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第1 讲 三角函数的运算
微点一 齐次化切
齐次分式：分子分母的正余弦次数相同.
(1)asin α +bcosα
c sin α +d cosα (一次显型齐次化)；
(2)asin2α+bcos2α+csin αcos α⇒a sin
2α +bco s
2α +c sin α cosα
sin
2α +co s
2α
(二次隐型齐次化).
这种类型题，分子分母同除以cos α(一次显型)或者cos2α(二次隐型)，构造成tan α 的代数式，这个思想在圆
锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.
例1 (1)(2021·新高考全国Ⅰ卷)若tan θ=-2，则sinθ(1+sin 2θ)
sinθ+cosθ
等于( )
A.-6
5
B.-2
5
C.2
5
D.6
5
答案 C
解析 方法一 因为tan θ=-2，所以角θ 的终边在第二或第四象限，
所以{
sinθ = 2
√5 ,
cosθ =−1
√5
或{
sinθ =−2
√5 ,
cosθ = 1
√5 ,
所以sinθ(1+sin 2θ)
sinθ+cosθ
=sinθ(sinθ+cosθ)
2
sinθ+cosθ
=sin θ(sin θ+cos θ)=sin2 θ+sin θcos θ
=4
5 -2
5=2
5.
方法二 (弦化切法)因为tan θ=-2，
所以sinθ(1+sin 2θ)
sinθ+cosθ
=sinθ(sinθ+cosθ)
2
sinθ+cosθ
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=sin θ(sin θ+cos θ)=sin
2θ+sinθcosθ
sin
2θ+co s
2θ
=tan
2θ+ tanθ
1+tan
2θ
=4−2
1+ 4 =2
5.
方法三 (正弦化余弦法)因为tan θ=-2，
所以sin θ=-2cos θ.
则sinθ(1+sin 2θ)
sinθ+cosθ
=sinθ(sinθ+cosθ)
2
sinθ+cosθ
=sin θ(sin θ+cos θ)=sin
2θ+sinθcosθ
sin
2θ+co s
2θ
=4 co s
2θ−2co s
2θ
4 co s
2θ+co s
2θ
=4−2
4 +1 =2
5.
(2)已知tan α=3，则
co s
3α −cosα
cos(α + π
2)
等于( )
A.-3
4
B.3
4
C.- 3
10
D. 3
10
答案 D
解析 因为tan α=3，则
co s
3α −cosα
cos(α + π
2)
=co s
3α −cosα
−sin α
=(co s
2α −1)cosα
−sin α
=
sin α cosα
co s
2α + sin
2α =
tan α
1+tan
2α = 3
10.
[规律方法] 对于形如Asin2α+Bcos2α+Csin αcos α，Asin2α+Bcos2α+Csin 2α 的式子可以借助
“sin2α+cos2α=1”，将其转化为正弦、余弦的齐次式，进而用含tan α 的式子来表示.
跟踪演练1 (1)已知曲线y=4√x在点(1，4)处的切线的倾斜角为α
2 ，则
1+sin α +cosα
1−√2cos(α + π
4)
等于( )
A.√2
2
B.2√2
C.1
2
D.1
答案 C
解析 因为y=4√x，则y'= 2
√x ，
则曲线y=4√x在点(1，4)处的切线的斜率k=y'|x=1=2，又倾斜角为α
2 ，
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所以tanα
2 =2，
则
1+sin α +cosα
1−√2cos(α + π
4)
=
1+sin α +cosα
1−√2(
√2
2 cosα −√2
2 sin α)
= 1+sin α +cosα
1−cosα +sin α
=
2co s
2 α
2 +2sin α
2 cos α
2
2sin
2 α
2 +2sin α
2 cos α
2
=
1+ tan α
2
tan
2 α
2 + tan α
2
=1
2.
(2)已知tan α，tan β 是方程3x2+5x-7=0 的两根，则sin(α + β)
cos(α −β)= .
答案 5
4
解析 由已知得tan α+tan β=-5
3 ，
tan αtan β=-7
3 ，
sin(α + β)
cos(α −β)=sin α cos β +cosα sin β
cosα cos β +sin α sin β
= tan α + tan β
1+ tan α tan β =
−5
3
1−7
3
=5
4 .
微点二 辅助角公式与降幂思想
1.降幂思想
三角函数中的降幂思想主要来源于二倍角公式的一些重要变形，如：
降幂公式{
sin
2 x = 1−cos2 x
2
,
co s
2 x = 1+cos2 x
2
,
sin x cos x = 1
2 sin 2 x .
2.辅助角公式
asin α+bcos α=√a
2+b
2sin(α+φ)，其中sin φ=
b
√a
2+b
2 ，cos φ=
a
√a
2+b
2.
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3.辅助角公式的应用
(1)求f(x)=asin x+bcos x 的最值；
(2)方程asin x+bcos x=c 有解求参.
例2 (1)已知函数f(x)=4
5 sin x+1
5cos x，当x=β 时，f(x)取得最大值，则cos β 等于( )
A.√17
17
B.4√17
17
C.4
7
D.1
7
答案 A
解析 f(x)=4
5 sin x+1
5cos x
=√17
5 (
4
√17 sin x +
1
√17 cos x)
=√17
5 sin(x+φ)，
其中cos φ= 4
√17 ，sin φ= 1
√17 ，
当x=β 时，f(x)取得最大值，此时β+φ=π
2 +2kπ(k∈Z)，
得到β=π
2 -φ+2kπ(k∈Z)，
cos β=cos(
π
2 −φ+2k π)=sin φ=√17
17 .
(2)若x∈[
π
4 ，2π
3 ]，则函数f(x)=3sin xcos x+√3sin2x 的值域为( )
A.[0，3√3
2 ]
B.[0，√3
2 ]
C.[0，√3]
D.[0，3+√3]
答案 A
解析 由题意得f(x)=3sin xcos x+√3sin2x
=3
2sin 2x+√3
2 (1-cos 2x)
=√3×(
√3
2 sin 2 x−1
2 cos2 x)+√3
2
=√3×(cos π
6 sin 2 x−sin π
6 cos2 x)+√3
2
=√3sin(2 x−π
6)+√3
2 ，
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当x∈[
π
4 ，2π
3 ]时，2x-π
6 ∈[
π
3 ，7 π
6 ]，
当2x-π
6 =π
2 ，
即x=π
3 时，f(x)取最大值，最大值为3√3
2 ；
当2x-π
6 =7 π
6 ，
即x=2π
3 时，f(x)取最小值，最小值为0，
即函数f(x)的值域为[0，3√3
2 ].
[规律方法] 辅助角公式主要作用是把含sin x，cos x 的一次三角函数式化为Asin(ωx±φ)或Acos(ωx±φ)的形
式，从而便于进一步探索三角函数的性质.很多情况下，在使用辅助角公式之前，需要用二倍角公式对三角
函数式进行降幂.对于涉及辅助角公式与降幂思想的综合题目，总体思路可以简记为“一拆二降三辅助四性
质”.
跟踪演练2 (1)函数f(x)=√3sin 2x+2sin2x，若f(x1)f(x2)=-3，则|2x1-x2|的最小值是( )
A.2π
3
B.π
4
C.π
3
D.π
6
答案 D
解析 函数f(x)=√3sin 2x+2sin2x
=√3sin 2x-cos 2x+1
=2sin(2 x−π
6)+1，
因为2x-π
6 ∈R，
则sin(2 x−π
6)∈[-1，1]，
所以f(x)∈[−1，3]，
因为f(x1)f(x2)=-3，
所以f(x1)，f(x2)一个为f(x)的最大值，一个为最小值，
则{
2 x1−π
6 =2k1π −π
2 ,
2 x2−π
6 =2k2 π + π
2 ,
k1，k2∈Z 或
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{
2 x1−π
6 =2k1π + π
2 ,
2 x2−π
6 =2k2 π −π
2 ,
k1，k2∈Z，
解得{
x1=k1π −π
6 ,
x2=k2 π + π
3 ,
k1，k2∈Z 或
{
x1=k1π + π
3 ,
x2=k2 π −π
6 ,
k1，k2∈Z，
所以|2x1-x2|=|(2k1−k2)π −2π
3 |，
①
或|2x1-x2|=|(2k1−k2)π + 5 π
6 |，
②
对于①，当2k1-k2=1 时，|2x1-x2|的最小值是π
3 ，
对于②，当2k1-k2=-1 时，|2x1-x2|的最小值是π
6 ，
综上，|2x1-x2|的最小值是π
6 .
(2)已知关于x 的方程asin x+bcos x=2 有实数解，则(a-1)2+(b-1)2的最小值是 .
答案 6-4√2
解析 asin x+bcos x=√a
2+b
2sin(x +φ)，
其中cos φ=
a
√a
2+b
2 ，sin φ=
b
√a
2+b
2 ，
因为关于x 的方程asin x+bcos x=2 有实数解，
所以√a
2+b
2≥2，即a2+b2≥4，
则点(a，b)的轨迹为以原点为圆心，半径大于等于2 的同心圆，
设点(a，b)的轨迹方程为x2+y2=r2(r≥2)，
(a-1)2+(b-1)2表示点(a，b)到点(1，1)距离的平方，
因为12+12=2<4，
所以点(1，1)在圆x2+y2=4 内，
点(1，1)到同心圆x2+y2=r2(r≥2)上的点的距离的最小值为r-√1+1=r-√2≥2-√2，
所以(a-1)2+(b-1)2的最小值是(2-√2)2=6-4√2.
微点三 整体代换思想
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整体代换是指将问题或者问题的一部分看成一个整体，用一个新的变量代之，进而简化研究过程.整体代换
思想是研究数学问题的一种重要思想，这一思想在解决三角函数相关问题时有着广泛的应用.
1.整体代换求值
(1)用已知角表示未知角
①2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)；
②α=(α+β)-β=(α-β)+β，β=α + β
2
-α −β
2
；
③α −β
2
=(α + β
2)-(
α
2 + β).
(2)互余与互补关系
①互余关系：(
π
3 +α)+(
π
6 −α)=π
2 ；(
π
4 +α)+(
π
4 −α)=π
2 等；
②互补关系：(
π
4 +α)+(
3 π
4 −α)=π；(
π
6 +α)+(
5 π
6 −α)=π 等.
2.三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，一般分为三类：
(1)sin x，cos x 与cos 2x 之间的二次函数关系；
(2)sin x+cos x 与sin xcos x 之间的关系；
(3)asin x+bcos x 与sin 2x 之间的关系.
3.整体代换求性质
在研究形如函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)的性质时，可以根据函数y=sin x 的相关性质，把y=Asin(ωx+φ)
+B(A>0，ω>0)中的ωx+φ 看成一个整体，结合函数y=sin x 的图象，得到函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)的
性质，这一过程把“数形结合”与“整体代换”紧密地结合起来了.
例3 (1)已知cos(α + π
3)=3
5 ，则sin(2α + π
6)等于( )
A.- 7
25
B.24
25
C.-18
25
D. 7
25
答案 D
解析 方法一 由cos(α + π
3)=3
5 ，
则sin(2α + π
6)=-cos[(2α + π
6)+ π
2]
=-cos(2α + 2π
3 )=-cos 2(α + π
3)
=1-2cos2(α + π
3)=1-2×(
3
5)
2
= 7
25.
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方法二 令t=α+π
3 ，
则α=t-π
3 ，cos t=3
5 ，
所以sin(2α + π
6)=sin(2t −π
2)=-cos 2t=1-2cos2t=1-2×(
3
5)
2
= 7
25.
(2)已知f(x)= 2
sin x +
2
cos x ，x∈(0，π
2)，则函数y=f(x)的最小值为 .
答案 4√2
解析 由题意知f(x)
= 2
sin x +
2
cos x =2(sin x +cos x)
sin x cos x
，
令t=sin x+cos x=√2sin(x + π
4)，
由0<x<π
2 ，得π
4 <x+π
4 <3 π
4 ，
所以√2
2 <sin(x + π
4)≤1，
则1<t≤√2.
由t=sin x+cos x，
得t2=(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x，
所以sin xcos x=t
2−1
2
，
则原函数可化为g(t)=
2t
t
2−1
2
= 4t
t
2−1=
4
t −1
t
，t∈(1，√2]，
显然函数y=t-1
t 在(1，√2]上单调递增，
故当t=√2时，y=t-1
t 取得最大值√2
2 ，此时g(t)取得最小值4√2，即函数y=f(x)的最小值为4√2.
[规律方法] 换元令t=sin x+cos x，将原函数变形为关于t 的二次函数，再根据t 的取值范围及二次函数的
性质计算即可，但是一定不能忽视该题中x 的限制范围，即在换元之后需要求出新元t 的范围，否则容易
出错.
跟踪演练3 (1)函数y=2sin xcos x+√2sin x-√2cos x+2 的最大值为( )
A.5
2
B.3
C.7
2
D.4
答案 C
解析 由y=2sin xcos x+√2sin x-√2cos x+2，
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可设t=√2sin x-√2cos x=2sin(x−π
4)，t∈[-2，2]，
则2sin xcos x=1-(sin x-cos x)2
=1-(
t
√2)
2
=1-t
2
2 ，
则原函数可化为y=1-t
2
2 +t+2=-t
2
2 +t+3=-1
2(t-1)2+7
2 ，t∈[-2，2]，
所以当t=1 时，函数取最大值7
2.
(2)函数y=cos 2x+2sin x 的最大值为 .
答案 3
2
解析 y=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x
=-2(sin x−1
2)
2
+3
2 ，
因为sin x∈[-1，1]，
所以当sin x=1
2时，y=cos 2x+2sin x 取得最大值3
2.
专题强化练
[分值：73 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.已知sin(
π
3 −x)=√6
3 ，且0<x<π
2 ，则sin(
π
6 + x)-cos(
2π
3 + x)的值为( )
A.4√3
3
B.2√3
3
C.0
D.-4√3
3
答案 B
解析 因为sin(
π
3 −x)=√6
3 ，
所以cos(
π
6 + x)=sin(
π
3 −x)=√6
3 ，且0<x<π
2 ，
所以sin(
π
6 + x)=√1−6
9=√3
3 ，
则sin(
π
6 + x)-cos(
2π
3 + x)
=sin(
π
6 + x)+sin(
π
6 + x)=2×√3
3 =2√3
3
.
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2.(2025·全国Ⅱ卷)已知0<α<π，cosα
2 =√5
5 ，则sin(α −π
4)等于( )
A.√2
10
B.√2
5
C.3√2
10
D.7√2
10
答案 D
解析 由题意得cos α=2cos2α
2 -1
=2×(
√5
5 )
2
-1=-3
5 ，
因为0<α<π，
则sin α=√1−co s
2α=√
1−(−3
5)
2
=4
5 ，
所以sin(α −π
4)=sin αcosπ
4 -cos αsinπ
4
=4
5 ×√2
2 -(−3
5)×√2
2 =7√2
10 .
3.当x=θ 时，函数f(x)=5sin x-12cos x 取得最小值，则cos θ 等于( )
A. 5
13
B.- 5
13
C.12
13
D.-12
13
答案 C
解析 f(x)=5sin x-12cos x
=13[sin x× 5
13 +cos x×(−12
13)]=13sin(x+φ)，
其中cos φ= 5
13 ，sin φ=-12
13 ，
依题意得f(θ)=13sin(θ+φ)=-13，
∴sin(θ+φ)=-1，
∴θ+φ=2kπ-π
2 ，k∈Z，
∴θ=2kπ-π
2 -φ，k∈Z，
∴cos θ=cos(2k π −π
2 −φ)=cos(−π
2 −φ)
=-sin φ=12
13.
4.已知函数f(x)=sin2x+√3sin xcos x-1
2 ，则当x∈[
π
6 ，2π
3 ]时，函数f(x)的值域为( )
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A.[
1
2 ，√3
2 ]
B.[−√3，2]
C.[0，1]
D.[−1
2 ，1]
答案 D
解析 f(x)=sin2x+√3sin xcos x-1
2
=1−cos2 x
2
+√3
2 sin 2x-1
2=sin(2 x−π
6)，
当x∈[
π
6 ，2π
3 ]时，2x-π
6 ∈[
π
6 ，7 π
6 ]，故f(x)的值域为[−1
2 ，1].
5.已知角θ 的终边在第三象限，tan 2θ=-2√2，则sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-√2cos2θ 等于( )
A.-√2
6
B.√2
6
C.-2
3
D.2
3
答案 D
解析 由题意可得tan 2θ= 2tanθ
1−tan
2θ=-2√2，
即√2tan2θ-tan θ-√2=0，
解得tan θ=√2或tan θ=-√2
2 .
又角θ 的终边在第三象限，故tan θ=√2，
故sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-√2cos2θ=sin2θ+sin θcos θ-√2cos2θ
=sin
2θ+sinθcosθ−√2co s
2θ
sin
2θ+co s
2θ
=tan
2θ+ tanθ−√2
tan
2θ+1
=(√2)
2+√2−√2
(√2)
2+1
=2
3.
6.已知函数f(x)=1+cos 4x+2sin 2x，x∈[0，a]的值域为[2，5
2]，则实数a 的取值范围为( )
A.[
π
6 ，π
2]
B.[
π
12 ，π
2]
C.[
π
12 ，π
6]
D.[
5 π
12 ，π]
答案 B
解析 由题设可得a>0，
f(x)=2-2sin22x+2sin 2x=-2(sin 2 x−1
2)
2
+5
2 ，
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令t=sin 2x，则g(t)=-2(t −1
2)
2
+5
2 ，
易知g(0)=2，g(
1
2)=5
2 ，g(1)=2，
当0<a< π
12时，t∈[0，m]，其中m<1
2 ，
此时g(t)的值域不是[2，5
2]；
当π
12≤a≤π
2 时，t∈[0，m]，
其中1
2≤m≤1，此时g(t)的值域是[2，5
2]；
当a>π
2 时，t∈[m，1]，其中m<0，
此时g(t)的值域不是[2，5
2]，
综上，π
12≤a≤π
2 .
7.已知复数z1=2+isin 2θ 在复平面内对应的向量为⃗O Z1(O 为坐标原点)，z2=sin θ-cos θ+i 在复平面内对应的
向量为⃗O Z2，则⃗O Z1·⃗O Z2的最大值为( )
A.2√2-1
B.√2+1
C.3√2-2
D.2
答案 D
解析 依题意，⃗O Z1=(2，sin 2θ)，⃗O Z2=(sin θ-cos θ，1)，则⃗O Z1·⃗O Z2=2(sin θ-cos θ)+sin 2θ，
令sin θ-cos θ=t，则t=√2sin(θ−π
4)∈[-√2，√2]，sin 2θ=2sin θcos θ=1-t2，
因此⃗O Z1·⃗O Z2=2t+1-t2=-(t-1)2+2，
则当t=1 时，⃗O Z1·⃗O Z2取得最大值为2，
故⃗O Z1·⃗O Z2的最大值为2.
8.(2025·东莞模拟)若存在实数a，使得对于任意实数x 和任意θ∈[0，π
2]恒有(x+3+2sin θcos θ)2+(x+asin
θ+acos θ)2≥1
8 ，则a 的取值范围是( )
A.(−∞，√6]∪[
7
2 ，+ ∞)
B.(-∞，2√6]∪[7，+∞)
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C.(-∞，2]∪[
7
2 ，+ ∞)
D.(-∞，2]∪[
5
2 ，+∞)
答案 A
解析 (x+3+2sin θcos θ)2+(x+asin θ+acos θ)2
≥[( x +3+2sinθcosθ)−( x +asinθ+acosθ)]
2
2
=[(3+2sinθcosθ)−(asinθ+acosθ)]
2
2
，
当且仅当x=-3+2sinθcosθ+asinθ+acosθ
2
时，等号成立，
因为(x+3+2sin θcos θ)2+(x+asin θ+acos θ)2≥1
8对任意x∈R 恒成立，
则[(3+2sinθcosθ)−(asinθ+acosθ)]
2
2
≥1
8 ，
即[3+2sinθcosθ−a(sinθ+cosθ)]
2≥1
4 对任意θ∈[0，π
2]恒成立，
令t=sin θ+cos θ=√2sin(θ+ π
4)，
因为θ∈[0，π
2]，则θ+π
4 ∈[
π
4 ，3 π
4 ]，
则sin(θ+ π
4)∈[
√2
2 ，1]，则t∈[1，√2]，
又t2=(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ，
则2sin θcos θ=t2-1，
则(t2-at+2)2≥1
4 对任意t∈[1，√2]恒成立，
则t2-at+2≥1
2或t2-at+2≤-1
2 ，
即a≤t+ 3
2t 或a≥t+ 5
2t 对任意t∈[1，√2]恒成立，
因为t+ 3
2t ≥2√t · 3
2t =√6，当且仅当t= 3
2t ，
即t=√6
2 时，等号成立，则a≤(t + 3
2t)min
=√6，
又对勾函数y=t+ 5
2t 在[1，√2]上单调递减，
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则ymax=1+5
2=7
2 ，
则a≥(t + 5
2t)max
=7
2 ，
则a≤√6或a≥7
2 ，
综上所述，a 的取值范围是(-∞，√6]∪[
7
2 ，+∞).
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.(2025·安顺模拟)对于任意角α，β，下列结论正确的是( )
A.(cos α+cos β)2+(sin α+sin β)2=2-2cos(α-β)
B.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β
C.sin α-sin β=2cosα + β
2
sinα −β
2
D.cos αcos β=1
2[cos(α+β)+cos(α-β)]
答案 BCD
解析 对于A，(cos α+cos β)2+(sin α+sin β)2
=cos2α+2cos αcos β+cos2β+sin2α+2sin αsin β+sin2β=2+2cos(α-β)，故A 错误；
对于B，sin(α+β)sin(α-β)
=(sin αcos β+cos αsin β)(sin αcos β-cos αsin β)
=sin2αcos2β-cos2αsin2β=sin2α(1-sin2β)-(1-sin2α)sin2β=sin2α-sin2β，故B 正确；
对于C，sin α-sin β
=sin(
α + β
2
+ α −β
2 )-sin(
α + β
2
−α −β
2 )
=sinα + β
2
cosα −β
2
+cosα + β
2
sinα −β
2
-(sin α + β
2
cos α −β
2
−cos α + β
2
sin α −β
2 )
=2cosα + β
2
sinα −β
2
，故C 正确；
对于D，1
2[cos(α+β)+cos(α-β)]
=1
2(cos αcos β-sin αsin β+cos αcos β+sin αsin β)=cos αcos β，故D 正确.
10.下列说法正确的是( )
A.函数y=sin x+cos x+sin xcos x 的最大值为√2+1
2
B.若tan θ=1
2 ，则3sin2θ+2sin θcos θ-cos2θ=3
4
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C.若sin x+cos x=1
5(0< x< 3 π
2 )，则3sin x+4cos x=0
D.已知函数g(x)=3sin x+acos x 满足g(x)≤g(
π
3)恒成立，则a=√3
答案 ACD
解析 选项A，令t=sin x+cos x=√2sin(x + π
4)∈[−√2，√2]，则sin xcos x=t
2−1
2
，
所以y=1
2t2+t-1
2 ，t∈[−√2，√2]，当t=√2时，ymax=√2+1
2 ，故A 正确；
选项B，因为tan θ=1
2 ，
所以3sin2θ+2sin θcos θ-cos2θ=3 sin
2θ+2sinθcosθ−co s
2θ
sin
2θ+co s
2θ
=3tan
2θ+2tanθ−1
tan
2θ+1
=3
5 ，故B 错误；
选项C，因为sin x+cos x=1
5 ，所以(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x= 1
25 ，
即2sin xcos x=-24
25 <0，由0<x<3 π
2 ，所以π
2 <x<π，
由(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=49
25 ，所以sin x-cos x=7
5 ，即sin x=4
5 ，cos x=-3
5 ，
所以3sin x+4cos x=3×4
5 -4×3
5=0，故C 正确；
选项D，函数g(x)=3sin x+acos x 满足g(x)≤g(
π
3)恒成立，
即√9+a
2=3sinπ
3 +acosπ
3 ，化简得a=√3，故D 正确.
11.(2025·全国Ⅰ卷)已知△ABC 的面积为1
4 ，cos 2A+cos 2B+2sin C=2，cos Acos Bsin C=1
4 ，则( )
A.sin C=sin2A+sin2B
B.AB=√2
C.sin A+sin B=√6
2
D.AC2+BC2=3
答案 ABC
解析 cos 2A+cos 2B+2sin C=2，由二倍角公式，得1-2sin2A+1-2sin2B+2sin C=2，
整理可得sin C=sin2A+sin2B，A 选项正确；
方法一 由诱导公式得，sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，
展开可得sin Acos B+sin Bcos A=sin2A+sin2B，
即sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)=0，
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若A+B=π
2 ，则sin A=cos B，sin B=cos A，可知等式成立；
若A+B<π
2 ，即0<A<π
2 -B，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sin A<sin(
π
2 −B)=cos B，同理sin B<cos
A，
又sin A>0，sin B>0，于是sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)<0，
与条件不符，故A+B<π
2 不成立；
若A+B>π
2 ，同理可得sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)>0，与条件不符，故A+B>π
2 不成立.
综上可知，A+B=π
2 ，即C=π
2 .
则cos Acos Bsin C=1
4 =cos Acos B，由A+B=π
2 ，得cos B=sin A，即sin Acos A=1
4 ，
则sin 2A=1
2 ，同理sin 2B=1
2 ，因为A，B∈(0，π
2)，则2A，2B∈(0，π)，
不妨设A<B，则2A=π
6 ，2B=5 π
6 ，即A= π
12 ，B=5 π
12 ，
由两角和与差的正弦公式可知sin A+sin B=sin π
12+sin5 π
12 =√6−√2
4
+√6+√2
4
=√6
2 ，C 选项正确；
由两角和的正切公式可得，tan5 π
12 =2+√3，
设BC=t(t>0)，AC=(2+√3)t，则AB=(√2+√6)t，
由S△ABC=1
2(2+√3)t2=1
4 ，则t2=4−2√3
4
=(
√3−1
2 )
2
，则t=√3−1
2
，
于是AB=(√2+√6)t=√2，B 选项正确；由勾股定理可知，AC2+BC2=AB2=2，D 选项错误.
方法二 sin C=sin2A+sin2B，由C∈(0，π)，则sin C∈(0，1]，
于是1×sin C=sin2A+sin2B≥sin2C，
设在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，由正弦定理得a2+b2≥c2，
由余弦定理可知cos C≥0，则C∈(0，π
2]，
若C∈(0，π
2)，则A+B>π
2 ，注意到cos Acos Bsin C=1
4 ，则cos Acos B>0，
于是cos A>0，cos B>0(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是A，B∈(0，π
2)，
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结合A+B>π
2 ⇔A>π
2 -B，而A，π
2 -B 都是锐角，则sin A>sin(
π
2 −B)=cos B>0，
于是sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，这和0<sin C≤1 矛盾，
故C∈(0，π
2)不成立，则C=π
2 .下同方法一.
方法三 cos 2A+cos 2B+2sin C=2⇒2sin C=1-cos 2A+1-cos 2B⇒2sin C=2sin2A+2sin2B，
所以sin C=sin2A+sin2B，故A 正确；设在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
由正弦定理
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2R，可得a2+b2=c·2R≥c2，若a2+b2>c2，则cos C>0，0<C<π
2 ，
则A+B>π
2 ⇒A>π
2 -B，则sin A>sin(
π
2 −B)，即sin A>cos B，代入sin C=sin2A+sin2B，
有sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，与C∈(0，π
2)矛盾，故a2+b2=c2，则C=π
2 ，
即cos C=cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=0⇒cos Acos B=sin Asin B，又cos Acos Bsin C=1
4 ，则sin Asin B=
1
4 ，
因为S△ABC=1
2absin C=1
4 ⇒ab=1
2 ，
所以
ab
sin A sin B =(2R)2=2⇒2R=√2，所以
c
sinC =2R=√2⇒c=√2，故B 正确；
(sin A+sin B)2=sin2A+sin2B+2sin Asin B=sin C+1
2=3
2⇒sin A+sin B=√6
2 ，故C 正确；
因为C=π
2 ，则AC2+BC2=AB2=c2=2，故D 错误.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.函数f(x)=sin(2 x + 3 π
2 )-3cos x 的最小值为 .
答案 -4
解析 f(x)=sin(2 x + 3 π
2 )-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1=-2(cos x + 3
4)
2
+17
8 ，
∵-1≤cos x≤1，∴当cos x=1 时，f(x)min=-4，
故函数f(x)的最小值为-4.
13.对∀x∈(0，π
2)，不等式asin2x-sin xcos x+a>0 恒成立，则实数a 的取值范围是 .
答案 (
√2
4 ，+∞)
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解析 asin2x-sin xcos x+a>0 对∀x∈(0，π
2)恒成立，
则a>sin x cos x
1+ sin
2 x =
sin x cos x
2sin
2 x +co s
2 x 对∀x∈(0，π
2)恒成立，
因为x∈(0，π
2)，所以0<cos x<1，tan x>0，
则a>
sin x cos x
2sin
2 x +co s
2 x =
tan x
2tan
2 x +1=
1
2tan x +
1
tan x
，
由于2tan x+
1
tan x ≥2√2，当且仅当tan x=√2
2 时取等号，
所以
1
2tan x +
1
tan x
≤√2
4 ，所以a>√2
4 .
14.已知x2-2√3xy+5y2=1，x，y∈R，则x2+y2的最小值为 .
答案 3−√7
2
解析 因为x2-2√3xy+5y2=(x-√3y)2+(√2y)2=1，令x-√3y=cos θ，√2y=sin θ，
解得x=√6
2 sin θ+cos θ，y=√2
2 sin θ，
所以x2+y2=(
√6
2 sinθ+cosθ)
2
+(
√2
2 sinθ)
2
=1+sin2θ+√6sin θcos θ
=3
2+√6
2 sin 2θ-1
2cos 2θ=3
2+√7
2 sin(2θ-φ)，
其中cos φ=√42
7 ，sin φ=√7
7 .
因为-1≤sin(2θ-φ)≤1，
所以x2+y2的最小值为3−√7
2
.
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