=√2i.
（3）(−1
2 + √3
2 i)×(cosπ
6 −isinπ
6 )=(cos 2π
3 +isin 2π
3 )×(cos(−π
6 )+isin(−π
6 ))
=cosπ
2 +isinπ
2 =i
（4）(1−i)÷(cosπ
6 +isinπ
6 )=√2(cos(−π
4 )+sin(−π
4 ))÷(cosπ
6 +isinπ
6 )
=√2(cos(−π
4 −π
6 )+sin(−π
4 −π
6 ))
=√2[(
√2
2 × √3
2 −√2
2 × 1
2)−(
√2
2 × √3
2 + √2
2 × 1
2)i]= √3−1
2
−√3+1
2
i.
题型
十三
：复数的最值问题
1.若复数z 满足
( 为虚数单位），则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．
+1
【答案】C
【分析】设
，根据已知可得出
.根据几何意义，结合三角恒等变换
化简，即可得出答案.
【详解】设
，则
.
由已知
可得，
.
设
，
，
则
.
所以，
.
当
，即
时，该式有最大值，
所以，
，
所以，
.
故选：C.
2.设复数满足
，则
的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】设复数
，可得
，所以
，
所以复数对应的点的轨迹为
为圆心半径为
的圆，
所以
的最大值是
．故选：B.
3.已知三个复数
，并且
，
所对应的向量
，
满足
，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由
，得
，
以向量
，
的方向分别为复平面内
轴的正方向建立直角坐标系，如图，
由
，得
，则
，令复数
对应的点为
，有
，
由
，得复数
对应的点
的轨迹是以原点
圆心，1 为半径的圆，
因此
，
当且仅当
反向共线时取等号，
，
当且仅当
同向共线时取等号，
所以
的取值范围是
.
4.已知复数满足
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】方法一：因为
，
所以在复平面内对应的点是复平面内到点
的距离为4 的点的集合，如图所示．
由图象可知，当
时，
；当
时，
，
所以
的取值范围是
．
方法二：因为
，
又
，所以
．
5.已知
，则
的最大值是 ．
【答案】
【解析】设
，则有
，即
，
则在复平面中的点
在以
为圆心，
为半径的圆周上，
，
，表示
与点
的距离，
如图所示：
由图可知，
，
即
的最大值为7.
6.设复数
，
满足
，
，复数
在复平面内所对应的点分别为A，B，
C，则三角形
的面积为（ ）
A．3
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】设
，
，根据复数的线性运算及几何意义可得
，
，
，
，进而得到
，可得
，
，
，
进而求解即可.
【详解】设
，
，
则
，
所以
，
，
，
，
所以
，
即
，
所以
，
又
，
，
在
中，过
作
，垂足为
，
则
为
中点，即
，
所以
，
所以
.
故选：D.
7.已知复数z 满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．3
C．
D．
【答案】A
【分析】设复数在复平面内对应的点为
，由复数的几何意义可知点
的轨迹为
，则问题转化为
上的动点
到定点
距离的最小值，从而即可求解．
【详解】设复数在复平面内对应的点为
，
因为复数满足
，
所以由复数的几何意义可知，点
到点
和
的距离相等，
所以在复平面内点
的轨迹为
，
又
表示点
到点
的距离，
所以问题转化为
上的动点
到定点
距离的最小值，
当
为
时，到定点
的距离最小，最小值为1，
所以
的最小值为1，
故选：A．
题型
十四
：复数的综合问题
1.已知复数
在复平面内所对应的点为A.
(1)若复数为纯虚数，求实数
的值；
(2)若点A 在第二象限，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的概念列式求解；
（2）根据复数的几何意义列式求解.
【详解】（1）若复数为纯虚数，则
，解得
，
所以实数
的值为
.
（2）若点A 在第二象限，则
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
2.已知
是关于
的方程
的一个根，其中为虚数单位.
(1)求
的值;
(2)记复数
，求复数
的模.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将
代入方程化简，利用复数等于0，即实部和虚部都为0，即可求解；
（2）求出共轭复数，然后求出待求复数，利用复数模长公式即可求解.
【详解】（1）由题意得:
，即
，
所以
，所以
，
，
解得：
，
.
（2）
，
，
，
所以
.
3.已知是虚数单位，复数z 的共轭复数是
，且满足
．
(1)求复数z 的模
；
(2)若复数
在复平面内对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用复数及其共轭复数、复数的相等、复数的模运算即可得解.
（2）利用复数的运算、复数的相等、复数的几何意义运算即可得解.
【详解】（1）解：设
，则
，
∴
，
∴
，
，
∴
，则
；
（2）解：由（1）知，
，
∴
，
由题意，复数
在复平面内对应的点在第二象限，
∴
，解得：
，
即实数m 的取值范围为
．
模块二：综合巩固
1.在复平面内，
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】由复数的乘法运算法则可得其对应的点坐标为
位于第四象限.
【详解】易知
，
其对应的点坐标为
，位于第四象限.
故选：D
2.已知
，若
为纯虚数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据纯虚数的定义可得
，进而利用复数的模长公式即可求解.
【详解】由
为纯虚数，得
，
，解得
，
所以
，
故选:B．
3.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】化简已知条件求出复数，从而可求出其共轭复数
【详解】由
，
得
，
所以
，
故选：D
4.在复数范围内，
是方程
的两个不同的复数根，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
或2
【答案】D
【分析】分解因式解方程,再求模长即可求解.
【详解】由
，
得
.
因为
，所以
或
，
当
或
，
；
当
或
，
.
故选：D
5.复数
，其中
为实数，若
为实数，
为纯虚数，则
（ ）
A．6
B．
C．
D．7
【答案】C
【分析】利用复数代数形式的加减法，结合实数、纯虚数的定义求解即得.
【详解】复数
，
为实数，则
，
由
为实数，得
，解得
，又
，
显然
，由
为纯虚数，得
，解得
，
所以
.
故选：C
6.已知复数满足
，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的模的计算和乘、除法运算可得
，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】由题意知，
，
则
，
所以复数在复平面内对应的点为
，位于第一象限.
故选：A
7.已知复数
，
是方程
的两个虚数根，则
（ ）
A．0
B．
C．2
D．4
【答案】C
【分析】直接由求根公式求出两个虚根，再由复数减法运算、模的运算即可求解.
【详解】∵复数
，
是方程
的两个虚数根，∴
，
为
，∴
．
故选：C.
8.“
”是“复数
在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出复数
在复平面内对应的点位于第四象限的等价条件，利用集合的包含
关系及充分条件、必要条件求解.
【详解】因为复数
在复平面内对应的点位于第四象限
，
而
成立推不出
成立，
，
所以
是复数
在复平面内对应的点位于第四象限的必要不充分条件，
故选：B
9.欧拉公式
（其中
为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式建
立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据
欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）
A．
的实部为1
B．
的共轭复数为1
C．
在复平面内对应的点在第一象限
D．
的模长为1
【答案】D
【分析】根据欧拉公式及复数的概念，利用共轭复数的概念及复数的几何意义，结合复数的模公式逐项
判断即得.
【详解】由欧拉公式知
，则
的实部为
，共轭复数为
，AB 错误；
由欧拉公式知
，
在复平面内对应的点为
，
而
，因此
在复平面内对应的点在第二象限，C 错误；
显然
的模长为
，D 正确.
故选：D
10.（多选）已知复数
，
，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则在复平面内对应的点在一条直线上
【答案】AD
【分析】根据题意，由共轭复数的定义分析A；举反例说明BC；由复数的几何意义确定D.
【详解】对于A：设
，若
，则
，故
必有
，A 正确；
对于B：若
，
，则有
，但
，B 错误；
对于C：若
，
，则有
，但
，C 错误；
对于D：设复数
，
在复平面内对应的点为
和
若
，则在复平面内对应的点为线段
的中垂线，故在复平面内对应的点在一条直线上，
D 正确.
故选：AD.
11.（多选）已知复数
，
，下列结论正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若复数
，
满足
．则
D．若
，则
的最大值为4
【答案】BD
【分析】A 令
，
即可判断；B 由复数四则运算可得
或
即可判断；C 设
（
，
），
（
，
），利用复数模的求法及已知等量关系得到
，乘法运算求
即可判断；D 由复数模的几何意义判断复数
、
对应点轨迹判断.
【详解】A：令
，
，则
，但是虚数不能比较大小，错误；
B：因为
，所以
，即
，
则
或
，所以
或
，所以
，正确；
C：设
（
，
），
（
，
），
由
可得
，
所以
，
而
，不一定为0，错误；
D：设
，
，
，因为
，
所以
，即
，
，
所以复数
在复平面内所对应的点
在圆
上，
复数
在复平面内所对应的点
在圆
上，
因为两圆的圆心距为
，所以两圆相外切，
则两圆上的两点的连线段最大值为
，正确.
故选：BD
12.（多选）复数
，其共轭复数为
，则下列叙述正确的是（ ）
A．
对应的点在复平面的第四象限
B．
是一个纯虚数
C．
D．
【答案】BCD
【分析】先由复数的运算求出，共轭复数的概念求出
，即可判断各选项的正误．
【详解】由题意得：
，
对于A 项：
，对应的点在复平面的第一象限，故A 项错误；
对于B 项：
为纯虚数，故B 项正确；
对于C 项：
，故C 项正确；
对于D 项：
，故D 项正确；
故选：BCD.
13.（多选）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．z 在复平面内对应的点的坐标为
B．
C．z 在复平面内对应的点与点
关于原点对称
D．
【答案】BCD
【分析】根据复数的除法运算化简复数
，即可根据复数的几何意义求解AC，根据共轭复数的
概念求解B，根据模长公式即可求解D.
【详解】由题可得
，
即在复平面内对应的点的坐标为
，与点
关于原点对称，A 错误，C 正确；
，B 正确；
，D 正确.
故选：BCD
14.若
，则的共轭复数为 ．
【答案】
【分析】化简复数，可得的共轭复数．
【详解】依题意，
所以的共轭复数为
故答案为：
15.已知是虚数单位，复数
．
【答案】
【分析】根据复数的除法运算法则化简求解即可.
【详解】
.
故答案为：
.
16.复数
，且
，若
是实数，则有序实数对
可以是 .
【答案】
(答案不唯一)
【分析】将
代入
，根据
为实数，则虚部为零求解.
【详解】因为
为实数,
所以
，解得
,
所以有序实数对
可以是
(答案不唯一)
故答案为：
(答案不唯一)
17.已知
的两共轭虚根为
，
，且
，则
．
【答案】3
【分析】由根与系数关系有
，设
，
且
，结合题设和复数模长、乘法运
算求参数.
【详解】由题设
，可令
，
且
，
所以
，
所以
.
故答案为：3
18.已知i 为虚数单位，复数
，
，若为纯虚数，则
.
【答案】
【分析】根据复数为纯虚数，列式求解.
【详解】由复数为纯虚数，可知，
，得
.
故答案为：
19.已知关于
的二次方程
．
(1)当
为何值时，这个方程有一个实根？
(2)是否存在
，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出
的值；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）设方程的一个实根为
，带入方程，化简成标准形式，再由复数相等的意义即可求得
；
（2）设方程有纯虚数根
（
，且
），代入原方程，再复数相等意义得出
，此方程
无解，即可判定不存在.
【详解】（1）设
是方程的一个实根，则
即
根据复数相等的意义知
解得：
．
所以，当
时，原方程有一实根
．
（2）假定方程有纯虚数根
（
，且
），代入原方程得
即
由复数相等意义知
但方程
即
无实数解，即实数
不存在．
所以，对任何实数
，原方程不可能有纯虚数根．
20.设复数
．
(1)若
是实数，求
；
(2)若
是纯虚数，求
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出
，再利用复数乘法求解即得.
（2）利用复数除法及复数的分类求出
即得.
【详解】（1）由
，得
，而
是实数，
于是
，解得
，
所以
．
（2）依题意，
是纯虚数，
因此
，解得
，
所以
．
21.已知复数满足
（是虚数单位）.
(1)求
；
(2)若复数
在复平面内对应的点在第三象限，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的除法计算法则和模的运算公式求解即可；
（2）根据复数乘法计算法则和在复平面对应点的特征求解即可.
【详解】（1）由
，
得
，所以
（2）因为
，
所以
，
因为该复数在复平面内对应的点在第三象限，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
22.已知复数
，
为z 的共轭复数，且
．
(1)求m 的值；
(2)若
是关于x 的实系数一元二次方程
的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据共轭复数的概念，结合复数的加法运算即可求解参数
的值；
（2）首先将
代入一元二次方程中求出参数
，
的值，然后再根据求根公式求解另外一个复数根即
可.
【详解】（1）已知
，则
，
由于
，得
，解得：
（2）由（1）可知，
，将
代入方程可得：
，
即：
，得：
，解得：
，
，
带入一元二次方程中得：
，
解得：
，
，
即方程另外一个复数根为
23.已知复数
，
，为虚数单位.
(1)求
及
；
(2)若
，求的共轭复数.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据复数的运算法则即可求出
，结合共轭复数的概念和复数的几何意义计算即可求
解；
（2）根据复数的乘、除法运算可得
，结合共轭复数的概念即可求解.
【详解】（1）
，
，
，
，
．
（2）由
所以
.
24.求解下列各题，并写出必要过程：已知复数
是实数.
(1)求复数及其z 的模；
(2)若复数
是关于
的方程
的根，求实数
和
的值.
【答案】(1)
，
.
(2)
.
【分析】（1）根据复数的除法运算，化简
，结合复数的模的公式即可求解；
（2）利用复数相等的条件，列出方程，即可求解.
【详解】（1）因为
，可得
又
为实数，可得
，
解得
，
所以
，
.
（2）因为
是关于
的方程
的根，
所以
，即
，
可得
，
解得
.
