专题12圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型（学生版）_初中数学_九年级数学下册（人教版）_常见几何模型全归纳-V13_2024版

专题12 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值 相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际 上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借 助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也 可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 模型1.米勒最大张角（视角）模型 【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时， ∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形 ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 M M C C O N O N A B A B 【模型证明】 如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角， 易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 M C' C D O N A B 在三角形AC’D中， 又【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒 问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解 题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 例1．（2023·江苏九年级课时练习）如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门 ，当他带球冲到点A 时，同伴乙已经冲到点B，此时甲是直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？（仅从射门角度大小考 虑） 例2．（2023·四川宜宾·校考二模）如图，已知点A、B的坐标分别是 、 ，点C为x轴正半轴上一 动点，当 最大时，点C的坐标是（ ） A． B． C． D． 例3．（2023上·江苏泰州·九年级统考期末）如图．在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P 是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP= ． 例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角 越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得 （此时也有 ）时，恰好能 使球门AB的张角 达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点．(1)如图2所示，AB为球 门，当运动员带球沿CD行进时， ， ， 为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为 点______； (2)如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门， 于点D， ， ．某球员沿 CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．①用含a的代数式表示DQ的长度并求出 的值； ②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为 ，若此时守门员站在张角 内，双臂张开 MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功．（结果用含a的代数 式表示） 例5．（2023·四川宜宾·校考三模）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向右平移 个单 位，再向下平移 个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与 轴交于点 、 （点 在点 的左 侧）， ，经过点 的一次函数 的图象与 轴正半轴交于点 ，且与抛物线的另一个 交点为 ， 的面积为 ．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点 在一次函数的图象 下方，当 面积的最大值时，求出此时点 的坐标；(3)点 是直线 上的一动点，连接 ，，设 外接圆的圆心为 ，当 最大时，求点M的坐标（直接写答案）． 模型2. 定角定高模型（探照灯模型） 定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角，则AD有最 小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。。 条件：在△ABC中，∠BAC= （定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明思路：如图，作△ABC的外接圆 ，连接OA，OB，OC， 过点O作OE⊥BC于点E，设 的半径为r，则∠BOE=∠BAC= ；∴BC= 2BE=2OB sin =2r sin 。 ∵OA+OE≥AD（当且仅当点A，O，E三点共线时,等号成立），∴r+rcosa≥h， .当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2r sin ；△ABC的面积最小:AD r sin ； △ABC的周长最小:2r sin +AD r sin 。 例1．（2023·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）如图， ，边 、 上分别有两个动点C、 D，连接 ，以 为直角边作等腰 ，且 ，当 长保持不变且等于 时，则 长的 最大值为 cm．例2、（2023·重庆·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝12，点E，F均在AD上，且 ∠ABE+∠FCD＝90°，则四边形BCFE面积的最大值为 ． 例3．（2023·陕西咸阳·校考二模）【问题提出】（1）如图①， 为 的一条弦，圆心O到弦 的距 离为4，若 的半径为7，则 上的点到弦 的距离最大值为_______； 【问题探究】（2）如图②，在 中， 为 边上的高，若 ，求 面积的最 小值； 【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取 得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图 ③， 为基地的大致规划示意图，其中 ， 平分 交 于点 ，点 为 上一 点，学校计划将四边形 部分修建为农业实践基地，并沿 铺设一条人行走道， 部分修建为 兴趣活动基地．根据规划要求， 米， ．且农业实践基地部分（四边形 ）的 面积应尽可能小，问四边形 的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理 由．例4．（2023·广东·校考一模）问题提出：（1）如图①，已知在边长为10的等边 ABC中，点D在边BC 上，BD＝6，连接AD，则 ACD的面积为 ； △ 问题探究：（2）如图②，△已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且 ∠EAF＝45°．若EF＝5，求 AEF的面积； 问题解决：（3）如图③是某△座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形 ABCD区域内开挖一个 AEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上（不与B、C、D重合），且 ∠EAF＝45°，为了减少△对该路段的拥堵影响，要求 AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的 AEF？若存在，请求出 AEF面积的最小值；若不△存在，请说明理由． △ △ 例5．（2023·重庆·校考三模）问题探究 （1）如图①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，则S ABC＝ ． △ （2）如图②，已知四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4 ，请求出四边形ABCD 面积的最大值． 问题解决（3）如图③，某小区有一个四边形花坛ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝ 60°．为迎接“十四运”，园艺师将花坛设计成由两种花卉构成的新造型，根据造型设计要求，点E、F分 别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°，现需要在△AEF的区域内种植甲种花卉，其余区域种植乙种花卉．已 知种植甲种花卉每平方米需200元，乙种花卉每平方米需160元．试求按设计要求，完成花卉种植至少需 费用多少元？（结果保留整数，参考数据： ≈1.7）课后专项训练 1．（2023·广东广州·九年级校考期中）如图，已知正方形 和直角三角形 ， ， ，连接 ， ．若 绕点A旋转，当 最大时， 的面积是（ ）A． B．6 C．8 D．10 2．（2022·辽宁沈阳·校考三模）如图是一个矩形足球球场， 为球门， 于点D， 米．某 球员沿 带球向球门 进攻，在Q处准备射门，已知 米， 米，对方门将伸开双臂后， 可成功防守的范围大约为 米；此时门将站在张角 内，双臂伸开 且垂直于 进行防守， 中点与 距离 米时，刚好能成功防守． 3．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，在正方形 中， ，M是 的中点，点P是 上一个 动点，当 的度数最大时， 的长为 ． 4．（2023·四川凉山·校联考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，点D是线段BC 上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段 CD的长为 ． 5．（2023·广东·一模）已知点O为直线外一点，点 O到直线距离为 4，点A、B是直线上的动点，且 ∠AOB＝30°。则△ABO的面积最小值为 ．6．（2023·广西·九年级期中）在四边形ABCD中，点E在BC边上（不与B、C重合）． （1）如图（1），若四边形ABCD是正方形，AE⊥EF，AE＝EF，连CF． ①求∠BCF的大小；②如图（2），点G是CF的中点，连DG、ED，若DE＝6，求DG的长； （2）如图（3），若四边形ABCD是矩形，点M在AD边上，∠AEM＝60°，CD＝9，求线段AM的最小 值． 7．（2023上·湖北九年级课时练习）如图，某雕塑 位于河段 上，游客 在步道上由点 出发沿 方向行走．已知 ， ，当观景视角 最大时，游客 行走的距离 是多 少米？ 8．（2023·广西北海·统考二模）综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题 的一般描述是：如图2，已知点 ， 是 的边 上的两个定点， 是 边上的一个动点，当且 仅当 的外接圆与 边相切于点 时， 最大．人们称这一命题为米勒定理． (1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门 进攻，当甲带球冲到 点时，乙已跟随冲到 点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射 门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证： ． (2)【问题解决】如图3，已知点 ， 的坐标分别是 ， ， 是 轴正半轴上的一动点，当 的外接圆⊙ 与 轴相切于点 时， 最大．当 最大时，求点 的坐标．9．（2023·福建厦门·统考二模）一个角的顶点在圆外，两边都与该圆相交，则称这个角是它所夹的较大的 弧所对的圆外角．（1）证明：一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角； （2）应用（1）的结论，解决下面的问题：某市博物馆近日展出当地出土的珍贵文物，该市小学生合唱队 计划组织120名队员前去参观，队员身高的频数分布直方图如图1所示．该文物 高度为 ，放置文 物的展台 高度为 ，如图2所示．为了让参观的队员站在最理想的观看位置，需要使其观看该文 物的视角最大（视角：文物最高点P、文物最低点Q、参观者的眼睛A所形成的 ），则分隔参观者 与展台的围栏应放在距离展台多远的地方？请说明理由．（说明：①参观者眼睛A与地面的距离近似于身 高；②通常围栏的摆放位置需考虑参观者的平均身高） 10．（2023·广东·九年级专题练习）1471年，德国数学家米勒提出了雕塑问题：假定有一个雕塑高AB＝3 米，立在一个底座上，底座的高BC＝2.2米，一个人注视着这个雕塑并朝它走去，这个人的水平视线离地1.7米，问此人应站在离雕塑底座多远处，才能使看雕塑的效果最好，所谓看雕塑的效果最好是指看雕塑 的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点，如图：过A、B两点，作一圆与EF相切于 点M，你能说明点M为所求的点吗？并求出此时这个人离雕塑底座的水平距离？ 11．（2023·河南三门峡·统考二模）阅读与思考 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．弥勒是德国著名数学家，他在1471年提出了著名的弥勒定理： 如图1，已知A，B是 的边 上的定点，当且仅当 的外接圆与 相切（ 与 相切于 点C）时 最大，此时 ． 小明思考后给出如下证明： 证明：如图2，在OM上任取一点 ，连接 ， ， 与 相交于点D，连接 ． ∵点C，D在 上，∴ （依据①）， 又∵ 是 的一个外角，∴ ，∴ ， 即当且仅当 的外接圆与OM相切（ 与 相切于点C）时 最大． 如图3，过切点C作 的直径 ，连接 ，则 ， ， ∴ ， ，∴ ，（依据②） 又∵ ，……∴ 任务：(1)写出小明证明过程中的依据：依据①： ；依据②： ． (2)请你将小明的证明过程补充完整；(3)结论应用：如图4，已知点A，B的坐标分别是 和 ，C是 x轴正半轴上一个动点，当 最大时，点C的坐标为______． 12．（2023·福建福州·校考一模）圆周角定理是初中数学中很重要的一个定理，它反映的是圆心角和圆周 角的关系，在实际生活中也有很多的应用． (1)如图， 为 的一条弦，点 在弦 所对的优弧上，若 ，请直接写出 的度数． [应用](2)福州某标志建筑可抽象为线段 ，很多摄影爱好者喜欢在斜对面的大桥 上对其拍照.若摄影师 想在对建筑视角为 （即 ）的位置 拍摄，请在线段 上作出点 ．（要求：尺规作图，不 写作法，保留作图痕迹）。 [拓展](3)问题：如图，已知建筑物宽 为30米，一名摄影师从距 点30米的 点（点 在直线 上） 出发，沿大桥 方向前进 ，当摄影师到达对建筑物视角最大的最佳拍摄点 时，求他 前进的距离． 这个问题可以利用圆周角定理进行简化：过点 、 作 ， 与直线 相切于点 ，此时 最大， 即点 为最佳摄影点．连接 并延长交 于点 ，连接 ， ， ，求 的长．13．（2023·广西梧州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线 与x A1，0、B3，0 轴交于 ，与y轴交于点C，其顶点为D点．(1)求抛物线的解析式．(2)连结 ，动 点Q的坐标为 ．P为抛物线上的一点，是否存在以B，D，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若 OQ、CQ 存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．(3)连结 ，当 最大时，求出点Q的坐 标． 14．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）我们规定：线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做 这个点对这条线段的视角．如图1，对于线段AB及线段AB外一点C，我们称ACB为点C对线段AB的 xOy D0,4 E0,1 P 视角．如图2，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ． 为过D，E两点的圆，F为 上 异于点D，E的一点．(1)如果 为P的直径，那么点F对线段DE的视角DFE______； (2)如果点F对线段DE的视角DFE为45度，那么 的半径为多少？ (3)点G为x轴正半轴上的一个动点，当点G对线段DE的视角DGE最大时，求点G的坐标．15．（2023·广东珠海·统考二模）小辉同学观看2022卡塔尔世界杯时发现，优秀的球员通常都能选择最优 的点射门（仅从射门角度大小考虑）．这引起了小辉同学的兴趣，于是他展开了一次有趣的数学探究． 【提出问题】如图所示．球员带球沿直线BC奔向球门PQ，探究：是否存在一个位置，使得射门角度最 大． 【分析问题】因为线段PQ长度不变，我们联想到圆中的弦和圆周角． BC O NP,NQ,AP,AQ,MP,MQ 如图1，射线 与 相交，点M，点A，点N分别在圆外、圆上、圆内，连接 ． 【解决问题】(1)如图1，比较 的大小：________（用“<”连接起来）． △APQ O BC (2)如图2，点A是射线 上一动点（点A不与点B重合）．证明：当 的外接圆 与射线 相切 时，PAQ最大． PQ4,PB5,tanB2 PAQ (3)【延伸拓展】在（2）的条件下，如果 ．当 最大时．证明： PAQ90B．16．（2023下·河南郑州·九年级校考阶段练习）定义：自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端 点，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图①，APB是点P对线段AB的视角． 问题：如图②，已知线段 与直线l，在直线l上取一点P，使点P对线段AB的视角最大． 小明的分析思路如下：过A、B两点，作O使其与直线l相切，切点为P，则点P对线段AB的视角最 大，即APB最大． AQ、BQ 小明的证明过程：为了证明点P的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点Q，连接 ，如图 BQ AH APBAHB ②，设直线 交圆O于点H，连接 ，则 ．（依据1） ∵ ．（依据2） ∴APBAQH QAH ∴ 所以，点P对线段AB的视角最大． (1)请写出小明证明过程中的依据1和依据2； 依据1：________________________________________依据2：________________________________________ (2)应用：在足球电子游戏中，足球队球门的视角越大，越容易被踢进，如图③，A、B是足球门的两端， 线段AB是球门的宽，CD是球场边线，ADC是直角，EFCD． ①若球员沿EF带球前进，记足球所在的位置为点P，在图③中，用直尺和圆规在EF上求作点P，使点P 对AB的视角最大（不写作法，保留作图痕迹）． ②若 ，DE25，直接写出①中所作的点P对AB的最大视角的度数（参考数据： 12 5 5 12 sin67 ,cos67 ,tan672.4,tan23 ,tan42 ．） 13 13 12 13 xOy A(1,0) 17．（2023上·北京西城·九年级校考期末）在平面直角坐标系 中，已知点 和点 ．对于线段 AB和直线AB外的一点C，给出如下定义：点C到线段AB两个端点的连线所构成的夹角ACB叫做线段 AB关于点C的可视角，其中点C叫做线段AB的可视点． E(1,4) AB 45 (1)在点 、 、 中，使得线段 的可视角为 的可视点是 ； (2)P为经过A，B两点的圆，点M 是P上线段AB的一个可视点． ①当AB为P的直径时，线段AB的可视角AMB为 度；②当P的半径为4时，线段AB的可视角AMB为 度； (3)已知点N 为 y 轴上的一个动点，当线段AB的可视角ANB最大时，求点 的坐标． 18．（2023·陕西西安·校考模拟预测）问题研究（1）若等边△ABC边长为4，则△ABC的面积为 ； （2）如图1，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高，若CD＝4，试判断△ABC的面积是否存在 最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 问题解决（3）如图2，四边形ABCD中，AB＝AD＝4 ，∠B＝45°，∠C＝60°，∠D＝135°，点E、F分 别为边BC、DC上的动点，且∠EAF＝∠C，求四边形AECF面积的最大值． 19．（2023·陕西商洛·统考模拟预测）【问题提出】（1）如图①，在正方形 中，点 分别在边 上，连接 ，延长 到点 ，使 ，连接 ．若 ，则可证 __________； 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若 ，求 面积的最小值； 【问题解决】（3）如图②， 是一条笔直的公路，村庄 离公路 的距离是5千米，现在要在公路上建两个快递转运点 ，且 ，为了节约成本，要使得 之和最短，求 的最小值． 20．（2023·江苏盐城·九年级校考阶段练习）问题提出：(1)如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线l与 ⊙O交于A、B两点， ，则△ABP面积的最大值为_____． 问题探究：(2)如图2，在等腰△ABC中， ， ，F是高AD和高BE的交点． ①请求出△ABF与△BDF的面积之比；②若 ，求△ABF的面积． 问题解决：(3)如图3，四边形ABCD是某区的一处景观示意图， ， ， ， ， ，M是AB上一点，且 ．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N， 修建花坛△AMN和草坪△BCN，且需 ．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米 100元，请帮设计师算算修好花坛和草坪预算最少需要多少元？